三角形中的重要模型之面积模型-2025中考数学复习（含答案）

三角形中的重要模型之面积模型-2025中考数学

三角形中的重要模型之面积模型

三角形面积问题在中考数学几何领域中占据举足轻重的地位，而等积变形作为中学几何的一个核

心理念，其重要性不言而喻。它衍生出的五大模型——蝴蝶（或风筝）模型、燕尾模型、鸟头模型、沙漏模

型以及金字塔模型，不仅体现了等积变形的精髓,也是学生们必须精通的关键知识点。

本专题将深入剖析这些等积模型，通过系统的梳理和详尽的试题分析，旨在帮助学生全面掌握这一

重要内容。无论是蝴蝶模型中优雅的对称之美，燕尾模型中巧妙的面积分割，鸟头模型中复杂的结构转

换，沙漏模型中面积的流转变化,还是金字塔模型中立体与平面的巧妙结合，我们都将——揭开它们的

神秘面纱。

通过本专题的学习，学生们不仅能够加深对等积变形思想的理解，还能提高解决复杂几何问题的能

力，为中考数学几何模块打下坚实的基础。

-----------------------°°------------------------

例题讲模型...............................................................................1

模型1.等积变换基础模型..................................................................1

模型2.蝴蝶（风筝）模型....................................................................4

模型3.燕尾（定理）模型....................................................................6

模型4.鸟头定理（共角定理）模型...........................................................9

模型5.金字塔与沙漏模型.................................................................12

习题练模型..............................................................................13

例题讲模型

模型L等积变换基础模型

模型解读

模型1）等底等高的两个三角形面积相等；

1

如图1,当48〃。。,则$08=5^8；反之，如果5AAe0=538,则可知直线AB〃GD。

模型2）两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比。

如图2,当点。是BC边上的动点时，则SAABD：S*=BD：DC。

如图3,当点。是BC边上的动点，BE，A。，CF，40时，则S^ABD：S^ADC=BE：CF。

证明:模型1）如图1，过点A作AE，CD、过点B作口F，CD。'：ABIICD,：.AE=BF.

.：S.ACD=^CD.AE；S^BCU=-CD-BF;：.S―8=反之R］理可证。

模型2）如图2,过点A作AH±BC。

VS^BD=^BD-AH；SMCD=^CD-AH；SAABD：S^DC=BD：DC.

如图3,过点。作CF，AD、过点B作BE，AD。

1.（24-25八年级上•山东德州•阶段练习）如图，若点。是边8c上的点，且BD-.CD=3:2，则△4BD与

△ACD的面积之比为（）

A

A.3:2B.9:4C.2:3D.4:9

2.（23-24八年级下.河北沧州.期中）如图，E,尸分别是£7ABC©的边AB,CD上的点，A尸与OE相交

于点与CE相交于点Q,若△人尸。的面积为2,ABQC的面积为4,64BCD的面积为26,则阴

影部是的面积为.

3.（2024•上海浦东新•一模）如图，在△ABC中，4口=4,AC=6,E为中点，AD为△ABC的角平分

线,/\ABC的面积记为Si，/XADE的面积记为S2，则.

4.（23-24七年级下.江苏镇江・期中）【探究】

如图1,AD是AABC中BC边上的中线，△ABD与AACD的面积相等吗？请说明理由，

【应用】如图2,点4口、C分别是BD、CE、A尸的中点，且S△的=4,则图2中阴影部分的面积为

MS

【拓展】⑴如图3,△ABC中，延长C4至点使得人斤=C4,延长AB至点。，使得BD=2AB,延长

至点瓦使得CE=3CB,连接EF、FD、如果S^ABC=3,那么S^EF为.

（2）如图4,△4BC中，48=12,4?=16,点。、后是BC、边上的中点，40、跳；交于点?若

△4BC的面积为S,则四边形。CE斤面积为（用含S的代数式表示）；四边形DCEF的面积存在

最大值，这个值为

图3

5.（23—24八年级下.浙江宁波・期中）规律：如图1,直线m〃n，B,。为直线n上的点，A,P为直线m上

的点.如果A,。为三个定点，点P在直线巾上移动，那么无论点P移动到何位置，△ABC与

△PBC的面积始终相等，其理由是.

应用：

⑴如图2,口、。三点在同一条直线上，△ABC与都是等边三角形，连结BE,AE.若CD=

2,BC=2CE>,求△4BE的面积.（2）如图3,已知E,F,G,H是矩形4BCD边上的点，且即〃4D,

GH//48,连结GB交EF于点M,连结交GH于点N,连结DN交EF于点、P,连结GP,若四边形

ABOG的面积等于5,求四边形GMNP的面积.

MS

模型2.蝴蝶（风筝）模型

模型解读

蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边

形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

模型证明

1)任意四边形的蝴蝶定理：

如图1,结论:①=S4：Ss或&xS3=S2XS4；②AO-.OC=⑸+S2)：网+S3)。

证明:由基础模型2)知：Sr&=DO-.BO-,S4：S3=DO-.BO；即故5岛=S4：S3；即SixS3=S2xS4。

由基础模型2)知：S4ABD：S.D=OA-QC；即AO-.OC^(8+$2)：($4+8)。

2)梯形蝴蝶定理：

如图2,结论:①Si&=d2:b2；②SrS.S*.S.S,CD=a2:b2:ab:ab:(a+6)2»

证明：；四边形ABCD为梯形，.•.人。〃3。，.•.易证△AOD〜△COB,.•.Si：S3=a2：〃。

1i

同理可证得：Si.S3.S2-Si-.SABCD—d".l):ab-.ab-\a+b'fa

模型运用

6.（23—24八年级上.浙江.阶段练习）如图，任意四边形ABCD中，47和BD相交于点O,把△水汨、

△49。、△COD、ABOC的面积分别记作Si、S2、S3、S4,则下列各式成立的是（）

A.S+S3=S2+S4B.S3-S2=Si-S1C.SvS&=S『S3D.S1-S3=S2-S4

7.（23-24九年级上•上海松江•期中）如图，已知在梯形ABCD中，AB〃CD,24B=3CD,如果对角线

AC与相交于点O,/\AOD,ABOA、△COB、△DOC的面积分别记作S、、S2、S3,S4,那么下列结论

中，不正确的是（）

MS

A.2s2=3SIB.2s2=3$4C.Si=$3D.Si-S3=S2-Si

8.（2024•四川成都•校考一模）如图，梯形的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为

p\q2,则梯形的面积为.

9.（2024•山西•校考一模）阅读与探究

请阅读下列材料,完成相应的任务：

凸四边形的性质研究

如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做

凸四边形.凸四边形是我们数学学习中常见的图形,它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角

线分成的两对对顶三角形的面积之积相等.

例如，在图1中，凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点。，且AC，RD,△AOB,ABOC,

g-^OB-OA

△COD,AA。。的面积分别为Si,S2,S3,S4,则有S/S3=S2・S4,证明过程如下：---------=

3j-OD-OA

OB

~OD

任务：（1）请将材料中的证明过程补充完整；（2）如图2,任意凸四边形的对角线/C,相交于

点O,分别记△AOB,ABOC,/\COD,△AQD的面积为S1,$263,54,求证$163=82-S.

：

⑶如图3,在四边形ABCD中,对角线/C,8。相交于点。O,SHOD=4，S^BOC=6,SMOB：S/\COD~1

3，则四边形ABCD的面积为.

•••

模型3.燕尾（定理）模型

条件:如图，在△4BC中，E分别是上的点，G在4E上一点。

结论:S、S=S3：S4=(Si+S3MS2+SJ=BE-.ECo

证明:由基础模型2)知：S364=BE-.EC；S-曲$4ABe=BE-.EC；故所祝=BE-.EC；

即=S3-.S4=⑸+S3MS2+SJ=BE-.EC.

模型运用

10.（23-24七年级下.江苏宿迁.期末）（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分.

（经验发展）（1）面积比和线段比的联系:如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的

比，如图1,AABC的边上有一点/，请证明：务”=韶；

（结论应用）⑵如图2,ACDE的面积为1,第=；，然=4,求AABC的面积;

AC4Cr>o•••

（拓展延伸）（3）如图3,A4bC的边Ab上有一点河，。为CM■上任意一点，请利用上述结论,证明：

S^ADC4时.

S/\BDCBM

（迁移应用）⑷如图4,/\ABC中，M•是AB的三等分点（4W=《AB）,N是的中点，若/\ABC的

面积是1,请直接写出四边形BMDN的面积:.

11.（23—24七年级下•宁夏银川・期末）【问题情境】如图1,AD是△ABC的中线，△ABC与△AB。的面积

有怎样的数量关系？小旭同学在图1中作边上的高AE,根据中线的定义可知m=co.因为高

AE相同，所以S^ABD=S^ACD，于是SMBC=2sAABD

据此可得结论:三角形的一条中线平分该三角形的面积.

（1）【深入探究】如图2,点。在4ABC的边上，点P在人。上.

①若AD是AABC的中线,请判断S^PB与S*的大小关系,并说明理由.

②若BD=3DC，则SMPB-SAAPC.

⑵【拓展延伸】如图3,分别延长四边形ABCD的各边，使得4B,C,。分别为。以，AE,砂\CG的

中点，依次连接E,F,G,H得四边形即GH.直接写出SWG，S.BE与S四边形之间的等量关系；

MS

12.（23—24七年级下.浙江杭州•期中）已知。是A4BC的BC边上一点，连结4D,此时有结论今迪=

b'ACD

缥，请解答下列问题：（1）当。是边上的中点时，AABD的面积AACD的面积（填

C/1-Z

或"="）.

（2）如图1,点。、E分别为4B,47边上的点,连结CD,BE交于点。，若ABO。、ACOE、ABOC的面

积分别为5,8,10,则AADE的面积是（直接写出结论）.

⑶如图2,若点。，后分别是^ABC的AB,AC边上的中点，且SRABC=60,求四边形ADOE的面积.

可以用如下方法:连结AO9由AD=DB得S、ADO~S^BDO,问理：S、CEO~^\AEO9设^\BDO~X9S^CEO=

y，则S'ADO=x9=y，由题意得SkABE~Sbgj~30,SbADC~SbABC=30,可列方程组为：

x

解得+y=20,可得四边形ADOE的面积为20.解答下面问题：

如图3,。，尸是AB的三等分点，瓦G是C4的三等分点，CD与BE交于O,且S*=60，请计算四

边形ADOE的面积，并说明理由.

MS

模型4.鸟头定理（共角定理）模型

模型解读

共角三角形:两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角定理:共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

（等角型）条件:如图1，在三角形ABC中，。、目分别是AB,AC上的点，结论：》DE=丝•世

S》BCAB-AC

（互补型）条件:如图2,已知/R4C+4DAE=180°,结论：斗%=空,需。

^△ABCAB-AC

证明：（等角型）如图1，分别过点E,。作EG，AB于点G,CZUAB于点F,

,:WAGE=/AFU,又/A=&GAE〜/\FAC,：.空=4^-。

CFAC

P..SAADE±AD-EGS^DEAD-EGADAE0nS^EADAE

S^ABC^-AB*CFS^ABCABtCFABACS^ABCABAC

（互补型）如图2,过点。作。G,AB于G,过点石作石尸，DA交DA延长线于R,

・・.ZEFA=ACGA=90°,VZBAC+/DAE=180°,/DAE+NEAF=180°,

NCAG=NEAF,；.&CAG〜MAF,SWAE：占DA•EF,S"BC=鼻AB•CG,

AEAC22

.=±DA-EF=DA-EF=DA-AE

；

"S^ABC~^AB-CG~^B-CG~AB-AC

模型运用

MS

13.如图，在三角形ABC中，O、E是AB,47上的点，且AD：48=2:5,AE：AC=4；7,三角形4DE的面

积是16平方厘米，则ABC的面积为

14.（2023•山西晋中•九年级统考阶段练习）阅读理解

如果两个三角形中有一组对应角相等或互补,那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积

比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比，

例:在图1中，点。，E分别在人口和AC上，△4DE和AABC是共角三角形，则跳%=丝书

SAAB。AJD,AC

证明:分别过点E,。作国7,48于点3,。歹，48于点干,得到图2,

AAGE=ZAFC,又ZA=ZA,/./\GAE〜^FAC,：.弟=叫

CFAC

又..S^DE_~^AD'EG.S»DE__AD-EG=AD_AE_即S#；=AD_AE

'S^ABC~^AB-CF"S^ABC~AB-CF~~AB'~^C~~AB'~AC

图3

任务：（1）如图3,已知ABAC+NN4E=180°,请你参照材料的证明方法,求证：「沁丝=笔笔

SAAB。AJD*AC

（2）在（1）的条件下，若学胆=4,务=；,AB=9,则AE=

b^ABCbAO4

•••

15.(2023・重庆・九年级专题练习)问题提出：如图1,。、E分别在AABC的边AB、AC±.,连接。及已知线

段AD=a,OB=b,AE=c,EC=d，则S^ADE,和a,b,c,d之间会有怎样的数量关系呢？

却,"图2CB图3

图4图1备用图图5

图6图7

问题解决:探究一：⑴看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手,找出其中的规律.如图2,若DE

〃8C,贝I]且/人=乙4,所以△ADE〜△ABC,可得比例式：而根据相似三

a+bc+d

角形面积之比等于相似比的平方.可得52=上三.根据上述这两个式子，可以推出：微2

b/\ABC(a+b)b^ABC

_Q2_a.a_Q.c______ac_____

(a+b)?a+ba+ba+bc+d(a+b)(c+d)

(2)如图3,若/C,上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程;着不成立,请说明理由.

探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：|^=-—77—-?方法

b^ABC(a+b)(c+d)

回顾:两个三角形面积之比,不仅可以在相似的条件下求得,当两个三角形的底成高具有一定的关系

SJBD,AHor)

时,也可以解决.如图4,。在4ABC的边上，做于H,可得：詈迺=J------------=~.

'MDC^DC-AHDC

借用这个结论,请你解决最初的问题.

延伸探究：⑴如图5,。、E分别在△ABC的边48、AC反向延长线上，连接已知线段AD=a,

AE=c,AC=d，则余型=.（2）如图6,E在△ABC的边AC上，。在AB反向延

b丛ABC

长线上，连接DE,已知线段AD=a,AB=b,AE=c,AC=d,爱胆=

b^ABC

结论应用：如图7,在平行四边形ABCD中，G是边上的中点，延长GA到瓦连接DE交BA的延长

线于尸，若AB=5,AG=4,4E=2,DABCD的面积为30,则△AEF的面积是.

模型5.金字塔与沙漏模型

金字塔模型沙漏模型

模型证明

22

条件:如图所示，。后〃;结论:①嘿=噜=等=疆;②S.DE：S4ABe=AF-.AG。

A"ACA(_T

证明：・・・DE〃石。；易证：LADE〜△ABC；/\ADF〜/\ABG；/\AFE-AAGC；

・幺。一AE—DE—/■F5.a—AD2,AB2~AF2,AG2

••AR_4c_BC~AG，Q^ADE・QAABCau.Z1Q—O

模型运用

16.（2023秋・辽宁沈阳•九年级校考阶段练习）如图，已知点。、E分别是AB、AC边上的点，且△ADE〜

△4BC,面积比为1：9,AGLBC交OE于点R.则AF：AG=（）

A.1：3B.3:1C.1：9D.9：1

17.（2023•江苏扬州•二模）如图，。、E分别是△4BC的边48、4。上的点，且。E〃BC,BE、CD相交于

点0,若△OOE的面积与△COB的面积的比为4:25,则40:08等于（）

MS

A

C.3:5D.4:25

18.（2023•福建龙岩•九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，。后〃8。，8石与CD相交于点F.如果。尸:

FC—1:3,那么S^ADE'.S^ABC等于（

A.1:9B.1:3C.2:3D.1:8

19.（2023春・北京海淀•九年级校考开学考试）如图，△48。是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等

分，若图中阴影部分的面积是6,则四边形BCG尸的面积为（）

C.10D.11

c1习题练模型）

20.（2024•贵州•校考一模）如图,梯形ABCD被对角线分成4个小三角形，已知A4O8与△BOC的面积分

别为25M2和35m2.那么梯形的面积是（）总

DC••

A.144B.140C.160D.无法确定

21.（24-25八年级上・山东德州•阶段练习）如图所示，△ABC中，点E、F分别在三边上，后是AC的中

点，交于一点3,80=2。。，$如£。=3,5根小=4,则△48。的面积是（）

C.35D.40

22.（22-23七年级下•江苏扬州•期中）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是AB,BC,CD,中

点，O是四边形内部一点，若四边形AEOH■、四边形BFOE、四边形CGO尸的面积分别为8、11、13,四

边形DHOG面积为（）

23.（24-25八年级上•四川德阳•阶段练习）如图，若△ABC的面积为a,且点A,B,C分别是EC、人尸、

的中点，则求阴影部分的面积（用含a的式子表示），（）

F

A.6aB.6.5aC.5.5aD.5a

24.（24—25八年级上•湖北武汉•阶段练习）如图，在4ABC中，入。是ABAC的平分线，延长人。至及使

4"=小‘连接班,△曲的面积为10,A4BC的面积是13,则妥的值为（）

E

AB•••

R13

B-loC.3D.2

25.（2023•陕西西安•模拟预测）如图，在△ABC中，4。是BC边上的高线，CE是边上的中线，若CD

=4。=4,则2\。您的面积是（）

26.（2023•江苏•模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,。是网格线交点，AC与相交于

点O,则的面积与△CDO的面积的比为（）

27.（23-24八年级上•天津河东•期中）如图，△ABC的两条中线AM,BN相交于点O,已知△ABO的面积

为4,八8。河的面积为2,则四边形MCNO的面积为（）

A.2B.3C.4D.3.5

28.（2024.甘肃酒泉二模）如图,在平行四边形ABCD中，如果点M为CD的中点，4Wr与相交于点M

右已知S盘）MN=4,那么SAADN等于（••

B

C.12D.16

29.（23-24九年级•重庆•课后作业）如图，AB为半圆O的直径,弦8。相交于点P,如果CD=3,AB

=4,那么$注℃：5//84等于（）

A.16:9B.3：4C.4：3D.9：16

30.（22-23七年级下•江苏南京•期末）如图，在△/反7中，D是边的中点，夙F分别是边47上的三

等分点，连接BE、89分别交CD于G、H点，若△4BC的面积为90,则四边形EFHG的面积为

31.（2024・上海•校考一模）如图，梯形ABCD中，AD"BC,BC=2AD,点F在BC的延长线上,AF与BD

相交于点瓦与CD边相交于点G.如果AD=2CF1,那么XDEG与ACFG的面积之比等于.

32.如图1,点。在4ABC边BC上,我们知道若年■=?，则跳电=?；反之亦然.如图2,跳;是

CDbSMCDb

△46。的中线，点F在边AB上，BE、。户相交于点O,若票=小,则祟=

JDrCJr）•••

A

33.（23-24九年级上•福建泉州•阶段练习）已知AABC中，4D是边上的中线，点G为ZVIBC重心,

GE//AC,若AABC的面积为12，则△BGE的面积是.

34.（2024•河南郑州•九年级校考期中）如图，矩形即G8内接于△ABC（矩形各顶点在三角形边上），E,F

在上，H,G分别在AB,AC上，且8c于点。，交HG于点N.

（1）求证:4AHG〜AABC（2）若AD=3,BC=9,设班r=①，则当力取何值时,矩形EFGH的面积最

大？最大面积是多少？

MS

35.（23—24八年级下•湖南永州•期末）课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用

阅读理解:如图1,已知直线a〃b,直线a,b的距离为h，则三角形ABC的面积为S3c=^xABxh.

图3图4

（1）【问题探究】如图2,若点。平移到点。，求证：SAAOC=SgoD；

（2）【深化拓展】如图3,记S^AOC=Si、S八ROD—S?、S^cOD=S3、S.OA=S4,根据图形特征，试证明：Six

S2=S3XS4；

（3）【灵活运用】如图4,在平行四边形4BCD中，点E是线段AO上的一点，BE与AC相交于点。，已

知$4诋=10,且EO-.EB=2:5,求四边形CDEO的面积•

•M

36.（23—24八年级下.山东青岛.期末）问题解决：如图1,△ABC中，A尸为边上的中线，则S^ABF=

___SbABC*

问题探究：⑴如图2,CD,BE分别是△ABC的中线，SA加0与S四边形"。石相等吗？

解：/\ABC中，由问题解决的结论可得，SABCD=ySMBC，S.=£S'ABC，

••S^BCD=S'ABE••S、BCD-S"OD~S^ABE~S、BOD艮口S»BOC~S四边形4。。石.

（2）图2中，仿照（1）的方法，试说明S、BOD=SACOE-

（3）如图3,CD,BE,A尸分别是△ABC的中线，则S^oc=S\ABC，S\AOE=

问题拓展：⑴如图4,E、F分别为四边形ABCD的边A。、的中点，请直接写出阴影部分的面积与

四边形ABCD的面积之间的数量关系：S阴影=S四边形相⑺.

⑵如图5,E、尸、G、”分别为四边形ABCD的边AD、BC、48、CD的中点;请直接写出阴影部分的

面积与四边形ABCD的面积之间的数量关系：S阴影=S四边形ABCD

MS

37.（24-25九年级上•广东深圳•期中）阅读理解:两个三角形中有一个角相等或互补,我们称这两个三角形

是共角三角形,这个角称为对应角.根据上述定义,判断下列结论,正确的打“V”,错误的打“X”.

（1）三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形.（）

（2）两个等腰三角形是共角三角形.（）

问题提出：小明在研究图1的时发现,因为点。，后分别在48和AC上，所以和△ABC是共角

三角形，并且还发现穹斗胆=嘿学.以下是小明的证明思路，请帮小明完善证明过程.

SAAB。AJD'AU

证明:分别过点瓦。作EG，于点G,CF,AB于点尸，得到图2,

•.•乙4GE=/4FC,又•.•乙4=//,.•.△GAE~(),.•.第~绊——

---------CF(_②)

.._5AD.EG.S/^DE_AD*EG_AD.AE即S^DE.=AD-AE

'S/一，-S^ABC-ABCF一方.左'-AB-AC-

延伸探究:如图3,已知ABAC+NDAE=180°，请你参照小明的证明方法,求证：以上=缥变

结论应用：⑴如图4,在平行四边形ABC©中，G是BC边上的点且满足2BG=GC,延长G4到E,连

接DE交R4的延长线于F,若4B=6,4G=5,AE=2.5,O4BCD的面积为60,则△AEF的面积是

⑵如图5,LJABCD的面积为2,延长OABCD的各边，使BE=AB,CF=2BC,DG=3CD,AH=

4A。,则四边形ERG"的面积为

38.(2023•山东青岛・二模)【模型】

同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比.

已知，如图1,△ABC中，。为线段上任意一点，连接40,则有：言理=弟.

^^ACDCD

【模型应用】

⑴如图2,任意四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，连接CE、AF,若四边形ABCD的

面积为S,则S四边形的%=-

(2)如图3,在任意四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上离点A和点。最近的三等分点，连接

力尸、若四边形ABCD的面积为则

CE,S,SMAECF=.

(3)如图4,在任意四边形ABCD中，点E、尸分别是边AB、CD上离点B和点。最近的九等分点，连接

AF、CE,若四边形ABCD的面积为S,则S四边形小6=.

【拓展与应用】

(4)如图5,若任意的十边形的面积为100,点K、L、M、N、。、P、Q、R分别是45、CD、DE、EF、

FG、HI、D、JA边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接BL、DK、DR、MJ、NJ、

FQ、OI、GP,则图中阴影部分的面积是

39.（23-24七年级下.安徽宿州.期末）（1）探索发现:

如图1,在4ABe中，点。在边8。上，/XABD与A4DC的面积分别记为&与S2,试判断兽与黑

的数量关系,并说明理由.

图1

（2）阅读分析:

小明遇到这样一个问题:如图2,在Rt/XABC中，46=AC,ABAC=90°,射线4W■交于点。,点

E、斤在4M■上，且/I=Z2=90°,试判断BF、CE、EF三条线段之间的数量关系.

小明利用一对全等三角形,经过推理使问题得以解决.图2中的B尸、三条线段之间的数量关

系为，并说明理由.

⑶类比探究：

如图3,在四边形ABCD中，AB=AD,AC与8。交于点。，点E、F在射线/C上，且Nl=/2=

ABAD.

图3

①全等的两个三角形为，并说明理由.

②若OD=3OB,4AED的面积为3,直接写出4CDE的面积:

MS

40.(23—24九年级上.广西崇左.期末)【问题】如图1,在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,

记△CQD的面积为Si，4AOB的面积为S2,求证：兽=发.

o2OA•(Jb

【解决问题的方法】如图2,在ACOD和中,分别作OC,04边上的高DE,B打，利用三角函数表

示出。E,BF,再代入面积公式就可以解决问题.

(1)【问题解决】如图2,求证：*=筹啸；

o2(JA,(JJD

⑵【拓展应用】如图3,4Vf〃CD交RD于点M,点打为人口的中点，OH交AM于点G,且盥=言,

OH5

℃.L求且值

OA=6'本S2电

•••

41.（2023•宁夏银川•二模）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相

等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相

等”等性质解决有关数学问题.在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰,解

题过程简便快捷.

请用等面积法的思想解决下列问题：

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为.

⑵如图1,反比例函数0=—曰0>0）的图像上有一点P,E4，立轴于点4点B在沙轴上，则AR4B

的面积为.

⑶如图2,P是边长为a的正4ABC内任意一点，点。为AABC的中心，设点P到△ABC各边距离分

别为仙，后，自，连接人尸，8尸，CP，由等面积法，易知9a（加+e+期）=S*=3s△。他，可得加+自+

心=乎似如图3,若P是边长为4的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距

离分别为仙，生，3，均，生，参照上面的探索过程，求出+生+侬+力+生的值.（参考数据：tan36°七

tan54°«^-）

（4）如图4,已知。。的半径为1,点人为外一点，。4=2,AB切OO于点弦连接

AC,求图中阴影部分的面积.（结果保留兀）

（5）我国数学家祖晅，提出了一个祖晅原理:“嘉势既同，则积不容异”.意思是:两个等高的几何体若在

所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.如图所示，某帐篷的造型是两个全等

圆柱垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖），其中曲线AOC和BOD均是以1为半

径的半圆.用任意平行于帐篷底面ABC©的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形,且该正方形的

面积恰好等于与帐篷同底等高的正四棱柱中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥后同高度截面的面

积（图8中阴影部分的面积），因此该帐篷的体积为.（正棱锥的体积底面•积x高•）•

三角雅中的重要模型之面积模型

三角形面积问题在中考数学几何领域中占据举足轻重的地位，而等积变形作为中学几何的一个核

心理念，其重要性不言而喻。它衍生出的五大模型——蝴蝶（或风筝）模型、燕尾模型、鸟头模型、沙漏模

型以及金字塔模型，不仅体现了等积变形的精髓,也是学生们必须精通的关键知识点。

本专题将深入剖析这些等积模型，通过系统的梳理和详尽的试题分析，旨在帮助学生全面掌握这一

重要内容。无论是蝴蝶模型中优雅的对称之美，燕尾模型中巧妙的面积分割，鸟头模型中复杂的结构转

换，沙漏模型中面积的流转变化,还是金字塔模型中立体与平面的巧妙结合，我们都将——揭开它们的

神秘面纱。

通过本专题的学习，学生们不仅能够加深对等积变形思想的理解，还能提高解决复杂几何问题的能

力，为中考数学几何模块打下坚实的基础。

LZE1

例题讲模型...............................................................................1

模型1.等积变模型..................................................................1

模型2.蝴蝶（风筝）模型....................................................................6

模型3.燕尾（定理）模型...................................................................10

模型4.鸟头定理（共角定理）模型..........................................................15

模型5.金字塔与沙漏模型.................................................................20

习题练模型..............................................................................22

例题讲模型

模型1.等积变换基础模型

模型解读

模型1）等底等高的两个三角形面积相等；

如图1,当AB〃CD,则=SABCD；反之,如果隈6=SABCD，则可知直线AB〃CD。

模型2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2,当点。是BC边上的动点时,则SMBD：S3=BD：DC.

如图3,当点。是BC边上的动点，BE，AD,CF，AD时，则S.:S^c=BE：CF。

模型证明