13.1.2 定理与证明（重点练）解析版

13.1.2定理与证明（重点练）一、单选题1．（2020·浙江）假设命题“a≤0”不成立，那么a与0的大小关系只能是（）A．a＝1 B．a≠0 C．a≥0 D．a＞0【答案】D【分析】由于a≤0的反面为a＞0，则假设命题“a≤0”不成立，则有a＞0．【详解】解：假设命题“a≤0”不成立，则a＞0．

故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．2．（2019·全国）命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是()A．如果是同角的补角，那么相等B．如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等C．如果两个角互补，那么这两个角相等D．如果两个角是同角，那么这两个角是补角【答案】B【分析】命题包括两个部分即题设和结论，对于同角的补角相等，可知题设是两个角是同角的补角，结论是这两个角相等．【详解】“同角的补角相等”改成“如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等”．故选B【点睛】本题是一道关于命题的题目，关键在于命题的题设和结论的区分．3．（2019·全国）下列语句中，属于命题的是()A．作线段的垂直平分线 B．等角的补角相等吗C．平行四边形是轴对称图形 D．用三条线段去拼成一个三角形【答案】C【分析】判断一件事情的句子叫做命题，根据命题的定义进行判断．【详解】A“作线段的垂直平分线”这个句子没对一件事情做出判断，不是命题；B等角的补角相等吗，是问句，不是命题；C根据命题的定义可知，平行四边形是轴对称图形是命题；D用三条线段去拼成一个三角形,这个句子没对一件事情做出判断，不是命题;故选C【点睛】本题考查了命题的定义，注意命题必须是对一件事情做出判断．4．（2018·松桃苗族自治县第二中学八年级期中）“两点确定一条直线”这句话是（）A．定理 B．基本事实 C．结论 D．定义【答案】B【分析】两点确定一条直线是个陈述句，是事实存在的，属于基本事实．【详解】解：“两点确定一条直线”这句话是基本事实；

故选B．【点睛】此题考查了命题与定理、公理，要熟悉课本中的性质定理是解题的关键，是一道基础题．5．（2019·全国）在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，若AC=6，则BD=（）A．6 B．3 C．9 D．12【答案】C【详解】∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠B=30°，∴∠DCB=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=30°，∵AC=6，∴AD=3，AB=12，∴BD=9.故选C.点睛：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半.6．（2020·浙江）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】只要说明且∠1=∠2，据此逐项判断即可．【详解】解：A、满足且∠1=∠2，能说明原命题是假命题，本选项符合题意；B、，不满足，不能说明原命题是假命题，本选项不符合题意；C、，满足但不满足∠1=∠2，不能说明原命题是假命题，本选项不符合题意；D、，不满足，不能说明原命题是假命题，本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了真假命题的知识，属于常考题型，举反例是判断命题真假的常用方法．7．（2019·全国八年级课时练习）定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（）A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短【答案】A【分析】根据三角形的三边关系即可得到答案.【详解】解：如图，根据两点之间线段最短，即可判断：，∴三角形的任意两边之和大于第三边；故选：A.【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟记性质.8．（2019·全国八年级课时练习）下列推理正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或【答案】D【分析】直接利用不等式的基本性质和解方程的思想进行判断即可.【详解】解：A、∵，∴a，b同号，则或，本项错误；B、∵，则不一定正确，如时，，本项错误；C、∵，则或，∴不一定正确，故本项错误；D、∵，则或，本项正确；故选择：D.【点睛】本题考查了不等式性质和解方程的思想，解题的关键是利用不等式性质进行判断.9．（2019·全国八年级课时练习）下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个数，结果仍是等式；③x=2是一元一次方程x-2=0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据定理的含义可知只有④是定理.【详解】能被3整除的数，不一定能被6整除，故①是假命题；等式两边除以同一个不为零的数，结果仍是等式，故②是假命题；③是一个运算过程，不能作为定理；对顶角相等是定理.故选A.【点睛】本题考查了定理的含义，演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理.10．（2019·全国八年级课时练习）如图所示，在中，，下列结论不一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直角三角形的性质，分析判断即可得到答案.【详解】解：A、直角三角形两个锐角度数不明确，不能比较大小，故本项错误；B、由两边和大于第三边，得到，本项正确；C、由，则，本项正确；D、由勾股定理可知，，本项正确；故选择：A.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质.11．（2020·全国八年级课时练习）下列命题中，不是定理的是（）A．直角三角形两锐角互余B．两直线平行，同旁内角互补C．n边形的内角和为（n﹣2）×180°D．相等的角是对顶角【答案】D【分析】根据定理是正确的命题判断．【详解】直角三角形两锐角互余，A是定理；两直线平行，同旁内角互补，B是定理；n边形的内角和为（n﹣2）×180°，C是定理；相等的角不一定是对顶角，D不是定理．故选D．【点睛】本题考查了命题和定理，命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．二、填空题12．（2020·陕西西安·高新一中）“互补的两个角一定是一个锐角、一个钝角”是假命题，我们可以举反例：____.【答案】两个直角【分析】根据判断一个命题是真假命题只要举出反例即可得到原命题是假命题．【详解】当一个角为直角时，它的补角还是直角，但是直角不是锐角，也不是钝角，因此“互补的两个角一定是一个锐角、一个钝角”是假命题，我们可以举反例：两个直角．【点睛】本题的考点是举出反例来推翻命题，只要举出反例则说明命题是假命题．13．（2019·全国）命题由______和______两部分组成，通常写成______形式．【答案】题设（或条件）结论“如果……那么……”【分析】根据命题的组成直接填空即可．【详解】解：命题由题设（或条件）和结论两部分组成，通常写成“如果……那么……”形式．【点睛】本题考查了命题的组成，属于基础题，牢牢掌握命题的定义及组成是解题的关键．14．（2019·全国）规定一个______和______的含义的句子叫做定义，平行四边形的定义是______．【答案】名称术语有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形【分析】根据“定义”的概念和平行四边形的定义直接填空即可．【详解】解：规定一个名称和术语的含义的句子叫做定义；平行四边形的定义是有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．【点睛】本题考查了对命题、定理及平行四边形定义等知识点的考查，熟记“定义”及平行四边形的定义是解题的关键．15．（2019·全国八年级课时练习）如图所示，已知，，．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是________．（填序号）【答案】①②③【分析】根据SSS证明△ABD△FEC，由全等三角形性质，对选项进行分析判断即可.【详解】解：∵，∴，∴BD=EC，∵，，∴△ABD△FEC（SSS），∴∠A=∠F，∠B=∠E，∠ADB=∠FCE，∴，，所以①②③都正确，故答案为：①②③.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质.16．（2019·全国八年级课时练习）如图所示，，那么________，依据是__________．【答案】，同角的余角相等【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD.【详解】解：∵，∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，根据同角的余角相等，∴∠AOC=∠BOD；故答案为：，同角的余角相等.【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理.17．由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的________.【答案】推论【分析】根据推论的定义解答即可．【详解】由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论，故答案为：推论．【点睛】本题考查了推论的定义，解题的关键是掌握推论的定义．18．（2019·全国）“两直线平行，同旁内角互补”是___命题（真、假）【答案】真分析：根据平行线的性质即可得出答案．详解：平行线的性质定理中有一条：两直线平行，同旁内角互补．故这个是真命题．点睛：本题主要考查的是平行线的性质，属于基础题型．平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．19．（2019·全国）“直角都相等”的题设是___________，结论是_____________【答案】两个角是直角这两个角相等试题解析：直角都相等的题设是两个角是直角，结论是这两个角相等.故答案为(1).两个角是直角(2).这两个角相等.20．（2020·大庆市第五十七中学）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中真命题的是__________．（填写所有真命题的序号）【答案】①②④．【详解】①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故本选项正确，②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故本选项正确，③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故本选项错误，④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故本选项正确，故答案为①②④．三、解答题21．（2020·全国八年级课时练习）如图，，，，求证：．【分析】由得到，然后根据SAS，得到，然后得到结论成立.【详解】证明：∵（已知），∴（等式的性质），即．在和中，∴．∴（全等三角形的对应边相等）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是得到.22．（2020·广西八年级期中）补充完成下列证明过程，并填上推理的依据．已知：如图，．求证：．证明：延长交于点，则．（）又∵，∴_______，（等量代换）∴．（）【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；内错角相等，两直线平行【分析】第一个空是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，第二个空根据等量代换得出，第三个空是平行线的判定．【详解】解：延长交于点，则．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）又∵，∴，（等量代换）∴．（内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查推理与证明，解题的关键是掌握推理与证明过程中理由的书写，平行线的性质和三角形外角的定理．23．（2020·山东八年级期末）命题证明.求证：等腰三角形两底角的角平分线相等．已知：________________求证：___________________证明：____________________．【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，求出，利用全等三角形的判定，证明,由全等三角形的性质即可证明．【详解】已知：在中，，、分别是和的角平分线，求证：.证明：,,、分别是和的角平分线,,,在和中，，即等腰三角形两底角的角平分线相等．【点睛】考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质和判定定理是解题的关键．24．（2019·全国八年级课时练习）如图，位于中心的两圆一样大吗？【答案】两圆一样大.【分析】用圆规和刻度尺，比较中心两圆的半径或直径即可.【详解】解：借助圆规或刻度尺，可知位于中心的两圆的半径或直径相等，故两圆一样大.【点睛】仅凭观察得到的结论不一定正确.眼睛看到的并不一定可靠，因为眼睛有时会产生一些错觉.本题中感觉位于左图中心的圆好像比右图中心的圆要小一些，实际上这两个圆是一样大的.25．（2019·全国八年级课时练习）如图，在△ABC和△ADC中，给出下列三个论断：①BC=DC；②∠BAC=∠【分析】假设②∠BAC＝∠DAC；③AB＝AD，证明：①BC＝DC结论正确，我们可以先求证两个三角形全等，然后即可得出结论．【详解】条件：②∠BAC=∠DAC，③AB=AD；结论：①证明：在△ABC和△ADC中，AB=AD所以△ABC≅△ADC，所以BC=DC.（答案【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质这一知识点，此题的关键是明确题设和结论的含义，然后问题可解．26．（2020·全国八年级课时练习）如图，现有以下3个论断：；；．（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？