解答题压轴题二次函数与几何图形综合（解析版）

专题20解答题压轴题二次函数与几何图形综合(解析版)

模块一2022中考真题集训

类型一二次函数中的最值问题

(1)自变量范围与最值问题

1.(2022•绍兴)已知函数y=-X2+6X+C(b,c为常数)的图象经过点(0,-3),(-6,-3).

⑴求Zbc的值.

(2)当-4W无W0时，求/的最大值.

(3)当加WxWO时，若夕的最大值与最小值之和为2,求加的值.

思路引领：(1)将图象经过的两个点的坐标代入二次函数解析式解答即可；

(2)根据x的取值范围，二次函数图象的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最大值即可

(3)根据对称轴为x=-3,结合二次函数图象的性质，分类讨论得出〃?的取值范围即可.

解：(1)把(0,-3),(-6,-3)代入y=-/+6x+c,

得b=-6,c=-3.

(2)---6x-3=-(x+3)2+6,

又：-4WxW0,

.•.当x=-3时，y有最大值为6.

(3)①当-3<mW0时，

当x=0时，y有最小值为-3,

当x=%时，y有最大值为-加2-6加-3,

-m--6m-3+(-3)=2,

.,.m=-2或机=-4(舍去).

②当机W-3时，

当x=-3时y有最大值为6,

的最大值与最小值之和为2,

最小值为-4,

-("+3)2+6=-4,

=-3-Viong=-3+V10(舍去).

综上所述，加=-2或一3-

总结提升：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得

出m的取值范围是解题关键.

2.（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点。的横坐标和纵坐标相等，则称点尸为和谐点.例如：点

11

（1,1）,（万，-）,（一五，一五），...都是和谐点.

（1）判断函数y=2x+l的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

c人55

（2）若二次函数y=aN+6x+c（Q#0）的图象上有且只有一个和谐点（5，—

①求。，。的值；

1

②若IWxW机时，函数＞="2+6/+°+了（Q¥O）的最小值为-1,最大值为3,求实数加的取值范

围.

思路引领：（1）设函数y=2x+l的和谐点为（x,x）,可得2x+l=x,求解即可；

（2）将点（■|，I"）代入y=ax2+6x+c,再由oy2+6x+c=x有且只有一个根，A=25-4ac=0,两个方程

联立即可求0、c的值；

②由①可知y=-/+6x-6=-（x-3）2+3,当x=l时，y=-l,当x=3时，y=3,当x=5时，y=-

1,则3WaW5时满足题意.

解：（1）存在和谐点，理由如下，

设函数y=2x+l的和谐点为（x,x）,

•・2x+1~~x,

解得x=-L

・•・和谐点为（7,-1）;

z-x55r

（2）①•・•点（万，万）是二次函数y=a/+6x+c（aWO）的和谐点，

525

=—6Z+15+C,

Z4

2525

c=

4Z

,二次函数y=aX2+6x+c（〃/0）的图象上有且只有一个和谐点，

ax2+6x+c=x有且只有一个根，

/.A=25-4ac=0，

25

②由①可知y=-X2+6X-6=-(x-3)2+3,

二抛物线的对称轴为直线x=3,

当x=l时，y=-1,

当x=3时，y=3,

当x—5时,y--1,

,/函数的最大值为3,最小值为-1；

当3W»iW5时，函数的最大值为3,最小值为-1.

总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函

数的性质结合解题是关键.

（2）胡不归问题

3.（2022•淮安）如图（1）,二次函数y=-/+6x+c的图象与x轴交于48两点，与y轴交于C点，点8

的坐标为（3,0）,点C的坐标为（0,3）,直线/经过8、C两点.

（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；

（2）点P为直线/上的一点，过点尸作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M,再过点M作y轴

1_

的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N,当尸〃=产乂时，求点尸的横坐标；

（3）如图（2）,点C关于x轴的对称点为点。，点P为线段上的一个动点，连接NP,点0为线段

/尸上一点，且N0=3P。，连接。0,当34P+4。。的值最小时，直接写出。0的长.

思路引领：（1）用待定系数法求函数的解析式即可；

（2）设尸G,-什3）,则M（f,-a+2什3）,NC2-t,-a+2什3）,则尸“=俨-3小MN=\2-2t\,由

°1

题意可得方程|/2-3H=习2-2t\,求解方程即可；

(3)由题意可知0点在平行于8c的线段上，设此线段与x轴的交点为G,由。G〃8C,求出点G(2,

3

0),作/点关于G0的对称点4,连接4。与4P交于点0,则34?+4。。=4(D0+/P)=4

CDQ+AQ)利用对称性和/。8c=45°,求出4(2,3),求出直线。4的解析式和直线。G的

解析式，联立方程组篇2,可求点°(*再求。0=巨萼.

解：(1)将点B(3,0),C(0,3)代入y=-X2+6X+C,

.(-9+3b+c=0

TC=3'

解得｛肩,

••y=-%2+2X+3,

*•y=~X2+2X+3--(x-1)2+4,

・•・顶点坐标(1,4)；

(2)设直线5。的解析式为

.(3k+b=0

,,(b=3'

解得忆J,

•"•y=~x+3,

设尸(f,-f+3),则Af(/,-3+2什3),N(2-3-冽2+3),

：.PM=\t2-3$MN=\2-2t\,

1

,:PM=^MN,

、1

：.\^-3t\=~\2-2t\,

解得/=1+应或f=l-&或t=2+百或t=2一百，

：.P点横坐标为1+&或1-&或2+百或2-V3：

(3)VC(0,3),。点与C点关于x轴对称，

：.D(0,-3),

令了=0,则-/+2X+3=0,

解得x=-1或x=3,

：.A(-1,0),

J.AB=4,

•・・/。=3尸0,

・・・Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G,

J.QG//BC,

.AQAG

9t~AP=~BA9

.3AG

：.AG=3f

：.G(2,0),

•：OB=OC,

：.ZOBC=45°,

作4点关于G0的对称点4,连接4。与/尸交于点。，

•・・4。=4。

：.AQ+DQ=AQ+DQ^AyD,

3

・・・34尸+4。0=4(。0+/尸)=4(00+40)N44'。，

4

*：ZQGA=ZCBO=45°,AALQG,

・・・NH/G=45°,

•・ZG=4G,

AZAA1G=45°,

・・・N4G4=90°,

・・・H(2,3),

设直线的解析式为y=Ax+b,

.(b=-3

・・l2k+b=3'

解得吐3,

.\y=3x-3,

同理可求直线QG的解析式为y=-x+2,

联立方程组

解得

V=—

V4

53

"Q(74X

总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离

的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键.

45

4.（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-不-4分别与x,y轴交于点/,B,抛物线

3lo

j<~+bx+c恰好经过这两点.

（1）求此抛物线的解析式;

（2）若点C的坐标是（0,6）,将△NC。绕着点C逆时针旋转90°得到叫点/的对应点是点

E.

①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上;

3一

②若点尸是歹轴上的任一点，求三。+即取最小值时，点尸的坐标.

思路引领：(1)根据直线解析式可得点/、3的坐标，代入二次函数解析式，解方程即可；

5Q1

(2)①由旋转的性质可得£(6,3),当x=6时，y=—x62-TX6-4=3,可知点£在抛物线上;

loZ

Z0HP333

②过点后作期交y轴于P,垂足为HsmZABO=—=—=~,则/"=pP,得言BP+EP

/IJDDrbbb

HP+PE,可知印斗尸E的最小值为的长，从而解决问题.

4

解：(1),直线V=-下-4分别与X,»轴交于点4B,

，当x=0时，y=-4；当y=0时，x=-3,

：.A(-3,0),B(0,-4),

抛物线y=踵/+云+。恰好经过这两点.

...扃*(-3)2-36+c=0,

•(二一4

解得#=-5,

(2)①：将△/(%＞绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF,

Z(9CF=90°,CF=CO=6,EF=AO=3,防〃y轴，

：.E(6,3),

51

当x=6时，y=­x62--x6-4=3,

loZ

...点E在抛物线上；

②过点“作即，/瓦交y轴于P,垂足为〃,

\'A(-3,0),B(0,-4),

：.OA=3,05=4,

：.AB=5,

AOHP3

VsinZ^O=-=—=

3

：.HP=-BP,

3

：.-BP+EP=HP+PEf

・••当E,P,H三点共线时，HP+PE有最小值，最小值为的长，

作EG，)轴于G,

•；NGEP=NABO,

tanZGEP=tan/ABO,

.PG_AO

,•丽=寿

・竺1

9

，尸G=5，

93

:.OP=--3=-,

3

：.P(0,

总结提升：本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两

3

点之间、线段最短等知识，利用三角函数将铲P转化为坂的长是解题的关键.

c11

5.(2022•济南)抛物线卜=姓2+7-・6与x轴交于/。，0),B(8,0)两点，与y轴交于点C,直线＞=

4

质-6经过点左点尸在抛物线上，设点尸的横坐标为a.

(1)求抛物线的表达式和，，人的值；

(2)如图1,连接ZC,AP,PC,若△4PC是以CP为斜边的直角三角形，求点尸的坐标；

1

(3)如图2,若点尸在直线上方的抛物线上，过点尸作垂足为。，求CQ+pQ的最大

思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可求解；

1_110A

(2)作尸轴交于跖XTSRPM=­m--—m+6,AM—m-3,通过证明△C。4s利用

44C/C

PM，一

求加的值即可求P点坐标；

3

(3)作PNJ_x轴交5c于N,过点N作轴交于E,通过证明△尸纱62k5。0,求出0N=g尸N,

4551113

PQ=-PN,再由△C7VEs/^C5O,求出CN=]EN=]m,贝UCQ+=•尸N=一1(加一彳)2+

169

不不，即可求解.

16

.11

解：(1)将8(8,0)代入y=an2+丁^-6,

4

646Z+22-6=0,

1

・・・。=一7

111

・“=一不+7・6，

1。11

当y=0时，一不2+—?-6=0,

解得f=3或£=8(舍)，

/./=3,

*：B(8,0)在直线歹=区-6上,

・・・8左-6=0,

3

解得左=I；

(2)作轴交于跖

・・,尸点横坐标为加,

.111

:・P(m,—~rm2+-m-6),

44

111

PM=-m91——m+6,AM=m-3,

44

在RtACO^和RtAAMP中，

*：ZOAC+ZPAM=90°，ZAPM+ZPAM=90°，

：.ZOAC=/APM,

：./\COA^AAMP,

OZPM

—,BPOA*MA=CO*PM,

1c11

3(m-3)=6m2——m+6),

解得加=3(舍)或加=10,

7

：.P(10,--)；

(3)作尸N_Lx轴交于N,过点N作NE_Ly轴交于E,

11131

.PN=~~m2+~m-6-(~m-6)=~~m2+2m,

4444

•尸N_Lx轴,

.PN//OC,

.ZPNQ=ZOCB,

・Rt△尸。NsRtZ\50C,

PNNQPQ

BC~OC~OB'

・05=8,OC=6,5C=10,

34

.QN=~PN,PQ=~PN,

由ACNEsACBO,

55

：.CN=-EN=-m,

44

11

：.CQ+-PQ=CN+NQ+~PQ=CN+PNf

151c113113169

2n2n

/.CQ+~PQ==—7m+-m=—7(m--)+一

上2上44444216

图2

总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性

质是解题的关键.

类型二二次函数中的面积问题

6.（2022•内蒙古）如图，抛物线y=ox2+x+c经过5（3,0）,D（-2,-|）两点，与x轴的另一个交点为

A,与y轴相交于点C.

（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）若点〃在直线5c上方的抛物线上运动（与点2,C不重合），求使面积最大时M点的坐标,

并求最大面积；（请在图1中探索）

（3）设点0在y轴上，点P在抛物线上，要使以点N,B,P,。为顶点的四边形是平行四边形，求所

有满足条件的点P的坐标.（请在图2中探索）

思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；

(2)作直线8C,过M点作儿轴交8C于点N,求出直线8c的解析式，设M(加，-|m2+m+|),

1313327

则--m+T),S^MBC^^'MN'OB=--(7w--)2+T7-再求解即可；

zzzq/io

13

(3)设。(0,力，P(m,--m2+m+-),分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②

当为平行四边形的对角线时；③当NP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平

分，利用中点坐标公式求解即可.

5、

解：(1)将8(3,0),£>(-2,--)^Ky=ax1+x+c,

(9Q+3+c=0

|4Q-2+c=—-

I2

3

令x=o,则y=5,

3

：.C(0,-)；

(2)作直线5C,过〃点作MN〃丁轴交BC于点N,

设直线BC的解析式为歹=区+儿

(3k+b=0

・*=一

解得｛32,

r=2

13

-y=-2x+2

设Af(加，一,加2+根+5)，则N(加，——m+-

1，3

/.MN=_万加+/，

13327

'­S^MBC=yMN-OB=--(m--)2+—>

Z4-Z±O

327

当加=5时，△MBC的面积有最大值77，

zlo

315

此时Af(-,—)；

乙o

1c3

(3)令y=0,则-牙：2+工+5=0,

解得x=3或x=-1,

：.A(-1,0),

设。(0,t),P(m,—~m2+m

①当45为平行四边形的对角线时，加=3-1=2,

3

：.P(2,~)；

②当4。为平行四边形的对角线时，3+加=-1,

解得m=-4,

21

:・P(-4,

③当AP为平行四边形的对角线时,m-1=3,

解得冽=4,

5

・••尸(4,--)；

3215

或(-4,--)或(4,

总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分

类讨论是解题的关键.

7.(2022•淄博)如图，抛物线y=-/+bx+c与x轴相交于4,3两点(点/在点2的左侧)，顶点。(1,

4

4)在直线/：y——x+t_t,动点尸(m,n)在x轴上方的抛物线上.

(1)求这条抛物线对应的函数表达式：

(2)过点尸作尸轴于点M,PN11于点、N,当1＜加＜3时，求尸M+PN的最大值；

(3)设直线4P,8P与抛物线的对称轴分别相交于点E,F,请探索以/,F,B,G(G是点E关于x

轴的对称点)为顶点的四边形面积是否随着尸点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；

若变化，说明理由.

思路引领：(1)利用顶点式求解，可得结论；

(2)如图，设直线/交x轴于点T,连接尸7,BD,BD交PM于点、J.设尸(m,-w2+2m+3).四边形

115

DT8P的面积=△尸£＞7的面积+△尸的面积=5XD7X/W+5X=5(PM+PN),推出四边形

O7KP的面积最大时，PM+PN的值最大，求出四边形。窃P的面积的最大值，可得结论；

(3)四边形4ESG的面积不变.如图，设尸("?，-m2+2m+3),求出直线4P,8尸的解析式，可得点

E,尸的坐标，求出尸G的长，可得结论.

解：(1):抛物线的顶点。(1,4),

,可以假设抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-，+2x+3；

(2)如图，设直线/交x轴于点7,连接尸7,BD,BD交PM于■点、J.设尸(怙-m2+2m+3).

4

点。（1,4）在直线/：y=-^x+t_b,

4

.*.4=~+6

8

••t—

48

直线DT的解析式为V=+§，

令歹=0，得到x=-2,

：.T(-2,0),

・•・OT=2,

•:B(3,0),

：・OB=3,

:・BT=5,

"7=<32+42=5,

：.TD=TB,

■:PMLBT,PN1DT,

115

，四边形。窃尸的面积=/\尸。7的面积+ZYP37的面积=5XZ)7XPN+5X窃义P"=5(PM+PN),

四边形DTBP的面积最大时，PM+PN的值最大，

,:D(1,4),B(3,0),

直线BD的解析式为y=-2x+6,

•.J(加，-2加+6),

PJ—-冽2+4冽-3,

•・,四边形DTBP的面积=△。变的面积+45QP的面积

11c

=-x5X4+-x(一加2+4机-3)X2

=-m2+4m+7

=-(m-2)2+11

V-1<0,

・••冽=2时，四边形。叠尸的面积最大，最大值为11,

222

••・弘什川的最大值=工乂11=无~；

48

解法二：延长〃尸交直线/与点“，易得直线/：y=-x+-,

48

:.H(加，~m+§)设直线/交x轴于点C,交y轴于点L,

：.C(-2,0),L(0,

10

/.CL=—,

3

sinZCLO=

由LO//HM,

：.ZNHM=ZCLO,

3

：.sinZNHM=­9

4821

J.PH=-m+-+m2-2m-3=nr—~m—~,

3

：.PN=~PH,

321222

*.PM+PN=-m1+2m+3+~=~~(m-2)24--

2

v--<o,

22

・••冽=2时，尸A什PN的值最小，最小值为w；

(3)四边形/用G的面积不变.

理由：如图，设尸(冽，-m2+2m+3)，

・・•/(-1,0),B(3,0),

直线AP的解析式为y=-(冽-3)x-加+3,

：.E(1,-2m+6),

,:E,G关于x轴对称,

：.G(1,2m-6),

直线P8的解析式y=-(机+1)x+3(m+1),

：.F(1,2m+2),

GF=2m+2-(2m-6)=8,

11

四边形AFBG的面积=-xABXFG=5X4X8=16.

总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是

学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.

类型三二次函数与角度问题

8.(2022•范泽)如图，抛物线y=ax2+6x+c(aWO)与x轴交于/(-2,0)、B(8,0)两点，与y轴交于

点C(0,4),连接NC、BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)将沿NC所在直线折叠，得到△ADC,点3的对应点为。，直接写出点。的坐标，并求出

四边形04DC的面积;

(3)点P是抛物线上的一动点，当/PC8=/48C时，求点P的坐标.

思路引领：(1)利用待定系数法解答即可;

(2)过点。作无轴于点E,利用轴对称的性质和三角形的中位线的性质定理求得线段OK,DE,

则点。坐标可得；利用四边形04DC的面积=Sc+%4mSUDC=S“BC，利用三角形的面积公式即

可求得结论;

(3)利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点尸在上方时，利用平行线的判定与性

质可得点C,尸的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论②当点尸在2C下方时，设PC交x

轴于点X,设HB=HC=m,利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得加值，则点〃坐标可求；利

用待定系数法求得直线PC的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P坐标;

解：(1):抛物线y="2+bx+c(aWO)与x轴交于/(-2,0)、B(8,0)两点，与y轴交于点C(0,

4),

(4a-2b+c=0

・，.，64a+8b+c=0,

lc=4

1

解得:

二17

c=4

1r3

抛物线的表达式为V=--X2+亍+4

(2)点。的坐标为(-8,8),理由:

将△/BC沿4C所在直线折叠，得到△4DC,点3的对应点为。，如图,

过点。作。轴于点E,

(-2,0)、B(8,0),C(0,4),

：.OA=2f05=8,OC=4.

tOA1OC1

9~OC=2f~OB=2f

.OAOC

^~OC=~OB'

VZAOC=ZCOB=90°,

J△AOCsdCOB,

：.ZACO=ZCBO.

9：ZCBO+ZOCB=90°,

AZACO+ZOCB=90°,

AZACB=90°,

・・,将△4BC沿4C所在直线折叠，得到△/OC,点6的对应点为。,

:•点、D,C,5三点在一条直线上.

由轴对称的性质得：BC=CD,AB=AD.

VOCLAB,DELAB,

：.DE//OC,

・・・OC为的中位线，

：・OE=OB=8,DE=2OC=8,

：.D(-8,8)；

由题意得：SMCD=S“BC，

・'.四边形OADC的面积=5404(7^立4£)0

=SAOAGSAABC

11

=-xOC^OA+-XAB9OC

11

=-x4X2+-x10X4

=4+20

=24；

：.PC//AB,

・••点C,P的纵坐标相等，

・••点。的纵坐标为4,

人e173

令歹=4,则一/2+千+4=4,

解得：％=0或%=6,

：.P(6,4)；

/PCB=NABC,

：.HC=HB.

设HB=HC=m,

：・OH=OB-HB=8-m,

在RtACOH中,

OU+O停=C*

42+(8-m)2=加2,

解得：m=5,

：.OH=3,

：.H(3,0).

设直线PC的解析式为y=fct+小

.Cn=4

,•I3fc+n=

解得:尸V.

In=4

4

.*.y=—

’T3X+4.

4一

y=——x+4

??3，

y—~~7X2+—x+4

(=34

解得:0二二三”

丫2—Q

综上，点尸的坐标为（6,4）或（W，一二~）・

总结提升：本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐

标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示

出相应线段的长度是解题的关键.

1、

9.（2022•鞍山）如图，抛物线y=-]x2+6x+c与x轴交于/（-1,0）,2两点，与y轴交于点C（0,2）,

连接BC.

（1）求抛物线的解析式.

（2）点P是第三象限抛物线上一点，直线网与了轴交于点D,△BCD的面积为12,求点尸的坐标.

（3）在（2）的条件下，若点£是线段8c上点，连接OE,将△。仍沿直线OE翻折得到△OE9,当直

线与直线BP相交所成锐角为45°,时，求点方的坐标.

备用图

思路引领：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；

(2)先由△3DC的面积求出。。的长，从而确定。点坐标为(0,-4),再由待定系数法求出直线8。

的解析式，直线AD与抛物线的交点即为所求；

1

(3)当夕在第一象限时，由/OD8=45°,可知£b〃CD,求出直线8c的解析式，可设EG,--

什2),在RtZXOAB冲，377=416—产，贝U=416—产+m-2,在RtzXBAE中，由勾股定理得

_____11

(，16-产+万—2)2=(4-02+(--/+2)2,求出/的值即可求8坐标；当⑶在第二象限时，B'G//x

1

轴，可得四边形802E是平行四边形，则8G-4,-亍+2),由折叠的性质可判断平行四边形是

菱形，再由2£=。2,可得J(4一t)2+(一•1t+2)2=4,求出/的值即可求9坐标.

1°

解：(1)将/(-1,0),C(0,2)代入y=-亍2+及+以

,,|---h+c=0,

I2

解得R=2,

U=2

193

••y=~2X+矛+2;

1C3

(2)令y=0,贝1)一万工2+亍+2=0,

解得x=-1或x=4,

：.B(4,0),

・・・。5=4,

1

X4X

•,-5ABCD=2(2+8)=12，

：.OD=4f

：.D(0,-4),

设直线5。的解析式为

.(b=-4

,・l4k+b=0'

解得忆1

•»y^x-4,

(y=x—4

联立方程组［y=_*+|比+2，

解得限展或｛；片，

.”(-3,-7)；

(3)如图1,当夕在第一象限时，

设直线BC的解析式为了=心+〃，

.(b'=2

••14玄+"=0'

解得卜'=一'

ibf=2

1

••y——~x+2,

1

设£(K—~t+2),

1

：.OH=t,£〃=一5什2,

,:D(0,-4),B(4,0),

：.OB=OD,

：.ZODB=45°,

•・,直线与直线5尸相交所成锐角为45°,

:・EB〃CD,

由折叠可知，OB，=BO=4,BE=B，E,

在RtZkOHS，中，8'〃=Jl6T2,

________1________1

**•B'E=V16—12-(-万什2)=V16—t2+5,-2,

:・BE=716-t2+2,

_____11

在RtzX3/ffi•中，(J16-产+歹2)2=(4-t)2+(--r+2)2,

解得/=±管,

・・・0WK4,

.4V5

..1=---,

.Q等哈

如图2,当⑻在第二象限，/BGB'=45°时,

VZABP=45°，

・・・EG〃x轴,

•・,将△（?即沿直线OE翻折得到

:・BE=B'E,OB=OB',/BOE=/B'OE,

：./BOE=NB'EO,

；・B'E〃B'O,

•:B'E=BO,

・•・四边形"。5£是平行四边形,

；・B'E=4,

1

「・5,(％-4,一万叶2),

由折叠可知OB=OB'=4,

・•・平行四边形是菱形,

:・BE=OB,

J(4-t)2+(―"11+2)2=4,

解得(=4+—或％=4———,

•・,OW0,

8V5

•.•I一—4~~,

・W-噌等

综上所述：8的坐标为（等，等）或（-等，管）.

方法2：在Rt^BC。中，BC=2心CO：OB：5C=1：2：瓜

与无轴和y轴的夹角都是45°,AP与BE的夹角为45°,

.•.3£〃x轴或9£〃N轴,

当B'E//y轴时，延长B'E交x轴于F,

J.B'FLOB,

•:NCBA=NOB'E,

:.△OB'FsACBO,

：.OF：FB'-.80=1：2：V5.

\'OB=OB'=4,

."。=等“=喑

"（等等）;

当B'E//x轴时，过9作B'FVx中交于F,

：.B'F±OF,B'E//OB,

,:B'E和BE关于OE对称，OB和。夕关于OE对称,

:.BE〃OB',

,?ZFOB'=ZOBC,

MOB'FsABCO,

；.B'F：FO：08'=1：2：V5.

：OB=OB'=4,

册等吁喑

综上所述：8坐标为（管，等）或（-等，写）.

Br

图1

总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，折

叠的性质，勾股定理的应用是解题的关键.

类型四二次函数与圆综合

10.(2022•扬州)如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在X轴上，且48=

8成;，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC=8d〃?.现计划将此余料进行切割：

(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的面积；

(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长；

(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3曲的圆，请说明理由.

思路引领：(1)先根据题意求出抛物线的解析式，当正方形的两个顶点在抛物线上时正方形面积最大,

先根据GH=2OG计算H的横坐标，再求出此时正方形的面积即可；

1、

(2)由(1)知：设--f2+8)(f>0),表示矩形即G"的周长，再根据二次函数的性质求出最值

即可；

(3)解法一：设半径为3面的圆与相切，并与抛物线相交，设交点为N,求出点N的坐标，并计算

点N是圆M与抛物线在了轴右侧的切点即可.

解法二：计算MV2,配方法可得结论.

解法三：同解法二得跖V2,利用换元法可解答.

解：(1)如图1,由题意得：A(-4,0),B(4,0),C(0,8),

设抛物线的解析式为：y=ax2+8,

把8(4,0)代入得：0=16a+8,

1

••a=—―,

・•・抛物线的解析式为：j=-p2+8,

•・•四边形瓦文?"是正方形，

：.GH=FG=2OG,

1.

设”(/,一万及+8)(r>0),

1。

，一万於+8=2,，

解得：-2+2代，益=~2-2V5(舍)，

J此正方形的面积二方^二(2。2=4於=4(-2+2V5)2=(96-32而)dm2；

1.

(2)如图2,由(1)知:设一万户+8)。>0),

1

二矩形的周长=2网升268=4什2(--r2+8)=-?2+4f+16=-(f-2)2+20,

:-1<0,

.•.当/=2时，矩形EFG”的周长最大，且最大值是20而；

(3)解法一：若切割成圆，能切得半径为3加的圆，理由如下：

如图3,N为OM上一点，也是抛物线上一点，过N作OM的切线交了轴于。，连接过点N作NP

A.y轴于P,

则TW=OM=3,NQLMN,

设N("?,-5，/+8),

由勾股定理得：PM^PN2-^MN2,

：.m2+(-|OT2+8-3)2=32,

解得：加i=2&,加2=_2V2(舍)，

：.N(2V2，4),

：.PM=4-3=1,

PMMN1

•：COSZNMP=—=-^=~,

：.MQ=3MN=9,

：.Q(0,12),

设。N的解析式为：y=kx+b,

.(b=12

,，l2V2/c+b=4,

•(k=-2A/^

•,U=12'

・・・0N的解析式为：丁=-2缶+12,

—亍2+8=-2A/^X+12,

丁-2V2x+4=0,

1

△=(-2V2)2-4X-X4=0,即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，

・・・若切割成圆，能切得半径为3dm的圆.

1.

解法二：如图3,取点M(0,3),在抛物线上取点N(冽，一万加2+8),且o〈加V4,

11

贝！］叱=加2+(--2_3)2-(2,)2+%

Zm+8=4m8

二当机=2五时，AW有最小值为3,此时抛物线上除了点N,“(点N,M关于y轴对称)外，其余各

点均在以点加r((),3)为圆心，3而为半径的圆外(铁皮底部边缘中点。也在该圆上)，

二若切割成圆，能切得半径为3切?的圆.

1、

解法三：如图3,取点M(0,加)，在抛物线上取点N(°,-5a2+8),且0<〃<4,

1

22

则MN=cr+(-5a2+8-m),

11

令则(—/+8-加)2=—(y+2m-14)2+15-2m,

解的最小值是15-2m,

当儿W的最小值=。河=%时，O。与抛物线相切，此时OM最大，

V15-2m-m,

:.m=-5(舍)或3,

若切割成圆，能切得半径为3dm的圆.

总结提升：本题是二次函数与圆，四边形的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解

析式，圆的切线的性质，矩形和正方形的性质，二次函数的最值问题，综合性较强，并与方程相结合解

决问题是本题的关键.

11.（2022•盐城）【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点。为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心

圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律.

【提出问题】

小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上.

图1图2备用图

【分析问题】

小明利用已学知识和经验，以圆心。为原点，过点。的横线所在直线为x轴，过点。且垂直于横线的直

线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示.当所描的点在半径为5

的同心圆上时，其坐标为（-3,4）或（3,4）.

【解决问题】

请帮助小明验证他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明继续思考：设点尸（0,〃?），〃，为正整数，以。尸为直径画OM,是否存在所描的点在O"上.若存

在，求加的值；若不存在，说明理由.

思路引领：【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4,利用勾股定理，即可求出该点的横坐标，进

而可得出点的坐标；

【解决问题】设所描的点在半径为〃（"为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（"-1）,利用勾股

定理可得出该点的坐标为（-怎二L1）或（收二L1）,结合点横、纵坐标间的关系，可得出

1、1

该点在二次函数了=亍2_万的图象上，进而可证出小明的猜想正确；

【深度思考】设该点的坐标为（±仿［二I，〃-1），结合O"的圆心坐标，利用勾股定理，即可