江苏省宿迁市2024-2025学年高二年级上册11月期中考试 数学试卷（含解析）

2024〜2025学年第一学期期中调研试卷

同一^奴子

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.直线工一同+1=°的倾斜角为（）

兀TI2兀57r

A.-B.—C.—D.—

6333

【答案】A

【解析】

【分析】求出斜率即可求解.

【详解】由X—岛+1=0,可知直线斜率为等，

所以tan8=,8e[0,兀），

TT

所以。二:，

故选：A

2.圆/+72+10》+10y=0与圆（x—3『+（y—3）2=18的位置关系为（）

A.外离B.外切C.相交D.内切

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，求出两圆的圆心距，再结合圆与圆位置关系的判断方法，即可求解.

【详解】因为圆。1：#+必+10》+10了=0的圆心为弓（—5,—5）,半径为4=5后，

圆G：（》一3）2+（＞—3）2=18的圆心为G（3,3）,半径为々=3®,

|GG|=J（3+5j+（3+5）2=&亚=4+4,

所以两圆外切.

故选：B.

3.已知点幺（2,3）与点8（-1,4）关于直线/对称，则直线/的方程为（

A.3x—y+2=0B.x+3y+2=0

C.x+3歹一2=0D.3x-y-2=0

【答案】A

【解析】

【分析】根据对称关系得出直线斜率及直线所过的点即可得解.

4-31

【详解】因为3B=-----,所以左=3,

-1-23

又48的中点［g,1］在直线/上，

所以直线I的方程为了―g=31x—g］,即3x—y+2=0,

故选：A

4.设。为实数，若直线ax-4y+3=0与％-2歹+1=0平行，则它们之间的距离为（）

A石RV52新3石

A.---D.---U.----L）.----

105510

【答案】A

【解析】

【分析】根据两直线平行的充要条件求出。，再根据两平行间的距离公式求解.

【详解】由题意，一=——力—,解得a=2,

1-21

3号|厂

所以直线2x—4y+3=0,即x-.2y+—=0与直线x—2y+l=0间的距离为12|_45.

2弄万一而

故选：A.

,3）,（0,—3）,点g,—在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（）

5.已知椭圆的两个焦点分别为（0

1234

A.-B.-C.—D.一

2345

【答案】C

【解析】

【分析】根据椭圆的定义求出2a,再由焦点坐标求出C,求出离心率即可.

【详解】设椭圆的两个焦点为片（0,—3）,月（0,3）,点尸5,—31，

则c=3,2a=|「丹|+|「局

3

:.a=4,所以椭圆的离心率为e=—.

4

故选：C.

6.椭圆C以双曲线工-匕=1的两个焦点为长轴的端点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆C的方程为

169

)

22222222

AA.—X+—V=1B,二+匕=1c.WD.土+J

1692516259167

【答案】C

【解析】

【分析】由双曲线方程确定焦点坐标及顶点坐标，进而可求解.

由二—J

【详解】

169

可得其焦点坐标为：（+5,0）,顶点坐标（±4,0）

所以椭圆长轴端点坐标：（土5,0）,焦点坐标为（±4,0）,

22

所以椭圆方程为：—+^=b

259

故选：C

7.过抛物线r=22x（P＞0）的焦点尸的弦4B,其中点A在第一象限,若AF=4BF,则直线4B的

斜率为（）

R27324

A.72D.----C.一D.-

333

【答案】D

【解析】

【分析】设2（石,%）,8（%2，%）（玉＞0,必＞0）,根据方=4屈可得必=一48，设直线方程联立抛物

线，由根与系数关系得出为,即而求出B点，根据斜率公式求解即可.

【详解】设幺（西,必）,8（%2，%）（玉>0，M>0,x2>O,J2<0）,

Ji=―仪，

2

•,•%・%=一。，

,_2_4

..kAR=---------=一

£_£.3

故选：D

8.已知椭圆工+片=1的上顶点为A,过椭圆左焦点尸且斜率为立的直线交椭圆于3,C两点，则

433

MABC的周长为（）

A.10B.8C.6百D.4+273

【答案】B

【解析】

【分析】取椭圆的右焦点月，易证直线5c是线段/8的垂直平分线，可得HC=|CEJ,

|48卜忸居结合椭圆的定义求得答案.

【详解】由椭圆方程可得。=2,b=C，则c=l，

如图，取椭圆的右焦点八，连接g，

则|幺3=|幺6|=|方闾=2,即A7仆互为正三角形，

又直线8c的斜率为g,则直线3C的倾斜角为30°,即NCF%=30°,

所以直线5c是线段/鸟的垂直平分线，

所以=卜理=|町

所以V48C的周长为l=\AB\+\AC\+\BC\=\BF2\+\BC\+\CF2\

=\BF2\+\BF\+\CF\+\CF2\=4a=8.

二、选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设机为实数，直线/：x+mj-2m-l=0,点又（2,3）,N（4,—5）,则下列说法正确的有（）

A.直线/过定点（1,2）

2

B.若点M到直线/的距离相等，则加=—

3

C.直线/与x轴一定相交

D.若直线/不过第二象限，则-加＜0

2

【答案】AC

【解析】

【分析】根据直线过定点的求法判断A,由特殊情况直线与两点连线平行判断B,分析直线不能写成＞=6

的形式判断C,取特例机=0判断D.

【详解】由直线/：x+my-2m-l=Q,可得x—l+7%（y-2）=0,

当》-1=0/-2=0,即x=l,y=2时，方程恒成立,

即直线过定点（1,2）,故A正确;

当直线/与"N平行（或重合）或直线/过跖V的中点时，点N到直线/的距离相等，

-5-31

由如v=-----=-4,可知加=—时，直线/为4x+y—6=°，与4W平行，符合题意，故B错误；

4-24

由直线/：x+加y-2机-1=0可知，直线倾斜角不可能为0,所以一定与x轴相交，故C正确；

直线/不过第二象限，当机=0时，直线方程为x=l,满足题意，故D错误.

故选：AC

10.设机为实数，方程/+/+4机%—2了+4机2—机=。表示圆，则下列说法正确的有（）

A.m＞-1

B.若机=土;，则圆和两坐标轴均相切

C.若圆关于直线2x—y+5=0对称，则机=1

D,无论加取任何实数，总存在一条定直线与圆相交

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据二次方程表示圆的条件判断A,假设与N轴相切求出机判断B,由直线过圆心判断C,根据

圆心在直线＞=1上判断D.

【详解】当方程/+/+4机x-2y+4机2-机=0表示圆时，（4机y+4-4（4〃/一机）＞0,解得

m＞-\,故A正确；

若圆与歹轴相切，令x=0,可得_2y+4机2-机=0,由△=4-4（4机2-机）=0

解得机=上37＞—1，故B错误；

8

若圆关于直线2x-y+5=0对称，则直线过圆心，由/+/+4加x-2y+4机2一机=。可得

（x+2机）一-m+1,

圆心（-2M,1）代入直线方程，可得机=1,且此时满足加＞-1,故C正确；

由C知，圆心为（-2机,1）,即圆心在直线＞=1上，所以不论他取何值，＞=1都过圆心，与圆相交，故

D正确.

故选：ACD.

11.在平面直角坐标系xQy中，过抛物线/=2/（夕＞0）的焦点厂的直线与抛物线交于48两点，直

线/。，8。分别交抛物线准线于C,。两点,则下列说法正确的有（）

A.5C〃x轴B.CF"DF

1,

C.以AB为直径的圆与抛物线准线恒相交D.ZMSMB面积的最小值为,夕一

【答案】ABD

【解析】

【分析】设直线=w+，必,联立方程可得韦达定理.对于A：求点C的坐

7

标，结合韦达定理分析判断；对于B：：求点。的坐标，结合数量积分析判断；对于C：根据抛物线的定义

分析判断；对于D：结合韦达定理就面积，即可判断.

【详解】由题意可知：抛物线的焦点厂,0,准线x=',

显然直线45的斜率可以不存在，但不为0,此时直线45与抛物线必相交,

设直线AB:x=mv+—,A，%，8

"2）)

x=my+—°°

联立方程-2,消去x可得y，—2?叼_夕==0,

y2=2px

可得=2P%,=一22.

弘丫―

OA:y2P

对于选项A：可知直线必,

2P

令T，可得"。=-?苧一，即

所以3C〃x轴，故A正确;

对于选项B：同理可得：J,NO//X轴，

——►----►UUULL1U

222

则/C=(—2,-%)，/£)=(一夕，%)，可得FCFD=p+yxy2=p-p=0,

所以CEADF,故B正确；

对于选项C：因为|48|=|4F|+|8F|=|40|+忸C|,

由梯形中位线可知：以4B为直径的圆的圆心到准线的距离为以必;忸,I

即圆心到准线的距离等于半径，所以以48为直径的圆与抛物线准线恒相切，故C错误；

对于选项D：因为21一%|=+骨2『―14P2m2+4p2=2P个m2+1，

可得△CM3面积SEB=；Q司•仅i—y21=；xg22Vm2+1=y，疗+1gP"

当且仅当机=0时，等号成立，

1,

所以△048面积的最小值为,夕一.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法

(1)数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解.

(2)构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求

最值(注意：有时需先换元后再求最值).

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设。为实数，直线4：ax+3y-2=0,/2：x+(a-2)v+2=0,若乙上乙，则。的值为.

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】当两条直线垂直时，若直线4x+B)+G=0与直线4》+3/+。2=0垂直，则满足

44+4为=o.我们可以根据这个定理来求解a的值.

【详解】对于直线/］：ax+3y—2=0和/2：x+(a-2)歹+2=0,根据两直线垂直的定理

44+B'B?—0,贝!］可得方程ax1+3x-2)—0.

对。乂1+3乂（〃-2）=0进行求角军.

Q+3。一6=0,4。=6,a--.

2

3

故答案为：一.

2

13.圆V+J?=r2上有且只有2个点到直线x—+2=0的距离等于1,则半径r的取值范围为

【答案】（0,2）

【解析】

【分析】计算圆心到直线的距离为1,根据条件得到卜-4<1,解得答案.

【详解】圆心一+了2”2的圆心为（0刀），半径为L

圆心（0,0）到直线X—岛+2=0的距离为d=r①=1,

V1+3

因为圆Y+72=/上只有两个点到直线X—岛+2=0的距离等于1,

所以上一4<1,即卜—1|<1,解得0<r<2.

故答案为：（0,2）.

14.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的

22

反向延长线经过双曲线的左焦点.设。>0,若双曲线E：.—2L=1的左，右焦点分别为片，心，从

a8

3

月发出的光线经过图2中的A,8两点反射后，分别经过点C,D,cosABAC=AB工BD，则

【解析】

【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义及勾股定理求解即可.

33兀

【详解】由cos/BAC=――,AB_LBD,则cosNBAF1=—,/ABF1=—,

设卜耳|=5/，1>0,则14sl=3，，忸周二42,

由双曲线定义得闻=5才一2a,\BF2\=4t-2a,

2

5t—2Q+4%—2cl=3t，解得t——a,

3

o2

所以忸片|=§a,忸闻=§a,

在直角三角形AF；鸟中，忸周2+忸阊丁|公阊2,

6494oo

贝！］=4c",即17a2=9c?，又/=8，

.-.17a2=9（a2+8）,解得a=3.

故答案为：3.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知V45C的顶点8(3,1),直线NC的方程为x—y+l=0,8c边上的中线4W所在的直线方程

为2x—3歹+1=0.

(1)求顶点A,。的坐标；

(2)求V48C的面积.

【答案】(1)^(-2,-1),C(2,3)

(2)6

【解析】

【分析】(1)联立直线/C与//方程，可得点A,设c(a,\),表示中点根据C在直线NC上，M

在直线4W上，可列方程，解方程即可；

(2)根据点A与C的坐标可得|/C|,再根据点8到直线/C的距离可得面积.

【小问1详解】

由已知AC:x-y+1=0,AM:2x-3y+l=0,

x-y+1=0x——2

则《解得《，即幺(一2,—1)，

[2x-3y+l=0b=-1

Q+3b+1

设C(a,b),则8c中点〃

又点c在直线/c上，点”在直线ZM上，

d—Z7+1—0（c

Q=2/、

即ca+3,b+1]c，解得入。，即C（2,3）；

2---------3-------1-1=0b=3

[221

【小问2详解】

由（1）得ZC=J（2+2y+（3+iy=40，

,|3-1+1|372

点B到直线AC的距离d="+（以=F

则S=3幺。＞"=''4行*述=6.

4Atic21।22

16.设。为实数，圆M的方程为+y~+lx—6v+a—Q.

(1)若圆/+/=9和圆〃的公共弦长为而，求。的值；

(2)若过点(4,-1)的圆N与圆M相切，切点为(1,2),求圆N的标准方程.

【答案】⑴1或-19

22

(2)(X-3)+(J-1)=5

【解析】

【分析】(1)求出两圆公共弦所在直线方程为2x-6y+a+9=0,结合弦长求得a；

(2)结合已知条件求出圆M的方程，求出圆心和半径，设出圆N的标准方程，利用切点以及两圆圆心共

线求出圆N的圆心的横纵坐标之间的关系，然后利用圆N半径相等即可求解.

【小问1详解】

由题知两圆相交，

将圆M+2x—6y+。=0与圆0:》2+j?=9相减可得2x—6y+a+9=0,

即两圆公共弦所在直线方程2x—6y+a+9=0,

Itz+9|\ci+9|

圆心。到直线2x—6y+a+9=0的距离为d—,——=T=,

V22+622V10

所以9=，解得。=1或T9,

所以实数。的值为1或-19.

【小问2详解】

22

将点4(1,2)代入圆M:x+y+2x-6y+(2=0,可得Q=5,

所以圆M的方程为x2+J?+2x—6y+5=o,即(x+l『+(y-3『=5,

所以圆M的圆心为半径为逐，

设圆N的标准方程为(x—机『+(y—〃『=",

因为圆N与圆M相切于点A,所以A、M、N三点共线，

2—3

所以直线ZW的方程为y-2=—-(x-1),即x+2y-5=0,

将点N(私〃)代入得机=5—2〃①，又点8(4,-1)在圆N上，

贝!］忸==r,即J(M—4)2+(场+1)2=J—1)2+(“—2)2②,

由①②两式解得，机=3,〃=1,r=V5，

2

所以圆N的标准方程为(x-3)+(J-1)2=5.

17.已知动点P(x,y)到点尸(1,0)的距离比到直线x+3=0的距离小2,过尸作圆4:炉+(歹—4『=1的

一条切线，。为切点，过尸作直线/:x+l=0的垂线，垂足为8.

(1)求点尸的轨迹方程；

(2)当尸、A、8三点共线时，求线段P。的长；

(3)判断满足|尸国=|尸的点尸有几个，并说明理由.

【答案】(1)/=4x

⑵V15

(3)2个,；理由见解析

【解析】

【分析】(1)分析可知，点尸的轨迹是以点E为焦点，直线x=-l为准线的方程，即可得出点尸的轨迹方

程；

(2)当尸、A、3三点共线时，求出点尸的坐标，并求出|产山，再利用勾股定理可求得|PQ|的值；

(3)由题意可得出|丑闻=|尸刈=|尸耳，由两点间的距离公式化简得出"'的中垂线方程，判断该直线与抛

物线的位置关系，即可得出结论.

【小问1详解】

由题意可知，点尸到点F(1,O)的距离等于点P到直线x=-l的距离，

所以，点尸的轨迹是以点尸为焦点，直线x=-l为准线的方程，

设其方程为/=2px,则5=1,可得夕=2,所以，点P的轨迹方程为/=4x.

【小问2详解】

由题意可知，当P、A、8三点共线时，因为点4(0,4),直线形的方程为歹=4,

联立「二以，解得》=y=4,此时，点尸(4,4),则归Z|=J(4—0苗+(4—4J=4,

因为，尸。，由勾股定理可得\PQ\=="2—F=V15.

因为1Pzl=|尸8|=|尸阿，由题意可得Jx2+(y_4)2=&x-6+y2,

化简可得2x-8y+15=0,

2x—8y+15=0

联立<2A，可得y—16jv+30—0»A=162—4x30>0>

[y=4x

故满足条件的点尸有两个.

22

18.已知双曲线C：q—%=1(4〉0,6〉0)的右顶点为£,实轴长为4,过双曲线C的左焦点厂作直

线/,当直线/与x轴垂直时，直线/与双曲线C的两个交点分别为N,此时△雇VE为等腰直角三角

形.

(1)求双曲线C的方程；

(2)当直线/与双曲线C的渐近线平行时，求直线/与双曲线C的交点坐标；

(3)当直线/与双曲线C的左支交于A,8两点时，直线ZE,分别交直线x+l=O于尸，。两点，

在x轴上是否存在定点。，使得点。始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出。点坐标，否则，请

说明理由.

【答案】(1)三—二=1

412

5373.53杷、

(2)(一或、)或(一5'一〒).

(3)。(2,0)或(-4,0)

【解析】

【分析】(1)根据。，仇。关系得到方程组，解出即可；

(2)写出渐近线方程，再利用平行关系得到直线/的方程，联立双曲线方程解出即可；

(3)设设4B的方程为》=冲-4,联立双曲线方程得到韦达定理式，再写出相关直线方程，得到相关点

坐标，写出两点直径式，代入韦达定理式即可.

【小问1详解】

-2a=4

b1ci—2

由题意得<Q+C=,解得〈广，

a伍=2<3

c2二/+/

所以双曲线C的方程为：—-^=1.

412

【小问2详解】

渐近线方程为y=后,

当直线/与y=氐平行时，直线/的方程为：j=V3(x+4),

---------------=JLZ

联立412解得

j=V3(x+4)>=?

当直线/与y=-岳平行时，直线/的方程为：j=-V3(x+4),

--------1Z

联立412解得广

J=-V3(X+4)y=一—

-P.,53A/3.

所以直线/与双曲线C的交点坐标为(-3,或(——,----)

22

【小问3详解】

因为双曲线C的渐近线方程为：y=土瓜,

显然当直线48与x轴重合时，不合题意，故设48的方程为》=叩一4,幺(再,为)，BO2,%),

直线NE的方程为：、=3(、一2)'

当x=—l时，N=即尸点坐标为(T，二^),

西-2再_2

直线8E的方程为：y=^-(x-2),

%2-2

一3为一3为

当x=-1时，y=，即。点坐标为(T，

工2_2X?一2

所以以P0为直径的圆方程为：(x+l)2+(j+3%、

xx-l

当y=0时(X+if+---^^2----=0,

5-2)G-2)

江上-11

联立412,消去x得(3加2-1)产-24叩+36=0,其中机2H

x=my-4

2

A=(―24机)—4(3m—1)x36>0,且苞<—2,x2<—2,

24m36

所以必+%=——3——，Ji%=——；——

3m2-13m2-1

2

(西-2)(X2-2)=(myx-6)(mj2-6)=myxy2-+%)+36

236/24m-36

二m-6m-+--36--=--

3m2-13m2-13m2-1

所以（尤+1）2+——生丝——=（X+1）2+3噎1=@+i）2_9=0

（网-2）（g-2）-36

3m2-1

所以x=2或x=—4

所以x轴上存在定点。(2,0)或(-4,0)始终在以PQ为直径的圆上.

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法并与双曲线方程联立得到韦达定理式，写出两点直

径式方程，并代入韦达定理式即可.

19.已知椭圆0：=+，=1(0〉6〉0)过点。［1,曰］离心率为乎，左、右焦点分别为片、F2,右

顶点为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点。的直线机与椭圆C的另外一个交点为E,当VBQE的面积最大时，求直线机的方程；

(3)若点M、N是直线/上不同的两点，则向量痂以及与它平行的非零向量都称为直线/的方向向

量，当直线/'，/时，直线/'的方向向量称为直线/的法向量.设左、h为实数,直线/：y=Ax+/z的一个

tHT

法向量为/，〃为直线/上任一点，点T为坐标平面内的定点，我们把一百一称为点T在直线/上的投影

kl

数量.当/与椭圆C相切时，点片、鸟在直线/上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值,

若不是，说明理由.

【答案】(1)—+/=1

4

（2）x-2j+V3-l=0

(3)是定值，且定值为1

【解析】

【分析】(1)根据已知条件可得出关于。、b,。的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；

(2)求出直线2D的方程，设点£(2cos仇sin£),其中0W。＜2兀，利用点到直线的距离公式，辅助角

公式可求得点E到直线8。距离的最大值及其对应的。的值，可得出点£的坐标，进而可求得直线机的

方程；

(3)设直线/与椭圆相切于点7(%,%),则/=1一手，先证明椭圆在点T处的切线方程为

竽+比y=1，可得出直线/的一个法向量，再利用投影的概念可求得点片、耳在直线/上的投影数量的

乘积，即可得出结论.

【小问1详解】

3

1,4

蓝庐f、

「a=2

由题意可得£=¥，解得,

a2

c2=a2-b2W=J3

2

因此，椭圆c的方程为土+/=1.