测素质 平行四边形的性质和判定

平行四边形的性质和判定测素质第9章中心对称图形——平行四边形123456温馨提示：点击进入讲评7CB答案呈现BDD89101112131415ACA(4，2)1201617①②④一、选择题(每题4分，共32分)[2023·北京四中月考]用反证法证明命题“若|a|＜3，则a2＜9”时，应假设(

)A．a≥3B．a＜3C．a2≥9D．a2＞91C[2022·内江]如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为(

)A．2B．4C．6D．82B[2022·河北]如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(

)A．∠D＝∠5B．AD＝BCC．∠3＝∠4D．∠B＝∠D3【点拨】A.∵∠D＝∠5，∴AD∥BC.又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；B．由AB∥CD，AD＝BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；C.∵∠3＝∠4，∴AD∥BC.又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；D.∵AB∥CD，∴∠B＋∠BCD＝180°.∵∠B＝∠D，∴∠D＋∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意．故选B.【答案】B如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为(

)A．40°B．50°C．60°D．70°4D如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF与GH相交于点O，图中平行四边形的个数为(

)A．4个

B．5个

C．8个

D．9个5【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC.∵EF∥BC，GH∥AB，∴EF∥AD∥BC，GH∥CD∥AB.∴四边形BCFE，四边形ADFE，四边形ABHG，四边形CDGH，四边形AEOG，四边形BEOH，四边形DFOG，四边形CFOH均为平行四边形，∴图中共有9个平行四边形．【答案】D如图，在▱ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为(

)A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm6【点拨】【答案】A如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，连接AB，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AD，CD，若∠ABC＋∠ADC＝120°，则∠A的度数是(

)A．100°B．110°C．120°D．125°7【点拨】由题意知，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC，AD∥BC.又∵∠ABC＋∠ADC＝120°，∴∠ABC＝∠ADC＝60°.∵AD∥BC，∴∠A＋∠ABC＝180°，∴∠A＝120°.【答案】C[2023·无锡江阴市期中]如图，在△ABC中，∠A＝70°，AC＝BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转一定角度，得到△A′BC′，点A′恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′的度数为(

)A．110°B．100°C．90°D．70°8【点拨】由旋转的性质可得，∠A′BC′＝∠ABC，A′B＝AB，A′C′＝AC，BC＝BC′，∴∠A＝∠BA′A.∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC，AC＝BC′，∴∠A′BC′＝∠BA′A，∴AC∥BC′，∴四边形ABC′C是平行四边形，∴∠ACC′＋∠A＝180°，即∠ACC′＋70°＝180°，∴∠ACC′＝110°.【答案】A二、填空题(每题4分，共20分)四边形ABCD中，AB＝CD，添加一个条件______________________，可得四边形ABCD为平行四边形．9AB∥DC(答案不唯一)[2023·凉山州]如图，▱ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(1，2)，则顶点B的坐标是________．(4，2)10【点拨】延长BC交y轴于点D.∵四边形ABCO是平行四边形，∴BC＝OA，BC∥OA.∵OA⊥y轴，∴BC⊥y轴．∵A(3，0)，C(1，2)，∴BC＝OA＝3，CD＝1，OD＝2，∴BD＝CD＋BC＝1＋3＝4.∴B(4，2)．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O且AB＝12，AC＝10，BD＝26，则▱ABCD的面积为________．11120如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在C，B之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动(同时点Q也停止运动)，设运动时间为t秒，当5＜t＜10时，运动时间t＝______时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形．12【点拨】∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ.若要以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形，则PD＝BQ，如图，已知▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，则下列结论：①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③▱ABCD与▱DCFE全等；④∠DAE＝25°.其中正确的结论是________(填序号)．13①②④【点拨】∵四边形ABCD和四边形DCFE是平行四边形，∴AB＝CD，CD＝EF，BC＝AD，CF＝DE，AB∥CD，CD∥EF，∴AB＝EF，AB∥EF，∴四边形ABFE为平行四边形．故①正确；三、解答题(共48分)(12分)[2023·宁夏]如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE.求证：四边形BCDE是平行四边形．14【证明】∵EF∥AC，∴∠EDC＋∠C＝180°.又∵∠EDC＝∠CBE，∴∠CBE＋∠C＝180°.∴EB∥DC.∵DE∥BC，BE∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形．(12分)如图，△ABC

中，点D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF，求证：15(1)△CEF≌△AED；(2)四边形DBCF是平行四边形．【证明】∵D是AB的中点，∴AD＝BD.由(1)证得△CEF≌△AED，∴AD＝CF，∠A＝∠FCE.∴BD＝CF，BD∥CF.(12分)[2023·江苏模拟预测]如图，△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC上的一点，CD＝AB，过点D作DE⊥BC，并截取DE＝BC．16(1)求证：△ACE是等腰直角三角形；(2)延长DE至F，使得EF＝CD，连接BF并与CE的延长线相交于点G，求∠BGC的度数．【解】∵AB⊥BC，DE⊥BC，∴AB∥DF.∵EF＝CD，CD＝AB，∴AB＝EF，∴四边形AEFB是平行四边形，∴BF∥AE，∴∠BGC＝∠AEC.∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠AEC＝45°，∴∠BGC＝∠AEC＝45°.(12分)[问题]如图，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．[答案]EF＝2.17[探究](1)把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．①当点E与点F重合时，求AB的长；【解】如图所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD.∴∠DEA＝∠BAE.∵AE平分∠