立体几何中的截面问题（学生版）-2025高考数学一轮复习讲义

第51讲立体几何中的截面问题

知识梳理

解决立体几何截面问题的解题策略.

1、坐标法

所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解

决立体几何问题增添了一种代数计算方法.

2、基底法

所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理

作为依托，其理论依据是：若四点E、F、G、〃共面，P为空间任意点，则有：

结论1：若函与由不共线，那么访=2旃+〃而；

结论2：丽=4万+〃用+〃丽(丸+〃+〃=1).

3、几何法

从几何视角人手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定

定理以及平面几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位

置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明.

必考题型全归纳

题型一：截面作图

例1.(2024・全国•高一专题练习)如图，正方体/3。0-4片。1〃的棱长为6,河是4片的

中点，点N在棱CQ上，且GV=2NCr作出过点M,N的平面截正方体/BCD-4月

所得的截面，写出作法;

1

例2.（2024•江苏•高一专题练习）如图，棱长为2的正方体中，E,尸分别

是棱44/,CG的中点，过£作平面使得a//平面

⑴作出a截正方体/2CD-/,aD/所得的截面，写出作图过程并说明理由;

（2）求平面«与平面BDF的距离.

例3.（2024・全国•高一专题练习）（1）如图，棱长为2的正方体48co中，M,

N是棱44，4。的中点，在图中画出过底面48co中的心。且与平面4WN平行的平面在

正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：

（2）作出平面PQ?与四棱锥/BC0E的截面，截面多边形的边数为.

2

变式1.（2024・全国•高一专题练习）如图①，正方体/BCD-4片GA的棱长为2,尸为线

段8C的中点，。为线段CG上的动点，过点A、P、。的平面截该正方体所得的截面记为S.

（1）若1<CQ<2,请在图①中作出截面S（保留尺规作图痕迹）；

（2）若CQ=1（如图②），试求截面S将正方体分割所成的上半部分的体积匕与下半部分的

体积%之比.

变式2.（2024・全国•高一专题练习）如图，已知正方体48co-44G2，点E为棱CG的

中点.

3

⑴证明：/q〃平面BDE.

（2）证明：ACtlBD.

（3）在图中作出平面截正方体所得的截面图形（如需用到其它点，需用字母标记并说明位

置），并说明理由.

变式3.（2024•江苏•高一专题练习）已知正方体N3CO-4耳G2是棱长为1的正方体，M

是棱陷的中点，过C、4、M三点作正方体的截面，作出这个截面图并求出截面的面积.

题型二：截面图形的形状、面积及周长问题

例4.（2024•全国•高三专题练习）如图，正方体/BCD-451GA的棱长为1,P为3c的中

点，0为线段CG上的动点，过点4,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为£则下列命

题中正确命题的个数为（）

4

G

①当0<CQ〈g时，S为四边形；

②当C0=g时，S为等腰梯形；

③当。。二:时，s与GA的交点片满足Ga=；；

3

④当<CQ<1时，S为六边形；

4

A.1B.2C.3D.4

例5.（2024・四川成都•高二双流中学校考期中）已知正方体N3CD-44GA的棱长为

1,M,N为线段8C,CG上的动点，过点4,的平面截该正方体的截面记为S,则下列命

题正确的个数是（）

①当3M=0且0<CN<l时，S为等腰梯形；

②当M,N分别为BC,cq的中点时，几何体4-D\MN的体积为，；

31

③当〃■为中点且CN=：时，S与£2的交点为&,满足GR=：；

46

④当M为3c中点且0VCNV1时，S为五边形.

A.1B.2C.3D.4

例6.（2024・全国•高一专题练习）如图正方体MCD-451GA，棱长为1,尸为8c中点，

。为线段CG上的动点，过Z、P、。的平面截该正方体所得的截面记为。.若&,则

下列结论错误的是（）

5

Cl

A.当时，O为四边形B.当时，O为等腰梯形

C.当2时，。为六边形D.当4=1时，。的面积为暂

变式4.（2024•江苏镇江•高二扬中市第二高级中学校考开学考试）如图，在棱长为0的正

方体48co-HB'C'O中，点E、F、G分别是棱4的、BC\C。的中点，则由点E、F、

G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于.

变式5.（2024・河南信阳•高二信阳高中校考阶段练习）在一次通用技术实践课上，木工小组

需要将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线/C上的点P（如图），且与平面片C，

平行，已知/4=10cm,ZP=6cm,则截面面积等于cm2.

6

变式6.（2024•江苏泰州・高一泰州中学校考阶段练习）正方体48co-44GR的棱长是。，

其中E是CD中点，尸是中点，则过点及尸，片的截面面积是.

变式7.（2024・全国•高三专题练习）已知直三棱柱4BC-481cl的侧棱长为2,AB1BC,

AB=BC=2,过N3,3片的中点£,尸作平面0与平面44。。垂直，则所得截面周长

为.

变式8.（2024・全国•高三专题练习）棱长为1的正方体A8CD-44GA中，点E为棱8C的

中点，则过g,E,D三点的平面截正方体的截面周长为.

变式9.（2024・四川泸州・四川省泸县第二中学校联考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体

ABCD-AMR,中，点£为⑦的中点，则过点C且与巴E垂直的平面c被正方体

ABCD-44qA截得的截面周长为.

题型三：截面切割几何体的体积问题

例7.（2024・广东广州•高一统考期末）在棱长为°的正方体48co-4片中，E,尸分别

为梭BC,CG的中点，过点/,E,尸作一个截面，该截面将正方体分成两个多面体，则体

积较小的多面体的体积为.

例8.（2024•辽宁锦州•校考一模）在正四棱锥6-/3CD中，M为SC的中点，过W作截面

将该四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为匕，匕，则?的最大值

是.

例9.（2024•浙江•高二竞赛）在正四棱锥S-4BC。中，"在棱SC上且满足SM=2MC.过

7

作截面将此四棱锥分成上，下两部分，记上，下两部分的体积分别为匕，匕,则方的

最大值为.

变式10.（2024・上海•高二专题练习）如图，正方体N5CD-4片G。，中，£、产分别是棱

/反3c的中点，过点A、£、尸的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为

匕匕，记匕＜匕，则匕：匕=.

变式11.（2024・全国•高一专题练习）如图所示，在长方体48co-HB'C'D中，用截面截下

一个三棱锥C-4。。，则三棱锥C-4。。的体积与剩余部分的体积之比为.

变式12.（2024•贵州贵阳・贵阳六中校考一模）在三棱柱/3C-44C中，底面N8C,

/8=3C=C4=；N4,点尸是棱上的点，/尸=2尸4,若截面8PG分这个棱柱为两部

分，则这两部分的体积比为.

变式13.（2024•广东揭阳•高一普宁市华侨中学校考阶段练习）如图，正方体

中，£、尸分别是棱的中点，则正方体被截面3EFC分成两部分的体积之比

8

题型四：球与截面问题

例10.（2024•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体

/5CD-4片中，分别为棱42,0,的中点，过儿W作该正方体外接球的截面,

所得截面的面积的最小值为（）

例11.（2024•福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形/BCD中，/8=3,/。=4,

将△MD沿对角线8。翻折至A/'B。的位置，使得平面/'3。_L平面5cD,则在三棱锥

H-3CD的外接球中，以4c为直径的截面到球心的距离为（）

AV435口6枝「A/239„7113

1051010

32兀

例12.（2024・海南•高三校联考期末）已知某球的体积为亍，该球的某截面圆的面积为3兀，

则球面上的点到该截面圆圆心的最大距离为（）

A.1B.3C.2+V3D.|

变式14.（2024•江西南昌•江西师大附中校考三模）己知正方体故CD-44G。的棱长为2,

E为棱CG上的一点，且满足平面平面43。，则平面48。截四面体/8CE的外接

球所得截面的面积为（）

9

13「25c2

A.—nB.~znC.一兀D.一71

61233

变式15.（2024•四川内江•四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球。是正三棱锥

/-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=6,AB=也，

点E是线段2C的中点，过点£作球。的截面，则所得截面面积的最小值是（）

3兀c2无„7T一无

A.—B.—C.-D.一

4324

变式16.（2024・福建厦门•厦门外国语学校校考模拟预测）已知半径为4的球O,被两个平

面截得圆。卜记两圆的公共弦为N8,且QQ=2,若二面角的大小为:兀，

则四面体48。02的体积的最大值为（）

A.8拒B.—V2C.—y[2D.—V3

999

变式17.（2024•全国•高三专题练习）已知球。和正四面体/-BCD,点8、C、D在球面上，

底面BCD过球心O,棱分别交球面于耳、G、A，若球的半径R=6,则所得多面

体用CQ-BCD的体积为（）

A972n9V2„2372c13V2

84126

变式18.（2024•天津红桥•统考二模）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为兀，

则球的体积为（）

46R4V2

33

「86n8V2

33

题型五：截面图形的个数问题

例13.（2024•全国•高三专题练习）过正四面体尸-N3C的顶点尸作平面a,若a与直线上4,

PB,尸C所成角都相等，则这样的平面的个数为（）个

A.3B.4C.5D.6

例14.（2024・陕西榆林•陕西省榆林中学校考三模）过正方体/BCD-43cl。的顶点A作平

面使得正方体的各棱与平面。所成的角都相等，则满足条件的平面u的个数为（）

A.1B.3C.4D.6

例15.（2024•全国•高三专题练习）设四棱锥尸-N8CD的底面不是平行四边形,用平面。去

10

截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面a

A.有无数多个B.恰有4个C.只有1个D.不存在

变式19.（2024•浙江•模拟预测）过正四面体/BCD的顶点/作一个形状为等腰三角形的截

面，且使截面与底面BCD所成的角为75。，这样的截面有（）

A.6个B.12个C.16个D.18个

变式20.（2024・上海杨浦・高二上海市控江中学校考期中）空间给定不共面的4,B,C,D

四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面夕：A,B,C,。中有

三个点到的距离相同，另一个点到a的距离是前三个点到a的距离的2倍，这样的平面。的

个数是个

题型六：平面截圆锥问题

例16.（多选题）（2024•广东•高二统考期末）圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名？因为它可以

从圆锥中截取获得.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与

圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角6

不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、

椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.截口曲线形状与夕和圆锥轴截面半顶角。有如下关

系；当0>a时，截口曲线为椭圆；当6=a时，截口曲线为抛物线：当0<c

现有一定线段N8与平面?夹角0（如上右图），2为斜足，尸上一动点P满足尸=人

设P点在〃的运动轨迹是:T,则（）

A.当夕=（，7」时，「是椭圆B.当夕=97」时，「是双曲线

C.当夕=£,7=1时，「是抛物线D.当夕=£,7=£时，「是椭圆

4434

例17.（2024•辽宁阜新•校考模拟预测）比利时数学家丹德林（GerminalDandelin）发现：在圆

11

锥内放两个大小不同且不相切的球使得它们与圆锥的侧面相切，用与两球都相切的平面截圆

锥的侧面得到的截线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为20,底面

半径为4的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切,

则此平面截圆柱侧面所得的截线为一个椭圆，则该椭圆的短轴长为（）

B.4C.24D.8

例18.（2024•安徽安庆•安徽省桐城中学校考一模）.如图是数学家GerminalDandelin用来证

明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个

大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球。一球a的半径分别

为4和1,球心距|qa|=6,截面分别与球。一球d切于点E，F,（E,尸是截口椭圆

的焦点），则此椭圆的离心率等于（）

变式21.（2024・上海•高二专题练习）如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.

许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin

（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分

12

别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于及尸，在截口曲线上任取一点A,过A

作圆锥的母线，分别与两个球相切于C,2,由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC,

AF=AB,于是/E+/尸=4B+/C=JBC.由瓦C的产生方法可知，它们之间的距离8C是

定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以瓦尸为焦点的椭圆.

椭圆，已知44是椭圆的长轴，尸4垂直于桌面且与球相切，尸4=5,则椭圆的焦距为（）

A.4B.6C.8D.12

变式22.（2024•全国•高三对口高考）如图，定点/和2都在平面c内，定点

。是&内异于/和3的动点，且尸CLZC.那么，动点C在平面。内的轨迹是（）

A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点

C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点

变式23.（2024•全国•学军中学校联考模拟预测）已知空间中两条直线4、4异面且垂直，平

面a〃/1且4ua,若点P到入4距离相等，则点P在平面夕内的轨迹为（）

A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线

变式24.（2024•宁夏银川•校联考二模）已知线段N3垂直于定圆所在的平面，B,C是圆上

的两点，H是点8在4c上的射影，当C运动，点H运动的轨迹（）

13

A

c

A.是圆B.是椭圆C.是抛物线D.不是平面图形

变式25.（2024•四川广安•高二广安二中校考期中）美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘

画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几

何体结构素描是学习索描的重要一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面

去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称

为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短

母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是一个底角为60。的直角梯形，设圆柱半径

厂=1,则该椭圆的焦距为（）

变式26.（2024・全国•高三专题练习）如图，正方体4G，尸为平面内一动点，设二面

角4-82-尸的大小为a,直线4P与平面43。所成角的大小为尸.若cos£=sine,则点

14

A.圆B.抛物线C.椭圆D.双曲线

变式27.（2024•四川广安•高二统考期末）已知四棱锥尸-4BCD,4D_L平面以2,8。1平

面底面/BCD是梯形，AB^AD=2,BC=4,NAPD=NCPB,满足上述条件的四

棱锥的顶点P的轨迹是（）

A.椭圆B.椭圆的一部分C.圆D.不完整的圆

变式28.（2024•全国•校联考模拟预测）用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与

圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.我们

通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.已知某圆锥的轴截面是正三角形，平面

C与该圆锥的底而所成的锐二面角为9,则平面C截该圆锥所得椭圆的离心率

为.

题型七：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题

例19.（2024•西藏林芝・统考二模）在三棱锥力-BCD中，AB=AC=BD=CD=BC=4,

平面a经过/C的中点£,并且与3c垂直，当a截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三

棱锥/-BCD的外接球的表面积为（）

.8073„70小〃「80

A.-------7iB.——C.20兀D.—兀

333

例20.（2024・贵州•高二校联考阶段练习）已知圆锥的母线长为2,其侧面展开图的中心角

为6兀，则过圆锥顶点的截面面积最大值为（）

A.1B.V3C.2D.273

例21.（2024・全国•高一专题练习）若球。是正三棱锥/-BCD的外接球，BC=3,AB=243,

点E在线段以上，BA=3BE,过点E作球。的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面

积为（）

15

A.—B.2无C.—D.Ji

33

变式29.（2024•高一课时练习）在三棱锥Z-8CD中，

AB=BC=CD=DA=272,ZADC=ZABC=90°,平面NBC1平面/CD,三棱锥”—BCD

的所有顶点都在球。的球面上，耳尸分别在线段。及CD上运动（端点除外），BE=4iCF.

当三棱锥E-/C尸的体积最大时，过点尸作球。的截面，则截面面积的最小值为（）

3

A.兀B.■兀C.—KD.2兀

变式30.（2024•江西・高一宁冈中学校考期末）棱长为1的正方体的8个顶

点都在球。的表面上，E,尸分别为棱4。的中点，则经过E，尸球的截面面积的最小

值为（）

3-无一57

A.—兀B.-C.—兀D.一兀

8288

变式31.（2024・全国•高三对口高考）如图，正方体4GA的棱长为26,动点尸

在对角线上，过点P作垂直于3。的平面&,记这样得到的截面多边形（含三角形）的

周长为夕，设BP=x,则当xe[l,5]时，函数了=/（x）的值域为（）

A.B.[指,2几]C.（0,&]D.（0,3&]

变式32.（2024・全国•高一专题练习）如图所示，在长方体力3CD-44G。中，点E是棱CG

上的一个动点，若平面瓦?2与棱河交于点尸，给出下列命题：

16

①四棱锥用-BE。尸的体积恒为定值;

②四边形尸是平行四边形;

③当截面四边形瓦弦＞尸的周长取得最小值时，满足条件的点£至少有两个;

④直线QE与直线DC交于点尸，直线。尸与直线。”交于点。，则尸、B、。三点共线.

其中真命题是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

变式33.（2024•高一课时练习）正方体48CD-4耳G2中作一截面与AC；垂直，且和正方

体所有面相交，如图所示.记截面多边形面积为S,周长为C,则（）

A.S为定值，C不为定值B.S不为定值，C为定值

c.s和c均为定值D.S和C均不为定值

变式34.（2024・四川内江•高二统考期末）如图所示，在长方体/BCD-481GA中，BB^BXDX,

点E是棱CG上的一个动点，平面交棱”4于点尸，下列命题错误的是（）

17

A.四棱锥用-BE。/的体积恒为定值

B.存在点E,使得为0,平面BjE

C.存在唯一的点E