13.1.2 定理与证明（难点练）解析版

13.1.2定理与证明（难点练）一、单选题1．（2018·全国八年级单元测试）下列不是基本事实的是()A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【答案】C【详解】解：A．两点确定一条直线，是公理，是基本事实；B．两点之间线段最短，是公理，是基本事实；C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，不是公理，不是基本事实；D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是公理，是基本事实．故选C．2．（2018·全国八年级单元测试）下列能作为证明依据的是()A．已知条件 B．定义和基本事实 C．定理和推论 D．以上三项都可以【答案】D【详解】解：已知条件、定义和基本事实、定理和推论都可以作为证明的依据．故选D．3．（2019·全国八年级期末）下列几个命题中正确的个数为（）①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为必然事件（骰子上各面点数依次为1，2，3，4，5，6）；②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们的平均分为95，众数为92；③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中乙较甲更稳定；④某部门15名员工个人年创利润统计表如下，其中有一栏被污渍弄脏看不清数据，所以对于“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”的说法无法判断对错.个人年创利润/万元10853员工人数134A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】分别根据中位数、众数、平均数、方差等公式以及性质分别计算分析得出即可．【详解】①“掷一枚均匀骰子,朝上点数为负”为不可能事件(骰子上各面点数依次为1,2,3,4,5,6)，故此选项错误；②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们平均分为95，众数为92，故此选项正确；③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中甲较乙更稳定，故此选项错误；④根据某部门15名员工个人年创利润数据，第7个与第8个数据平均数是中位数，故“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”，故此选项错误，故正确的有1个.故选；A.【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握各性质定理二、填空题4．（2019·全国）将命题“等腰三角形的两个底角相等”改写为“如果……那么……”的形式：如果___________________________________，那么_______________________．【答案】一个三角形是等腰三角形它的两个底角相等【详解】题设为:一个三角形是等腰三角形,结论为:它的两个底角相等,故写成”如果…那么…”的形式是:如果一个三角形是等腰三角形,那么它的两个底角相等,故答案为:一个三角形是等腰三角形,它的两个底角相等.点睛:本题主要考查将原命题写成条件与结论的形式,”如果”后面是命题的条件,”那么”后面是条件的结论,解决本题的关键是找到相应的条件和结论.5．（2017·上海）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：已知：_______________________________求证：_______________．【答案】已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线求证：AD平分∠BAC.【分析】结合几何图形写出已知条件和结论．【详解】已知：△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；求证：AD平分∠BAC．故答案为△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；AD平分∠BAC．【点睛】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．6．（2019·全国八年级课时练习）（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______．（2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______．【答案】（1）垂线段最短；（2），，，.【分析】（1）根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可；（2）根据全等三角形的判断定理SSS，即可得到答案.【详解】解：（1）∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，∴过点A作于点B，这样修所依据的数学公理是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．（2）根据题意，当时，有：（SSS），所依据的数学公理是SSS；故答案为：，，，.【点睛】本题主要考查了垂线段的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握垂线段最短的性质和SSS证明全等三角形的判定定理.三、解答题7．（2017·安徽）证明：两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直.已知:求证：.证明：试题分析：根据题意画出图形，写出已知与求证，证明过程为：由AB与CD平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠BEF+∠EFD=180°，再由EG与FG为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到∠GEF+∠EFG=90°，根据三角形的内角和定理即可得∠EGF=90°，结论得证．试题解析：已知：直线AB∥CD，直接EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF，∠EFD的平分线交于G点.求证：EG⊥FG证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°，∵EG平分∠BEF,FG平分∠EFD，∴∠GEF=∠BEF，∠EFG=∠EFD，∴∠GEF+∠EFG=∠BEF+∠EFD=×180°=90°，∴∠EGF=180°-(∠GEF+∠EFG)=90°，∴EG⊥FG8．（2018·山东）求证:对顶角相等(请画出图形，写出已知、求证、证明.)试题分析：根据题设与结论画出符合条件的图形，根据图形写出已知、求证，然后进行证明即可.试题解析：已知：如图，直线AB与CD交于点O．求证：∠1＝∠2．已知:如图，证明：∵AB、CD相交于O(已知)，∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°(邻补角的定义)，∴∠1＝∠2(同角的补角相等).9．（2018·全国八年级单元测试）“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应．【答案】A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个．试题分析：根据命题包括真命题、假命题，真命题包括定义、定理、基本事实等作答．试题解析：解：命题包括真命题、假命题．真命题包括定义、定理、基本事实等．故A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个．10．（2019·山东八年级课时练习）你写出两个判断，让其他同学判断一下是否正确.并且试着说明理由.【分析】此题答案不唯一,具有一定的灵活性.【详解】解:答案不唯一,如:（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；画出图形后根据HL证出Rt△ABM≌Rt△DEN，推出∠B=∠E，证△ABC≌△DEF即可；如图：∵AM⊥BC，DN⊥EF，∴∠AMB=∠DNE=90°，在Rt△ABM和Rt△DEN中AB=DE，AM=DN，∴Rt△ABM≌Rt△DEN，∴∠B=∠E，∵AB=DE，BC=EF，∴△ABC≌△DEF，∴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等正确．（2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；证Rt△BMC≌Rt△ENF推出∠C=∠F；根据SAS证出即可；有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等正确；如图：∵BM⊥AC，EN⊥DF，∴∠BMC=∠ENF=90°，在Rt△BMC和Rt△ENF中BC=EF，BM=EN，∴Rt△BMC≌Rt△ENF∴∠F=∠C，同理∠A=∠D，∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF，∴有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等正确．【点睛】本题主要考查对判断的理解,并能根据已知知识进行分析．11．（2019·全国八年级单元测试）（1）证明：“三角形内角和是180°”；（2）请写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，判断这一逆命题是真命题还是假命题，如果是真命题给出证明，如果是假命题，说明理由．【分析】（1）根据平行线的性质、平角的定义证明；

（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明【详解】（1）证明：已知：△ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C=180°，证明：过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°．即知三角形内角和等于180°（2）解：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是一个三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，是真命题．已知，如图，△ABC中，D是AB边的中点，且CD=AB求证：△ABC是直角三角形，证明：∵D是AB边的中点，且CD=AB，∴AD=BD=CD，∵AD=CD，∴∠ACD=∠A，∵BD=CD，∴∠BCD=∠B，又∵∠ACD+∠BCD+∠A+∠B=180°，∴2（∠ACD+∠BCD）=180°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的性质、平角的定义等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明.12．（2019·全国八年级课时练习）命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确吗？试着用你学过的知识说明理由.【答案】正确，理由见解析.【分析】运用完全平方公式计算，根据计算结果判断题意中的说法是否正确．【详解】正确，理由如下：.故命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确.【点睛】本题考查了命题真假的判断和完全平方公式，通过完全平方公式对所给式子进行化简计算是判断命题真假的前提．13．（2019·全国八年级课时练习）一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b（），若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个两位数的和能被11整除吗？差能被11整除吗？我们可以验证一下，比如23，对调后所得到的新的两位数是32，而2，.因此我们断定，这两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除；请问上述说法正确吗？【答案】正确【分析】两位数的十位数字与个位数字分别为a，b，表示出原两位数与新两位数，即可作出判断．【详解】解：正确，上述验证过程只是一个特例，为了验证结论的正确性，可作如下证明：∵原两位数的十位数字为a，个位数字为b（），∴原两位数为，新两位数为.∵，是11的整数倍，∴这两个两位数的和能被11整除.∵，一定不是11的整数倍，∴这两个两位数的差不能被11整除，∴上述说法正确.【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2019·全国八年级课时练习）如图所示，相交于点，连接，①，②，③．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①．（1）在构成的三个命题中，真命题有________个；（2）请选择其中一个真命题加以证明．【答案】（1）2；（2）选择①②③，见解析.【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS，ASA即可判断；（2）选择①②③，根据全等三角形的判定定理AAS，得到，然后即可得到.【详解】解：（1）①②③，满足全等三角形判定定理AAS，是真命题；①③②，满足全等三角形判定定理ASA，是真命题；②③①，是SSA，不能证明三角形全等，故不能得到①成立，是假命题；故答案为：2；（2）选择①②③．证明：在和中，∴．∴（全等三角形的对应边相等）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握、熟练运用全等三角形的证明方法证明全等是解题的关键.15．（2019·全国八年级课时练习）命题：角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举一反例．【答案】真命题，见解析.【分析】根据角平分线定义，得到，然后利用AAS证明，然后即可得到.【详解】解：真命题．已知，如图，点在的平分线上，且于点，于点．求证：．证明：∵平分（已知），∴（角平分线的定义）．又∵，（已知），∴（垂直的定义）．在和中，∴．∴（全等三角形的对应边相等）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.16．（2019·全国八年级课时练习）如图，现有以下三个语句：①；②；③．请以其中两个为条件，另一个为结论构造命题．（1）你构造的是哪几个命题？（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举反例说明．【答案】（1）详见解析；（2）都是真命题．【分析】（1）分别以①②③为结论即可写出三个命题；（2）根据平行线的判定和性质对三个命题进行判断即可.【详解】解：（1）如果，，那么．如果，，那么．如果，，那么．（2）根据平行线的判定和性质可知，三个命题都是真命题．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，熟知命题的结构、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.17．（2021·河北八年级期末）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“己知”和