7.2 勾股定理 同步练习

第7章实数7.2勾股定理基础过关全练知识点1勾股定理1.若直角三角形的两边长分别为5与4，则它的斜边长是()A.5 B.41 C.3或41 D.5或2.如图，△ABC的顶点A，B，C在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为()A.45 B.85 3.我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是由商高发现的，故又称之为“商高定理”.三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是() A B C D4.下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是2，3，1，2，则正方形E的面积是.

5.如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BD⊥AD，AB=10，AD=8，求OB的长及▱ABCD的面积.知识点2勾股定理的应用6.如图，已知鱼竿AC的长为10m，露在水面上的渔线BC的长为6m，某钓鱼者想看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'的长为8m，则BB'的长为()A.1m B.2m C.3m D.4m7.下图是一段楼梯，高BC是5米，斜边AC的长是13米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯米.

8.如图，小巷左右两侧是高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙上时，底端O到左墙底端C的距离为0.7米，顶端B到左墙顶端A的距离为0.6米.保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上时，底端O到右墙底端F的距离为1.5米，顶端E到右墙顶端D的距离为1米，则墙的高度为多少米?9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5，DF=3，则下列结论错误的是()A.AD=10 B.DC=3 C.AE=5 D.AC=910.如图，一张纸片的形状为直角三角形，其中∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，沿直线AD折叠该纸片，直角边AC与斜边上的AE重合，则CD的长为cm.

11.在△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上的高AD=12，则△ABC的面积是.

12.如图，为了测量风筝的高度CE，测得如下数据：①BD的长为8米(注：BD⊥CE)；②放出的风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的同学的身高为1.60米.(1)求风筝的高度CE；(2)若该同学想让风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米?素养探究全练13.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一种新的证明勾股定理的方法，如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到四边形AB'C'D'的位置，连接CC'，AC，AC'，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC'D'的面积证明勾股定理.14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，动点P从点B出发沿射线BC以每秒1个单位长度的速度移动，设运动的时间为t秒.(1)BC=，AB边上的高h=；

(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；(3)当△ABP为直角三角形时，求t的值. 备用图

第7章实数7.2勾股定理答案全解全析基础过关全练1.D分两种情况考虑：①5与4是两条直角边长，根据勾股定理，得斜边长=52+42.C由勾股定理，得AC=42+32=5.如图，过点A作AE⊥BC于E，则AE=4，BC=4，∵S△ABC=12BC·AE=12AC·BD3.DA.由题意得c2=4×12ab+(b-a)2=a2+b2，故A不符合题意；B.由题意得2×12ab+12c2=12(a+b)(a+b)，∴a2+b2=c2，故B不符合题意；C.由题意得(a+b)2=4×12ab+c4.18解析如图，设正方形F、G、E的边长分别为x、y、z，由勾股定理，得x2=22+32=13，y2=12+22=5，z2=x2+y2，∴z2=18，∴正方形E的面积为18.5.解析∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD=12BD.∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，AB=10，AD=8，∴BD=AB2−AD2=102−6.B在Rt△ABC中，AC=10m，BC=6m，∴AB=AC2−BC2=102−62=8(m)，在Rt△AB'C'中，AC'=10m7.17解析∵△ABC是直角三角形，BC=5米，AC=13米，∴AB=AC2∴若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯AB+BC=12+5=17(米).8.解析设墙的高度为x米，由题意知OC=0.7米，AB=0.6米，OF=1.5米，DE=1米，则BC=AC-AB=(x-0.6)米，EF=DF-DE=(x-1)米，在Rt△OBC中，根据勾股定理，得OB2=BC2+OC2=(x-0.6)2+0.72，在Rt△OEF中，根据勾股定理，得OE2=EF2+OF2=(x-1)2+1.52，∵OB=OE，∴OB2=OE2，∴(x-0.6)2+0.72=(x-1)2+1.52，∴x=3.答：墙的高度为3米.能力提升全练9.A∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DF⊥AB，∴CD=DF=3，选项B结论正确；∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，选项C结论正确；在Rt△CED中，∠C=90°，∴CE=DE2−CD2=4，∴AC=AE+EC=5+4=9，∴AD=10.3解析在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴AB=AC2+BC2=62+82=10.∵沿直线AD折叠该纸片，直角边AC与斜边上的AE重合，∴AE=AC=6，DE=DC，∠AED=∠C=90°，∴BE=AB-AE=10-6=4.设CD=x，则BD=8-x，DE=x，在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD211.84或24解析分两种情况考虑：(1)当△ABC是锐角三角形时(如图1)，在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AB2−AD2=132−122=25=5，在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD=AC2−AD2=图1图212.解析(1)由题意，得四边形ABDE为矩形，∴AB=DE=1.6米.在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=BC2∴CE=CD+DE=15+1.6=16.6(米).答：风筝的高度CE为16.6米.(2)如图，由题意得CM=9米，∴DM=CD-CM=6米，在Rt△MDB中，由勾股定理，得BM=BD2+D答：他应该往回收线7米.素养探究全练13.证明由题意可得四边形BCC'D'为直角梯形，其面积为12(C'D'+BC)·BD'=12(a+b)(a+b)，其面积又为△AC'D'，△AC'C和△ABC的面积和，即12ab+12c2+12ab，∴1214.解析(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB2−AC2=52−32=(2)分三种情况考虑；①当AB=BP=5时，如图1，t=5；②当AB=AP=5时，如图2，∵AC⊥BP，∴BP=2BC=8，∴t=8；③当BP=AP时，如图3，由题意可得AP=BP=t，CP=4-t，AC=3，在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP2=AC2+CP2，所以t2=32+(4-t)2，解得t=258.综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值为5或8或25图1 图2