河南省新乡市2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试题（含解析）

河南省新乡市2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试题

2024.12

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡

上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知复数z==会则|z|=

A.72B弓C.lD.2

2.函数/(%)="_2eXT+5的图象在点(1,f(l))处的切线方程是

A.y=5x-lB.y=x+lC.y=-x+5D.y=x+3

3.为了增强学生的体质，某中学每年都要举行一次全校一分钟跳绳戚数(人数)

8

测试.已知某次跳绳测试中，某班学生的一分钟跳绳次数的频数5

-2

分布直方图如图所示，则该班学生一分钟跳绳次数的中位数的估9

8

6

计值为(结果精确到整数)3

A.127B.136

80100120140160180跳绳次数

C.133D.138

4.若函数/(%)=，%-%2应(%)=ln(a-2x)的定义域分别为A,B,且

力n8=则f(a)=

11

A.OB.-C.-D.1

4Z

5.若直线l:y=x+m与圆。(久一2)2+。+5)2=16的两个交点为人，B,且|4B|=2四,则m=

A.—11或-3B.-9或-5C.—11或-5D.-9或-3

6.将函数y=sinx图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变，再将所得图象向右平移

兀/3个单位长度后得到函数f(x)的图象，若f(x)在区间与兀]上恰有5个零点，则①的取值范围是

A.[5，SB.陪C(5即D.(6用

【高三数学第1页(共4页)】

7.“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门.某

商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠.每个

侧面梯形的上底长为避分米，下底长为24分米，梯形的腰长为小?分米，

忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为

A.岁立方分米B.7避立方分米

C.7立方分米D微立方分米

8.当x,y,zG[0,+8),且x,y,z有且只有一个为0时，p(x,y,z)=9土+言；+1三,则

儿y_rz.z-rX

A.p(x,y,z)既无最大值,也无最小值

B.p(x,y,z)的最大值为4,最小值为2

C.p(x,y,z)的最大值为4,p(x,y,z)无最小值

D.p(x,y,z)的最小值为2,p(x,y,z)无最大值

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知cosasi叩则以下等式可能成立的有

14

A.sinacosp=--B.cos20c=-

14

C.sinasinp=—-D.cos2p=-

10.已知抛物线C:y=8%的焦点为F,过点F的直线1的斜率为k,且1与C交于A,B两个不同的

点(点A在x轴的上方).下列说法正确的是

A.若k=2,则|AB|=10

B.若|AF=2BF,则k=2#

C.点A,B的纵坐标之积与k有关

D.若|OA|=2|OB|(O为坐标原点)，则LAF|〈2|BF|

11.在四棱锥P-ABCD中，AB=2,AD=CD=1,AB_LAD,AD_LDC,动点E生平面ABCD,且BE_LCE,F

是AE的中点，则

A.DF〃平面EBC

B.DE的长可能为3

C^BA-~BEe(1-A/2,1+®

D.点F在半径为零的球面上

4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若椭圆-4r+^=l(neN*)的离心率为en,则4=,

13.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,(b,c.=枭,ABC的面积S=道,则a+4bl的最小

sin/i—sin/ju-rc

值为▲,此时4ABC的周长为▲.

14.如图，机器人从A点出发，每次可以向右或向上沿着线走一个单位(每个小正方形的一条边长为一个

单位)，要走到B点，不同的走法共有▲种.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

设函数f(x)=3x—e3x~2.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)比较与的大小；

(3)若关于x的不等式f(x)<lga|的解集为R,求a的取值范围.

16.（15分）

11

如图，在AABC中，ZC=90°,AB=2AC=4,AD=-AC,AE=-AB'^△ADE沿DE折起得到四棱锥4

Z4

一BCDE,且平面.A'DE1平面BCDE.

(1)证明：四棱锥4—BCDEA-BCDE的高为亨,

(2)求直线A，E与平面ABC所成角的正弦值.

【高三数学第3页(共4页)】

17.(15分)

某项编程技能比赛分为两轮：第一轮初赛，赛题由6道基础编程题和4道中级编程题组成，

基础编程题每题答对得5分，中级编程题每题答对得10分，初赛至少得60分才能进入第二

轮复赛，否则淘汰；第二轮复赛，赛题由2道中级编程题和2道高级编程题组成，中级编程

题每题答对得10分，高级编程题每题答对得20分.所有的题答错都不扣分.已知甲同学能答

21

对每道基础编程题，中级编程题每题答对的概率为高级编程题每题答对的概率为I且各

题答对与否互不影响.

(1)求甲同学初赛被淘汰的概率；

(2)已知甲同学第一轮初赛得满分70分，求甲同学两轮比赛所得总分X的分布列及期望.

18.(17分)

已知双曲线C:，—总\=l(a)0)的左、右焦点分别为Fi,F2,且\FrF2\=2G.

(1)求C的渐近线方程.

2

(2)点Q为C的左支上一点，且COSZ%QF2=5A，B分别为C的左、右顶点，过点(2,0)

的直线交C的右支于E,F两点，其中点E在x轴上方，直线EA与FB交于点P.

①求直线FiQ的方程；

②证明：点P到直线的距离为定值.

19.(17分)

在平面直角坐标系中，O是坐标原点.若点列｛AJ中的3个相邻的点.4„,41+1,4„+2满足

04-2=pOAn+i'-q5a>€N*),则称关于x的方程久2=p%_q是｛4｝的特征方程，将方程

%2=px-q的实数根称为｛4n｝的特征根.已知.4。,0)4(0,1),，点列｛A｝的特征根为1和

AAAA>n

⑴求2.OB“KM——OA”,OCM=OA“+L2OA”.

432

(2)设猴=(n+4n-6n+4n-l)~0Bn-砧求数列｛/n｝的前n项和Sn;

(3)若｛an｝是公差为d(dWO)的等差数列，且各项都为正整数，即和d是已知的常数，求点

列以J的特征根.

【高三数学第4页(共4页)

2024—2025学年高三第一次模拟考试

数学参考答案

1.A【解析】本题考查复数的运算与模,考查数学运算的核心素养.

中.3-i_(3—i)(—2i)_5+5i_「，..._/_pr

因为z_]_2i_(l_2i)(l+2i)_5_1+丁r所r以|2|一/12+122—\/^.

2.D【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养.

由题意可得/(7)=312—2-7.则/'(1)=1,因为/(1)=4,所以所求切线的方程为、一4

=x-1,即y=x+3.

3.D【解析】本题考查频数分布直方图与中位数，考查数据处理能力.

由图可知该班的总人数为6+8+12+18+6=50,因为6+8=14<25,14+12>25,所以中位

数位于第三组，由120线X(140—120)*138.3,得中位数的估计值为138.

4.A【解析】本题考查函数的定义域与集合的交集,考查数学运算的核心素养.

A={a:|x—j2>0}=[0,l],B={iffl—2.r>0}=(—oo,y),因为403=10,4),所以^'

=1.故/(a)=/(l)=0.

5.B【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养.

因为圆心(2,—5)到直线/的距离d=^gn=J16一(号与？，整理得|，〃+7|=2,解得

m=-9或一5・

6.B【解析】本题考查三角函数图象的变换与函数的零点，考查逻辑推理的核心素养.

依题意可得f(z)=sin[3(]一3)].当彳漂[个，兀]时如(%一七)&3笺4因为在

区间:三,J上恰有5个零点，所以4右等<5式，解得643〈当.

7.D【解析】本题考查正三棱台的体积的实际应用，考查直观想象的核心素养与应用意识.

如图，在正三棱台ABC-A.B!Ci中，AB=2向，4向=V3,AA,=

JTW，将棱台补全为正三棱铢P-ABC.设O为底面ABC的中心，连接

尸O,AO,则PO_[_底面ABC,而AOU平面ABC,贝UPOJ_AO.因为

1O

A|B尸子AB,所以PA=2AA=2/n.AO=?AB-sin600=2,所

,_____Pf)

以FO=，P=2—AO：=4&■，则三棱台ABC-A|BC的高分=方=2反该正三棱台的上

【高三数学•参考答案第1页(共7页)】•25-210C-

底面积S尸中义（阮=苧，下底面积S2=%（2g）2=3点，所以该正三棱台储物凳的

储物容积V=J（S1+x/^+Sz»=J（半+峥+3点）义2点=引.

JJ4乙乙

8.A【解析】本题考查不等式与新定义函数的最值，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.

p（0,y,z）=­r-F2=F2,

、+之i+三

y

N2

由一C（0,+8）,得-----£（0,2）,

yi十三

y

则#（0,y,z）e（2,4）.

由对称性可得2Vp既无最大值,也无最小值.

9.BC【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

112

当sinacos/?=—"时,siMa-0）=sinacos0-cosasin/?=———•1.贝ljsinacos/?=

乙Cto

122

一5不可能成立,A错误.由cos《&由*=可,可知Q4|COS所以cos2a=2cos2a-IE

[「一11贝4COS2a=§4可能成立‘B油跳取510=一93，85。4=至，$由56=不’此时

cosasin/?=—,sinasinR=一"5■，则sinasin/?-=-'■可能成立,C正确.由cosasin£=彳，可

j乙Vo

知^"&|sin.所以cos2/?=l—2sir/8e[—l*].则8s20="不可能成立,D错误.

10.ABD【解析】本题考查直线与抛物线的综合，考查数学抽象与数学运算的核心素养.

设人（见，、），5（4，»8）.对于选项人,当左=2时,/：3=2*=」，代入一=8工，得一一6?

+4=0,则HA+78=6,|4口|=一心+以,+力=6+4=10,人正确.对于选项B,过点A,B分

别作准线的垂线，垂足分别为P,Q（图略）,不妨设|BF|=m,则|BQ|=m|AF|=|AF|=

2m,|AB|=3m,则k=tan/PAB=M（3‘”）；一（九一，"）-=2五，B正确.对于选项C,设直

线I：a=〃?》+2,代入y2=8x,得/一8my—16=0,则3,A3,B=-16为定值，点A,B的纵

坐标之积与k无关,C错误.对于选项D,由|OA|=21OB|,得通+/=4」+4北，即高

22

+8]八=4遥+32ZB，即（7人+4）=（2j-B+6）+8.rit—20,由|AF|=-。+2,|BF\=xli+

2,可得（|AF|+2）2=（2|BF|+2）2+8ZB—20.因为点A在1轴的上方，所以j<2,则

8HB-20V0,所以（|4尸|+2）2〈（2|8尸|+2）2,所以也尸|〈2|8'|丁正确.

11.ACD【解析】本题考查立体几何初步，考查空间想象能力与推理论证能力.

取BE的中点G,连接CG,FG,则FG〃AB〃CD,且FG=^AB=CD.所以四边形CDFG

【高三数学•参考答案第2页（共7页）】•25-210C-

为平行四边形.则DF%G,因为DFC平面EBCCGU平面EBC,所

以FD〃平面EBC,A正确.设BC的中点为M,连接ME,MD,MA.

由题意可知,四边形ABCD是直角梯形,可求得BC=J2.DM=^-.

因为BE，CE,所以E在以M为球心，号为半径的球面上运动（但不

经过平面ABCD）,则DEVDM+ME=4^+掾<3,B错误.或•~BE=BA•（BM+

ME）=~BA-~BM+BA-ME=1+\BA\•|ME|•COS<KA,ME>=1+^cos<&4,ME>,

因为说与流不共线，所以cos〈示，磁〉6（—1,1）,所以市•就C（1一笈,1+V?）,C

正确.设AM的中点为N,连接FN,则FN=jME=y.所以F在以点N为球心，牛为半

径的球面上运动,D正确.

12.与：片如【解析】本题考查椭圆的离心率与数列的交汇,考查数学运算的核心素养.

由。=小一、'得仆="?<孝"=1一岛=击'与=〃+1，所以给=

〃（2+〃+1）一〃2+3〃

2=-2-.

13.8；5+/13【解析】本题考查解三角形与基本不等式的交汇，考查数学运算与逻辑推理的核

心素养.

由半=空=三1及正弦定理，得二^=4­，即由余弦定理可得,2

sinA-sini5b-rca-b。十c

=a2+62-2"cosC,所以cosC=y.因为CG（0,“），所以.。二告，则S=yaZ>sinC=

乙J乙

与解得H=4,则a+4〃》2/^=8,当且仅当a=4/=l时，等号成立，此时c=

22

,y4+l-2X4XlXJ=7T3,AABC的周长为5+JU.

14.401【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查直观想象与逻辑推理的核心素养以及分类

【高三数学•参考答案第3页（共7页）】•25-210C-

1种.故不同的路线共有1X28+5X36+10X15+6X6+7X1=401种.

15.解：(l)/'Cr)=3—3e斯T.................................................2分

29

当与时/(0)<O,/Cr)单调递减；当eVf时单调递增.……4分

因此,/(①)的单调递减区间为(£,+8),单调递增区间为(一8,3)........................6分

oJ

(2)2002>2001>1,.................................................................................................................7分

由(1)知/(*)在(1,+8)上单调递减，所以/金。。)〉/9。02)..................9分

(3)因为关于1的不等式/(i)Vlga的解集为R.所以不等式/(.r)<lga对zGR恒成

立，....................................................................10分

所以lga>/Cr)a=/(7)=2—l=l，........................................................................12分

解得a>10,即a的取值范围为(10,+8).....................................................................13分

1

16.(1)证明:依题意可知3M^AC=J^=5/IJNBAC=60°,........................................1分

/LuZ

因为/18=24。=4*。=基。1.1£=98,所以40=砥=1,................................2分

所以AADE与AA'DE都是边长为I&1正三角形.............................3分

取DE的中点M,连接A'M,则A'MllzE.....................................................................4分

又因为平面A'DE_L平面BCDE,平面4公年D平面BCDE=DE,所以A'M_L平面

BCDE..................................................................—...............................................................5分

因为A'M=4,所以四棱锥A'-BCDE的高为与...............................6分

(2)解：以直线CB为1轴，直线CD为)轴.而#的方向为.1/V

轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0,0,0),—>

夙2篇,0,0).E龙的,0),A，(旦？，当..........9分

42/

，

CB=(2\/^,0,0),CA=(^d..............................10分”

设平面A'BC的法向埴为”=(2•，了,z),则由n•CB=n•CA，=0.

273^=0,

得［条+枭+受=0，

....................................................................................11分

取z=5,得〃=(0,—2/,5)............................................................................................12分

八£=(亨,：,一亨),cos<n,ArE)_*•■_一3点_3ym

|“||芽|737X137,力

【高三数学参考答案第4页供7页)】-25-210C-

°、一、y°"一•

故直线A'E与平面A'BC所成角的正弦值为之等...........................15分

OI

17.解：（1）若甲同学初赛不被淘汰，则他答对中级编程题的数量至少为咋言=3,……1分

设甲同学通过初赛为事件A,则甲同学在初赛的4道中级编程题中答对3道或4道，所以

P(A)=C^(y)3X..........................................4分

故甲同学初赛被淘汰的概率P(了)=1一P(A)=1一|1=&.....................5分

(2)设y为甲同学第二轮复赛的得分，丫的取值集合为{0,10,20,30,40,50,60},

X=Y+70,X的取值集合为{70,80,90,100,110,120,130}.......................6分

✓1\2✓2\24

P(X=70)=P(y=0)=(y)x(y)=的,..................................7分

P(X=80)=P(y=T0)^((^X-X-)X(-)■=—,..........................8分

/O0o01

P(X=90)=P(y=20)=(1-)2X(4)2+(T)Zx(C2XTX4)=lT»............9分

OOOo01

P(X=100)=P(Y=30)=CiX^^XCiX^X^-=^,....................10分

J<7-oool

P(X=110)=P(y=40)=(1)2X(ClV^.1)+(j)ZX(y)2=1y,........P分

P(X=120)=P<y=50)=(C|X^-x4)X(^}2=^,........................12分

OO01

p(x=i30)=p(y=60)=(4)2x(4)z=^-...............................13分

xO\J'ol

X的分布列为

X708090100110,120130

P41620161744

n8181si818181

.........................................................................14分

故E(X)=70X^r+80X^7+90X^7+100X^7+110X^7+120X^r+130Xyr=-^-.•••

olololoioloiolo

.....................................................................15分

on290

【注】本题也可以先求得E(Y)=^■，再得E(X)=E(y+7O)=E(Y)+7O=—.

JJ

18.⑴解:由题意可知|F|FzI=242+^2+3=2-,..............................1分

则。=1,==\/42+3=2,....................................................2分

故C的渐近线方程为'=±2?...............................................3分

⑵①解:设IBQ|=，，则|FzQ|=/+2,......................................4分

【高三数学•参考答安第5页（共7页）】•25-210C-

由余弦定理可得|FIQ|2+|F2Q|2-2|BQ||F2Q|COSNF|QFZ=|FFZ|2,

4

即»+。+2）2—彳*/+2）=20,.................................................5分

解得，=4（负根已舍去），....................................................6分

所以IKQ|2+|FIFZ|Z=|F2Q|2,则FIQ-LFJFZ，

故直线F|Q的方程为工=一所.............................................7分

②证明：易知直线EF的斜率不为0,则可设直线EF：a="?》+2,.................8分

x=my+2^

设E&L），（12，山），联立yv2得（4——1*2+]67”+]2=0,.........9分

产——=1,

"+认=病=？"山=病二13=16（4/+3）＞0恒成立，..................1。分

由题意得4,1—且2Vo，解得........................11分

告ei）,

直线EA：y=-^r（;r+D,直线FB：y12分

•T]十I

日-HT阳工―1_殳2-1）"_（见食十1万1

联“可得不1一寸西一诟诲而13分

加）1%+（»1+，2）—。2-（潦Mi

15分

1%+3〃

3（潦g3

解得工=方，故动点P在直线1上，......................................16分

所以点P到直线EQ的距离为十一（一痣）=西+义•故点P到直线BQ的距离为定值.

...................................................................17分

19.解：（1）因为点列｛A“｝的特征根为1和2,所以（A“｝的特征方程为合=37一2,所以西乙

=3。4+：-2血,.........................................................1分

则OA”+；—OA”+；=2（OA“+；—