极值点偏移（学生版）-2025高考数学一轮复习讲义

第21讲极值点偏移

知识梳理

1、极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函

数图像没有对称性。若函数/(X)在x=x0处取得极值，且函数y=/(x)与直线y=b交于

/(石1),5。2,3两点，则AB的中点为M(三产㈤，而往往与w土产。如下图所示。

图1极值点不偏移图2极值点偏移

极值点偏移的定义：对于函数y=/(x)在区间仅))内只有一个极值点飞,方程/(X)

的解分别为X]、x2，且a<$<*2<6,(1)若“1；%//,则称函数y=/(x)在区间

(七,X2)上极值点X。偏移；(2)若为；〉2〉X。,则函数了=/(工)在区间(X],%2)上极值点

/左偏，简称极值点与左偏；(3)若/72<%,则函数y=/(》)在区间(西,*2)上极

值点X。右偏，简称极值点X。右偏。

2、对称变换

主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：(1)

定函数(极值点为X。)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点

X0.

(2)构造函数,即根据极值点构造对称函数R(x)=/(x)-/(2x0-x)，若证X1/〉x：，

则令/x)=/(x)—/(%).

(3)判断单调性，即利用导数讨论尸(x)的单调性.

(4)比较大小，即判断函数b(x)在某段区间上的正负，并得出/(%)与/(2x0-x)的大

1

小关系.

(5)转化，即利用函数/(x)的单调性，将/(x)与/(2x0-x)的大小关系转化为x与

2x0-x之间的关系，进而得到所证或所求.

【注意】若要证明/[±的符号问题，还需进一步讨论土产与X0的大小，得

出土士邃所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负.

2

构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，

它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无

关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难

为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧

和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解

题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，

有着非凡的功效

3、应用对数平均不等式卮＜广三二＜色至证明极值点偏移：

]nxi-lnx22

①由题中等式中产生对数；

②将所得含对数的等式进行变形得到户+-;

In芭-Inx2

③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数

的单调性证明题中的不等式即可.

必考题型全归纳

题型一：极值点偏移:加法型

例1.(2024•河南周口•高二校联考阶段练习)已知函数=aeR

⑴若。=2,求的单调区间；

Itny+1

(2)若a=l,Ax?是方程〃x)=上^的两个实数根，证明：X,+X2＞2.

e

2

例2.(2024•河北石家庄•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=/lnx-a(aeR).

(1)求函数的单调区间;

/、2

(2)若函数7'(x)有两个零点不、X?,证明1＜七+%＜不.

例3.(2024・广东深圳•高三红岭中学校考期末)已知函数/(x)=lnx.

⑴讨论函数g(x)=〃x)-ax(aeR)的单调性;

⑵①证明函数"x)=/(x)-二(e为自然对数的底数)在区间(1,2)内有唯一的零点；

e-

②设①中函数尸(X)的零点为X。，记加(x)=min“f(x),/，(其中min{/b}表示a,b中的较小

值)，若/(x)="(〃eR)在区间(l,+oo)内有两个不相等的实数根匹,%(王＜%)，证明:

再+'2>2%.

变式1.(2024•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测)已知函数

/(x)=x-sin^x]-alnx,x=1为其极小值点.

⑴求实数”的值；

⑵若存在网片马，使得/(尤1)=/(々)，求证：再+%＞2.

3

变式2.(2024・湖北武汉•高二武汉市第六中学校考阶段练习)已知函数/'(x)=/^lnx-|A

a为实数.

(1)求函数的单调区间；

⑵若函数在X=e处取得极值，/(x)是函数〃x)的导函数，且/'(再)=/'(%),再<々,

证明：2<xx+x2<e

变式3.(2024•江西景德镇•统考模拟预测)已知函数/a)=(x+D(：+lnx)

(1)若函数/(x)在定义域上单调递增，求。的最大值；

(2)若函数“X)在定义域上有两个极值点X］和4，若》2>再，/I=e(e-2),求2不+々的最

小值.

变式4.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=%+lnx-x(aeR).

⑴讨论函数/(x)的极值点的个数；

(2)若函数/(x)恰有三个极值点为、芍、x3(xj<x2<x3),且退-再41,求尤1+X2+X3的最

大值.

4

变式5.（2024・广西玉林・高二广西壮族自治区北流市高级中学校联考阶段练习）已知函数

f(x)=lux-ax,

⑴讨论函数40的单调性;

（2）当a=l时，若/（网）=/（3）区<乙），求证：Xj+x2>2

变式6.（2024・安徽•高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数

/卜)=33_|/+喀耳a>0,an1).

（1）若/（x）为定义域上的增函数，求。的取值范围;

⑵令a=e,设函数g(x)=/(尤)-4lnx+9x,且g(xj+g(x2)=0,求证：%+x2>3+>/11.

变式7.（2024・全国•高二专题练习）已知函数/（x）=lnx-a（x-2）（aeR）.

⑴试讨论函数/（X）的单调性;

3

⑵若函数/（X）有两个零点七，巧（玉<马），求证：国+3x,>--“+2.

a

变式8.（2024•全国•高二专题练习）已知函数/（x）=ax2+（Q—2）x—hix（aER）.

⑴讨论“X）的单调性;

2

⑵若/（尤）有两个零点，证明：X1+X,>-.

a

5

变式9.(2024・全国•高三专题练习)设函数〃x)=ln(x-l)J(x2).

⑴若/(x"0对Vxe[2,+⑹恒成立，求实数k的取值范围；

(2)已知方程上"~^=’有两个不同的根4、*2,求证：X]+马>6e+2,其中e=2.71828…

x-13e

为自然对数的底数.

变式10.(2024•江西宜春•高三校考开学考试)已知函数/(无)=3“lnr-(a-3)x,aeR.

⑴当。=1时，求曲线g(无)=/0)-3瓶-$加在x=T处的切线方程；

⑵设A，x?是"(x)=/(x)-(3a-2)htv-3x的两个不同零点,证明：a(x1+x2)>4.

变式11.(2024•海南・海南华侨中学校考模拟预测)已知函数〃x)=lnx+x(x-3).

⑴讨论/(x)的单调性；

2X

(2)若存在占,马,工3€(。,+8),M<X2<X3,使得/(%)=/'(工2)=)(工3)，求证：1+X2>X}.

题型二：极值点偏移:减法型

6

例4.(2024•全国•模拟预测)已知函数/'(x)=(x-e-l)e，-gex2+e2x.

(1)求函数〃x)的单调区间与极值.

(2)若/(占)=/匡)=/(三)(不<马<三)，求证：>2%<e-1.

例5.(2024,全国,二专题练习)已知函数/'(x)=e'-2x-(a+1),

g(x)=x2+(a-l)x-(a+2)(其中e。2.71828是自然对数的底数)

⑴试讨论函数“X)的零点个数；

(2)当a>l时，设函数〃(x)=/(x)-g(x)的两个极值点为毛、巧且占<%,求证:

eX2-eX1<4a+2.

例6.(2024・四川成都•高二川大附中校考期中)已知函数〃x)=gx2-ax+lnx(aeR).

(1)若在定义域上不单调，求。的取值范围；

(2)设a<e+L%,〃分别是〃幻的极大值和极小值，S.S=m-n,求S的取值范围.

题型三：极值点偏移:乘积型

例7.(2024・全国•高三统考阶段练习)已知函数

f(x)=xex+l,xe>0),g(x)=Z7x-^^-.

7

⑴当6=1,“X)和g(x)有相同的最小值，求。的值;

XX

(2)若g(X)有两个零点x1M2，求证:12>e.

例8.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=lnx.

⑴证明：/(x+l)<x.

(2)若函数〃(x)=2^(x),若存在再使"㈤=〃&),证明：x1-x2<4-.

e

例9.(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(%)=%—sinx—tanx+Mnx+b,XG|0,^

(1)求证：2x<sinx+tanx,xeI0,—

⑵若存在玉、x2efo,j\且当x尸马时，使得/(再)=〃％)成立，求证：苧<1.

变式12.(2024•全国•高二专题练习)已知函数/(x)=ex-xlnx+x2-ax.

⑴证明:若aKe+1,则/(%)20；

(2)证明：若/(%)有两个零点七，x2,则不々〈I.

8

变式13.（2024•江西南昌・南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数〃%）=x（lnx-。）,

（、/（x）

g（XJ-----------FQ-CIX.

（1）当时，无）》-lnx-2恒成立，求a的取值范围.

2

⑵若g（x）的两个相异零点为X],*2，求证：XjX2＞e.

变式14.（2024•湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测）已知/（x）=2x-sinx-Olnx.

（1）当a=l时，讨论函数的极值点个数；

⑵若存在X1,马（0"＜》2），使/（无1）=/。2），求证：gva.

变式15.（2024•北京通州•统考三模）已知函数/（》）="-巴-111武。＞0）

⑴已知/（x）在点（1,/（D）处的切线方程为＞=xT,求实数a的值；

（2）已知/G）在定义域上是增函数，求实数。的取值范围.

⑶已知8（"="%）+?有两个零点不，X],求实数。的取值范围并证明为七%.

题型四：极值点偏移:商型

例10.（2024•浙江杭州•高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数〃x）=（2e-x）lnx,其

9

中e=2.71828…为自然对数的底数.

(1)讨论函数"X)的单调性；

c11cl

(2)若％i，%2£(°，1)，且%2111再一％11nx2=2%X2(In3-ln%2)，证明:2e<——I<2e+l

再

例11.(2024•全国•统考高考真题)已知函数/(%)=x(l-Inx).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)设。，6为两个不相等的正数，且blnq-Qlnb=a-b,证明：2<—+y<e.

ab

例12.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=x(l-lnx).

⑴讨论的单调性；

(2)设。，b为两个不相等的正数，且blna-Qlnb=a-b,证明：2<—+^-.

ab

变式16.(2024•广东茂名•茂名市第一中学校考三模)已知函数/(x)=ax+(a-l)lnx+：,

Q£R.

⑴讨论函数的单调性；

(2)若关于x的方程f(x)=xe，-lnx+1有两个不相等的实数根玉、々，

(i)求实数a的取值范围;

10

、…e*俨2a

(ii)求证：——+—>-----.

X2尤］XjX2

题型五：极值点偏移:平方型

例13.（2024・广东广州•广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数/（无）=lnx-a/.

⑴讨论函数的单调性：

⑵若士,三是方程/（x）=0的两不等实根，求证：x；+x；＞2e；

例14.（2024・全国•高二专题练习）已知函数/（无）=二丁-6.

⑴若v-1,求实数。的取值范围；

12

⑵若/（%）有2个不同的零点不,9（再＜%2），求证：2x,2+3x1＞—.

例15.（2024・全国•高二专题练习）已知函数"x）=t叵，a＞0.

（1）若〃x）Wl,求。的取值范围;

（2）证明：若存在X],x2,使得/（再）=/（%），则%;+考＞2.

11

1Iriy

变式17.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=-----

ax

(1)讨论外)的单调性；

⑵若(叫广=(%)”，且西>0,x2>0,x^x2,证明：&+¥>亚.

变式18.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=x-sinxcosx-alnx,asR.

(1)当a=0时，求曲线y=/(x)在点处的切线方程;

2

(2)若/(加)=/(〃),0〈m〈n,求证：m+H2>\a\.

题型六：极值点偏移:混合型

n-1—V

例16.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=——(x>0)(e为自然对数的底数,

e

4£R).

⑴求的单调区间和极值；

(2)若存在尤1片》2，满足/'(七)=)(工2)，求证：+%.

a+2

例17.(2024•全国•高三专题练习)已知函数.

12

(1)若/⑴=2,求a的值；

(2)若存在两个不相等的正实数占,三,满足/(网)=/。2),证明:

①2<X]+X?<2。；

@—<a2+1

再

例18.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=xlnx-1"x2-x+a(aeR),在其定义域

内有两个不同的极值点.

(1)求。的取值范围；

⑵记两个极值点为为，巧，且再<马,当人当时，求证：不等式网•E>e”恒成立.

变式19.(2024•陕西宝鸡•校考模拟预测)已知/(x)=——g(x)=<x+l).

1-x

(1)求>=/(')的单调区间；

(2)当a>0时,若关于x的方程/W+g(x)=0存在两个正实数根玉(再<%)，证明：a>/

且xxx2<%1+x2.

变式20.(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(%)=一一”(不£三).

(1)判断函数/(%)的单调性；

(2)若方程/a)+2〃2_3a+l=0有两个不同的根，求实数。的取值范围;

(3)如果芭。％2，且/(芭)=/(工2)，求证：方(再+工2)>加2.

13

变式21.(2024•天津河西•统考二模)设左eR,函数/(x)=Inx-Ax.

(1)若1=2,求曲线T=/(x)在曲1,-2)处的切线方程;

(2)若/(x)无零点，求实数左的取值范围；

(3)若/(x)有两个相异零点为,工，求证：In^+lnxj>2.

变式22.(2024・四川成都・高二四川省成都列五中学校考阶段练习)已知函数

/(x)=x(l-aln尤)，aeR.

(1)讨论/(x)的单调性；

⑵若x[o,；时，都有/(力<1,求实数。的取值范围；

若有不相等的两个正实数玉，均满足=亍,证明：x<exx.

(3)；+2l2

变式23.(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(月=1-。/+/-1,其中a,6为常数，e

为自然对数底数，e=2.71828•••.

(1)当。=0时，若函数〃切20,求实数6的取值范围；

(2)当6=2。时，若函数/(x)有两个极值点毛，现有如下三个命题：

①7%1+她>28；②2G(再+%)>3%入2；③A/国-1+Jx2-1〉2;

请从①②③中任选一个进行证明.

14

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

变式24.(2024・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)已知函数

f(x)=aln(x+2)-x(ae7?).

(1)讨论/(X)的单调性和最值；

⑵若关于x的方程e'W2-上1ln/m=(加>0)有两个不等的实数根三,三，求证：炉+产>已2.

mmx+2m

变式25.(2024•湖南长沙•长沙市实验中学校考三模)己知函数/7(x)=x-alnx(aeR).

⑴若"(x)有两个零点，。的取值范围；

2

e

(2)若方程xe,-a(lnx+x)=0有两个实根为、々，且玉片吃，证明：eX1+%2>-----.

变式26.(2024•广东佛山•高二统考期末)已知函数/(x)=xeX-"lnx-"，其中a>0.

⑴若a=2e,求〃x)的极值：

X1X2

(2)令函数g(x)=/(x)-ax+a,若存在玉，x2使得g(%)=g(%)，证明:^e+x2e>2a.

15

变式27.(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=x(l-Hnx),a20.

(1)讨论/(%)的单调性;

(2)若时，都有求实数。的取值范围；

(3)若有不相等的两个正实数再"2满足言吐=逸，求证：/+%2<叫%2.

1I1

题型七：拐点偏移问题

例19.(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=Zlnx+x?+x.

(1)求曲线>=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程.

(2)若正实数外,三满足/(再)+/(>2)=4,求证：X1+X2>2.

例20.(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=21nx+x2+,(aeA),当

时，/(尤)20恒成立.

(1)求实数。的取值范围；

(2)若正实数不、电02)满足/(再)+/(々)=。,证明：xl+x2>2.

例21.(2024・陕西咸阳•统考模拟预测)已知函数=-3x+21nx.

(1)求曲线了=/(%)在点(1J(D)处的切线方程；

16

⑵⑴若对于任意