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文档简介
临川二中2024-2025学年度上学期高一
第三次月考数学卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.命题“三》〉1,Inx—x+l〉0,,的否定为()
A.3x>1,lnx-x+l<0B,3x<l,lnx-x+l>0
C.Vx<l,lnx-x+l>0D,Vx>l,lnx-x+l<0
【答案】D
【解析】
【分析】利用特称命题的否定即可得.
【详解】命题lnx-x+1〉0”的否定为:“Vx〉l,Inx-x+1<0
故选:D.
2.下列函数中,既是奇函数又是区间(0,+。)上的增函数的是()
A.y=lnxB.y=2x
C.y=x-D.y=x3
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性排除AB,根据单调性排除C,即可得到正确答案.
【详解】对A:因为函数歹=1皿的定义域为Q+oo),
所以函数>=1皿是非奇非偶函数,可排除A;
-I11
对B:因为2T=—,21=2,则一/2,且一+2w0,
222
所以函数歹=2工是非奇非偶函数,可排除B;
对C:幕函数y=♦在(0,+oo)上单调递减,所以可排除C;
对D:因为函数y=/的定义域为R,定义域关于原点对称,
33
(_x)=-X,所以歹=》3为奇函数,
又y=Y在(0,+8)上单调递增,故D正确.
故选:D
3.已知。>0,且〃eN"下列三个式子,正确的个数为()
]_—n
1
①②疗=a;@an
a
A.0B.1C.2D.3
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数募的运算性质可判断①③;利用根式的运算性质可判断②.
【详解】因为。>0,“22且〃eN*,
对于①,①错;
对于②,当〃为奇数时,位=a;当"为偶数时,折=同=。,②对;
—n
1_!
对于③,。一1I二优WQ",③错.
a
所以,正确的个数为1.
故选:B.
4.设机e(0,l),若a=lg机,b=\gm2,c=(lg机则()
A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a
【答案】C
【解析】
【分析】由对数运算公式可得6=21g冽,由条件结合对数函数的性质可得1g加<0,结合不等式性质比较
a,b,c大小.
【详解】•.“(0,1),
・•.Q=lg加<0,Z7=1gm2=21gm<1gm=<2,c=(Igm)2>0,
c>a>b.
故选:C.
5.函数/(x)=2'与g(x)=—1—1的交点横坐标所在的一个区间是()
A.(-7,-6)B.(-6,-5)C,(-5,-4)D.(-4,-3)
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数以》)=2工+;》+1,再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】构造函数/z(x)=2x+;x+l,
因为函数y=2£和了=;x+l都是增函数,
所以〃(尤)是增函数,又〃(―6)<0,A(-5)>0,
所以函数的零点在(一6,-5)内,
即函数/(x)=2'与g(x)=-的交点横坐标所在的一个区间是(-6,-5).
故选:B.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点的函数值来确定正确答案.
【详解】Jx,+1-x>=|x|-x>0,Vx2+1-x>0,
令yJx2+1-x=1,Vx2+1=x+l,x=0<
所以/(x)的定义域是{x|xwO},
7
2f+2、2r+2、
x2+1-xj,所以/(x)是奇函数,
<Vx2+1-xJ
图象关于原点对称,所以CD选项错误.
5
=___2___<0,所以A选项错误,所以B选项正确.
ln(V2-l)
故选:B
7.下列选项中,是“0是集合M={x|ax2+2x+l=0,Q£R}的真子集,,成立的必要不充分条件的是
()
A.ae(-oo,0)B.ae(-<»,0]
C.ae(-co,l]D.ae(-co,2)
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知河|XE,即方程口/+2》+1=0有实数解,当。=0时,符合题意,当时,由
A=4-4a>0解得。的范围即为“。是集合拉={x|ax2+2x+l=0,aeR}的真子集”成立的充要条件,即
为所选选项的真子集,进而可得正确选项.
【详解】若"0是集合M={x|ax2+2x+l=0,aeR}的真子集”
所以A/={x|ax2+2x+1=0,aeR}w0,
所以方程办2++1=0有实数解,
当a=0时,由2x+l=0可得x=符合题意,
当aW0时,由△=4-4a>0可得a<1,
所以。W1且aW0,
综上所述:M={x|ax2+2x+l=O,aeR)^0的充要条件为a<l;
即“0是集合河=卜|a—+2x+1=0,aeR}的真子集”成立充要条件为a<l;
所选集合是a<1的必要不充分条件,则应是所选集合的真子集,
由选项判断A,B,C都不正确,选项D正确;
故选:D.
8.荀子《劝学》中说:“不积蹉步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程,
每天进步一点点,前进不止一小点.我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%,一年后是
1.01365»37.7834;而把看作是每天“退步”率都是1%,一年后是0.99兆5B0.0255.若“进步”的值
是“退步”的值的10倍,大约需经过(参考数据:lgl01"2.0043,lg99“L9956)()天.
A.100天B.105天C.110天D,115天
【答案】D
【解析】
【分析】结合已知条件,利用对数运算即可求解.
【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的10倍.
则10x0.99、=1.01、,即(澈『=10,
故恒(黑)7gio=i,故户舟画引⑸
故大约经过115天.
故选:D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出选项中,有多项符合题目
要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,选错的不得分.
9.托马斯说:“函数是近代数学思想之花”,根据函数的概念判断:下列关系属于集合2={-1,0,1}到集合
8={0,1}的函数关系的是()
A.y=2xB,y=\x\
12
C.y=-D.y=x
x
【答案】BD
【解析】
【分析】通过分析不同函数中对应的集合A中元素的值,即可得出结论.
【详解】由题意,
4={—1,0,1},8={0,1}
A项,在y=2x中,当x=—1,0』时,对应函数值为一2,0,2,与集合B不对应,A错误;
B项,在>=国中,当x=-l,0,l时,对应的函数值分别为1,0,1,B正确;
C项,在>=工中,当x=-1,0』时,定义域不合要求,C错误;
X
D项,在>=/中,当x=-1,0/时,对应的函数值分别为1,0,1,D正确;
故选:BD.
10.下列命题成立的是()
A.若a<6<0,则/+/〉+B.若a〉b〉0,则a—>b——
ab
C.若a<6<0,贝!|—<—D.若a〉b〉0,则一<-----
abaa+2
【答案】BD
【解析】
【分析】利用特殊值和不等式的性质即可确定正确答案.
【详解】对于A选项,取。=—2,b=-l,则/+63=_9<_6=。2人+仍2,所以A选项错误.
对于B选项,若a〉b〉0,则a-;=(b—》+(a—b)(l+答)》b",所以B选项正确.
对于C选项,取a=—2,b=-l,贝H=V>-1=;,所以C选项错误.
a2b
对于选项,若则所以选项正确.
DQ>b>0,——--------<-------------8-+--2,D
aa(a+2)a(a+2)a+2
故选:BD.
11.已知定义在R上的函数y=/(x),对任意实数。也c满足/+62=02,均有
/(。)+/伍)+/(。)=0.函数g(x)=/(x)+2x+3在xe[-2,2]的最大值和最小值分别为M,加.则下
列说法正确的是()
A./(x)必为奇函数
B./(x)可能为偶函数
C.M+加不一定为定值,且与/(x)的单调性有关
D.M+加为定值,且定值为6
【答案】ABD
【解析】
【分析】赋值法判断A,B,再运用奇偶性质求出最大最小值之和判断C,D.
【详解】令a=8=c=0,满足/+62=02,则有/(o)+/(o)+/(o)=o,贝g/(o)=o;
^a=-x,b=O,c=x,满足/+〃=°2,则有/(一》)+/(0)+/吊)=0,gpf(-x)=-f(x),
且定义域为R关于原点对称,故函数/(X)为奇函数;A正确.
若/(x)=0,则/(x)符合题意且为偶函数;则B正确.
因为/(x)与2x为奇函数,故/(x)+2x也为奇函数,设其在[-2,2]的最大值与最小值分别为Mo与
加0,
由奇函数的性质M0+%。=0,对于函数g(x)=/(x)+2x+3,其最大值与最小值分别为
M=Mo+3,m=m0+3,
故M+优=6,C错误,D正确.
故选:ABD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.函数/(x)的图象如图所示,则/(x)的值域为.
【答案】[-1,2]
【解析】
【分析】根据函数图象即可得出函数的值域.
【详解】由图象可知,函数f(x)的值域为[T,2].
故答案为:[T2].
13.已知函数/(力=1080.5(/-"+3。)在(2,+00)上单调递减,则实数。的取值范围.
【答案】[■4,4]
【解析】
【分析】根据复合函数的单调性,结合真数大于零,列出不等式求解即可.
【详解】由题意,函数〉=/—"+3。在(2,+8)上单调递增,
且Y一ax+3a〉0对于xe(2,+co)恒成立,
为2
则《2,解得一4<。<4,
2~—2a+3a>0
即实数。的取值范围为[-4,4].
故答案为:[-4,4].
x2+4、
14.已知函数/(x)=<jx,若对任意的西e[2,+8),都存在唯一的/e(-oo,2),满足
2A&x<2
/(X2)=/(%1),则实数。的取值范围是.
【答案】0Wa<4
【解析】
【分析】利用基本不等式求出2时的值域,由题意/(x)可得在2时的值域包含在x<2时的值域
范围,且V24时一个y的值只能有2个x值与之对应,根据函数单调性即可求解实数。的取值范围.
【详解】当xN2时,函数/(x)=x+±22jx・?=4,当且仅当%即x=2时,等号成立,
所以>=二在[2,+8)上的值域为[4,+8),且/(X)=X+±在[2,+8)上单调递增;
XX
当x<2时,则/(X)=2-4,
①当a<2时,由y=2,单调递增,/=卜-4在(-e,a)上单调递减,在(a,2)上单调递增,
所以/(x)=2i在(-叫。)上单调递减,在(凡2)上单调递增,且/⑷=1<4,
要使对任意的王e[2,+8),都存在唯一的马6(一。,2),满足/(》2)=/(玉),
则2酎4<4,所以|2-a|42,解得0<a<4,又。<2,所以0〈a<2;
②当a22时,/(x)=2°r在(-。,2)上单调递减,要使对任意的玉e[2,+。),
都存在唯一的/e(-°°,2),满足/(》2)=/(苞),则2>2<4,解得a<4,
又所以2VQ<4;
综上所述,实数。的取值范围是0Wa<4.
故答案为:0Wa<4
四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15.化简求值:
(1)2T+2-(e-l)(+-7=------164;
V5+2
(2)lgVs+lgyj20+1g——1g25
【答案】⑴7+V5
(2)-1
【解析】
【分析】(1)根据指数、根式运算来求得正确答案.
(2)根据对数运算来求得正确答案.
【小问1详解】
2V+2-(e-l),
V5-2
(33)J+2+
=32+2+V5-2-2=7+V5.
【小问2详解】
lgV5+lgV20+lg;—lg25
=lglO+lgW2=l-2=-l
16.已知函数/(x)=a*,(a>0且aw1).
(1)若/(D+/(—l)=g,求〃2)+〃一2)的值;
Q
(2)若函数/(x)在[-1』上的最大值与最小值的差为求实数。的值.
17
【答案】⑴/(2)+/(-2)=—
(2)。的值为3或4.
3
【解析】
【分析】(1)利用/(l)+/(—l)=g,求出。,得到结果.
(2)判断函数/(x)在上的单调性,利用单调性求函数的最值,通过已知条件列方程求解即可.
【小问1详解】
v/(x)=ax,+=
.••/(l)+/(T)=a+X,
解得:〃=2或。=一,
2
17
当a=2时,/(x)=2工,/(2)+/(-2)=22+2-2=—,
当”;时,/(*)=0,/⑵+/(-2)=出+出=5'
故+=
【小问2详解】
当a〉l时,/(》)=/在[-1』上单调递增,
Q
/OOmin=/⑴一/(一1)="/=『
化简得3/—8。一3=0,
解得:(舍去)或。=3.
当0<4<1时,/(》)=/在[—1』上单调递减,
Q
・••/(X)max-/Wmin=/(-1)-/(1)=G-。,
化简得3a2+8”3=0.
解得:a=-3(舍去)或。=’.
3
综上,实数。的值为3或』.
3
17.函数=—c,其中ceR.
(1)若c=l,求/(x)的零点;
(2)若函数/(x)有两个零点为,x2(xt<x2),求4再+々的最小值及取得最小值时的。值.
【答案】(1)1和100
(2)[40,+“)
【解析】
【分析】(1)将。=1代入,令/(x)=0,结合对数运算求得x的值即可得出答案;
(2)将两个零点用。表示,结合基本不等式即可得解.
【小问1详解】
当c=l时,/(x)=|l-lgx|-l,
令/(x)=0,可得—=所以lgx=0或lgx=2,
解得x=l或x=100,即函数/(x)的零点为1和100;
【小问2详解】
令/(x)=0,可得(_lgx|=c,显然此时c>0,
可得1-Igx=c或1一Igx=-c,由$<々得%=10〜或%=101+c,
则4^+x,=4x101-c+101+e>2V4xlO1-exlO1+c=40,
当且仅当4x10〜=101+c,即c=lg2时等号成立,
故4再+x2的取值范围为[40,+。).
18.环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车在国道上进行测试,
国道限速80km/h.经多次测试得到该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的数据
如下表所示:
V0104060
M0132544007200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系,现有以下三种函数模型供选择:
①M(v)=£v3+bv2+cv;②A/2(V)=1OOO[|J+a;③=3001og“v+6.
(1)当80时,请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型(需说明理由),并求出相应的函
数解析式;
(2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地,其中高速上行驶200km,国道上行驶30km,若高速
路上该汽车每小时耗电量N(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的关系满足"(丫)=2y_101,+200
(80WvW120),则如何行驶才能使得总耗电量最少,最少为多少?
【答案】(1)M(v)='v3+bv2+cv符合,M,(y)=—v3-2v2+150v
4040
(2)当高速路上速度为80km/h,国道上速度为40km/h时,总耗电量最少,为33500Wh
【解析】
【分析】(1)根据函数的单调性排除②,根据定义域排除③即可;
(2)根据题意可得高速路上的耗电量/(v)=400(v+39-5),再分析了什)的单调性求得告诉上的耗电量,
V
再根据⑴中求得的M(")=,/_2”2+150V,可得国道上的耗电量〃(v)=30由(v—Of+llO],根据
二次函数的最值分析最小值即可
【小问1详解】
因为函数M2(V)=IO°O1|]+。是定义域上的减函数,又可3(。)无意义,所以函数
AG(v)=100。+。与M3(v)=300log/+6不可能是符合表格中所列数据的函数模型,
1a,
故加;。)=打丫3+加2+”是可能符合表格中所列数据的函数模型.
1
Q=----
M(10)=132540
由<拉](40)=4400,
得:b=-2,所以2V2+i50v
M(60,=7200
c=180
【小问2详解】
由题意,IWJ速路上的耗电量/。)=N(v)x-----=400(vH--------5)
VV
任取匕,匕e[80,120],当匕<匕时,/(v,)-/(v2)=40°。「匕"T㈣<0
所以函数y=/(v)在区间[80,120]上是增函数,所以/“=/(80)=30500wh
国道上的耗电量h(v)=M.(v)x—=30(—V2-2V+150)=30[—(v-40)2+110]
―v4040
所以。⑺mm="(40)=3300Wh
所以当高速路上速度为80km/h,国道上速度为40km/h时,总耗电量最少,为33500Wh
2
19.已知函数/(x)=lgmH-----,meR.
2X
(1)当机=一1时,求函数/(x)的定义域;
(2)若函数g(x)=/(x)+2xlg2有且仅有一个零点,求实数机的取值范围;
(3)任取4x2&[t,t+2],若不等式|/(再)一/(%)卜1对任意才且1,21恒成立,求实数加的取值范
围.
【答案】(1)("J)
(2)[O,+c»)U{-l}
(3)[----,+oo)
12
【解析】
2
【分析】(1)将机=一1代入/(X)中,根据—1+级>0,解出不等式即可;
(2)由题可知,函数g(x)=lg[M++2xlg2有且仅有一个零点,则可得机伍)2+2・2=1=0方程
有且仅有一个根,然后求出机的范围;
(3)由条件可得/(
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