广东省部分2024-2025学年高二年级上册12月联合检测数学试题（解析版）

高_财土

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章第二节.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.下列直线中，倾斜角最大的是（）

A.3x—y—2=0B.x=2

C.3x+y+4=0D.y=2

【答案】C

【解析】

【分析】首先分别求直线的斜率，再结合直线倾斜角与斜率的关系，即可判断选项.

【详解】对于A,直线3x—y—2=。的斜率左=3,则倾斜角。w0,-；

I2J

7T

对于B,直线x=2的倾斜角。=—；

2

对于C,直线3x+y+4=0的斜率上=—3,则倾斜角兀］;

对于D,直线y=2的倾斜角。=0,

所以直线3x+y+4=0的倾斜角最大.

故选：C.

22

2.双曲线。：乙―上=1的渐近线方程为（）

232

%X

A.y=±4xB.y=±-C.y=±-D.y=±16x

416

【答案】B

【解析】

【分析】根据渐近线方程的特征即可求解.

v2丫2无

【详解】双曲线c：1—服=1的焦点在y轴上，a=e，b=4也,所以渐近线方程为y=±1.

故选：B.

3.已知向量G=(T,L。)，b=(2,m,n),若allb,则加一〃=()

A-2B.2C.-1D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，由向量共线列出方程，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为°〃人所以一lxm=lx2,-lx〃=0x2,则2=—机，n-Q,所以加一〃=一2.

故选：A.

4.若圆炉+/一4ax+2y—1=0的圆心到两坐标轴的距离相等，则。=()

A.+1B.1C.±-D.g

~22

【答案】C

【解析】

【分析】先求出圆的圆心，再结合题意即可得解.

【详解】圆/—4奴+2y—1=0化为标准方程为(％—2ap+(y+1)?=4/+2,

则圆心为(2a,-1),半径厂=74a2+2，

由题意得12al=1,解得a=土;.

故选：C.

2

5.已知片，F2分别是椭圆。：/+%=1(0<6<1)的左、右焦点，过点尸2且与长轴垂直的直线交C于

48两点.若耳A3为直角三角形，则C的焦距为()

A.2后—2B.V2-1C.1D.於

24

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意画出图形，求出|4耳=2〃，根据耳A3为等腰直角三角形，得到＞2=2c，结合

々2=①+。2计算即可.

【详解】由题可求得4。12),3(°,—〃)，贝叶48|=2/.

根据椭圆对称性，可知耳A3为等腰直角三角形，

所以方2=2C，则1—°2=2C，解得。=0一1，

所以椭圆C的焦距为2应-2.

故选：A.

6.已知圆A/:/+/=16与圆N:%2+J一4%-加丁+〃=0的公共弦与直线x-2y=。垂直，且垂足为

(2,1),则圆N的半径为()

A.75B.TnC.2D.2石

【答案】B

【解析】

【分析】先求公共弦方程，再根据直线垂直结论得到4-2m=0,解得加.将点(2,1)坐标代入

4%+2y—16=0,求出力=-6,得到圆的方程即可.

【详解】因为圆/：/+丁2=16与圆N:x2+_y2-4x-7〃y+〃=0,

所以它们的公共弦方程为4x+町—〃—16=0.

因为公共弦与直线x—2y=。垂直，所以4—2机=0,解得加=2.

将点(2,1)的坐标代入4x+2y—16=0,可得〃=-6,

圆"：一+/一4》一2丁—6=0可化为(x—2y+(y—I)?=11,故圆N的半径为而.

故选：B.

7.已知A,8分别为双曲线C：工—3=1（。〉0]〉0）的左、右顶点，尸是C上一点，直线B4,尸2的

ab

斜率分别为g和3,则C的离心率为（）

A.@B.73C.^5D.M

22

【答案】D

【解析】

【分析】设P（九0,%），由直线的斜率公式，结合的坐标满足双曲线方程，可得的关系，由离心率公式即

可求解.

22

【详解】设则再—4=1,因为4-a,0）,3（a,0）,所以

ab2

J=[=LX3=3,则C的离心率e=£=£=Jl+?=典.

Skk-_____也一-」2

a。+aXQ-QXQ--a-a222a\a2\a22

故选：D.

8.在空间直角坐标系。町z中,定义：经过点尸（Xo，%,Zo）且一个方向向量为/=（a,dc）（aZ?cwO）的直线1

的方程为士工=口=巳&,经过点P（xo，%,z°）且一个法向量为n=的平面的方程为

abC

丸（%-%0）+〃（丁一%）+创2-20）=0.已知在空间直角坐标系aDZ中，经过点P（2,2,0）的直线/的方程

为2—x=2—l=.,经过点P的平面a的方程为2x+y+2z-6=0,则直线/与平面a所成角的正弦

23

值为（）

A.亚B.巫C,11

D.——

771414

【答案】B

【解析】

【分析】由题目定义得到直线的一个方向向量，和平面的法向量,由向量夹角的求解公式得出线面角的正

弦值.

【详解】经过点尸（修，加z。）的直线/的方程为2-x=^-l=|,即二=2ZZ=£Z2,

-123

则直线I的一个方向向量为m=（-1,2,3）.

又经过点P的平面a的方程为2x+y+2z—6=0,

即2(x—2)+(y—2)+2(z—0)=0,所以a的一个法向量为“=(2,1,2).

I,,1\m-n\-2+2+6

设直线I与平面a所成的角为6,则sin0=cos(m,n\\=y—r-；=,­/=------.

1'〃网网712+22+32X722+12+227

故选：B.

二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知曲线。：必+小尸=],下列结论正确的有()

A.若m>0,则C是椭圆B.若C是圆，则加=±1

c.若m<0,则c是双曲线D.若机=o,则c是两条平行于y轴的直线

【答案】CD

【解析】

【分析】根据椭圆、圆、双曲线、直线的方程的特点逐项判断即可.

【详解】对于A选项，若m>0且则C是椭圆；

对于B选项，则C是圆，贝卜〃=1；

对于C选项，若7〃<0,则。是双曲线；

对于D选项，若“2=0,方程为x=±i,则c是两条平行于y轴的直线.

故选：CD.

10.在四棱锥P—ABCD中，P(—1,—3,3),A(l,0,l),3(0,1,1),C(-l,3,0),D(0,2,0),则下列结论

正确的有()

A.四边形A8CD为正方形

B.四边形A3CD的面积为出

C.PA在AB上的投影向量的坐标为0)

D.点P到平面ABCD的距离为代

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据ARBC是否相等，A£>,A3是否垂直，即可判断A；求出sin/BAC再根据

S皿8=254即即可判断3；根据投影向量的定义即可计算判断C；根据点到平面的距离的向量求法即可

判断D.

【详解】对于A,AB=(-1,1,0),BC=(-1,2,-1),AD=(-1,2,-1),

则

所以4£>〃3。,人。=3。，AB与AD不垂直,

所以四边形ABCD为平行四边形，故A错误;

ABAD3731

对于B,侬/切。=西府=万环=3，所以疝/痴。=5,

所以四边形ABCD的面积为2SAB0=2X；XJ5XNX；=6,故B正确;

对于C,B4=(2,3,-2),

PAABAB_1,..11

则PA在AB上的投影向量为.疝=5(T，I，O)=-5,5,0,故c正确;

ABAB22

对于D,设平面ABCZ)的法向量为〃(x,y,z),

n-AB=-x+y=0

则有《,令久=1,则〃=(z1,1,1)x

n-AD=-x+2y-z=0

PA-n3

所以点尸到平面ABCD的距离为二^/3，故D正确.

|«|8

故选：BCD.

11.已知相>0,〃<0,。(匕丁)是曲线、=，4%一川上的任意一点,若k一y+7”|+|x—y+"的值与

x,y无关,贝ij()

A.m的取值范围为[2，5+2,+oo)B.m的取值范围为[2点-2,+oo)

C."的取值范围为(-8,-4]D.n的取值范围为(-00,-20-2]

【答案】BC

【解析】

【分析】由方程知曲线为半圆，再由题意转化为半圆夹在两平行直线之间，求出相切与过端点的情况即可

得解.

【详解】由曲线y=,4x—/，得丁》0,则(x-2)2+y2=4(yN0),

所以曲线y=P表示圆心为M（2，。），半径r=2的半圆（X轴及以上部分）.

x-%—y+川

设4=为点a历到直线4的距离，d=为点a，y）到直线/2的距离.

~ir~2V2

r;\-y+m\|x-y4

已知|%—y+向+|%_y+〃|=7(x6F

即|尤->+〃2|+|彳-、+川表示点0,'）到直线/1和12的距离和的&倍.

由图可知，该曲线两平行直线乙：x-丁+m=0,&:x-y+"=0之间时,

点（x，y）到直线/1和/2的距离和为两平行线之间的距离.

,2+m八

当4与曲线相切时，行=2,

解得加=20-2，则机的取值范围为[2垃-2,+8）；

当4经过点（4,0）时，4+"=0,解得〃=—4,则〃的取值范围为（―叫—4].

故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.直线％+阳+3+/=。在两坐标轴上的截距互为相反数，则机的值为.

【答案】-3或-1

【解析】

【分析】分别求出两坐标轴上的截距，进而可得出答案.

m+3

【详解】令x=0,则丁=------，令y=0,则x=—m—3,

m

加+3、（1、

则--------加—3=0,即（加+3）|bl|=0,解得机=—3或772=—1.

m\m）

故答案为：—3或—1.

13.在四棱锥尸—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E满足ED=2PE，点/满足ZBE，

若尸，A,C,尸四点共面，则2=.

3

【答案】一##0.75

4

【解析】

1一1.2

【分析】连接班），利用向量线性运算得BEngBA+gBC+gBP,WBF=ABE&P^A,C,尸四点

共面的向量结论列式求解即可.

【详解】连接B。，由题可知BE=LBr）+2BP='R4+』BC+2BP.

33333

又BF=2BE，所以=—B4+—3C+——BP,且P,A,C,F四点共面，

333

所以4+人+丝=1,解得4=3.

14.已知尸是椭圆C：二+4=1（。〉6〉0）位于第一象限上的一点，及,尸2分别是C的左、右焦点,

ab

尸耳，尸工，点。在/耳尸丹的平分线上，。为坐标原点，OQHPFX,且|OQ|=b,则C的离心率为

【答案】®##上巫

33

【解析】

【分析】延长OQ交尸工于点A,利用OQ〃P耳得A为尸鸟的中点，根据角平分线及「耳，「心，得

NQAP=90,结合椭圆定义及勾股定理列式化简得2a2=3。2,即可求解离心率.

【详解】设归耳|=加，|?闾=〃，延长0Q交P居于点A.

由题意知OQ〃P£,。为耳B的中点，故A为PB的中点.

由ZQPA=NFFQ=ZAQP,PF}LPF2,得XAQ?是等腰直角三角形,

m+n=2a,

m-n=2b,m=a+b,

则Lii化简得即《

b+—n=—m,m+n-2a,n—a—b.

I22

代入m2+n2=4c2得(a+b)2+(a-b)2=4c2,即"十廿二2c2.

因为从=后一02,所以2a2=3,2,所以e2=?,所以《

33

故答案为：渔

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知圆M经过点4L4),3(2,3),C(2,5).

(1)求圆M的标准方程；

(2)若倾斜角为弓的直线/经过点尸(2。，且/与圆M相交于E,尸两点，求怛肉.

【答案】(1)0-2)2+6-4)2=1

⑵恒

2

【解析】

【分析】(1)将三点代入圆的标准方程，即可求解；

(2)首先求直线方程，再根据弦长公式，即可求解.

【小问1详解】

设圆M■的标准方程为(工一。)？+(y-b)~=r2(r>0),

a-4+(4-力2=,，

将点A(l,4),3(2,3),C(2,5)代入方程，可得(2—af+(3—=/，

(2-a>+(5-6)2=/，

解得a=2,b=4,r=l,所以圆M的标准方程为a—2)?+。-4)2=i.

【小问2详解】

7

直线/的方程为y—5=—(x—2),即2x+2y—11=0.

圆心M(2,4)至心的距离=亨，所以旧周=2小—(孝了=理.

16.如图，在正方体ABCD—4耳CQi中，M,N分别为441和的中点.

(1)证明：直线〃平面A。。.

(2)求平面与平面ACD夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵叵

5

【解析】

【分析】(1)以点A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可;

(2)利用向量法求解即可.

【小问1详解】

如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系，

不妨设正方体ABCD-4男£A的棱长为2,

则"(0,0,1),"(2,1,0),。(2,2,0),。(0,2,0)，4(0,0,2),

故初V=(2,L-L)，AD=(0,2,-2),DC=(2,0,0),

设平面ACD的法向量为n=(羽y,z),

ri-AD=2y-2z=0

则有}可取〃=（0,1,1）,

n-DC=2x=0

则"•M2V=0+l—1=0，所以"」7W，

又W平面AC。，所以直线MN〃平面AC。；

【小问2详解】

X(0,0,0),

故AM=(0,0,l),4V=(2』,0)，

设平面的法向量为加=(a,A,c),

则有1,可取加=(1,—2,0),

m-AN=2a+b=0

“”।\m-n\2

所以cosm,n\=­；~T7—r=—j=—-j==——,

।H同V5XV25

即平面AMN与平面&CD夹角的余弦值萼.

17.一束光线从点P(0,4)射出，经直线x+y—3=。反射后，与圆C:(x—3)2+(y—2>=1相切于点

(1)求光线从点尸到点M经过的路程；

(2)求反射光线所在直线的方程.

【答案】(1)4⑵y=3或8x+15y—37=0

【解析】

【分析】(1)设点尸(0,4)关于直线x+y—3=0的对称点为Q(a,b),

运用“中”“垂”性质构造方程组，求出。(-1,3),进而求出|CQ|,再求路程即可;

(2)设反射光线为y—3=左(％+1),即依—y+k+3=0,利用直线与圆相切条件计算k即可.

【小问1详解】

设点P(0,4)关于直线x+y—3=0的对称点为Q(a,b),

CL——1

则＜解得L。，BP2(-1,3).

IK"。b=3

又圆心C(3,2),所以=J(3+Ip+(3_2.=屈,

则光线从点P到点M经过的路程为7(V17)2-1=4.

【小问2详解】

由题可知反射光线经过点。(-1,3),易知反射光线的斜率存在,

故设反易寸光线为了一3=左(％+1),即依一y+上+3=0.

又圆心C(3,2),所以。^4=1,解得左=。或左=——.

也+/15

故反射光线所在直线的方程为y=3或8x+15y—37=0.

18.己知等轴双曲线C的焦点在x轴上，且实轴长为.直线、=丘+机与C交于A,8两点.

(1)求C的方程；

(2)若点(3,1)为线段AB的中点，求k的值；

(3)若加=1,且A,8两点都位于y轴的右侧，求上的取值范围.

【答案】(1)《一＜=1

33

(2)3(3)(—久1,一1)

3

【解析】

【分析】(1)根据等轴双曲线概念，结合条件构造方程组求出a=也即可；

(2)运用点差法求解即可；

(3)直曲联立，借助韦达定理和根的判别式即可.

小问1详解】

22

由题可设C：—~1(〃>0)，

aa

因为实轴长为2百，所以2〃=2百，即〃=6.

22

故。的方程为=-与=1.

33

【小问2详解】

I

设A(%，M),B(x2,y2)

则33两式相减得五二芯>=0,整理得工二生=左上

制33%—%2M+%

---=1,

[33

因为线段的中点坐标为(3,1),所以％]+%2=6,%+%=2,

所以直线AB的斜率左=-----=-------=%=3.

%一々%+为2

【小问3详解】

[22

工—匕=1

由《33，可得(1-k2优_2a_4=0.

y=kx+1

A=4左2+16（1—左2）〉。,

2k

因为直线丫=丘+1与c的右支交于不同的两点，所以<>0,

1-k2

-4

>0,

故—与〈左<—i,即/取值范围为(—半,一1).

19.在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P(x,y),总存在一个点Q(x',y')满足关系式0：

<,(4>0,〃>0),则称0为平面直角坐标系中的伸缩变换.

(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换?，使得圆/+9=4变换为椭圆

4x2+y2=1.

2

(2)在同一直角坐标系中，椭圆x工+v乙=1经平面直角坐标系中的伸缩变换。：〈:3得到曲线C.

94,1

(i)求曲线C的方程；

(ii)已知曲线。与％轴交于A,3两点，P是曲线C上异于A,5的任意一点，直线AP交直线x=3于点

M,直线5P交直线1=3于点N,证明以MN为直径的圆G与x轴交于定点〃，并求出点H的坐标.

',1

x--X.

【答案】(1)彳；4

V=-y-

、乙

(2)(i)x-+y2=l；(ii)证明见解析，(3+20,0)或(3—2JI,0)

【解析】

【分析】(1)根据伸缩变换