2024-2025学年高中数学课时分层作业7从平面向量到空间向量含解析北师大版选修2-1

PAGE1-课时分层作业(七)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．若空间随意两个非零向量a，b，则|a|＝|b|，且a∥b是a＝b的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[a＝b⇒|a|＝|b|，且a∥b，所以，必要；当b＝－a时，有|a|＝|b|且a∥b，但a≠b，所以，不充分．故选B.]2．下列命题中正确的个数是()①假如a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；④空间随意两个非零向量都可以平移到同一平面内．A．1个 B．2个C．3个 D．4个C[对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不肯定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．]3．如图所示，三棱锥A­BCD中，AB⊥面BCD，∠BDC＝90°，则在全部的棱表示的向量中，夹角为90°的共有()A．3对 B．4对C．5对 D．6对C[夹角为90°的共有eq\o(BA,\s\up8(→))与eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))与eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))与eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))与eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→))与eq\o(DC,\s\up8(→)).]4．在如图所示的正三棱柱中，与〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉相等的是()A．〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉 B．〈eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(CA,\s\up8(→))〉C．〈eq\o(C1B1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉 D．〈eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(B1A1,\s\up8(→))〉D[∵eq\o(B1A1,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))，∴〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(B1A1,\s\up8(→))〉＝60°，故选D.]5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ACC1AA.eq\o(BD,\s\up8(→)) B.eq\o(BC1,\s\up8(→))C.eq\o(BD1,\s\up8(→)) D.eq\o(A1B,\s\up8(→))A[∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥面ACC1A1故eq\o(BD,\s\up8(→))为平面ACC1A1的法向量．]二、填空题6．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点为起止点的向量中，与向量eq\o(AB,\s\up8(→))平行的向量为________，与eq\o(AB,\s\up8(→))相反的向量为________．eq\o(A1B1,\s\up8(→))，eq\o(B1A1,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(D1C1,\s\up8(→))，eq\o(C1D1,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(C1D1,\s\up8(→))，eq\o(B1A1,\s\up8(→))[∵AB∥A1B1∥DC∥D1C1，∴与eq\o(AB,\s\up8(→))平行的向量为eq\o(A1B1,\s\up8(→))，eq\o(B1A1,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(D1C1,\s\up8(→))，eq\o(C1D1,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，其中与eq\o(AB,\s\up8(→))相反的向量为：eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(C1D1,\s\up8(→))，eq\o(B1A1,\s\up8(→)).]7．正四面体S­ABC中，E，F分别为SB，AB中点，则〈eq\o(EF,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝________．eq\f(2π,3)[如图所示，∵E，F为中点，∴EF∥SA，而△SAC为正三角形，∴∠SAC＝eq\f(π,3)，∴〈eq\o(EF,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(2π,3).]8．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与60°[要求异面直线EF与GH所成的角就是求〈eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(GH,\s\up8(→))〉，因为eq\o(FE,\s\up8(→))与eq\o(BA1,\s\up8(→))同向共线，eq\o(GH,\s\up8(→))与eq\o(BC1,\s\up8(→))同向共线，所以〈eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(GH,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(BC1,\s\up8(→))〉，在正方体中△A1BC1为等边三角形，所以〈eq\o(FE,\s\up8(→))，eq\o(GH,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(BC1,\s\up8(→))〉＝60°.]三、解答题9．如图，四棱锥V­ABCD，底面ABCD为正方形，VA⊥平面ABCD，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：(1)直线AB的方向向量；(2)求证：BD⊥平面VAC，并确定平面VAC的法向量．[解](1)由已知得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))这4个．(2)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.又∵VA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥VA.又AC∩VA＝A，∴BD⊥平面VAC.∴平面VAC的法向量有eq\o(BD,\s\up8(→))，eq\o(DB,\s\up8(→))这2个．10．在正方体ABCD－A1B1C1D1(1)〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))〉；(2)〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(CD1,\s\up8(→))〉；(3)〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(A1D,\s\up8(→))〉；(4)〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(BD1,\s\up8(→))〉．[解](1)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱DD1⊥底面ABCD，AC面ABCD，∴AC⊥DD1，∴〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,2).(2)连接AD1，则AC＝CD1＝AD1，故△ACD1为正三角形，∠ACD1＝eq\f(π,3)，∴〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(CD1,\s\up8(→))〉＝eq\f(2π,3).(3)法一：连接AB1，B1C，则有eq\o(A1D,\s\up8(→))＝eq\o(B1C,\s\up8(→))，∴〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(A1D,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(B1C,\s\up8(→))〉，又AC＝CB1＝AB1，∴△AB1C为等边三角形，∠ACB1＝eq\f(π,3)，∴〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(B1C,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,3)＝〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(A1D,\s\up8(→))〉，法二：连接A1C1，C1D，则eq\o(A1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))，且△A1C1D为正三角形．∴∠C1A1D＝eq\f(π,3)＝〈eq\o(A1C1,\s\up8(→))，eq\o(A1D,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(A1D,\s\up8(→))〉．(4)法一：连接BD，则AC⊥BD，又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D.∴AC⊥面BD1D，∵BD1面BDD1，∴AC⊥BD1，∴〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(BD1,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,2).法二：连接BD交AC于点O，取DD1的中点M，则eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD1,\s\up8(→))，∴〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(BD1,\s\up8(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(OM,\s\up8(→))〉，在△MAC中，MA＝MC，O为AC的中点，∴MO⊥AC.∴〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(OM,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,2)，即〈eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(BD1,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,2).[实力提升练]1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，各条棱所在的向量中，与向量eq\o(AD,\s\up8(→))相等的向量共有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个C[与eq\o(AD,\s\up8(→))相等的向量有eq\o(A1D1,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(B1C1,\s\up8(→))，共3个．]2．在正四面体ABCD中，〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉的大小为()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,6)C[因为正四面体的对棱垂直，故〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉的大小为eq\f(π,2).]3．两非零向量共线是两向量方向相同的________条件．必要不充分[两向量共线就是这两向量方向相同或相反两种状况．]4．下列命题正确的序号是________．①若a∥b，〈b，c〉＝eq\f(π,4)，则〈a，c〉＝eq\f(π,4)；②若a，b是同一个平面的两个法向量，则a＝b；③异面直线的方向向量不共线．③[①〈a，c〉＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)，①错；②a∥b，②错；③由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，③对．]5．如图所示，四棱锥P­ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD＝CD，E、F分别是PC、PB的中点.(1)试以F为起点作直线DE的方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的法向量．[解](1)∵E、F分别是PC、PB的中点，∴EFeq\f(1,2)BC，又BCAD，∴EFeq\f(1,2)AD，取AD的