沪科版九年级数学重难点专项突破：解直角三角形之“背靠背”模型（原卷版）

重难点专项突破10解直角三角形之“背靠背”模型

3【知识梳理】

【模型展示】

【考点剖析】

一、单选题

1.（2020•湖南永州•九年级统考阶段练习）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰

角为30。，看这栋楼底部C的俯角为60。，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（）

3

C白S

S00

E0勺

C昌

0百

D

B声

号

nS！

SH3

S口

H5E

S-

S95

口d3

/

米B.（60+160括）C.1606米D.360米

二、填空题

2.（2022•山东德州•统考二模）如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形A8CD,AE,。尸为梯形的高，其中

迎水坡A3的坡角a=45。，坡长AB=10顶米，背水坡CD的坡度i=l：6,则背水坡的坡长CD为

米.

三、解答题

3.（2020秋•河北唐山•九年级统考期末）如图，嘉琪家对面新建了一幢图书大厦，她在自家窗口A处测得

大厦底部。点的俯角为大厦顶部3点的仰角为尸，sinci:r和tan/?是方程-3x+l=0的两根.嘉琪量

得两幢楼之间的距离DE为204m.

B

□□

□□

□□

□□

□□

□□

□□

□□□

D20j3mE

（1）求出。、夕的度数；

（2）求出大厦的高度（结果保留根号）

4.（2021•内蒙古呼伦贝尔•统考一模）如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A,其正东方向有一棵大树B,小

明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45。方向上，测得B在北偏东32。方向上，且

量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少？（结果精

确到1米.参考数据:sin32°=0.5299,cos320=0.8480）

5.（2020・吉林•三模）吉林省广播电视塔（简称"吉塔"）是我省目前最高的人工建筑，也是俯瞰长春市美景

的最佳去处.某科技兴趣小组利用无人机搭载测量仪器测量"吉塔"的高度.已知如图将无人机置于距离"吉

塔”水平距离138米的点C处，则从无人机上观测塔尖的仰角恰为30。，观测塔基座中心点的俯角恰为

45。.求"吉塔”的高度.（注：73=1.73,结果保留整数）

6.（2020秋•四川成都•九年级校考期中）金牛区某学校开展“数学走进生活”的活动课，本次任务是测量大

楼的高度.如图，小组成员选择在大楼前的空地上的点C处将无人机垂直升至空中。处，在。处测

得楼的顶部A处的仰角为42°，测得楼AB的底部8处的俯角为30。.已知。处距地面高度为12m,则这

个小组测得大楼A3的高度是多少？（结果保留整数.参考数据：tan42-0.90,tan48'Lll,

73«1.73）

A

。代--

__________''--I

CB

7.（2021•全国•九年级专题练习）大雁塔南广场玄奘铜像是为纪念唐代高僧玄奘而设计.在一次课外活动

中，甲、乙两位同学测量玄奘铜像的高度他们分别在A,8两处用高度为1.8机的测角仪测得铜像顶部C的

仰角分别为30。，60。，两人间的水平距离为求玄奘铜像的高度C?（结果保留根号）

8.（2023秋•山东济南•九年级期末）如图，某野外生态考察小组早晨7点整从A营地出发，准备前往正东

方向的8营地，由于一条南北向河流的阻挡（图中阴影部分），他们需要从C处过桥.经过测量得知，A、

8之间的距离为13km,0A和的度数分别是37。和53。，桥CD的长度是0.5km,图中的区域。FE近似

看做一个矩形区域.

（1）求CE的长；

（2）该考察小组希望到达B营地的时间不迟于中午12点，则他们的行进速度至少是多少？（结果保留1

位小数）（参考数据：sin37°=0.60,cos370=0.80,tan370=0.75）

9.（2020秋•安徽合肥•九年级校考阶段练习）如图，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰

角为30。，看这栋高楼底部C点的俯角为60。，若热气球与高楼的水平距离为60m,求这栋高楼的高度.

【过关检测】

1.（2020•内蒙古赤峰•统考中考真题）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30。，测得

底部B的俯角是60。，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为

米（结果保留根号）.

2.（2020・湖北咸宁•中考真题）如图，海上有一灯塔P,位于小岛A北偏东60。方向上，一艘轮船从北小岛

A出发，由西向东航行24nmile到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30。方向上，如果轮船不改变航向继续

向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是nmile.（结果保留一位小

数，6al.73）

3.（2020・四川乐山・中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯AB的倾斜角为30。，在

自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60。，A、C之间的距离为4优.则自动扶梯的垂直高度

BD=m.（结果保留根号）

三、解答题

4.（2021•湖南永州•统考中考真题）已知锐角ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,边角总满足关

abc

率式•---=----=----

ssinAsinBsinC

A

（1）如图1,若。=6,/B=45o,/C=75。，求b的值；

（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池A3C中建一座小型景观桥8（如图2所示），若

CD，AB,AC=14米，AB=10米，inZACB=—,求景观桥8的长度.

s14

5.（2020•湖北黄石•中考真题）如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房的楼顶，测量

对面的乙栋楼房8的高度，己知甲栋楼房A8与乙栋楼房8的水平距离AC=186米，小丽在甲栋楼房

顶部B点，测得乙栋楼房顶部。点的仰角是30。，底部C点的俯角是45。，求乙栋楼房8的高度（结果保

留根号）.

D

口

口

口

30°\B

口

口

口

45°口

口

口

口

口

口

口

口

口

CA

6.（2021•甘肃武威•统考中考真题）如图1是平凉市地标建筑"大明宝塔"，始建于明嘉靖十四年（1535

年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑.宝塔建造工艺精湛，与岭帽山的凌空塔遥相呼应，被誉为平

凉古塔"双璧某数学兴趣小组开展了测量"大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：

方案设计：如图2,宝塔8垂直于地面，在地面上选取4,8两处分别测得/。4。和/8。的度数

（A。,B在同一条直线上）.

数据收集：通过实地测量：地面上4,8两点的距离为58111,/6。=42。,/。8。=58。.

问题解决：求宝塔8的高度（结果保留一位小数）.

参考数据：sin42°x0.67,cos42°=0.74,tan42°«0.90,sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60.

根据上述方案及数据，请你完成求解过程.

mu

ffll

7.（2020•湖南永州•中考真题）一艘渔船从位于A海岛北偏东60。方向，距A海岛60海里的B处出发，以

每小时30海里的速度沿正南方向航行.已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁.（参考数据：

V3"73,6«2.24,近x2.65）

（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由.

（2）渔船航行3小时后到达C处，求A,C之间的距离.

8.（2020•内蒙古通辽•中考真题）从A处看一栋楼顶部的仰角为a,看这栋楼底部的俯角为夕，A处与楼

的水平距离AD为90m,若tana=0.27,tan-=2.73,求这栋楼高.

9.（2020・湖北恩施•中考真题）如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛尸

位于其西北方向（北偏西45。方向），2小时后轮船到达B处，在8处测得小岛尸位于其北偏东60°方向.求

此时船与小岛P的距离（结果保留整数，参考数据：皿=1.414,V3«1.732）.

10.（2020•江苏淮安・统考中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C,测得

ZCAB=30°,XABC=45°,AC=8千米，求A、8两点间的距离.（参考数据：母…，81.7,结

果精确到1千米）.

11.（2020•山东潍坊•中考真题）某校"综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度.如图，

桥A8是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥A8的上方120米的点C处悬停，此时

测得桥两端A,B两点的俯角分别为60。和45。，求桥A3的长度.

12.（2020•甘肃金昌・统考中考真题）图①是甘肃省博物馆的镇馆之宝一一铜奔马，又称"马踏飞燕"，于

1969年10月出土于武威市的雷台汉墓，1983年10月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城

市的广场上都有"马踏飞燕"雕塑，某学习小组把测量本城市广场的"马踏飞燕"雕塑（图②）最高点离地面

的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表:

课题测量"马踏飞燕"雕塑最高点离地面的高度

如图，雕塑的最高点8到地面的高度为

BA,在测点C用仪器测得点3的仰角为

a,前进一段距离到达测点石，再用该仪

测量示意图

器测得点8的仰角为夕，且点A,B,

EC,D,E,尸均在同一竖直平面内，

点A,C,E在同一条直线上.

仪器8（所）的

a的度数夕的度数a的长度

高度

测量数据

31°425米1.5米

请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕"雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小

数）.（参考数据:sin31*0.52,cos31#0.86,tan31«0.60,sin42=0.67,cos42a0.74,

tan42«0.90)

国①

13.（2020,湖南岳阳•统考中考真题）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综

合治理项目，需要从如图A,3两地向C地新建AC,两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地

北偏东45。方向上，在8地北偏西68。方向上，AB的距离为7初?，求新建管道的总长度.（结果精确到

OAhtz,sin22°®0.37,cos22°»0.93,tan22°«0.40,72®1.41）

14.（2020•四川成都•统考中考真题）成都"339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成

都旅游打卡的网红地.如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼

顶。处测得塔A处的仰角为45。，塔底部B处的俯角为22。.已知建筑物的高。约为61米，请计算观景台

的高A8的值.

（结果精确到1米；参考数据：sin22