解直角三角形（强化训练）解析版

专题18解直角三角形（10个高频考点）（强化训练）

【考点1锐角三角函数的定义】

1.（2022・山东济南・山东省实验初级中学校考模拟预测）在正方形网格中，0ABe在网格中的位置如图，则

C-1D.2

【答案】A

【分析】在直角AEBD中，利用勾股定理即可求得EB的长，然后根据余弦函数的定义即可求解.

【详解】如图，

在直角AEBO中，BD=2,£7）=4,

EB=<BD2+ED2=V22+42=2西，

贝！JeosB=—=」=—.

EB2遍5

故选：A.

【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直

角三角形的边长的比.

2.（2022•吉林长春,校考二模）如图是一架人字梯，已知力B=4C,4C与地面BC的夹角为a,两梯脚之间的

距离BC=8米，则线段AB长为（）

A

4

A.4coscrB.4sinaC.4tancrD.-----

cosa

【答案】D

【分析】过点A作4。_LBC于点D,根据等腰三角形的三线合一求出CD,然后根据余弦的定义求出AC即可.

【详解】解：过点A作4D1BC于点

A

0CD=-BC=4米，

2

在RtZkZDC中，cosa=华，

4

团24c=----9

cosa

4

匿48=AC=—.

cosa

故选：D.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、等腰三角形的性质，熟记余弦的定义是解题的关键.

3.（2022•内蒙古通辽•统考中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点2,B,C都在格点上,

以48为直径的圆经过点C,D,则COSNADC的值为（）

.2gD3vH62c遮

A.----b.----C.-U.—

131333

【答案】B

【分析】首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出乙4DC="BA,AACB=90°,

计算出cosNCBA即可得到cos乙4DC.

【详解】解：回48为直径，CB=3,AC=2,

0ZXCB=90°,AB2=CB2+AC2,

EL4B=713,

回cos/CBA=g33V13

-V13-13

W=AC,

^Z.ADC=^.CBA,

比。SNA。。=警

故选：B.

【点睛】本题考查圆的性质和三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键.

4.（2022•四川乐山,统考中考真题）如图，在RtAABC中，ZC=90°,BC=有，点。是AC上一点，连接

BD.若tan4!=tanzXBD=贝!ICD的长为（）

A.2V5B.3C.V5D.2

【答案】C

【分析】先根据锐角三角函数值求出“=2V5,再由勾股定理求出4B=5,过点D作DE1于点E,依据

三角函数值可得DE==,BE,从而得BE=|4E,再由AE+BE=5得AE=2,DE=1,由勾股定理得

AD=V5,从而可求出CD.

【详解】解：在Rt△力BC中，ZC=90°,BC=V5,

EltanZ■力=-=-

AC2

团/C=2BC=2y/5,

由勾股定理得,48=y/AC2+BC2=J(2V5)2+(V5)2=5

过点。作DE，力B于点E,如图，

团tanZ_A=tanZ-ABD=

23

心=三艺=工

'AE2'BE3'

^DE=^AE,DE=^BE,

11

^AE=-BE

23

3

回BE=-AE

2

团4E+BE=5,

^\AE+-AE=5

2

EL4E=2,

田DE=1,

在RtAZOE中，业=AE2+DE2

^\AD=NAE?+DE2=V22+I2=V5

团4。+CD=AC=2低

BCD=AC-AD=2V5-V5=V5,

故选：C

【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出。石的长是解答本题的关键.

5.（2022・湖北十堰•统考中考真题）如图，坡角为a的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB,当太阳光

线与水平线成45。角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m,则大树AB的高为（）

C.mfcoscr—tana)D.T---------------

sinacosa

【答案】A

【分析】应充分利用所给的a和45。在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解.

【详解】解：如图，过点C作水平线与的延长线交于点D,贝IJAD3CD,

在Rr/kCDB中，CD-mcosa,BD=ms'\na,

在汝△CD4中,

A£)=C£>xtan45°

=mxcosaxtan45°

=mcosa,

^\AB=AD-BD

=(mcosa-msina)

-m(cosa-sina).

故选：A.

【点睛】本题考查锐角三角函数的应用.需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函

数时要注意各边相对.

【考点2锐角三角函数的增减性】

6.（2022•浙江绍兴•统考一模）已知AABC是锐角三角形，若AB>4C,则（）

A.sin4<sinBB.sinF<sinCC.sin4<sinCD.sinC<sinA

【答案】B

【分析】大边对大角，可得回C>配，当角度在0。〜90。间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大

（或减小）；依此即可求解.

【详解】解：回ABC是锐角三角形，若AB>AC,

则EIOEIB,

贝！JsinB<sinC.

故选：B.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°〜90。间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减

小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大

（或减小）而增大（或减小）.

7.（2022•浙江金华•校联考一模）若她是锐角，且sinA=1,则（）

A.O0<0A<3O°B.3O°<0A<45°C.45°<0A<6O°D.6O°<0A<9O°

【答案】A

【分析】根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及30。、45。、60。的正弦值可求出.

【详解】解：EEA是锐角，且sinA=[<^=sin30。，

0Oo<fflA<3O",

故选：A.

【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减

小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键.

8.（2022•山东临沂•统考一模）如图,撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂Li=L-cosa,阻力臂G=I,cos6,

如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）

A.越来越小B.不变C.越来越大D.无法确定

【答案】A

【分析】根据杠杆原理及cosa的值随着a的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案.

【详解】解：回动力x动力臂=阻力x阻力臂，

团当阻力及阻力臂不变时，动力x动力臂为定值，且定值＞0,

回动力随着动力臂的增大而减小，

团杠杆向下运动时a的度数越来越小，此时cosa的值越来越大，

又团动力臂Li=L-cosa,

回此时动力臂也越来越大，

团此时的动力越来越小，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本

题的关键.

9.(2022•浙江宁波•统考一模)红领巾的形状是等腰三角形，底边长为100厘米，腰长为60厘米，则底角

()

A.小于30。B.大于30。且小于45。U等于30。D.大于45。且小于60。

【答案】B

【分析】过A作AD1BC于D,根据等腰三角形的性质得到BD=CD=1BC=50,根据三角函数的定义得到

cosB=^=1,再利用锐角三角函数的增减性进行判断进而得到结论.

606

【详解】如图，过4作于O

囿48=AC=60

回BD=CD=-BC=50

262

0—<cosB<—

22

03OO<ZB<45°

故选：B

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质锐角三角函数的定义以及性质，熟练掌握锐角三角函数的增减性是

解题的关键.

10.（2022•四川成都・统考一模）己知?<cosA<sin70。，则锐角A的取值范围是

【答案】200<I3A<300.

【详解】EJy<cosA<sin70°,sin70°=cos20",

[Ecos300<cosA<cos200,

团20°〈团AV30°.

【考点3同角三角函数的关系】

1L（2022•陕西西安•交大附中分校校考模拟预测）已知a为锐角,cosa=求tana——。°'比的值.

31-sina

【答案】-3

【分析】根据siMa+cos2a=1,tana=3吧，可得sina,tana,代入所求式子可得答案.

cosa

【详解】解：a为锐角，cosa=%得

.r,2~2A/2

sma=VI—cosza=——:

3

2版

sina-内

tana=---=-f-=2QV2.

cosa-

3

i

tana-cosa=2V2----=-3

l-sma1一这

3

【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用siMa+cos2a=1,tana='竺是解题关键.

COSCC

12.（2022•广东•九年级统考竞赛）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割

为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为4（2）黄金三角形

被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形；（3）有一个内角为36。的等腰三角形为

黄金三角形.由上述信息可求得sinl26。=

【答案】竽

【分析】如图作三角形，设4B=BC=a,AC=b,先求出8$36。=四，再由sinl26。=cos36。，进而求

4

出sinl26。=旦.

4

【详解】解：如图，等腰三角形△ABC,乙48c=36。，48=BC=a,AC=b,

B

取4c中点D,连接BD,可得2=与二，

a2

由题意可得sin幽=^=B」=旦」=■,

2aa2224

2

所以cos/ABC=1-2sin2等=1_2（号）=早，

所以cos36。=立il,

4

所以sinl26。=cos36°=匹tl.

4

故答案为：

【点睛】本题考查了余弦定理以及诱导公式的应用，读懂题意，熟悉掌握余弦定理和诱导公式是本题的解

题关键.

13.（2022•陕西西安•交大附中分校校考模拟预测）已知a,£都是锐角，且a+0=90。，sina+cos£=遍,

则a=.

【答案】600

【分析】根据互余两角的三角函数的关系得出COS0=sina,求出sina=当，即可得出答案.

【详解】解：Ela+/?=90°,

团cos/?=sina,

团sina+cosj6=V3,

2sincr=V3,sincr=

El锐角a=60°.

故答案为：60°.

【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，特殊角的三角函数值的应用，解此题的关键是求出sina的

值.

14.（2022•陕西西安•交大附中分校校考模拟预测）化简:2sina-cosa（其中0。<a<90°）=.

【答案】cosa-sina或sina—cosa或0

【分析】根据a的度数分别讨论，依据三角函数值及算术平方根的性质将式子化简即可.

【详解】解：E0°<a<90°,

回①当0°<a<45°时，Vl—2sina-cosa=-y（sina-cosa）2=cosa-sina；

②当45°<a<90°是，—2sina♦cosa=J（sina-cosa）2=sina-cosa；

2

③当a=45。时，Vl—2sina-cosa=A/（sina—cosa）=0,

故答案为：cosa—sina或sina—cosa或0.

【点睛】此题考查算术平方根的化简，锐角三角函数值的确定，算术平方根的性质，熟记锐角三角函数值

的计算公式是解题的关键.

15.（2022秋•安徽亳州•九年级统考期末）如图，在0ABe中，0C=9O°,a,b,c分别0A,0B,EIC的对边.

⑴求siMa+siMB的值；

(2)填空：当a为锐角时，sin2a+sin2(90°—a)=；

⑶利用上述规律，求下列式子的值：sin2l°+sin22°+sin23°+■•■+sin289°.

【答案】⑴1

(2)1

(3)44.5

【分析】（1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明;

（2）由（1）得出的结论解答即可；

(3)由(1)得出的结论进行化简并求值即可；

⑴

证明：团在RZEL4BC中，EC=90",

回热心/.

又Elsin力=-,sinB=

CC

Esin2A+sin2B=(2)+(g)="—1；

⑵

当a为锐角时，sin2a+sin2(90°—a)-1,

故答案为1；

⑶

sin2l°+sin22°+sin23°+…+sinz89°

=(sin2l0++sin289°)+(sin22°+sin288°)+-•■+(sin244°+sin246°)+sin245°

=1+1+1+...+1+I(44个1相力口)

=44.5

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键.

【考点4互余两角三角函数的关系】

16.(2022•浙江杭州,统考二模)在放AaBC中，ZC=90°,cos4=贝l|sin8=.

【答案w

【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解.

【详解】解：••・在44BC中，ZC=90°,

NA+NB=90°,

•••sinB=cosA=

3

故答案为：

【点睛】本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，解题的关键是掌握一个角的余弦等于它余角的正弦.

17.(2022•浙江杭州•模拟预测)如图，在RtAABC中，回A=90。,AD团BC,垂足为D.给出下列四个结论：①sinct二sinB；

@sinP=sinC；(3)sinB=cosC；④sina=cos0.其中正确的结论有.

A

【答案】①②③④

【分析】根据回A=90。，AD0BC,可得13a=加，Bp=EC,再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断.

【详解】EEA=90°,AD0BC,

H3a+邮=90°,EIB+邮=90°,阴+耻=90°,

团团a二团B,邨二团C,

团sina二sinB,故①正确；

sinp=sinC,故②正确；

,.ACAC

回在RtAABC中sinB=—,cosC=—,

BCBC

团sinB二cosC,故③正确；

团sina=sinB,cos回。=cosC,

团sina二cos团B，故④正确；

故答案为①②③④.

【点睛】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系.

18.(2022•四川内江•统考一模)在回ABC中，已知回C=90°,sinA+sinB=贝UsinA—sinB=.

【答案】±|.

【详解】根据题意，设AB=c,BC=a,AC=b,贝!JsinA='，sinB=-/a24-b2=c2.

cc

7

团sinA4-sinB=

0(sinA+sinB)2==»(^+|)249a24-b24-2ab49c2+2ab492ab24

25c2-25c2-25c2-25

222

ri/.A.T-*\78b、？a+b-2abc-2ab.2ab.241

团(sinA-sinB)/=(------Y=-----；---=—；—=1——-=1------=—.

'7vccyc2c2c22525

团sinA—sinB=±|.

19.（2012•湖南衡阳・中考真题）观察下列等式

(l)sin300=|cos600=|

(2)sin45°=ycos=45°=y

(3)sin60°=ycos30°=y

根据上述规律，计算sWa+siM(90°-a)=.

【答案】L

【分析】根据①②③可得出规律，即siMa+siM(900-a)=1,继而可得出答案

【详解】由题意得，sin230°+sin2(90°-30°)=sin230°+sin260°=i+-=l；

44

sin245°+sin2(90°-45°)=sin245o+sin245°=-+-=l；

22

•21

sin260°+sin2(90°-60°)=sin260°+sin230°=-+-=l；

44

0sin2a+sin2(90°-a)=1.

故答案为1.

20.（2022•湖南娄底,统考中考真题）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了

提醒驾驶员在开车时减速慢行.如图，用平行四边形4BCD表示一个“鱼骨”，48平行于车辆前行方向，BE1

AB/CBE=a,过8作4。的垂线，垂足为4（A点的视觉错觉点），若sina=0.05,4B=300mm,贝!]

AA'-mm.

【答案】15.

【分析】根据同角的余角相等得到乙494=Na,进一步根据三角函数求解即可.

【详解】解：如图所示，

D

^A'B14。且四边形ABC。为平行四边形，

^A'B1BC,AA'BC=^ABC+^A'BA=90°,

又EIBE1AB,

国乙4BE=^.ABC+"=90°,

^Z-A'BA=Na,

AAr

^\sinZ-ArBA=sintx=——=0.05,

AB

又回=300mm,

回A4'=AB-sinZ-ArBA=300x0.05=15mm.

故答案为：15.

【点睛】本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是利用同角的余角相等找出角的关系，根据同角三角

函数关系求值.

【考点5特殊角的三角函数】

21.(2022•黑龙江绥化•统考中考真题)定义一种运算；sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin，，sin(a—£)=

sinacosjS-cosasinQ.例如：当a=45°,0=30。时，sin(45°+30°)=—x—+—x-=恒22则sinl5。的

值为.

【答案】空返

4

【分析】根据sin(a-/?)=sinacosS-cosasin^代入进行计算即可.

【详解】解：Sinl5°=sin(45°-30°)

=sin45°cos30°—cos45°sin30°

x—--xi

2222

_V6_\J2

~44

_V6—\/2

4

故答案为：与I

4

【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键.

22.(2022•浙江杭州•杭州绿城育华学校校考模拟预测)已知a为锐角，若btan2a-4tana+皆=0,则a的

度数为.

【答案】60。或30。

【分析】因数分解gtan2a-4tana+百=0,即可求解.

【详解】解：原式化为btaMa—4tana+百=(tana—V5)(V^tana-1)=0,

0tan(z=b或tana=―,a为锐角，

由特殊角的三角函数值得，a=60。或a=30。，

故答案为：60。或30。.

【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值，解特殊角的三角函数的方程是解

题的关键.

23.(2022,四川自贡,校考一模)在MBC中，若卜in4-耳+(]-cosB?=0,〃NB都是锐角，贝！]△ABC

是三角形.

【答案】等边

【分析】根据非负数的性质分别求出她和团B,继而可判断AABC的形状.

【详解】解：回卜inA—?|+(|-cosB)=0,

团卜访4一耳=0,G—COS8)2=0,

c.A取1

团sinZ=—,cosBn=

22

团她二60°,团庆60°,

团△力BC是等边三角形.

故答案为：等边.

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三

角函数值.

24.(2022,辽宁丹东•统考一模)在平面直角坐标系中，已知点4(-4,0),B(2,0),点M是y轴上的一个动点，

当=30。时，点M的坐标为.

【答案】(0,3遍+而)或(0,-3遍-回)

【分析】分M在y轴的正半轴和负半轴两种情况计算，结合对称性求解即可.

【详解】如图，当M在y轴的正半轴上时，

将AB绕点A逆时针旋转60°,得到等边三角形A8C,

071(-4,0),8(2,0),

EL4B=BC=CA=6,A0=4,

过点C作轴，CR3x轴，垂足分别为E,F,

贝UAF=4Bcos60°=6X：=3,C产=ABsin60°=6x苧=3b，OF=OA-AF=1,

四边形CE。尸是矩形，

0OE=CF=3V3,CE=OF=1,

以点C为圆心，以AC长为半径作圆，交y轴于点V,连接AM,根据圆周角定理，得N8M2=30。,

连接CM,

贝I]EM7CM2-CE2=V62-12=V35,

E1OA/=OE+EM=3百+序，

0M(0,3V3+V35);

根据对称性，当点”在y轴的负半轴时，M(0,-3A/3-V35)

故答案为：(0,3V3+V35)或(0,-3V3-V35).

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，圆周角定理，勾股定理，熟

练掌握旋转的性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，圆周角定理是解题的关键.

25.（2022•上海静安•统考一模）计算：Vcos230°—sin230°+（血45——5。）.

\tan4507

【答案】竽

【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可.

311L

=彳—彳+]+7一迎

J442

V21厂

=—+1+--v2

_3-V2

2•

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.

【考点6解直角三角形】

26.（2022・江苏无锡・无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，ANBC中，分别以48、AC为底边向外作等

腰皿和等腰△码：，连接DE,点F为BC的中点，连接即并延长交08的延长线于点G,DE=^FG,DG=

4V10,若NG+Z.DAE-乙CEF=180°,tanzOEG=1,贝肚an/EDG的值为

【答案】蔡

【分析】作BKIIEC交EF的延长线于K,连接。F，DK,作ER_LDG于R,首先证明△BFK三△CFE进而证明

出^DAESADBK,推出DE=DK,由EF=FK,推出DF1EK,设FG=4a,由DE=—FG,可得DE=15a,

4

由tanNDEG=%推出DF=12a,EF=9a,在RtADFG中，MOF2+FG2=DG2,构建方程求出。，再

解直角三角形求出RG,ER即可解决问题.

【详解】解：作BK1IEC交EF的延长线于K,连接。凡OK,作ER1DG于R,

D

A

iB\XFC

\/^G

K

@BF=CK,Z.K=Z.FEC,

在△BFK和△CFE中，

乙K=Z.FEC

BF=CK,

ZBFK=乙EFC

ISABFK=△CFE(ASA),

团CE=BK,EF=FK,

团AE=EC,

团4E=BK,

国乙KBG=乙BGF-乙BKG=乙BGF一乙FEC,

又团匕BGF+Z.DAE一乙CEF=180°,

团NKBG+乙DAE=180°,

⑦乙KBG+乙DBK=180°,

国乙DBK=/.DAE,

在△〃!£1和△OBK中，

'DB=AD

乙DBK=/.DAE,

、BK=AE

0ADAE三△OBK(SAS),

WE=DK,

国EF=FK,

团DF1EK,设FG=4a,

0DE=—FG,

4

⑦DE=15a,

4

0tanzDFG=-)

回OF=12a,EF—9a,

在RtaDFG中，^DF2+FG2=DG2,

2

0(12a)2+(4a)2=(4V10),

解得a=1或一1(舍弃)，

回EG=13,

atanzOGfi1=—=3,

4a

丽G=悟ER=*

1010

r-lCCTAz-»Amx13V1027V10

⑦DR=DG-RG=4vl0----=

1010

39V10

StanzEDG=—RD=27联屈=—9,

10

故答案为：当.

9

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，解决本题的关键是学会添加辅助线，构造

全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.

27.(2022•辽宁丹东•统考中考真题)如图，AB是回。的直径，点E在回。上，连接AE和BE,8c平分0A8E

交团。于点C,过点。作CZMBE,交5E的延长线于点。，连接CE

D

⑴请判断直线C。与回。的位置关系，并说明理由；

(2)若sin|3ECZ)=|,CE=5,求团0的半径.

【答案】(1)8是国。的切线，理由见解析

(2)0(9的半径为当

6

【分析】(1)结论：CQ是团。的切线，证明OC0CD即可；

(2)设。4=OC=r,设AE交OC于点，证明四边形CDEJ是矩形,推出CD=EJ=4,CJ=DE=3,再

利用勾股定理构建方程求解.

(1)

解：结论：CQ是回。的切线.

理由：连接0C

回0C=05,

^\OCB=^OBC,

勖C平分她BO,

^\OBC=^CBE,

^\OCB=^CBE,

⑦OC〃BD,

^CD^BD,

团CD回OC,

团oc是半径，

团CD是回。的切线；

(2)

设04=。。=%设AE交。。于点J.

她3是直径，

^\AEB=90°,

团OCWC,CD^\DB,

团团0=团。07=回。E/=90°,

团四边形CDE/是矩形，

酿G/E=90°,CD=EJ,CJ=DE,

回OCWAE,

^AJ—EJ,

npR

团sin团£。。=空==CE=5,

CE5

回。E=3,C£)=4,

[M/=E/=CZ)=4,CJ=DE=3,

在R/ELVO中，r=(r-3)2+42,

EBO的半径为变.

6

【点睛】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

28.(2022・上海・统考中考真题)一个一次函数的截距为1,且经过点A(2,3).

⑴求这个一次函数的解析式；

(2)点A,2在某个反比例函数上，点8横坐标为6,将点B向上平移2个单位得到点C,求COS0ABC的值.

【答案】⑴"尤+1

(2)y

【详解】(1)解：设这个一次函数的解析式"区+1,

把A(2,3)代入，得3=2左+1,

解得：k-1,

回这个一次函数的解析式为y=x+l；

(2)解：如图，

设反比例函数解析式为"3

把A(2,3)代入，得3成,

解得：m=6,

团反比例函数解析式为y4，

当x=6时,则y=*=l,

0B(6,1),

E1AB=J(6-2尸+(1-31=2V5,

回将点B向上平移2个单位得到点C,

0C(6,3),BC=2,

E1A(2,3),C(6,3),

0AC||x轴，

EIB(6,1),C(6,3),

08国轴，

ElAOaBC,

EI0ACB=9OO,

EBABC是直角三角形,

【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移,解三角形，坐标与图形，求得AC0BC是解题的关

键.

29.(2022・山东烟台•统考中考真题)

C

(1)【问题呈现】如图1,0ABe和0ADE都是等边三角形,连接80,CE.求证：BD=CE.

(2)【类比探究】如图2,0ABe和0AOE都是等腰直角三角形，0ABe=她。石=90。.连接BO,CE.请直接

写出器的值.

CE

⑶【拓展提升】如图3,0ABe和她。E都是直角三角形，HABC=0AZ)£=90°,且理=丝=三.连接BD,CE.

BCDE4

①求黑的值；

②延长CE交2。于点R交于点G.求sinBB”的值.

【答案】⑴见解析

(2停

⑶①*②g

【分析】(1)证明△BAZM3CAE,从而得出结论；

(2)证明△54DEBC4E,进而得出结果；

(3)①先证明每4803她。£；再证得△C4EEBBAD进而得出结果；

②在①的基础上得出0ACE=0ABD,进而I3BFC=EIBAC,进一步得出结果.

【详解】(1)证明：回财BC和AAOE都是等边三角形，

^\AD=AE,AB=AC,^\DAE=^BAC=60°f

^\DAE-^BAE=^\BAC-0BAE,

^\BAD=^\CAE,

盟瓦⑦防CAE(SAS),

⑦BD=CE；

(2)解：回EA3C和HADE都是等腰直角三角形，

ARAR1

—=—=回DAE=[E3AC=45。，

AEACV2

团团ZME-^\BAE=^BAC-I3BAE,

^IBAD^CAE,

团团BAO团团CAE,

BD_AB_1_\[2

''CE~AC~2；

(3)解：①*SABC=SADE=90°,

0EL4BC00AJDE,

fflBAC=0DA£,—=—

ACAE5

WCAE=^\BAD,

回团CAEW15AD,

.BD_AD_3

CE~AE~5'

②由①得：BCAE^\BAD,

^\ACE=^ABD,

^\AGC=BBGF,

^\BFC=^\BAC,

RC4

0sin0BFC=—

AC5

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解

决问题的关键是熟练掌握"手拉手”模型及其变形.

30.(2023・上海静安,统考一模)如图，已知在△4BC中，NB为锐角，4D是BC边上的高，cosB=*AB=

13,BC=21.

⑴求力C的长；

(2)求N&4c的正弦值.

【答案】⑴"长为20.

⑵NB4C的正弦

65

【分析】(1)由NB的余弦求出BD的长，得到DC长，由勾股定理即可解决问题.

(2)过C作于由三角形的面积公式求出C8的长即可解决问题.

【详解】(1)cosB=—=^-,AB=13,

AB15

5

•••BD=13x—=5,

13

・•.CD=BC-BD=21=5=16

AD=yjAB2-BD2=J132-52=12

•••AC=JAD2+CD2=V122+162=20

(2)作CH14B于〃

••・△丽的面积=那心,■AD

・•・13CH=21X12

252

252

・•.NB4C的正弦值是察=需=黑

ACZU65

【点睛】本题考查的是解直角三角形，关键是作出恰当的辅助线.

【考点7解直角三角形的应用之仰角俯角问题】

31.（2022,湖北黄石・统考中考真题）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度

为30m,当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30。，继续飞行20m到达8处，测得旗杆顶部的

俯角为60。，则旗杆的高度约为m.（参考数据：百=1.732,结果按四舍五八保留一位小数）

【答案】12.7

【分析】设旗杆底部为点C,顶部为点过点。作。瓦AB,交直线A2于点E.设r>E=xm,在R烟瓦汨

中，tan60°=—=—=V3,进而求得AE,在R^ADE中，tan30°=—=,求得X,根据CD=CE-DE

BEBEAE20+—x3

可得出答案.

【详解】解：设旗杆底部为点C,顶部为点。，延长CO交直线于点E,依题意则。的4B,

贝lJCE=30m,AB=20m,0EAD=3O°,团仍。=60°,

设DE=xm,

在RtSiBDE中，

tan60°=—BE=—BE=V3

解得BE=~x

贝以E=AB+BE=(20+yx)m,

在R/EIAOE中，tan30°=—=

AE20+冬3

解得x=10A/3X17.3m,

0CD-CE-DE=12.7m.

故答案为：12.7.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.

32.(2022•贵州黔东南•统考中考真题)如图，校园内有一株枯死的大树4B,距树12米处有一栋教学楼CD,

为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶。处，测得点B的仰角为45。，点4的俯角为30。，小青计算后得到

如下结论：①=18.8米；②CD=8.4米；③若直接从点4处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼

有影响；④若第一次在距点2的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害.其中正确的是.(填

写序号，参考数值：V3«1.7,a=1.4)

【答案】①③④

【分析】过点。的水平线交A2于E,先证四边形EAC。为矩形，ED=AC=12米，①利用三角函数求出

AB=2E+AE=£)Etan45°+DEtan30。，②利用CD=A£=£)Etan30°=4g«6.8米，③利用42=18.8米＞12米,

④点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8<12,判断即可.

【详解】解：过点。的水平线交4B于E,

0Z)£0AC,EA0CZ),0Z)C4=9O°,

回四边形EACD为矩形，

EIED=AC=：L2米，

@XB=B£+AE=Z)Etan45°+Z)Etan30o=12+4V3»12+4X1,7=18.8故①正确；

②EICr)=AE=£)Etan30°=4b«6.8米，故②不正确；

③0AO=2C£>,故40=13.6米48=18.8米>13.8米，团直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学

楼有影响；故③正确；

④团第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，

团点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8<13.8,

团第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害.故④正确

回其中正确的是①③④.

故答案为①③④.

【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判断与性质，掌握解直角三角形方法，矩形的判断与性质是解题

关键.

33.(2022・海南•统考中考真题)无人机在实际生活中应用广泛.如图8所示，小明利用无人机测量大楼的

高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶。处的俯角为45。，测得楼48楼顶A处的俯角为60。.已知楼48和

楼CD之间的距离BC为100米，楼4B的高度为10米，从楼4B的A处测得楼CD的。处的仰角为30。(点A、

B、C、D、尸在同一平面内).

⑴填空：^APD=度，AADC=度;

(2)求楼CD的高度(结果保留根号)；

(3)求此时无人机距离地面BC的高度.

【答案】⑴75；60

(2)(等代+10)米

(3)110米

【分析】(1)根据平角的定义求乙4PD,过点A作力E1DC于点E,再利用三角形内角和求Z4DC；

(2)在RtZkAED中，4ME=30。求出。E的长度再根据CD=DE+EC计算即可；

(3)作PG_LBC于点G,交AE于点尸,证明△4PF三△ZME即可.

【详解】(1)过点A作2E1DC于点E,

M-N

60°y^<45o

D

吕

吕

吕

吕

吕

吕

吕

吕

A30°E吕

二0

BC

由题意得：/-MPA=60°,ANPD=45°,ADAE=30°,

SAAPD=180°-AMPA-乙NPD=75°

/.ADC=90°-^DAE=60°

（2）由题意得：4E=BC=1