九年级数学专项复习：圆单元过关（培优版）（解析版）

专题09圆单元过关（培优版）

考试范围：第二十四章；考试时间：120分钟；总分：150分

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

评卷人得分

-----------------、单选题

1.（2022秋,吉林•九年级期末）在半径为12cm的圆中，150。的圆心角所对的弧长等于（）

A.24ncmB.12ncmC.lOncmD.5ncm

【答案】C

【分析】直接运用弧长公式计算即可.

【详解】解：弧长为：/=驾声=10兀cm.

loU

故选：C.

【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式，=霭是解答本题的关键.

±oU

2.（2022春•九年级单元测试）如图，直角三角形力BC的内切圆分别与48、BC相切于。点、E点，根据图中

标示的长度与角度，求4。的长度为何？（）

【答案】D

【分析】设4。=刀，利用切线长定理得到B0=8E=l,AB^x+1,4C=4。+CE=%+4,然后根据勾

股定理得到（x+I）2+52=（%+4）2,最后解方程即可.

【详解】解:设=

••・直角三角形SBC的内切圆分别与4B、BC相切于D点、E点,

・•・BD=BE=1,

AB=%+1,AC=AD+CE=%+4,

在RtZMBC中，（x+1）2+52=（x+4）2,解得x=:

即4。的长度为今

故选D.

【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角

形顶点的连线平分这个内角.也考查了切线长定理.

3.（2023・全国•九年级专题练习）已知。。的半径为5,P0=4,则点尸与。。的位置关系是（）

A.点尸在。。内B.点尸在。。上C.点尸在。。外D.无法判断

【答案】A

【分析】由。。的半径为5,P0=4知点到圆心的距离小于半径，从而得出答案.

【详解】解：・：。。的半径为5,P0=4,

.••点到圆心的距离小于半径，

•••点尸在圆内，

故选：A.

【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种.设。。的半径为心点尸到圆心的

距离0P=r,则有①点尸在圆外=d>r；②点尸在圆上Qd=r；③点尸在圆内Qd<r.

4.（2021•海南,九年级专题练习）如图，已知四边形4BCD是。。的内接四边形，乙48c=80。，AB=BC,

点尸是劣弧CD上不同于点C,。的任意一点，贝吐APC的度数是（）

A.40°B.50°C.60°D.80°

【答案】B

【分析】根据圆内接四边形求得乙4DC的度数，根据AB=BC,贝此BPC=乜⑷兀即可求得乙BPC

的度数

【详解】如图，连接2匕

••・四边形/BCD是。。的内接四边形，乙430=80。，

•••Z.ADC=100°

•••ABC=ABC

•1•Z.ADC=Z.APC

■■■AB=BC,

AB=BC

11

•••乙BPC=4APB=-/.APC=-/.ADC=50°

22

故选B

【点睛】本题考查了圆内接四边形，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得乙4。。是解题的关键.

5.（2022秋•山东潍坊•九年级校考阶段练习）如图，AABC内接于O。，/为劣弧2c的中点，的C=120。,

过点8作的直径8。，连接4D,若/。=6,则NC的长为（）

A.2V3B.V3C.2D.4百

【答案】A

【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出NC=30。,再根据圆周角定理得到ND=NC=30。,

4540=90。，然后利用含30度的三角形三边的关系求解.

【详解】解：以为劣弧3C的中点，以庆/C,

又••"/C=120。，-.AC=^ABC=30a,

.,"=Z_C=30°,

"A为劣弧BC的中点,

■■.^BAD=90°,

在RfAABD中，BD=2AB,：.AD/AB

.♦/81/。=2百，

-'-AC=AB=2y/3<

故选/.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了含30

度的直角三角形三边的关系.

6.（2021秋•九年级课时练习）如图，O。的弦48=8,M是N2的中点，且（W=3,则O。的半径等于

A.8B.4C.10D.5

【答案】D

【详解】解：如图，连接04

■.OMLAB,

1

由勾股定理得：+0“2=/42+32=5；

故选D.

7.（2022秋•九年级课时练习）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心。，则折痕

的长为（）

C.2V§cmD.2v§cm

【答案】C

【分析】先过点。作OOL48,垂足为。，连接CM,由题意求得O£)WoB=lcm,由勾股定理求得百

cm,再由垂径定理即可求解.

【详解】过点。作ODLA8,垂足为。，连接04,

•••AD=BD

•••将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O,

•••OD=^OB=lcvc\

^RtLADO中，由勾股定理得4。==百

AB=2百cm

故选：C.

【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

8.(2022・全国•九年级专题练习)如图，是。。的直径，弦CD1ZB,Z.CDB=3Q°,C0=2百，则3腐=

()

A.兀B.27rC.p/3D.

【答案】D

【分析】根据垂径定理求得CE=ED=百；然后由圆周角定理知NC0E=60。.然后通过解直角三角形求得

线段OC、0E的长度；最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形OCB-SACOE+S^BED-

【详解】解:如图，假设线段C。、4B交于点E.

•••48是。。的直径，弦CDUB,

.9.CE=ED=V3.

又•：乙CDB=30°,

.,.Z.COE=2Z-CDB=60°,Z-OCE=30°,

.-.OE=CE*cot60°=V3X^=1,OC=2OE=2,

・'S阴影=S扇形。CB—,△COE+S^BEO=6。或2—5OE・EC+5BE・ED

211

=/-2OE-EC+-OE-EC

2

=/

故选：D.

【点睛】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算.注意解此题的思路是采用了"分割法"求得阴影部分的面

积.

9.（2022秋•安徽阜阳,九年级校考期末）如图，已知48是O。的直径，弦CDLAB,垂足为£,且

48。。=30。，。。=4百，则图中阴影部分的面积为（）

A

87r.i—37T.

A.2TT—4B.―—4V3c.乎4百D.-4

【答案】B

【分析】连接。C,根据垂径定理求出CE,解直角三角形求出BC=2BE,求出BE=2,=4,求出△COB

是等边三角形，求出。C=0B=BC=4,再求出答案即可.

【详解】解：连接0C,

■,■CDLAB,ABXLO,。。=4百，

.♦CE=DE=Q=2百，/.CEB=90°,

=BCD=30°,

：./.CBO=90°-/.BCD=60°,BC=2BE,

由勾股定理得：BC2^CE2+BE2,

2

BP(2BF)2=(2V3)+BE2,

解得：BE=2,

.-.BC=4,

■：Z.CBO=60°,OC=OB,

.•.△COB是等边三角形，

.-.OC=OB=BC=4,

.•・阴影部分的面积S=S扇形COB—S/XCOB6°36C）4~X4X273=——4百，

故选：B.

【点睛】本题考查了扇形的面积计算，勾股定理，含30。角的直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定

等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键.

10.（2022秋•浙江杭州•九年级期末）如图，△ABC的高CF、8G相交于点分别延长CF、BG与△48C的

外接圆交于。、E两点，则下列结论：①4D=4E；@AH=AE-③若DE为△ABC的外接圆的直径，则

BC=AE.其中正确的是（）

A

A.只有①B.只有①②C.只有②③D.①②③都是

【答案】D

【分析】①AABC的高CF、BG相交于点H,根据同角的余角相等，即可求得NABG=NACF,即可得AD=AE；

②首先延长AH交BC于M点，由H是垂心，根据同角的余角相等，即可得NACBNAHE,则可证得

NAHENAEB,根据等角对等边的性质，即可得AH=AE；

③由①②，易得aAHG三ZiAEG,AADF^AAHF,又由DE为aABC的外接圆的直径，易求得

NADE=NBAC=45。，贝U可得BC=AE.

【详解】••・CF、BG是aABC的高,

.•ZAGB=NAFC=90°,

.•.NBAC+NABG=90°,NBAC+ZACF=90°,

.*.ZABG=ZACF,

/.AD=AE,

故①正确；

延长AH交BC于M点，

vH是垂心，

•••AM1BC,

・•・在△AMC和AAGH中，ZAHG+ZMAC=90°,ZACM+ZMAC=90°,

.*.ZACB=ZAHE,

vZACB=ZAEB,

.-.ZAHE=ZAEB,

.*.AE=AH,

故②正确；

由①②可知AD=AE=AH,

•.2AGH=NAGE=90°,AG=AG,

•••△AHG^AAEG(HL),

同理：AADF^AAHF(HL),

.-.ZDAF=ZHAF,ZEAG=Z.HAG,

•••ZBAC=^ZDAE,

•・,当DE为直径时，ZDAE=90°,

.-.ZBAC=45°,

•・•在RtAADE,AD=AE,

.-.ZADE=45°,

/.AE=BC,

故③正确.

故选D.

A

【点睛】本题主要考查圆的基本性质与三角形的综合，掌握圆周角定理，三角形高的定义，是解题的关

键.

第II卷（非选择题）

评卷人得分

11.（2023•浙江温州•校考一模）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的底面半径

是.

【答案】4

【分析】根据"圆锥的底面周长等于其展开图的扇形的弧长”列式计算即可得.

【详解】解：设该圆锥的底面半径是r,

由题意得：277T=9x271X8,

解得r=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图是解题关键.

12.（2022秋•江苏镇江•九年级统考期中）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为40兀，底面半径

为4的圆锥模型，则此圆锥的母线长为—.

【答案】10

【分析】设此圆锥的母线长为Z,利用扇形的面积公式得到：X271X4X1=4071,然后解方程即可.

【详解】解：如图，设此圆锥的母线长为I,根据题意得：

1

-x2TTx4xZ=40TI,

解得：1=10,

•••此圆锥的母线长为10.

故答案为：10.

【点睛】本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形

的半径等于圆锥的母线长.掌握圆锥的相关知识是解题的关键.

13.（2022・安徽・一模）如图，己知等腰皮12。，AB=AC=6,ABAC=5OQ,以N3为直径的O。与边NC、BC

分别交于D、E两点，则劣弧砺的长为.

O.

D

【答案】o

【分析】连接。。、OE,先求出乙4。。和乙的度数，再求出ZDOE的度数,，再由弧长公式即可得出答

案.

【详解】解：连接。。、OE,如图所示：

-AB=AC=6,Z^C=50°,

•••ZC=Z5==65°,

，：OB=OE,

・••乙OEB=乙B==65°,

•'-Z-BOE==SO°9

,：OA=OD,

^Z-A=Z-ODA==50°,

・48:80。，

•-Z.DOE=SO°f

•：AB=6,

••.OE=^AB=3,

故答案为：o

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、弧长公式；熟练掌握弧长公式是解决问题的关键.

14.（2023・四川泸州•泸县五中校考一模）如图，4B是。。的弦，C是通的中点，0C交4B于点D若

AB=8cm,CD-2cm,则O。的半径为cm.

【答案】5

【分析】连接O/,由垂径定理得/D=4cm,设圆的半径为R,根据勾股定理得到方程R2=4?+(R-2)2,求

解即可

,.•C是通的中点，

：.0C1AB

■■.AD==4cm

设。。的半径为R,

'.'CD=2cm

：.0D=OC-CD=(R-2)cm

在RMQ4D中，OA2=AD2+0D2,BP/?2=42+(/?-2)2,

解得，R=5

即O。的半径为5cm

故答案为：5

【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC是的垂直平分线是解答此题的关

键.

15.(2023,四川泸州•统考一模)如图，在△4BC中，18=15,AC=12,BC=9,以边4B的中点。为圆心,

作半圆与AC相切，点尸，0分别是边BC（包括端点）和半圆上的动点，连接PQ,贝UPQ长的最大值与最小值

的差是.

【答案】10.5

【分析】设。。与4C相切与点E,连接OE,作OP11BC垂足为Pi交。。于Qi，此时垂线段OP1最短，P1Q1

最小值为OPi-OQi，当Q2在48边上时，「2与8重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，P2Q2最大值

=5+3=8,即可求解.

【详解】解：设。。与4C相切与点E,连接0E,作。PJBC垂足为P］交。。于Qi，

此时垂线段。Pi最短，PiQi最小值为。Pi-OQi，

■：AB=15,4C=12,BC=9,

.■.AB2=AC2+BC2,

.-.ZC=90°,

■.-Z-OP-yB=90°,

■-OP1||AC,

,：AO—OB,

”1。=P]B,

・•.OPi=|i4C=6,

同理。E=：BC=4.5,

・•.P1Q1最小值为。P「OQi=1.5；

如图，当（?2在4B边上时，「2与3重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，P2Q2最大值=7.5+4.5=12,

••.PQ长的最大值与最小值的差是10.5,

故答案为：10.5.

【点睛】本题考查切线的性质，三角形中位线定理等，正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置是解题

关键.

16.（2022春•广东深圳•九年级红岭中学校考阶段练习）如图，在等腰RtA48C中，NC=3C=4,点尸在以

斜边48为直径的半圆上，M为PC的中点，当点尸沿半圆从点/运动至点2时，点M运动的路径长

是.

【答案】我元

【分析】取48的中点。、4C的中点E、8c的中点F,连接。C、OP、OM,OE、OF,EF,可得四边形CEO产

是正方形，由OP=OC得0MlpC,则可得点M的运动路径，从而求得路径的长.

【详解】取4B的中点。、AC的中点E、BC的中点F,连接0C、OP、0M、0E、OF、EF,如图，

贝i|OEWBC,且。E=|fiC=2,OF\\AC,0F=^AC=2,

.•.四边形CEOF为平行四边形,

■■■AC=BC,乙4cB=90°,

.••四边形CEOF为正方形，

：.CE=CF=2,EF=OC,

由勾股定理得：EF=OC=2V2.

•在等腰RtzXABC中，AC=BC=4,

■■-AB=®BC=4V2>

：.0C==2近,OP==2V2.

••・M为PC的中点，

.-.OM1PC,

:ZCMO=90°,

.•.点M在以。C为直径的圆上，

当点P点在点4时，M点在E点；点P点在点B时，“点在尸点，

・•.M点的路径为以EF为直径的半圆，

二点M运动的路径长=1-2TT-V2=&兀.

故答案是：五m

【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质及

正方形的判定，确定点加的运动路径是关键与难点.

评卷人得分

----------------三、解答题

17.(2022春•九年级课时练习)如图，在△NBC中，AB=AC,。是边/C上的点，以OC为半径的圆分别

交边BC、AC于点D、E,过点D作DFLAB于点F.

(1)求证：直线D尸是。。的切线；

(2)若OC=1,乙4=45。，求劣弧的长.

【分析】(1)连结根据等腰三角形的性质得到09148,根据平行线的性质得到40〃尸=90。，根据切

线的判定定理证明；

（2）根据平行线的性质得到乙48=180。-45。=135。，根据弧长公式计算即可.

【详解】证明：如图，连结8,

-AB=ACf

♦：OC=OD,

：/ODC=UCB,

，乙B=2ODC,

・••QDII45,

•：DF1AB,

；/ODF=^BFD=9b,

-OD为半径，

二直线。厂是OO的切线；

⑵解：Z=45°,ODMB,

/00=180°-45°=135°,

••劣弧的长为耳泮=9兀.

loU4

【点睛】本题主要考查了切线的判定及弧长的计算，熟练掌握切线的判定定理及弧长的计算公式是解题的

关键.

18.（2021秋,全国♦九年级专题练习）如图，点。是△4BC外接圆的圆心，点。是△4BC内切圆的圆心，已

知A4=110°,求NB0C和NBDC的度数.

【答案】NBOC=145。，Z.BDC-140°

【分析】如图，在0。上取点“，连接由圆的内接四边形的性质求解NH,再利用圆周角定理求解

乙BDC,。为△ABC的内心，可得。B,OC分别平分N4BC/力CB,结合三角形的内角和定理可得

1-1

乙OBC+^OCB=-^ABC+ZXCB)=-(180°-z7l),再利用内角和定理可得N80C的大小.

【详解】解：如图，在。D上取点“，连接BHCH,

•••四边形4BHC为。。的内接四边形，乙4=110。，

ZW=180°-110°=70°,

Z.BDC=24H=140°,

。为△4BC的内心，

OB,OC分另lj平分NABC/力CB,

11

・•.Z.OBC=-^ABC^OCB=-/-ACB,

：.4OBC+zOCB=1(zXBC+zXCB)=|(180°-zX)

1

=-x(180°-110°)=35°,

乙BOC=180。一(乙。BC+(OCB)=180°-35°=145°.

H

【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，三角形内心的含义，三角形的内角和

定理，掌握以上知识是解题的关键.

19.（2023•黑龙江鸡西•校考三模）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面

直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标4（—2,0）,5（-5,—3），。（0,—5）都在格点上.

⑴将△ABC先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到△必当的，画出

⑵将绕原点逆时针旋转90。得到△428202，画出△482。2，并直接写出点Q的坐标；

⑶在（2）的条件下，求△41%的在旋转过程中当前扫过的面积.

【答案】⑴见解析

（2）见解析，C2（l,6）

,-.35

⑶丁

【分析】（1）分别作出/,B,C的对应点41，Bi，J,再依次连接即可；

（2）分别作出Bi，的的对应点42，B2,C2,再依次连接，再写出点的坐标即可;

（3）利用扇形面积公式求解即可.

【详解】（1）解：如图所示，△&B1G即为所求，

（2）解：如图所示，△&82。2即为所求，点。2（1,6）;

（3）解：S=%（OC：-OB。=汨（历;-（际=%

【点睛】本题考查平移作图与旋转作图，扇形的面积，熟练掌握利用平移的性质和旋转的性质作图，扇形

面积公式是解题的关键.

20.（2022春・安徽滁州•九年级校联考期中）如图，AB是的直径，CD是的一条弦，且CD1AB于点

E,连接AD,BC,CO

（1）当NBCO=25。时，求NA的度数；

（2）若CD=4«,BE=4,求O0的半径.

【答案】（1）65°；（2）3

【分析】（1）根据等边对等角、同弧所对的圆周角相等以及直角三角形两锐角互余即可求得答案；

（2）首先根据垂径定理求得CE=2五,再利用勾股定理列出关于半径的方程，解出方程的解即可得到答

案.

【详解】解：(1)・：OC=OB

：.Z-BCO=Z-B

,：LB—乙D

"D=乙BCO=25°

-CD1AB

^RtAADE^,乙4=90。-25。=65。.

(2)•••ZB是。。的直径，且CO,ZB于点E

.•.CE=Q=：x4五=2五

.•.在Rt/XOCE中，OC2=CE2+0E2

••.设O。的半径为r,则。C=r,OE=BE-OB=4-r

■■r2=(2V2)2+(4-r)2

；・r=3

.•.0。的半径为3.

【点睛】本题考查了等边对等角、同弧所对的圆周角相等、直角三角形两锐角互余、垂径定理以及利用勾

股定理解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

21.(2023,广西•校联考模拟预测)如图，已知48为。0的直径，点C、。在。0上，CD=BD,E、尸是线段

AC,AB的延长线上的点，并且EF与。0相切于点D.

⑴求证：4A=24BDF；

(2)若AC=6,AB=10,求CE的长.

【答案】(1)见解析；(2)2

【分析】(1)连接AD,先证明诙=而得到41=42,再根据圆周角定理得到NADB=90。，根据切线的性质

得到ODLEF,然后证明41=44,即可得到结论.

(2)连接BC交0D于P,根据圆周角定理得到NACB=90。，再根据垂径定理，由而=而得至UOD1BC,则

CP=BP,OPHAC,根据。为AB的中点得到OP为Rt^ABC的中位线，可求出OP=%C=3,根据AB=10可

得OD=5,所以可得到DP=5—3=2,然后证明四边形CEDP为矩形得到CE=DP=2.

【详解】（1）证明：连接AD,如图，

vCD=BD,

:.CD=BD,

•••41=42,

••,AB为直径，

••ZADB=90°,

.-.Zl+ZABD=90°,

・・・EF为切线,

/.0D1EF,

.,.Z3+Z4=9O°,

vOD=OB,

•••/3=40BD,

.*.Z1=Z4,

.*.Z-A=2ZBDF.

(2)解：连接BC交OD于P,如图,

•••AB为直径，

.-.ZACB=90°,

即AC1BC,

-CD=丽，

•••0D1BC,

.*.CP=BP,OPHAC,

・・・O为AB的中点，

.•.OP为RtAABC的中位线,

,•,AC=6,

.-.OP=|AC=3,

•••AB=10,

•••OD=5,

.•.DP=5—3=2,

•.NBCE=NCPD=NEDP=90°,

四边形CEDP为矩形，

...CE=DP=2.

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，中位线等知识.熟练掌握各个知识点

是解题的关键.

22.（2022秋・江苏•九年级专题练习）如图，。。与矩形的8c边相切于M点，与AD边相交于点E,

F,若跖=CD=4cm,求的半径.

【答案】|cm

【分析】连接并延长M0,交EF于点G,交。。于点H,连接OF,设。。的半径为r,先根据垂径定理求出FG

的长，再证明四边形GMCD是矩形，在RtaOGF中，根据勾股定理列方程即可求出。。的半径.

【详解】B

如图所示，连接并延长M。，交EF于点G,交。。于点H,连接。乩

设。。的半径为r,

•••。。与8。相切于点”,

•••BC1OM,

•••四边形力BCD是矩形，

■■.ADWBC,

：.AOGF=乙OMB=90°,

•••MH是。。的直径，且MH1EF,EF=CD=4,

...FG=EG=，F=2,

Z.OMC=NC=ND=90°,

四边形GMCD是矩形，

・•.GM=CO=4,OG=4—r,

在RtaOGF中，由勾股定理得：r2=(4-r)2+22,

解得：「='!，

••.o。的半径为|cm.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、垂径定理，矩形的判定与性质和勾股定理，解题关键是作出适当的

辅助线，以便于应用垂径定理和勾股定理解题.

23.(2023・广东东莞•东莞市东华初级中学校考模拟预测)己知在坐标系久。丫内有一圆。(如图所示)，。上

有两点尸，Q,过这两点作圆。的切线.

⑴求证：/-PNM+乙PDQ=180°-^QMN.

(2)若NP=QM,求证：点。在MN的垂直平分线上.

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

【分析】⑴设直线PN,QM交于7,由切线的性质得到NDPT=/DQT=90。，再由四边形内角和定理得到

ZD+ZPTQ=18O°,由三角形外角的性质得到4PTQ=/PNM+“MN,由此即可推出

Z.D+Z-PNM+/LQMN=180°,即可证明结论；

(2)如图所示，连接QN,DM,证明△DPNwaDQM(SAS)，得到DN=DM,即可证明点。在MN的垂直

平分线上.

【详解】(1)证明：设直线PN,QM交于T,

・•,PN,PQ是圆。的两条切线，

..•乙DPT=£DQT=9。。,

.・・4。+Z.PTQ=360°-^DPT-^DQT=180°,

,.ZPTQ=乙PNM+乙QMN,

；/D+乙PNM+"MN=180°,

"PNM+乙PDQ=180。一4QMN；

(2)解：如图所示，连接ON,DM,

在aOPN和△DQM中，

(DP=DQ

\ADPN=^DQM=90°,

(PN=QM

△DPN=△DQM(SAS)，

；,DN=DM,

.•.点D在MN的垂直平分线上.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，四边形内角和

定理，三角形外角的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键.

24.(2023・广东广州•校考一模)如图所示，△ABC的外接圆圆心。在4B上，点。是BC延长线上一点，

DM1AB^-M,交/C于N,S.AC=CD.CP是△CDN的边ND上的中线.

(1)求证：AB=DN；

⑵试判断CP与O。的位置关系，并证明你的结论.

【答案】⑴见解析

(2)C