江西省临川某中学2024-2025学年度高一年级上册第三次月考（12月）数学试题【含解析】

临川二中2024-2025学年度上学期高一

第三次月考数学卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.命题“三》〉1,Inx—x+l〉0，，的否定为（）

A.3x>1,lnx-x+l<0B,3x<l,lnx-x+l>0

C.Vx<l,lnx-x+l>0D,Vx>l,lnx-x+l<0

【答案】D

【解析】

【分析】利用特称命题的否定即可得.

【详解】命题lnx-x+1〉0”的否定为：“Vx〉l,Inx-x+1<0

故选：D.

2.下列函数中，既是奇函数又是区间（0,+。）上的增函数的是（）

A.y=lnxB.y=2x

C.y=x-D.y=x3

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性排除AB,根据单调性排除C,即可得到正确答案.

【详解】对A：因为函数歹=1皿的定义域为Q+oo）,

所以函数>=1皿是非奇非偶函数，可排除A；

-I11

对B：因为2T=—,21=2，则一/2,且一+2w0,

222

所以函数歹=2工是非奇非偶函数，可排除B；

对C：幕函数y=♦在（0,+oo）上单调递减，所以可排除C；

对D：因为函数y=/的定义域为R,定义域关于原点对称，

33

（_x）=-X,所以歹=》3为奇函数，

又y=Y在（0,+8）上单调递增，故D正确.

故选：D

3.已知。＞0,且〃eN"下列三个式子，正确的个数为（）

]_—n

1

①②疗=a；@an

a

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】利用指数募的运算性质可判断①③；利用根式的运算性质可判断②.

【详解】因为。＞0,“22且〃eN*，

对于①,①错;

对于②,当〃为奇数时，位=a；当"为偶数时，折=同=。，②对;

—n

1_!

对于③,。一1I二优WQ",③错.

a

所以，正确的个数为1.

故选：B.

4.设机e(0,l),若a=lg机，b=\gm2,c=（lg机则（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】C

【解析】

【分析】由对数运算公式可得6=21g冽，由条件结合对数函数的性质可得1g加＜0,结合不等式性质比较

a,b,c大小.

【详解】•.“（0,1）,

・•.Q=lg加<0,Z7=1gm2=21gm<1gm=<2,c=(Igm)2>0,

­­c>a>b.

故选：C.

5.函数/(x)=2'与g(x)=—1—1的交点横坐标所在的一个区间是()

A.(-7,-6)B.(-6,-5)C,(-5,-4)D.(-4,-3)

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数以》)=2工+；》+1,再根据零点的存在性定理即可得解.

【详解】构造函数/z(x)=2x+；x+l,

因为函数y=2£和了=；x+l都是增函数，

所以〃(尤)是增函数,又〃(―6)<0,A(-5)>0,

所以函数的零点在(一6,-5)内,

即函数/(x)=2'与g(x)=-的交点横坐标所在的一个区间是(-6,-5).

故选：B.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点的函数值来确定正确答案.

【详解】Jx，+1-x>=|x|-x>0,Vx2+1-x>0，

令yJx2+1-x=1,Vx2+1=x+l,x=0<

所以/(x)的定义域是{x|xwO},

7

2f+2、2r+2、

x2+1-xj,所以/(x)是奇函数,

<Vx2+1-xJ

图象关于原点对称,所以CD选项错误.

5

=___2___<0,所以A选项错误，所以B选项正确.

ln(V2-l)

故选：B

7.下列选项中，是“0是集合M={x|ax2+2x+l=0,Q£R}的真子集，，成立的必要不充分条件的是

()

A.ae(-oo,0)B.ae(-<»,0]

C.ae(-co,l]D.ae(-co,2)

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可知河|XE,即方程口/+2》+1=0有实数解，当。=0时，符合题意，当时，由

A=4-4a>0解得。的范围即为“。是集合拉={x|ax2+2x+l=0,aeR}的真子集”成立的充要条件，即

为所选选项的真子集，进而可得正确选项.

【详解】若"0是集合M={x|ax2+2x+l=0,aeR}的真子集”

所以A/={x|ax2+2x+1=0,aeR}w0,

所以方程办2++1=0有实数解，

当a=0时，由2x+l=0可得x=符合题意，

当aW0时，由△=4-4a>0可得a<1,

所以。W1且aW0,

综上所述：M={x|ax2+2x+l=O,aeR)^0的充要条件为a<l；

即“0是集合河=卜|a—+2x+1=0,aeR}的真子集”成立充要条件为a<l；

所选集合是a<1的必要不充分条件，则应是所选集合的真子集,

由选项判断A,B,C都不正确，选项D正确；

故选：D.

8.荀子《劝学》中说：“不积蹉步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程,

每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把（1+1%）365看作是每天的“进步”率都是1%,一年后是

1.01365»37.7834;而把看作是每天“退步”率都是1%,一年后是0.99兆5B0.0255.若“进步”的值

是“退步”的值的10倍，大约需经过（参考数据：lgl01"2.0043,lg99“L9956）（）天.

A.100天B.105天C.110天D,115天

【答案】D

【解析】

【分析】结合已知条件，利用对数运算即可求解.

【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的10倍.

则10x0.99、=1.01、，即（澈『=10,

故恒（黑）7gio=i，故户舟画引⑸

故大约经过115天.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出选项中，有多项符合题目

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的不得分.

9.托马斯说：“函数是近代数学思想之花”，根据函数的概念判断：下列关系属于集合2={-1,0,1}到集合

8={0,1}的函数关系的是（）

A.y=2xB,y=\x\

12

C.y=-D.y=x

x

【答案】BD

【解析】

【分析】通过分析不同函数中对应的集合A中元素的值，即可得出结论.

【详解】由题意，

4={—1,0,1},8={0,1}

A项，在y=2x中，当x=—1,0』时，对应函数值为一2,0,2,与集合B不对应，A错误；

B项，在>=国中，当x=-l,0,l时，对应的函数值分别为1,0,1,B正确；

C项，在>=工中，当x=-1,0』时，定义域不合要求，C错误；

X

D项，在>=/中，当x=-1,0/时，对应的函数值分别为1,0,1,D正确；

故选：BD.

10.下列命题成立的是()

A.若a<6<0,则/+/〉+B.若a〉b〉0,则a—>b——

ab

C.若a<6<0,贝！|—<—D.若a〉b〉0,则一<-----

abaa+2

【答案】BD

【解析】

【分析】利用特殊值和不等式的性质即可确定正确答案.

【详解】对于A选项，取。=—2,b=-l,则/+63=_9<_6=。2人+仍2,所以A选项错误.

对于B选项，若a〉b〉0,则a-；=(b—》+(a—b)(l+答)》b",所以B选项正确.

对于C选项，取a=—2,b=-l,贝H=V>-1=；,所以C选项错误.

a2b

对于选项，若则所以选项正确.

DQ>b>0,——--------<-------------8-+--2,D

aa(a+2)a(a+2)a+2

故选：BD.

11.已知定义在R上的函数y=/(x),对任意实数。也c满足/+62=02,均有

/(。)+/伍)+/(。)=0.函数g(x)=/(x)+2x+3在xe[-2,2]的最大值和最小值分别为M，加.则下

列说法正确的是()

A./(x)必为奇函数

B./(x)可能为偶函数

C.M+加不一定为定值，且与/(x)的单调性有关

D.M+加为定值，且定值为6

【答案】ABD

【解析】

【分析】赋值法判断A,B,再运用奇偶性质求出最大最小值之和判断C,D.

【详解】令a=8=c=0,满足/+62=02,则有/(o)+/(o)+/(o)=o,贝g/(o)=o；

^a=-x,b=O,c=x,满足/+〃=°2,则有/(一》)+/(0)+/吊)=0,gpf(-x)=-f(x),

且定义域为R关于原点对称，故函数/(X)为奇函数；A正确.

若/(x)=0,则/(x)符合题意且为偶函数；则B正确.

因为/(x)与2x为奇函数，故/(x)+2x也为奇函数，设其在[-2,2]的最大值与最小值分别为Mo与

加0，

由奇函数的性质M0+%。=0,对于函数g(x)=/(x)+2x+3,其最大值与最小值分别为

M=Mo+3,m=m0+3,

故M+优=6,C错误，D正确.

故选:ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/(x)的图象如图所示，则/(x)的值域为.

【答案】[-1,2]

【解析】

【分析】根据函数图象即可得出函数的值域.

【详解】由图象可知，函数f(x)的值域为[T,2].

故答案为：[T2].

13.已知函数/(力=1080.5(/-"+3。)在(2,+00)上单调递减，则实数。的取值范围.

【答案】[■4,4]

【解析】

【分析】根据复合函数的单调性，结合真数大于零，列出不等式求解即可.

【详解】由题意，函数〉=/—"+3。在（2,+8）上单调递增,

且Y一ax+3a〉0对于xe（2,+co）恒成立，

为2

则《2,解得一4<。<4,

2~—2a+3a>0

即实数。的取值范围为[-4,4].

故答案为：[-4,4].

x2+4、

14.已知函数/（x）=<jx,若对任意的西e[2,+8）,都存在唯一的/e（-oo,2）,满足

2A&x<2

/（X2）=/（%1）,则实数。的取值范围是.

【答案】0Wa<4

【解析】

【分析】利用基本不等式求出2时的值域，由题意/（x）可得在2时的值域包含在x<2时的值域

范围，且V24时一个y的值只能有2个x值与之对应，根据函数单调性即可求解实数。的取值范围.

【详解】当xN2时，函数/（x）=x+±22jx・？=4,当且仅当％即x=2时，等号成立，

所以>=二在[2,+8）上的值域为[4,+8）,且/（X）=X+±在[2,+8）上单调递增；

XX

当x<2时，则/（X）=2-4,

①当a<2时，由y=2,单调递增，/=卜-4在（-e,a）上单调递减，在（a,2）上单调递增，

所以/（x）=2i在（-叫。）上单调递减，在（凡2）上单调递增，且/⑷=1<4,

要使对任意的王e[2,+8）,都存在唯一的马6（一。,2）,满足/（》2）=/（玉），

则2酎4<4,所以|2-a|42,解得0<a<4,又。<2,所以0〈a<2；

②当a22时，/（x）=2°r在（-。,2）上单调递减，要使对任意的玉e[2,+。），

都存在唯一的/e（-°°，2）,满足/（》2）=/（苞），则2>2<4，解得a<4,

又所以2VQ<4；

综上所述，实数。的取值范围是0Wa<4.

故答案为：0Wa<4

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.

15.化简求值：

(1)2T+2-(e-l)(+-7=------164；

V5+2

(2)lgVs+lgyj20+1g——1g25

【答案】⑴7+V5

(2)-1

【解析】

【分析】(1)根据指数、根式运算来求得正确答案.

(2)根据对数运算来求得正确答案.

【小问1详解】

2V+2-(e-l),

V5-2

(33)J+2+

=32+2+V5-2-2=7+V5.

【小问2详解】

lgV5+lgV20+lg；—lg25

=lglO+lgW2=l-2=-l

16.已知函数/(x)=a*,(a>0且aw1).

(1)若/(D+/(—l)=g，求〃2)+〃一2)的值；

Q

(2)若函数/(x)在［-1』上的最大值与最小值的差为求实数。的值.

17

【答案】⑴/(2)+/(-2)=—

(2)。的值为3或4.

3

【解析】

【分析】(1)利用/(l)+/(—l)=g,求出。，得到结果.

(2)判断函数/(x)在上的单调性，利用单调性求函数的最值，通过已知条件列方程求解即可.

【小问1详解】

v/(x)=ax,+=

.••/(l)+/(T)=a+X,

解得：〃=2或。=一，

2

17

当a=2时，/(x)=2工，/(2)+/(-2)=22+2-2=—,

当”;时，/(*)=0,/⑵+/(-2)=出+出=5'

故+=

【小问2详解】

当a〉l时，/(》)=/在［-1』上单调递增，

Q

/OOmin=/⑴一/(一1)="/=『

化简得3/—8。一3=0，

解得：(舍去)或。=3.

当0<4<1时，/(》)=/在［—1』上单调递减，

Q

・••/(X)max-/Wmin=/(-1)-/(1)=G-。,

化简得3a2+8”3=0.

解得：a=-3(舍去)或。=’.

3

综上，实数。的值为3或』.

3

17.函数=—c,其中ceR.

(1)若c=l,求/(x)的零点；

(2)若函数/(x)有两个零点为，x2(xt<x2),求4再+々的最小值及取得最小值时的。值.

【答案】(1)1和100

(2)[40,+“)

【解析】

【分析】(1)将。=1代入，令/(x)=0,结合对数运算求得x的值即可得出答案；

(2)将两个零点用。表示，结合基本不等式即可得解.

【小问1详解】

当c=l时，/(x)=|l-lgx|-l,

令/(x)=0,可得—=所以lgx=0或lgx=2,

解得x=l或x=100,即函数/(x)的零点为1和100；

【小问2详解】

令/(x)=0,可得(_lgx|=c,显然此时c>0,

可得1-Igx=c或1一Igx=-c,由$<々得％=10〜或%=101+c,

则4^+x,=4x101-c+101+e>2V4xlO1-exlO1+c=40，

当且仅当4x10〜=101+c，即c=lg2时等号成立，

故4再+x2的取值范围为[40,+。).

18.环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在国道上进行测试，

国道限速80km/h.经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的数据

如下表所示：

V0104060

M0132544007200

为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：

①M(v)=£v3+bv2+cv；②A/2(V)=1OOO[|J+a；③=3001og“v+6.

(1)当80时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型(需说明理由)，并求出相应的函

数解析式；

(2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km,国道上行驶30km,若高速

路上该汽车每小时耗电量N(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的关系满足"(丫)=2y_101，+200

(80WvW120),则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？

【答案】(1)M(v)='v3+bv2+cv符合，M,(y)=—v3-2v2+150v

4040

(2)当高速路上速度为80km/h,国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh

【解析】

【分析】(1)根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可；

(2)根据题意可得高速路上的耗电量/(v)=400(v+39-5),再分析了什)的单调性求得告诉上的耗电量,

V

再根据⑴中求得的M(")=，/_2”2+150V,可得国道上的耗电量〃(v)=30由(v—Of+llO],根据

二次函数的最值分析最小值即可

【小问1详解】

因为函数M2(V)=IO°O1|]+。是定义域上的减函数，又可3(。)无意义，所以函数

AG(v)=100。+。与M3(v)=300log/+6不可能是符合表格中所列数据的函数模型,

1a,

故加;。)=打丫3+加2+”是可能符合表格中所列数据的函数模型.

1

Q=----

M(10)=132540

由<拉](40)=4400,

得:b=-2,所以2V2+i50v

M(60,=7200

c=180

【小问2详解】

由题意，IWJ速路上的耗电量/。)=N(v)x-----=400(vH--------5)

VV

任取匕,匕e[80,120],当匕<匕时，/(v,)-/(v2)=40°。「匕"T㈣<0

所以函数y=/(v)在区间[80,120]上是增函数，所以/“=/(80)=30500wh

国道上的耗电量h(v)=M.(v)x—=30(—V2-2V+150)=30[—(v-40)2+110]

―v4040

所以。⑺mm="(40)=3300Wh

所以当高速路上速度为80km/h,国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh

2

19.已知函数/(x)=lgmH-----，meR.

2X

(1)当机=一1时，求函数/(x)的定义域；

(2)若函数g(x)=/(x)+2xlg2有且仅有一个零点，求实数机的取值范围；

(3)任取4x2&[t,t+2],若不等式|/(再)一/(%)卜1对任意才且1,21恒成立，求实数加的取值范

围.

【答案】(1)("J)

(2)[O,+c»)U{-l}

(3)[----,+oo)

12

【解析】

2

【分析】(1)将机=一1代入/(X)中，根据—1+级＞0,解出不等式即可；

(2)由题可知，函数g(x)=lg[M++2xlg2有且仅有一个零点，则可得机伍)2+2・2=1=0方程

有且仅有一个根，然后求出机的范围；

(3)由条件可得/(