利用函数图象研究函数性质及新题型（原卷版）

专题18利用函数图象研究函数性质及新题型

题型一、利用函数图象研究函数性质

第一步：确定函数自变量取值范围；

第二步：列表、描点、连线；

第三步：根据函数图象解答相关题目.

题型二、定义新题型

提出一些新颖的概念，根据概念解答相关题型.

典例剖析

Y—2

【例1】(2019•开封模拟)参照学习函数的过程与方法，探究函数＞一(x=0)的图象与性

x

质.

因为丁二巳==1—一，即＞二——+1,所以我们对比函数y=——来探究.

XXXX

列表:

1

X・・・-4-3-2-11234•・・

~22

2・・・2_2・・・

y=一—124-4-2-1

X23~2

x—2351

y=・・・235-3-10.・・

X2332

x—2

描点：在平面直角坐标系中，以自变量X的取值为横坐标，以歹=——相应的函数值为纵坐标，描出

X

相应的点，如图所示:

yk

4

.,2-

--------------------十------------------------

।।।।।_।I।।।

-5-4-3-2-1O12345%

-1--

-2-

-3

-4-

(1)请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来.

(2)观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当x<0时，y随x的增大而；(填“增大”或“减小”)

②歹=三二的图象是由J=—-的图象向平移个单位而得到;

XX

③图象关于点中心对称.(填点的坐标)

x—2

(3)函数>=----与直线y=-2x+l交于点/,B,求A4O5的面积.

X

【变式1-1](2019•郑州模拟)探究函数》=工+色的图象与性质

X

4

(1)函数了=x+2的自变量X的取值范围是；

X

(2)下列四个函数图象中可能是函数y=x+4的图象的是

X

.

拓展运用

(4)若函数y=XTX+9,则了的取值范围是.

X

【例2】（2018•洛阳三模）在平面直角坐标系中，我们定义直线厂"一a为抛物线尸OX2+6X+C（a、b、

c为常数，a#0）的“梦想直线”.有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三

角形”.

已知抛物线y=-手/-Rx+26与其“梦想直线”交于48两点（点/在点8的左侧），与x

轴负半轴交于点C.

（1）填空该抛物线的“梦想直线”的解析式为，点/的坐标为，点8

的标为;

（2）如图，点M为线段C2上一动点，将△/CM以所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N,

若为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点R使得以点工、

C、E、尸为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点£、尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式2-1］（2019•安阳一模）如果一条抛物线y=aN+6x+c（a#0）与x轴有两个交点，那么以抛物

线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，［a,b,c］称为“抛物线系

数”.

（1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是（填“真”或“假”）命题；

（2）若一条抛物线系数为［1,0,-2］,则其“抛物线三角形”的面积为；

（3）若一条抛物线系数为［-1,2b,0］,其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式

（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为4与x轴交于O,8两点，在抛物线上是否存在一点尸,

过尸作尸。上》轴于点°,使得0s△O4B?如果存在，求出尸点坐标；如果不存在，请说明理由.

压轴精练

V2

1.(2018•逆袭卷)有这样一个问题：探究函数y=—的图象与性质.

2x+2

下面是小强的探究过程，请补充完整:

2

(1)函数y=的自变量X的取值范围

2x+2

(2)下表是y与x的几组对应值.

・・・•・・

X-5-4-3-20123

_25_89j_29

・・・-20・・・

~~8-34438

如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.

点生和当，43和品，4和国均关于某点中心对称，则该点

的坐标为.

r2

②小文分析函数y=—的表达式发现：当xv・l时，函数的最大值为-2,则该函数图象在直线尸.1

2x+2

左侧的最高点的坐标为

(3)画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质

2.(2019・偃师一模)如图，抛物线尸aN+bx+4(20)交为轴于点4(4,0),2(-2,0),交y轴于点

c.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点。是x轴上位于点，，8之间的一个动点，点£为线段8C上一个动点，若始终保持/£08=

/CAB,连接CQ,设ACOE的面积为S,点。的横坐标为加，求出S关于加的函数关系式，并求出当S

取最大值时点。的坐标.

(3)点P为抛物线上位于AC上方的一个动点，过点P作PFLy轴，交直线AC于点F,点、D

的坐标为(2,0),若O,D,尸三点中，当其中一点恰好位于另外两点的垂直平分线上时，我们把这个点

叫做另外两点的“和谐点”，请判断这三点是否有“和谐点”的存在，若存在，请直接写出此时点尸的坐

标；若不存在，请说明理由.

3.(2019•三门峡二模)定义：在平面直角坐标系xQy中，把从点尸出发沿纵或横方向到达点。(至

多拐一次弯)的路径长称为P,。的“实际距离”.如图，若尸(-1,1),Q(2,3),则P,0的“实际距

离”为5,即尸S+S0=5或尸a7。=5.环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具.设

B,C三个小区的坐标分别为/(3,1),B(5,-3),C(-1,-5),若点M表示单车停放点，且满足M

至I]/,B,C的“实际距离”相等，则点”的坐标为()

A.(1,-2)B.(2,-1)C.-1)D.(3,0)

2

4.(2019•开封模拟)【阅读理解】

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线段与某一短

边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.

(1)如图1,ZUBC是等边三角形，点。是边3c下方一点，NBDC=120°,探索线段。/、DB、

DC之间的数量关系.

解题思路延长DC到点£,使CE=BD,连接根据/A4C+/ADC=180°,可证

易证得△48。g△NCE,得出是等边三角形，所以从而探寻线段D/、DB、。。之间的数

量关系.

根据上述解题思路，请直接写出94、DB、DC之间的数量关系是；

【拓展延伸】

(2)如图2,在必△48C中，/B4c=90°,AB=4C.若点。是边2c下方一点，ZBDC=90°,探

索线段1、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

(3)如图3,两块斜边长都为14c加的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间

的距离PQ的长分别为cm.

图1图2图3

5.(2019•郑州联考)如图1,在及△4BC中,N/=90°,AB=AC,点。，£分别在边48,AC±,

AD^AE,连接DC,点跖P,N分别为DE,DC,3c的中点.

(1)观察猜想:

图1中，线段尸”与PN的数量关系是，位置关系是；

（2）探究证明：

把△/£>£绕点/逆时针方向旋转到图2的位置，连接MV,BD,CE,判断的形状，并说明理

（3）拓展延伸：

把绕点/在平面内自由旋转，若40=4,42=10,请直接写出面积的最大值.

6.（2019•平顶山三模）已知△4BC,AB=AC,。为直线3c上一点，E为直线NC上一点，AD^AE,

设/BAD=a,/CDE=B，

（1）如图1,若点。在线段3c上，点E在线段NC上.ZABC^60°,NADE=70°,则a

=。；B=

（2）如图2,若点。在线段8c上，点£在线段/C上，则a,£之间有什么关系式？说明理由.

（3）是否存在不同于（2）中的a,万之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），

说明理由；若不存在，请说明理由.

图1图2

4

7.（2019•郑州外国语模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线严b+左与双曲线y=—（x>0）交

x

于点4(1,a).

(1)求a,k的值;

（2）已知直线I过点。（2,0）且平行于直线产入+匕点P（m,几）,（冽>3）是直线/上一动点，过点P作坐标

轴的平行线，交双曲线y=3于点M、N,双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、7W所围成的区域（不

含边界）记为W.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.

①当加=4时，直接写出区域沙内的整点个数;

②若区域沙内的整点个数正好是8个，结合图象，求机的取值范围.

8.（2019•郑州外国语模拟）如图，一段抛物线尸-N+4（-2WxW2）为G，与无轴交于4、4两点,

顶点为。1；将G绕点4选择180°得到。2,顶点为。2；G与。2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线/

与新图象交于点尸1（X1，%），尸2（X2/2），与线段AA交于点B（X3，夕3），设Xi,X2,X3均为正数，Z=XI+X2+^3>

则/的取值范围是（

■>

X

5

A.6<fW8B.6W/W8C.10<?^12D1OW02

9.（2019•南阳二模）如图，在8x8的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方

形的顶点称为格点.如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线

的“内接格点三角形”.设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线0M的两个交点为N,B,其顶点为

C,如果△N8C是该抛物线的内接格点三角形，且N3=30，点4B,C的横坐标物，XB，M满足茏4V

4＜期，那么符合上述条件的抛物线的条数是.

10.（2017•禹州市二模）有这样一个问题：探究函数＞=」炉+_1的图象与性质，小东根据学习函数的经