7.4 勾股定理的逆定理 同步练习

第7章实数7.4勾股定理的逆定理基础过关全练知识点1勾股定理的逆定理1.以下列各组数为长度的三条线段不能构成直角三角形的是()A.4，5，6 B.1，2，3 C.6，8，10 D.5，12，132.五根小木棒的长度(单位：cm)分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是() A B C D3.若△ABC的三边长为a、b、c，其中b=1，且(a-1)2+|c-2|=0，则△ABC的形状为.

4.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=15，D是AB上一点，BD=9，CD=12.(1)求证：CD⊥AB；(2)求AC的长.5.在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角处清理出了一块可以绿化的空地，如图.已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，∠ABC=90°.若每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元.知识点2勾股数组6.下列各组数是勾股数组的是()A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.3，4，5能力提升全练7.下列给出的条件中，不能判定三角形为直角三角形的是()A.三个内角的度数之比是1∶2∶3 B.三个外角的度数比为2∶3∶4C.三边长之比为5∶12∶13 D.三边长的平方之比是1∶3∶48.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，若甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿方向航行.

9.在如图所示的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则∠CAB+∠CBA=°.(每个小正方形的边长为1)

10.如图，点P是等边△ABC内的一点，PA=6，PB=8，PC=10.若点P'是△ABC外的一点，且△P'AB≌△PAC，则∠APB的度数为.

11.台风是一种自然灾害，它是以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成的极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向由A向B运动，已知点C为一海港，且AC=300km，BC=400km，AB=500km，距离台风中心250km以内会受影响.(1)求∠ACB的度数；(2)海港C会受台风影响吗?为什么?(3)若台风的运动速度为20km/h，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F处时，海港C刚好不受影响，即CE=CF=250km，则台风影响该海港持续的时间有多长?素养探究全练12.如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，边OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，已知A(a，0)，C(0，b)，其中a，b满足|a-4|+(b-6)2=0，点P从点O出发沿OA以1cm/s的速度向点A移动，同时点Q从点B出发沿BA以1cm/s的速度向点A移动，设运动时间为ts(0≤t≤4).(1)求出a，b的值；(2)当t=2时，判断△PCQ的形状，并说明理由.

第7章实数7.4勾股定理的逆定理答案全解全析基础过关全练1.A42+52≠62，选项A不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形；12+(3)2=22，62+82=102，52+122=132，选项B、C、D符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形.2.C72+242=252，152+202=252，故选C.3.等腰直角三角形解析∵(a-1)2+|c-2|=0，(a-1)2≥0，|c-2|≥0，∴(a-1)2=0，|c-2|=0，∴a=1，c=2，又∵b=1，12+12=(2)2，∴a2+b2=c2，a=b，∴△ABC是等腰直角三角形.4.解析(1)证明：因为BD2+CD2=92+122=225，BC2=152=225，所以BD2+CD2=BC2，所以△CDB为直角三角形，且∠CDB=90°，所以CD⊥AB.(2)设AC=x，因为AC=AB，BD=9，所以AD=AB-BD=x-9，又由(1)知，CD⊥AB，所以AC2=AD2+CD2，所以x2=(x-9)2+122，解得x=252，故AC的长为255.解析如图，连接AC，∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，∴AC=AB∵CD=17m，AD=8m，∴AD2+AC2=DC2，∴△DAC是直角三角形，且∠DAC=90°，∴S△DAC=12AD·AC=12×8×15=60(m2)，S△ACB=1∴S四边形ABCD=60+54=114(m2)，则绿化这片空地共需花费150×114=17100(元).答：绿化这片空地共需花费17100元.6.A因为62+82=102，且6，8，10都是正整数，所以6，8，10是勾股数组.故选A.能力提升全练7.B选项A，三角形的最大内角的度数是180°×31+2+3=90°，所以三角形是直角三角形；选项B，三角形的最小外角的度数是360°×22+3+4=80°，所以三角形的最大内角的度数是180°-80°=100°>90°，所以三角形是钝角三角形；选项C，设三角形的三边长分别为5a，12a，13a，a>0，因为(5a)2+(12a)2=(13a)2，所以三角形是直角三角形；选项D，设三角形的三边长的平方分别为m，3m，4m，m>0，因为m+3m=4m8.北偏东50°解析由题意可知AP=12，BP=16，AB=20，∠APN=40°，因为122+162=202，所以AP2+BP2=AB2，所以△APB是直角三角形，且∠APB=90°，所以∠BPN=∠APB-∠APN=90°-40°=50°，故乙船沿北偏东50°方向航行.9.45解析由题图可知，AD2=CD2=22+12=5，AC2=32+12=10，所以AD2+CD2=AC2，AD=CD，所以△ADC是等腰直角三角形，且∠ADC=90°，所以∠ACD=∠DAC=45°，所以∠CAB+∠CBA=∠ACD=45°.10.150°解析连接PP'(图略)，因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC=60°，因为△PAC≌△P'AB，所以PA=P'A，∠P'AB=∠PAC，PC=P'B=10，所以∠P'AP=∠BAC=60°，所以△APP'为等边三角形，所以PP'=AP=AP'=6，∠APP'=60°.因为62+82=102，所以PP'2+BP2=BP'2，所以△BPP'为直角三角形，且∠BPP'=90°，所以∠APB=∠BPP'+∠APP'=150°.11.解析(1)∵3002+4002=5002，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°.(2)海港C会受台风影响.理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴12AC·BC=12CD·AB，∴CD=240km.∵(3)由题意，得EC=FC=250km，CD⊥AB，∴FD=ED=EC2−CD∵台风的运动速度为20km/h，∴140÷20=7h.答：台风影响该海港持续的时间为7h.素养探究全练12.解析(1)∵|a-4|+(b-6)2=0，|a-4|≥0，(b-6)2≥0，∴a-4=0，b-6=0，∴a=4，b=6.(2)当t=2时，△PCQ是等腰直角三角形，理由如下：由题意可知OP=t，BQ=t，∴AP=4-t，AQ=6-t，当t=2时，OP=2，BQ=2，AQ=4，AP=