高中数学讲义（人教B版2019必修三）第15讲813向量数量积的坐标运算

8.1.3向量数量积的坐标运算TOC\o"13"\h\u题型1向量坐标与基底 4题型2用坐标表示平面向量 5题型3平面向量线性运算的坐标表示 8题型4由向量线性运算求参数 10题型5平面向量数量积的坐标运算 13◆类型1向量数量积 13◆类型2向量垂直 16◆类型3向量夹角 19◆类型4利用向量坐标求模长 22◆类型5利用数量积判断锐角钝角 25题型6向量平行相关考点 30◆类型1向量平行的判定 30◆类型2向量共线求参数 33◆类型3三点共线问题 35◆类型4不共线问题 39题型7用坐标解决线段平行问题 42题型8由坐标解决线段长度问题 48题型9向量线段的定比分点 50题型10参数与取值范围问题 53知识点一.平面向量的坐标表示1.向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数（x，y），使得a=xi＋yj.我们把有序实数对（x，y）称为向量a的（直角）坐标，记作a=（x，y）.始点为原点的向量坐标与其终点坐标的关系如图，作OA=a，即有OA=xi＋yj，,则OA的坐标（x，y）就是终点A的坐标；反过来，点A的坐标（x，y）就是向量OA的坐标。知识点二.平面向量线性运算的坐标表示文字表述符号表示加法两个向量和的坐标等于这两个向量坐标的和若a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ∈R，则：a+b=(x1+x2,y1+y2)减法两个向量差的坐标等于这两个向量坐标的差若a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ∈R，则：ab=(x1x2,y1y2)数乘向量实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标若a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ∈R，则：λa=（λx1，λy1）.向量的坐标表示一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标若A（x1，y1），B（x2，y2），AB=(x2x1,y2y1)知识点三.平面向量数量积的坐标表示条件向量a=（x1，y1），b=（x2，y2）坐标表示ab=x1x2+y1y2文字表述两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和知识点四.平面向量数量积的坐标表示的结论条件结论a=（x，y）|a|=x表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）|向量a=（x1，y1），b=（x2，y2）a⊥b⟺ab=0a，b都是非零向量，a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ是a与b的夹角。cos(2)本质：平面向量数量积的坐标表示及其结论实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来(3)应用：①求向量的模；②求向量的夹角；③判断两个向量垂直.知识点五.向量平行的坐标表示一般地，设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，，则(1)当b≠0，a＝λb.(2)x1y2－x2y1＝0.（充要条件）(3)当x2y2≠0时，eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，即两向量的相应坐标成比例．注意:（1）两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，平行的条件x1y2－x2y1＝0.容易写错，该条件的正确记法为"交叉相乘，差为0"；（2）当两个非零的共线向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个非零的共线向量的对应坐标异号或同为零时，反向。题型1向量坐标与基底【例题1】在下列各组向量中，可以作为基底的是（

）A．e1=0,0，e2=C．e1=3,5，e2=【答案】B【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.【详解】对于A，e1对于B，e1与e对于C，∵e1=对于D，∵e1=−故选：B.【变式11】1.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()e1=0，0，e2=C.e1=3，5，e2【答案】B【解析】A：零向量与任意向量都共线，故不可以作为它们所在平面内所有向量的基底；B：(−1)×7−2×5≠0，所以e1=5，7C：3×10−5×6=0，所以e1=3，5D：2×(−34)−(−3)×12【变式11】2.以下四组向量能作为基底的是（）B．C．D．【答案】B【解析】对于，与共线，不能作为基底；对于，与不共线，能作为基底；对于，与共线，不能作为基底；对于，与共线，不能作为基底，故选B.【变式11】3.已知A(1，－2)、B(2，1)、C(3，2)和D(－2，3)，以eq\o(AB,\s\up13(→))、eq\o(AC,\s\up13(→))为一组基底来表示eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BD,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→)).【解析】eq\o(AB,\s\up13(→))＝(1，3)、eq\o(AC,\s\up13(→))＝(2，4)、eq\o(AD,\s\up13(→))＝(－3，5)、eq\o(BD,\s\up13(→))＝(－4，2)、eq\o(CD,\s\up13(→))＝(－5，1)，∴eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BD,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8)．根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n使得eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BD,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝m·eq\o(AB,\s\up13(→))＋n·eq\o(AC,\s\up13(→))，∴(－12，8)＝m(1，3)＋n(2，4)，也就是(－12，8)＝(m＋2n，3m＋4n)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝－12,3m＋4n＝8))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝32,n＝－22)).∴eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BD,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝32eq\o(AB,\s\up13(→))－22eq\o(AC,\s\up13(→)).题型2用坐标表示平面向量【方法总结】（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标（2）在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标【例题2】如图，a、b、c的坐标分别为______、______、______．【答案】

−4,0；

0,6；

−2,−5.【分析】根据图象，得到向量的起点与终点坐标，即可得出结果.【详解】由图可得，a=−6,0−−2,0=−4,0，b=2,6−【变式21】1.已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】由平面向量基本定理，知①正确；例如，a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．【变式21】2.（2021·高一单元测试）已知O是坐标原点，OA=2,1，有向线段OA绕点O逆时针旋转π2到OBA．1,−2 B．−1,2 C．−2,1 D．−2,−1【答案】B【分析】设B的坐标为x,y，由已知用坐标表示OB及【详解】设B的坐标为x,y，由有向线段OA绕点O逆时针旋转π2可知OB=5且OA⋅OB=0得B点坐标是−1,2.故选：B.【变式21】3若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与eq\o(AB,\s\up6(→))相等，已知A(1，2)、B(3，2)，则x的值为()A．－1B．－1或4C．4D．1或4【答案】A【解析】∵A(1，2)、B(3，2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，0)，又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝2,x2－3x－4＝0))，∴x＝－1.【变式21】4．（2022春·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知A(−1,0)，B(3,0)，C(0,1)，下列点D的坐标中不能使点A、B、C、A．D(2，−1) B．D(4,1) C．D(2,3)【答案】C【分析】利用对边平行且相等逐个分析判断即可【详解】对于A，因为AC=(1,1),DB=(1,1)，所以AC=DB，所以AC=DB对于B，因为AC=(1,1),BD=(1,1)，所以AC=BD，所以AC=BD对于C，因为AC=(1,1),CD=(2,2)，所以CD=2AC，因为CD,AC有公共端点，所以A,C对于D，因为AB=(4,0),DC=(4,0)，所以AB=DC，所以AB=DC故选：C【变式21】5．（2022·高一课时练习）已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若AB和CD是相反向量，则D点坐标是（

）A．(1，0) B．(－1，0)C．(1，－1) D．(－1，1)【答案】C【分析】先由已知条件求出CD的坐标，再设D(x，y)，表示出CD的坐标，从而可求出D点坐标【详解】∵AB与CD是相反向量，∴AB＝－CD.又AB＝(1，1)，∴CD＝(－1，－1).设D(x，y)，则CD＝(x－2，y)＝(－1，－1).从而x＝1，y＝－1，即D(1，－1).故选：C.题型3平面向量线性运算的坐标表示【例题3】设向量a、b的坐标分别是(－1，2)、(3，－5)，求a＋b，a－b，2a＋3b的坐标；【解析】a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(－1＋3，2－5)＝(2，－3)；a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－1－3，2＋5)＝(－4，7)；2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(－2＋9，4－15)＝(7，－11)．【变式31】1．（2021春·江苏徐州·高一统考阶段练习）在▱ABCD中，若AD=2,8，ABA．−1,−12 B．−1,12 C．1,−12 D．1,12【答案】B【分析】根据平行四边形法则及加法的坐标运算，可得结果.【详解】根据平行四边形法则可知，AB+又AD=2,8，∴AC=故选：B.【变式31】2.（2022春·江苏徐州·高一统考期中）向量a  ，b满足a+b=(−1  ，   5)A．(3  ，   4) B．(−3  ，   4) C．(3  ，− 4) D．(−3  ，− 4)【答案】B【分析】根据平面向量坐标运算法则计算可得；【详解】解：因为a+b=−1,5，即2b=−6,8故选：B【变式31】3.若点O(0，0)、A(1，2)、B(－1，3)，且eq\o(OA′,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB′,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，则点A′的坐标为________．点B′的坐标为________，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))的坐标为________．【答案】(2，4)(－3，9)(－5，5)【解析】∵O(0，0)，A(1，2)，B(－1，3)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1，3)，eq\o(OA′,\s\up6(→))＝2×(1，2)＝(2，4)，eq\o(OB′,\s\up6(→))＝3×(－1，3)＝(－3，9)．∴A′(2，4)，B′(－3，9)，eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝(－3－2，9－4)＝(－5，5)．【变式31】4．已知a=3,−2，b=−4,−3，(1)m；(2)m；(3)m的单位向量m0【答案】(1)−5,5(2)52(3)【分析】（1）由平面向量的坐标运算即可求解.（2）由平面向量的模长的坐标运算即可求解（3）由单位向量的定义和坐标运算即可求解.【详解】（1）因为a=3,−2，b=所以m=2（2）由（1）知，m=−5,5，所以（3）m0【变式31】5．在四边形ABCD中，A−2,0,B−1,3,C3,4A．4,2 B．−4,−2 C．8,4 D．−8,−4【答案】A【分析】利用中点坐标公式以及向量的坐标表示求解即可.【详解】因为A−2,0,B−1,3,所以E−32故选：A.题型4由向量线性运算求参数【例题4】已知OA、OB满足OA⋅OB=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设A．63 B．4 C．23 【答案】C【分析】由OA⋅OB=0【详解】根据题意可作出如图所示的几何图形，∵OA⋅OB=0，∴OA⊥OB.∵OC=mOA+nOB，故可分别作向量OC在OA,OB方向上的分向量EC，DC，其中EC=mOA,【变式41】1．已知向量a，b满足2a−b=0,3，aA．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】设出向量a，b的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数【详解】设a=x1,y1，b=x2,y2，所以2x1−x2=02故选：B【变式41】2．正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC=λAMA．65 B．85 C．2 【答案】B【分析】以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，由AC=【详解】以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则AM=1,12，BN=−12,1，AC故选：B．【变式41】3．已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μ【答案】1【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，

记小正方形的边长为1，则c=3,2，a=1,1，所以3=λ+μ故答案为：13题型5平面向量数量积的坐标运算◆类型1向量数量积【例题51】（2023·高一课时练习）已知向量a=1,2，b=【答案】−2【分析】利用平面向量的数量积坐标运算求解.【详解】解：因为向量a=1,2，所以a⋅故答案为：−2【变式51】1．（2023·高一课时练习）已知向量a=−3,4，b=2,5，c=3,−2，则【答案】≠【分析】利用向量数量积运算法则和线性运算法则计算出a⋅b⋅【详解】a⋅b=b⋅c=故a⋅故答案为：≠【变式51】2．（2022·四川乐山·统考一模）向量a=1,2,【答案】−5【分析】根据向量的坐标运算求解即可.【详解】解：因为a=所以2b所以a故答案为：−5【变式51】3.（2023秋·江西萍乡·统考期末）在平面直角坐标系中，向量a,b满足a=【答案】0【分析】根据平面向量的坐标的线性运算求出b，再根据平面向量数量积的坐标运算可求出结果.【详解】因为a=1,1,2所以b=(−1,1)，所以a故答案为：0【变式51】4．（2023秋·山西太原·统考阶段练习）在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,点EA．−14 B．14 C．−16 D．−14【答案】A【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系,找到各个点的坐标,根据2DE=3DC,求出E【详解】解:由题不妨以A为坐标原点,AB,AD方向分别为则A所以DC=23因为2设Ex所以2x解得E3所以AE=所以AE⋅故选:A【变式51】5．（2022春·河南郑州·高一校考阶段练习）在Rt△ABC中，两直角边AB=6，AC=4A．−10 B．−20 C．10 D．20【答案】C【分析】建立适当的坐标系，分别表示出各个点的坐标，再代入到BF+【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设A0,0，B6,0，C0,4，则EBF=−6,2，CE=则BF+故选：C【变式51】6.（2022秋·河北唐山·开滦第二中学校考阶段练习）已知点P2,4,Q1,6，向量EF=A．12 B．−12 【答案】D【分析】根据向量坐标表示及向量数量积的坐标表示即得.【详解】由P2,4,Q1,6可得所以PQ⋅所以λ=1故选：D．◆类型2向量垂直【例题52】（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知平面向量a=(−2y,1)，b【答案】34##【分析】直接由a⊥b得到【详解】由已知平面向量a=(−2y,1)，b∴a解得y=故答案为：34【变式52】1.（2022春·北京·高一期末）设向量a=(3,3)，b=(1,−1)，如果(a+λA．2 B．3 C．3 D．9【答案】C【分析】根据向量的垂直关系得到向量的数量积为0，再将a+λb，a【详解】因为a+所以a+因为a=所以a+所以9−λ所以λ=±3又λ>0所以λ故选：C【变式52】2．（2022秋·江西抚州·金溪一中校考阶段练习）已知向量m=2,−3，n=1,1，若A．−12 B．12 C．2【答案】D【分析】根据(λm−【详解】解：由题意得，λm∵(λ∴2λ∴λ=−2故选：D．【变式52】3.（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）已知向量a=1,2，b=−1,1，若【答案】4【分析】利用向量的线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示，结合向量的数量积坐标表示即可求解.【详解】因为向量a=1,2，所以λa+μ又因为λa所以λa+μb⋅所以μλ的值为4故答案为：4.【变式52】4.（多选）（2023秋·广东·校联考期末）已知向量a=A．b=2,−3 B．向量aC．a+12b=7 【答案】BD【分析】根据向量的加法求出a+b，由两个向量垂直，数量积为零，求出y，然后逐一判断各选项，a在b方向上的投影向量为【详解】已知a=1,3,∵a+b⊥a，∴3×1+3×cosa,b=a∵a+12ba在b方向上的投影向量为a⋅故选：BD.◆类型3向量夹角【例题53】（2023秋·广东·统考期末）已知平面向量a,b满足a=(1,−1),|b|=1,|A．π6 B．π4 C．π3【答案】D【分析】由已知求出a⋅b=−1【详解】解：∵a∴(∴a⋅a+2b=a故选：D.【变式53】1.(2016·北京)已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(eq\r(3)，1)，则a与b夹角的大小为________．【答案】eq\f(π,6)【解析】设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1×\r(3)＋1×\r(3),\r(12＋\r(3)2)·\r(12＋\r(3)2))＝eq\f(2\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2)，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,6).【变式53】2．（2023·全国·专题练习）已知向量a=3,1，b=2，且2aA．π6 B．π4 C．π3【答案】D【分析】根据平面向量的数量积的运算律求解即可.【详解】依题意有2a∴a⋅b=0，a又a−b⋅所以a−b与b的夹角为故选:D．【变式53】3．（2023春·甘肃兰州·校考开学考试）已知|a|=1，b=1,3，(【答案】2π【分析】根据给定条件，求出a⋅【详解】由b=1,3，得|b|=因此(b+a则cos〈a,b〉=a所以向量a与向量b的夹角为2π3故答案为：2π【变式53】4．（2023秋·山东东营·东营市第一中学校考期末）已知非零向量m,n满足m=(−1,3)，m【答案】2π【分析】由已知得m=2，根据m⋅(m−n)=5可推出m⋅【详解】设向量m,由已知可得，m=所以m⋅(m−又n⊥(m+n)则m⋅又m⋅n=−1又0≤θ≤π，所以θ=2π3故答案为：2π3【变式53】5．（2022春·贵州铜仁·统考期末）已知平面向量a=(1+x,x−3),A．π3 B．π4 C．2π【答案】D【分析】先利用数量积的坐标运算求解x，再利用夹角公式求解夹角.【详解】因为a=(1+x,x−3),所以a=(2,−2),b=(0,2)cos〈a,b所以a与b的夹角为3π故选：D.◆类型4利用向量坐标求模长【例题54】（2020春·江苏南京·高一南京市大厂高级中学校考开学考试）设向量BA=(3,−2)，AC=(0,6)，则A．26 B．5 C．26 【答案】B【解析】根据BA=(3,−2)，AC=(0,6)，结合向量加法的三角形法则BC=BA【详解】由BA=(3,−2)，AC=(0,6)∴BC故选：B【点睛】本题考查了向量的坐标运算，结合向量加法法则求向量的模【变式54】1.（2022春·山东东营·高一统考期中）已知向量a=(2,3)，b=(3,2)，则A．2 B．2 C．17 D．5【答案】C【分析】求出2a【详解】∵a=(2,3)，b=(3,2)，∴∴|2a故选：C.【变式54】2.（2022春·广东广州·高一执信中学校考期中）已知向量a,b满足a=5，b=(3,4)，A．5 B．52 C．10 D．【答案】B【分析】由题意求得b=5，结合a【详解】由向量b=(3,4)，可得b因为a=5且a⋅b故选：B.【变式54】3.（2022春·江苏南京·高一统考期末）在平面直角坐标系xoy中，点A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为____【答案】17【分析】根据A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，得到AB=【详解】解：因为A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，所以AB=所以AB+则AB+所以以线段AB，AC为邻边作平行四边形，两条对角线中较长的对角线长为17，故答案为：17【变式54】4.（多选）（2020秋·江苏南通·高一校联考期末）如图，4×6的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA（以图中的格点O为起点，格点A为终点），则（

）A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA是相反向量的共有11个B．满足OA−OB=C．存在格点B，C，使得OAD．满足OA⋅OB=1【答案】BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA是相反向量的共有18个，故A错，以O为原点建立平面直角坐标系，A1,2设B(m,所以(1−m)2+(2−n)2=得B(0,−1)，(2,−1)，(−2,1)共三个，故B当B(1,0)，C(0,2)时，使得OA=若OA⋅OB=1，则m+2n=1，(−3⩽m得B(1,0)，(3,−1)，(−1,1)，(−3,2)共4个，故D故选：BCD．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．◆类型5利用数量积判断锐角钝角【方法总结】由于0≤θ≤π，利用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)来判断角θ时，要注意cosθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ>0有两种情况：一是θ是锐角，二是θ＝0.【例题55】（2022·全国·高一假期作业）已知向量a=(2,1),b=(1,−1)，且a与a【答案】−∞,−5【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于0，且不反向共线，列出不等式，求出实数λ的取值范围.【详解】a+因为a与a+所以a⋅a+且a与a+即21−λ−综上：λ<−5故答案为：−∞,−5.【变式55】1．（2022·高二课时练习）已知向量a=(1,−2)，b=(−1,λ)，若【答案】−【分析】已知〈a,b【详解】解：已知〈a所以a⋅若为相反向量,则两向量共线，有1−1∴λ所以实数λ的取值范围是λ>−12故答案为：−1【变式55】2．（2023·全国·专题练习）已知向量a=1,2，b=2,λ，且a【答案】λ>−1且【分析】利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答.【详解】因向量a=1,2，b=2,λ，且a与b的夹角为锐角，于是得a因此，2+2λ>0且λ−4≠0，解得λ所以实数λ的取值范围是λ>−1且λ故答案为：λ>−1且【变式55】3．（2022秋·北京海淀·人大附中校考期末）已知向量a=x−1,2,b=2,4A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先求a与b夹角为锐角时，x的取值范围，再根据集合的包含关系，判断选项.【详解】当a⋅b=2且当a//b时，4x所以“a与b夹角为锐角时，x的取值范围是x>−3且x所以“a与b夹角为锐角”是“x>−3故选：A【变式55】4．（2023秋·浙江·浙江省永康市第一中学校联考期末）已知向量a=−1,0，b=x,1−x，则A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件【答案】C【分析】若向量a，b夹角为钝角，则满足a⋅b<0【详解】∵又因为向量a，b夹角为钝角所以满足a所以x>0且因为x>0推不出x>0且又因为x>0且x≠1能推出所以x>0是向量a，b故选：C【变式55】5．（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）下面给出的几个关于向量问题的结论中，错误的个数是（

）①a⋅②a⋅③若a⋅b<0，则a与b的夹角θ④已知a=λ,2，b=−3,5，若aA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据向量数量积的计算公式分别计算判断各结论.【详解】结论①：a⋅b=a⋅b⋅cos结论②：a⋅b2结论③：当a⋅b=a⋅结论④：若a与b夹角是锐角，则a⋅b>0，且a，b不共线，即−3λ+5×2>05λ故选：D.【变式55】6..已知A，B，C是平面上三个不同的点，则“AB∙充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【解析】D.A,B,C可能共线，当∠A=180°，ABAC<0,当三角形是钝角三角形时，∠A【变式55】7．（2022春·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）（1）已知点A(2,4),B(−1,−6)，点P是直线AB上一点，且|AP（2）已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为120°,m=2【答案】（1）P的坐标为1,23或3,【分析】（1）设点P的坐标(x,y)，由向量的坐标运算求得AP,AB，由|AP（2）向量m与n夹角为锐角等价于m⋅n>0且m不平行于n【详解】（1）设点P的坐标(x,y得AP=(因为点P是直线AB上一点，且|AP所以AP=13即(或(x解得x=1y=23或x=3y（2）因为|a|=2,|b|=1,a所以a⋅m=−2t因为m与n的夹角为锐角，所以m⋅n>0解得12<t<7，又当m与n共线时有2t综上，实数t的取值范围是12【变式55】8．（2022秋·上海杨浦·统考期中）已知O为坐标原点，OA(1)若A、B、C三点共线，求x的值；(2)若AB与OC夹角为钝角，求x的取值范图.【答案】(1)2(2)(−∞,−6)∪【分析】（1）根据题意结合a∥【详解】（1）AB=∵A、B、C则2×1+(x−4)=0，解得（2）由（1）知AB=(2,−1)∵AB与OC夹角为钝角，可得AB⋅OC若AB与OC平行，则2×3−−1x=0若AB与OC不平行，则x≠−6∴x的取值范围是(−∞,−6)∪题型6向量平行相关考点◆类型1向量平行的判定【方法总结】向量共线的判定方法：(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．【例题61】（2022春·湖南张家界·高一统考期末）已知向量a=(−1,2)，b=(2,−4)，则a与A．平行且同向 B．平行且反向 C．垂直 D．不垂直也不平行【答案】B【分析】由两个向量的坐标得到他们之间的倍数关系，进而判断答案.【详解】根据题意可知，b→=−2a故选：B.【变式61】1.（2022春·江苏镇江·高一校考期中）下列各组的两个向量，共线的是（

）A．a1=−2,3，b1=C．a3=1,−2，b3=【答案】C【分析】根据向量的共线的坐标表示，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由a1=−2,3，b对于B中，由a2=2,3，b对于C中，由a3=1,−2，b对于D中，由a4=−3,2，b故选：C.【变式61】2.若向量a=(1，2)，b=(2，3)，则与a+b共线的向量可以是（

）A．(2，1) B．(6，10)C．(－1，2) D．(－6，10)【答案】B【分析】求出a+【详解】由已知a+b=(3,5)，只有(6,10)=2(3,5)，即只有(6,10)故选：B．【变式61】3.（2023·高一单元测试）两个非零向量a=a1A．aa=bC．a⋅b=【答案】D【分析】由向量平行的条件，结合充要条件的判定，逐个验证选项.【详解】aa表示a方向上的单位向量，bb表示b方向上的单位向量，两个非零向量a，b平行的充要条件是aa非零向量b=b1,b2，b1两个非零向量a，b平行，夹角可能是0∘也可能是180∘，所以a⋅若两个非零向量a，b平行，则存在非零实数k，使a=kb，反之，两个非零向量a，b，若存在非零实数k，使a=k故选：D【变式61】4．（多选）（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知向量a=(1,−2),A．a//b B．a与C．a+b=0 D．【答案】BD【分析】根据向量的坐标运算，共线向量定理和平面向量基本定理逐项分析即得.【详解】由题意，向量a=(1,−2),b=(−1,2)所以a//又由a+因为b−a=(−2,4)，所以b−a故选：BD.◆类型2向量共线求参数【方法总结】利用向量共线求参数值：向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由向量平行求参数值.当两向量的坐标均非零时，可以利用坐标对应成比例来求解【例题62】（2022春·江苏扬州·高一统考期末）已知向量a=2,4，b=1,xA．2 B．−2 C．8 D．−8【答案】A【分析】由平面向量共线的坐标表示可求得x的值.【详解】由已知可得2x=4，解得故选：A.【变式62】1.已知向量a=1,t，b=3,−6A．−12 B．−2 C．12【答案】B【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于t的等式，即可解得t的值.【详解】因为向量a=1,t，b=3,−6，且a故选：B.【变式62】2.已知向量a=1,1，b=−1,3，c=A．6 B．16 C．7 D．【答案】D【分析】求出向量a−λb【详解】由已知a−λb=1+λ,1−3故选：D.【变式62】3．已知向量a=(3,1),b=(0,−1),c=(【答案】1【分析】根据a−2b与【详解】解：因为向量a=(所以a−2又因为a−2b与所以3k解得k=1故答案为：1【变式62】4．a=(1,2)，b=(m,1)，若【答案】12【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求得m的值.【详解】a+2b=(2因为(a+2b)∥(2a故答案为：1【变式62】5.已知平面向量a，b满足a=1,3，(1)若b⃑//a(2)若2a+b【答案】(1)b=1(2)3【分析】（1）运用向量的共线定理表示出b，再根据模长公式建立方程求解即可；（2）根据向量垂直的等价形式求出a·(1)由题意设b=λ1,3，b=λ12(2)∵2a+b即2a2−9故a·b=所以3a◆类型3三点共线问题【方法总结】1.向量三点共线定理：若OC=λOA2.利用向量共线定理.共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量.【例题63】（2021春·江苏徐州·高一统考阶段练习）已知向量AB=(−2,1−x)，BCA．2 B．1 C．2或1 D．2或1【答案】C【解析】由向量共线的坐标运算求得x．【详解】∵A，B，C三点共线，∴AB,BC共线，∴−2=x(1−x故选：C.【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，属于简单题．【变式63】1.（2022春·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知AB=(−1,3),【答案】−【分析】由AB−【详解】AB−则有5(a+1)+3×2a故答案为：−【变式63】2.已知AB=−1,cosα，BC=2,0，CD=2,2sinA．−2 B．−12 C．1【答案】A【分析】先利用向量共线的坐标表示列出关系式，得到正弦和余弦的关系，再求正切即可.【详解】由题意得BD=BC+又A，B，D三点共线，所以AB//BD，即4cosα−2sinα故选：A.【变式63】3.（多选）已知向量a,b不共线，且PQ=a−sinα⋅A．π6 B．5π6 C．7【答案】CD【分析】三点共线即向量共线，由向量共线的坐标运算求得α值再判断．【详解】P､Q､R三点共线，即PQ,即a−sin又a,b不共线，所以1=2k−sinα=k，sin故选：CD．【变式63】4.若三点A2,2，Ba,0，C【答案】8【分析】由三点共线得出a,【详解】因为三点A2,2，Ba,0，C0,b所以BA与CA共线，所以(2−a)(2−b因为2(a+b又a>0,b>0，故解得a+b故答案为：8．【变式63】5．已知a=(1,0)，b(1)当k为何值时，ka+b(2)若AB=a+3b，BC=【答案】(1)k=−1【分析】（1）由已知求得ka+b（2）由已知求得AB,【详解】（1）解：∵a=(1,0)，b=(2,1)，∴k又ka+b与a−2b（2）解：AB=a+3∵A、B、C三点共线，∴−7m−3(1−2【变式63】6.（2021·高一单元测试）已知平面直角坐标系中，点O为原点，A1,3，B2,1，C（1）若OA⊥BC，求实数（2）若A，B，C三点共线，求实数m的值．【答案】（1）13；（2）−3【分析】(1)先求出向量OA，BC的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求值；(2)先求出向量AB，BC的坐标，由A，B，C三点共线得向量AB与BC共线，再由向量共线的坐标表示求值.【详解】(1)由题知，OA=1,3，若OA⊥BC，则2+3m(2)由题知，AB=1,−2，若A，B，C三点共线，则向量AB与BC共线，有1×m−1−【变式63】7．（2022·高一单元测试）已知向量OA=3,−4，OB=(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；(2)若∠ABC为锐角，求实数m【答案】(1)1(2)−【分析】（1）根据向量运算得AB=3,1，（2）结合题意得BA⋅BC>0且BA【详解】（1）解：因为OA=3,−4，OB=所以AB=OB−因为A，B，C三点共线，所以AB与BC共线，所以−3m+m所以实数m的值1（2）解：因为向量OA=3,−4，OB=所以BA=OA−因为∠ABC所以BA⋅BC>0且BA与BC不共线，即3m+3+所以，实数m的取值范围是−◆类型4不共线问题【例题64】（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）下列向量组中，能作为基底的是（

）A．e1=(0,0),eC．e1=(3,5),e【答案】B【分析】能作基底的两个向量不共线，判断各选项中的两个向量是否共线即可得解.【详解】对于A，因e1=0，则有e1//对于B，因e1=(−1,2),e2=(5,7)，−1⋅7−2⋅5≠0，则有e1与对于C，因e1=(3,5),e2=(6,10)，则有e对于D，因e1=(2,−3),e2=(12故选：B【变式64】1.（多选）（2022春·河北邯郸·高一校联考期中）下列两个向量，不能作为平面中一组基底的是（

）A．e1=1,2，e2=C．e1=1,2，e2=【答案】BC【分析】判断两向量是否平行，如平行则不可以作为基底；【详解】解：A，D选项，e1，eB选项，零向量和任意向量平行，所以e1，eC选项，2e1=e2故选：BC.【变式64】2.（多选）（2022·江苏·高一专题练习）（多选题）已知向量OA＝（1，－3），OB＝（2，－1），OC＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（）A．－2 B．12 C．1 【答案】ABD【分析】先求AB与AC，使之共线并求出m的值，则A，B，C三点不共线即可构成三角形，因此m取共线之外的值即可．【详解】因为AB=AC=假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形.故选：ABD．【变式64】3.（2021·高一课时练习）设OA→=2,−1，OB→=3,0，【答案】m【分析】由题知A,B,C三点不共线，进而转化为【详解】∵A,∴AB→，AC又∵AB→=1,1∴1×4−1×(m−2)≠0.解得∴m的取值范围是mm故答案为：m【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于由已知将问题转化为A,B,C三点不共线，进而转化为【变式64】4．（2023·高一课时练习）若A1,2，B5,−4，【答案】−10【分析】由题设知三点共线，结合AB=λAC【详解】由三点不能构成三角形，即三点共线，且AB=(4,−6)，AC所以AB=λAC且λ∈R，则故答案为：−10题型7用坐标解决线段平行问题【例题7】（2022春·湖北·高一洪湖市第一中学校联考阶段练习）顺次连接点A(1,1)，B(2,3)，C(4,0)A．等腰梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形【答案】B【分析】由题可得AB=(1,2),【详解】因为A(1,1)，B(2,3)，C(4,0)所以AB=(1,2),DC=(1,2),∴AB∥DC,AB=DC，且所以四边形ABCD是平行四边形.故选：B.【变式71】1．（多选）（2022春·广东广州·高一广州科学城中学校考期中）已知A3,2，B5,4，C6,7，则以A，B，CA．4,5 B．8,9 C．2,−1 D．3,−1【答案】ABC【分析】D点位置不确定，分为平行四边形ABCD，平行四边形ABDC，平行四边形ACBD三种情况讨论【详解】设D点的坐标为Dx若是平行四边形ABCD，则有AB=可得5−3,4−2=6−x,7−故所求顶点D的坐标为D4,5所以A正确若是平行四边形ABDC，则有AB=可得5−3,4−2=x−6,y故所求顶点D的坐标为D8,9所以B正确若是平行四边形ACBD，则有AC=可得6−3,7−2=5−x,4−y故所求顶点D的坐标为D2,−1所以C正确故选：ABC【变式71】2．（2020·高一课时练习）已知A(−2,4),C(−3,−4)【答案】(0,20)【解析】设M(x,【详解】∵CA=(−2+3,4+4)=(1,8),∴CM设M(x,y)所以M(0,20)故答案为：(0,20)【点睛】此题考查根据点的坐标表示向量，根据向量关系求解未知点的坐标.【变式71】3．（2019·高一课时练习）已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，直线CD⊥AB，且CB∥AD，则点D的坐标是__________【答案】(0,1)【分析】设D（x，y），由CD⊥AB,得CD•AB＝0，又由CB∥AD得【详解】根据题意，设D（x，y），则CD＝（x﹣3，y）AB＝（1，3），CB＝（1，2），AD＝（x﹣1，y+1）；若CD⊥AB，则CD•AB＝（x﹣3）若CB∥AD，则CB∥由①②得x＝0，y＝1；所以D的坐标为（0，1）；故答案为：（0，1）．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示以及向量数量积的坐标计算，也考查了转化思想，属于基础题.【变式71】4．（2022春·广西钦州·高一统考期末）如图，在平面直角坐标系中，|OA|=2|AB|=2，(1)求点B的坐标；(2)求证：OC//【答案】(1)5(2)证明见解析【分析】（1）根据∠OAB=2π3（2）先求得OC=32【详解】（1）由题意，因为∠OAB=2π3，|AB（2）由题意，OC=OB+BC=52,【变式71】5．（2021春·高一课时练习）如图，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB,AB=2求证：（1）DE//（2）D，M，B三点共线.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形AECD为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可；（2）用向量证明MD//MB，结合MD与【详解】以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图.令|AD|=1，则|CD|=1,|AB所以四边形AECD为正方形，所以各点坐标分别为E(0,0),（1）因为ED=(−1,1)−(0,0)=(−1,1)，BC所以ED=BC，即（2）因为M为EC的中点，所以M0,所以MD=(−1,1)−0,1所以MD=−MB，所以又MD与MB有公共点，所以D，M，B三点共线.【变式71】6．（2022春·江苏常州·高一华罗庚中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，OA=2AB=4，（1）求点B,（2）求证：四边形OABC为等腰梯形．【答案】（1）B5,3；【分析】（1）先根据OA=2AB=4，∠（2）利用向量的坐标可得OC//AB,计算模可得【详解】解：（1）设Bx,yy=∴B∴OC∴C（2）证明：连接OC,∵OC=3,3∴OC=3AB，∴又OA=4，BC∴OA∴四边形OABC为等腰梯形.【变式71】7．（2022·高一课时练习）已知点O(0,0）,A(1,2),（1）若点P在第二象限，求t的取值范围,（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．【答案】（1）−1<t<−【详解】试题分析：（1）首先写出向量OP的坐标，即点P的坐标，根据点在第二象限，列不等式求t的取值范围；（2）若是平行四边形，只需满足OP=AB，验证是否存在试题解析：(1)OP=由题意得2t+1<02(2)若四边形OABP要是平行四边形，只要OP=而AB=(2,2)，OP=(2t所以四边形OABP不可能是平行四边形.题型8由坐标解决线段长度问题【例题8】设OA=1,1，OB=3,0，【答案】5【分析】根据向量的坐标求出向量的模，发现向量的模之间满足勾股定理即可进一步得解.【详解】OA=1,1所以AB=所以AB=同理AC=22所以AB2所以△ABC所以S△故答案为：5.【变式81】1．已知点A1,−2，若向量AB与a=2,3同向，AB=213，则点【答案】（5，4）【分析】设Bx,y，则AB=λa，λ>0【详解】设Bx,y，则AB=λa，AB=λa=λ故答案为：5,4.【点睛】本题考查了向量平行，向量的模，意在考查学生的计算能力和转化能力.【变式81】2．已知平面内的点A2,0，Bx,y，C1,3，若四边形OABC【答案】3【分析】由OB=【详解】由向量的平行四边形法则知，OB=∴|OB故答案为：32【点睛】本题考查了向量的模和平面向量的坐标运算，属于容易题.【变式81】3．已知向量a=2,−1，b=(1)2a(2)3a(3)b−2【答案】(1)（−2,16）(2)3(3)−【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示计算；（2）求出3a（3）求出b−2(1)2(2)因为3a−2(3)因为b−2c=−5,10，所以【变式81】4．平面内给定三个向量a=(3,2),（1）求满足a=（2）若(a（3）设d=(x,y)满足(【答案】（1）m=59,n=8【解析】(1)根据向量的坐标运算求解即可.(2)分别求得(a(3)根据平行与模长的公式列式求解d=(【详解】（1）∵a=mb+nc（2）∵(a+k解得k=−（3）∵d−c=(∴4(x−4)−2(y−1)=0,∴d=20+5【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算以及平行的与模长的公式,属于中等题型.题型9向量线段的定比分点【方法总结】线段定比分点的定义：如图所示，设点P(x，y)是线段P1P2上不同于P1，P2的点，且满足P1PPλ叫做点P分有向线段P1P2所成的比，P点叫做有向线段P(2)定比分点的坐标表示：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－x1＝λx2－x，,y－y1＝λy2－y，))当λ≠－1时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋λx2,1＋λ)，,y＝\f(y1＋λy2,1＋λ).))则点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).特别地，①当λ＝1时，点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，这就是线段P1P2的中点坐标公式；②若λ<0，则点P在P1P2的延长线或其反向延长线上，由向量共线的坐标表示及平行向量基本定理同样可得点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).【特例】已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是线段P1P2的中点，则点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；若P是线段P1P2上距P1较近的三等分点，则P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x1＋x2,3)，\f(2y1＋y2,3)))；若P是线段P1P2上距P2较近的三等分点，则P点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋2x2,3)，\f(y1＋2y2,3))).【例题9】线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1，5)，(2，3)，且M1M=−2A．(3，8)B．(1，3)C．(3，1)D．(－3，－1)【答案】C设M(x，y)，利用线段定比分点的坐标公式，得x＝eq\f(1＋－2×2,1＋－2)＝3，y＝eq\f(5＋－2×3,1＋－2)＝1.【变式91】1.已知两点P1(3，2)，P2(－8，3)，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，y))满足eq\o(P1P,\s\up16(→))＝λeq\o(PP2,\s\up16(→))，求λ及y的值．【解析】解法一：因为eq\o(P1P,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－3，y－2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，y－2))，eq\o(PP2,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－8－\f(1,2)，3－y))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,2)，3－y))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，y－2))＝λ－eq\f(17,2)，3－y)．，根据向量相等，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)＝－\f(17,2)λ，,y－2＝λ3－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(5,17)，,y＝\f(49,22).))解法二：因为P1(3，2)，P2(－8，3)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，y))，所以点P分eq\o(P1P2,\s\up16(→))所成的比λ＝eq\f(\f(1,2)－3,－8－\f(1,2))＝eq\f(5,17).由定比分点的坐标公式得y＝eq\f(2＋\f(5,17)×3,1＋\f(5,17))＝eq\f(49,22).【变式91】2.设点A(2，0)、B(4，2)，点P在直线AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，则点P的坐标为________．【答案】(3，1)或(1，－1)【解析】∵点P在直线AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，当点P在线段