集合（学生版）-2025高考数学一轮复习讲义

第1讲集合

知识梳理

1、元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：e和巴

（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（vem图）.

（4）常见数集和数学符号

数集自然数正整数集整数集有理数实数集

集集

符号NN*或ZQR

N.

说明：

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何

一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合/={1,2,3,4,5},可知在该集合中，

6£/，不在该集合中；

②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出

现的.

集合A={a,b,c}应满足°丰b丰c-

③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合/={1,2,3,4,5}和2={1,3,5,2,4}是同

一个集合.

④列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，

再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

2、集合间的基本关系

（1）子集（SM6S〃）：一般地，对于两个集合N、g,如果集合/中任意一个元素都

是集合8中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合力为集合8的子集，记作

A=B（或，读作“N包含于（或‘2包含/”）.

（2）真子集（propersubset）：如果集合/=但存在元素尤^3，且我们称

集合/是集合8的真子集，记作（或3复4）.读作“/真包含于8”或“8真包含/

（3）相等：如果集合/是集合3的子集（/=8,且集合B是集合/的子集（B=A）,

此时，集合力与集合8中的元素是一样的，因此，集合/与集合8相等，记作/=B.

（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0;0是任何集合的

子集，是任何非空集合的真子集.

3、集合的基本运算

（1）交集：一般地，由属于集合/且属于集合8的所有元素组成的集合，称为《与&

的交集,记作即znB={x|xe4且xe团.

（2）并集：一般地，由所有属于集合/或属于集合3的元素组成的集合，称为/与3

的并集,记作ZU8,即ZU3={xIX€4或/€3}.

（3）补集：对于一个集合/,由全集0中不属于集合/的所有元素组成的集合称为集

合/相对于全集U的补集，简称为集合/的补集，记作Q/，即=且x£/}.

4、集合的运算性质

⑴AoA=A'An0-0>AcB=BcA•

⑵A<JA=A>A<J0-A>ADB=BDA•

（3）/c（"）=0,/“"）=[/,Cv（C^^）=A.

【解题方法总结】

（1）若有限集/中有〃个元素，则/的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空子集有

2"_1个，非空真子集有2"_2个.

（2）空集是任何集合/的子集，是任何非空集合8的真子集.

⑶4=B=ACB=AQAUB=B=CUBUCU4-

⑷J（/A8）=（CVA）U（C®,C0（/U8）=（CVA）nS）•

必考题型全归纳

题型一：集合的表示：列举法、描述法

例1.（2024・广东江门•统考一模）已知集合/=,5={m|m2-le4m-U^},则集

合8中所有元素之和为（）

A.0B.1C.-1D.72

例2.（2024•江苏•高三统考学业考试）对于两个非空实数集合/和B，我们把集合

{x\x=a+记作4*8.若集合/={0,1},3={0,-1},则/*台中元素的个数为

()

例3.（2024•全国•高三专题练习）定义集合/+B=卜+引尤©/且ye8}.已知集合

2={2,4,6},8={-1,1},则4+5中元素的个数为（）

【解题总结】

1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

题型二：集合元素的三大特征

例4.（2024•北京海淀•校考模拟预测）设集合M={2帆-1,"-3},若—3e",则实数

m=（）

A.0B.-iC.0或—iD.0或1

例5.（2024也:西金溪一中校联考模拟预测）己知集合/={1,。,可，5={片M,而}，若/=5,

贝1/023+62022=（）

A.-1B.0C.1D.2

例6.（2024•北京东城•统考一模）已知集合/={4£—2<0卜且aeZ,则a可以为（）

3广

A.-2B.—1C.-D.42

2

【解题方法总结】

1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。

2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。

题型三：元素与集合间的关系

例7.（2024•河南•开封高中校考模拟预测）已知z=一狈+1<0卜若2G4且304

则。的取值范围是（）

例8.（2024•吉林延边・统考二模）已知集合/=冏苏&+2=0}的元素只有一个，则实数

a的值为（）

99

A.-B.0C.-或0D.无解

88

例9.（2024•全国•高三专题练习）已知集合4=<（x,j）|^-+y<l,xeZ,jeZ>,则/中

元素的个数为（）

A.9B.10C.11D.12

【解题方法总结】

1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别.

2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数，是还是.

题型四：集合与集合之间的关系

例10.（多选题）（2024•山东潍坊统考一模）若非空集合〃,N,P满足：MCN=N,M2P=P,

则（）

A.PqMB.MIP=M

C.N5=P

例11.（2024•江苏•统考一模）设/=,贝（]（

A.M<=NB.NuMMr>N=0

例12.（2024•辽宁沈阳•东北育才学校校考模拟预测）己知集合/=卜M-x-12<0},

B=[x\^-3mx+2n^+m-l<0},若“xeZ”是“xeB”的必要不充分条件，则实数用的

取值范围为（）

A.[-3,2]B.[-1,3]C.-15-D.2,—

例13.（2024•广东茂名•统考二模）已知集合/=，8={x|2x_a<0}，若/=

则实数a的取值范围是（）

A.（2,+co）B.[2,+oojC.(-co,2)D.(-co,2]

【解题方法总结】

1、注意子集和真子集的联系与区别.

2、判断集合之间关系的两大技巧：

（1）定义法进行判断

（2）数形结合法进行判断

题型五：集合的交、并、补运算

例14.（2024•广东广州•统考二模）已知集合/=卜卜=3〃-2,〃€]>}*},B={6,7,10,11},

则集合的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

例15.(2024•河北张家口•统考二模)已知集合幺=3|卜—2)(4—x)>0},3=卜|£>0

则(瘠*)=()

A.(2,3)B.[3,4]C.(^»,2]u[3,-h»)D.(-oo,3]u[4,-H»)

例16.(2024•广东•统考一模)已知集合M=3x(x-2)<0},N={x|x-l<0},则下列Venn

例17.（2024•全国•高三专题练习）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“

经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体

带来

精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观

看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有

26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开

国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了

的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为.

【解题方法总结】

1、注意交集与并集之间的关系

2、全集和补集是不可分离的两个概念

题型六：集合与排列组合的密切结合

例18.（2024•全国•高三专题练习）设集合X={%,0-”N*,定义：集合

¥=,+%]%%集合8=花巾,昨匕x»},集合

T=^-\x,y£Y,x^yy分别用|S|,3|表示集合S,7中元素的个数，则下列结论可能成立

的是（）

A.|S|=6B.|S|=16C.|T|=9D.|T|=16

例19.（2024•全国•模拟预测）已知集合力,2满足/U8={1,2,3},若人钻，且[/&刃,

[8&阕表示两个不同的Z8互衬对”，则满足题意的Z8互衬对“个数为（）

A.9B.4C.27D.8

例20.（2024•北京•中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合A满足：①

②必有卜-引22,③集合A中所有元素之和为1QQ,则集合A中元素个数最

多为（）

A.11B.10C.9D.8

【解题方法总结】

利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思

想方法

题型七：集合的创新定义

例21.（2024•全国•校联考模拟预测）对于集合45,定义/-5={x|xe/,且会为.若

A={x\x=2k+\,k^},B={x\x=3k+\,k^},将集合/一5中的元素从小到大排列得

到数列{«„},则%+%）=（）

A.55B.76C.110D.113

例22.（多选题）（2024•河南安阳•安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一

直延续到19世纪•直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分

害I?’来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理