沪教版八年级数学下册 第二十三章 概率初步（35道压轴题专练）（原卷版）

第二十三章概率初步(35道压轴题专练)

压轴题型专训

1.有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6,现将这枚骰子先后抛掷两次，

记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为机，第二次记下的点数为〃，则关于％、V的二元一次

2.从同一副扑克牌中挑出5张红桃、6张黑桃、7张方块，将这18张扑克牌洗匀后背面朝上，再从中抽出15

张牌，抽出的这15张牌中恰好有4张红桃的概率是()

A.1B.劣C.±D.』

551010

3.如图(1),一只圆形平盘被同心圆划成M,N,S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M,N,

S三个区域的豆子数的比.多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在

三个区域的面积之比附近摆动.如图(2)将一根筷子放在该盘中A3位置,发现三个圆弧刚好将A3五等分.我

们把豆子落入三个区域的概率分别记作尸(M),P(N),P(S),已知尸(S)=；,则尸(M)等于()

4.现有三个正方体形的公正骰子，每个骰子的六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.投掷这三个骰子，

则其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是()

A.工B.竺C.1D,

3672624

5.同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如;2c与£c、与;7。.在一次制取co

的实验中，；2c与;3c的原子个数比为2：1,与;7。的原子个数比为1：I,若实验恰好完全反应生成CO,

则反应生成;;的概率()

6.某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇

去4名，另两镇各去1名的概率为（）

A.里B.9C.工D.也

8181243243

7.如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他

采取了以下办法:用一个长为8m,宽为5m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形

区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他

将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（）

图1

A.12m2B.14m2C.16m2D.18m2

8.我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直

角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若4=2,b=3,现

随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率（）.

£

D.

4

9.小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0〜9.把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排

列规则如下：

①从左至右按从小到大的顺序排列：

②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边.

小亮每行翻开了两张卡片，如图所示:

第一行:

□H1DH

第二行：

HBDD0

第三行:

BIDDI

第四行:

■QIDD

其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行

最后一张白色卡片上数字只能是有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数

字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是.

10.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵

爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的

“风车”图案（阴影部分）.若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9,较短直角边为5,现随机向图2大

正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为.

图1图2

11.金华创建文明城市，推行垃圾分类.小区里有可回收、不可回收、有害垃圾和厨余垃圾四种垃圾箱.一

天小林把家里分好类的四袋垃圾拿去投放，他不小心放错了其中的三个垃圾袋，则小林将四个垃圾袋中的

三个垃圾袋投放错误的概率是.

12.若关于x的一元一次不等式组?“一2：之）的解集为*z6,且关于y的分式方程2号+平心=2的

Ia-2x<-5J-11-J

解是正整数，则所有满足条件的整数。是非负整数的概率为.

13.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFG”.连结3D交AF、CH

于点V、N.若上平分现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为.

14.在一ABC中，AB=6,AC=4,AD是BC边上的中线，记相>=机且/为正整数.则加使关于x的分

式方程*1+4=―二有正整数解的概率为____.

3-xx-3

15.从-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4这9个数中任意选一个数作为机的值，使关于x的分式方程:

工3=3的解是负数，且使关于x的函数>=一图象在每个象限y随x的增大而增大的概率为—.

16.有三张正面分别标有数字-1,1,2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝

上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正

'3x-23

___________<XH----

面朝上的数字记为b,则使关于x的不等式组22的解集中有且只有2个非负整数的概率

ax>b

为.

17.已知火工。"=1,2,…,2。12）满足国+固+国+—+包』+色虫=2000,则使一次函数

%。2”2011”2012

广平+4=1,2,…,2012）的图象经过一、二、四象限的处的概率是.

18.现有张正面分别标有数字0,1,2,3,4,5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它

们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为。，则使得关于x的一元二次方程炉-2犬+晟=0

有实数根，且关于x的分式方程上芸+2=4有解的概率为.

x-22-尤

19.“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，8绘画，C舞蹈，。乐器，E武术共

五类兴趣班.为了解学生对这五类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查

结果整理后绘制成两幅不完整的统计图.请根据统计图信息回答下列问题.

图1

(1)本次抽取调查的学生共有______人，机=，〃=，并补全条形统计图;

(2)估计该校2600名学生中喜爱“乐器”兴趣班的人数约为人;

(3)九(1)班有王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在班级联欢会上，班主任从他们中随机抽取两人上

台共奏一曲，请用“列表法”或“画树状图法”，求出王红和李明至少有一人参与演奏的概率.

20.某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车.每层的层高为6m,

横向排列30个车位，每个车位宽为3m,各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位.第二至四层每

层各有一个升降台，分别在211,316,421,为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空.每

个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板(以第三层为例，如图所示).该系统取车的工作流程如下(以取

停在311的车子为例)；

①转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前；

②转运板进311,托起车，载车出311；

③转运板载车滑行至316前；

④转运板进316,放车，空载出316,停在316前；

⑤升降台垂直送车至一层，系统完成取车.

停车位停车位升降台留空停车位

301311316321330

••

转

•运•

转运板滑行区转运板滑行区

板

••

如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为lm/s,载车时的滑

行速度是升降台升降速度的2倍.

（1）若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运

板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度；

（说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计）

（2）在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车

位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率.

21.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖规则如下：

1.抽奖方案有以下两种：

方案A,从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15

元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；

方案8,从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，

否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中.

2.抽奖条件是：

顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案2抽奖一次（例如

某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案8

抽奖两次或方案A,B各抽奖一次）.

已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元.

（1）若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；

（2）以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由.

22.如图，程序员在数轴上设计了A、8两个质点，它们分别位于一6和9的位置，现两点按照下述规则进

行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：

AB

----•••------A

左-6------0-----------9右

①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；

②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，8点向左移动5个单位；

③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位.

(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；

(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方

体骰子向上面的点数均为偶数的次数为。，若A点最终的位置对应的数为b,请用含。的代数式表示6,并

求当A点落在原点时，求此时8点表示的数；

(3)从如图所示的位置开始，经过尤次移动后，若相=3,求无的值.

23.一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，裁判在黑板上写出正整数2,3,4,2006,

然后随意擦去一个数，接下来由甲、乙两人轮流擦去其中一个数(即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去

一个数).如此下去，若最后剩下的两个数互素，则判甲胜；否则，判乙胜，按照这种游戏规则，求甲获胜

的概率(用具体数字作答).

24.某校开展主题为“防疫常识知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，调查问卷设置了A：非常了

解、B：比较了解、C：基本了解、D-.不太了解四个等级，要求每个学生填且只能填其中的一个等级，

采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制成如图所示不完整的频数分布表和频率直方图，根据以上信息

回答下列问题：

等级频数频率

A200.4

B15b

C100.2

Da0.1

（1）频数分布表中a=,b=,将频数分布直方图补充完整;

（2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生共有多

少人？

（3）在“非常了解”防疫常识的学生中，某班有5个学生，其中3男2女，计划在这5个学生中随机抽选两

个加入防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中至少有一个女生的概率.

25.“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是:齐王有上、中、下三匹马A，4G，

田忌也有上、中、下三匹马&,四,62,且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：

Ai>A2>Bl>B2>Cl>C2（注：/>6表示A马与8马比赛，A马获胜）.一天，齐王找田忌赛马，约定:

每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐王三局

比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、

下马比赛，即借助对阵获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例.

假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：

（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其

获胜的概率；

（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请

列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.

26.某超市开展“五一”大酬宾，举行购物抽奖活动，奖项设置为面值不同的购物卡，分别是：一等奖120

元，二等奖60元，三等奖10元，凡购买满200元及以上者，每200元可抽奖一次（不足200元一概不计

入，每人当天购物最多可抽5次），每次抽奖过程如下：在一个不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别

标注数字“1”，“2”，“3”，它们除数字不同外没有任何区别.抽奖顾客先随机摸出一球，记下数字后，将小

球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，若两球标注的数字之和为6,则获一等奖，数字之和为5,则获二

等奖，数字之和为4,则获三等奖，其余均不获奖.

（1）试利用树状图或列表法顾客每抽奖一次分别获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；

（2）若此次超市大酬宾中，超市业绩调查部分随机抽查了100位顾客的消费金额并绘制成条形统计图如下

（金额折算为200元的整数倍，其中扣除200元的整数倍后不足200元的部分全部去掉不计入）：

不同消费金额顾客人数条形统计图

①求上述样本数据中每位顾客消费金额的平均数;

②据“五一节”当天统计，共有2500位顾客参与该超市的购物抽奖活动，已知该超市每销售100元，平均可

获利20元，请根据上述样本数据分析，扣除兑现的购物卡金融外，估计这一天超市共盈利大约为多少元？

27.在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领

域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了

腾讯服务的6000名用户（男性4000人，女性2000人），从中随机抽取了60名（女性20人），统计他们出门

随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非

手机支付族”

（1）①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中b=30,c=8）

手机支付非手机支付合计

男ab

女Cd

合计60

②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付

族”的概率是多少？

（2）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、

方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元：

方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，

它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取），若摸到1个红球则打9折，若摸到

2个红球则打&5折，若未摸到红球按原价付款.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从

实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算.

28.如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号,L号,XL号,皿号销售情况的扇形统计图和

条形统计图.

根据图中信息解答下列问题：

（1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比；

（2）补全条形统计图；

（3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL

号运动服装，将它们放在一起，现从这（尤+y+2）件运动服装中，随机取出1件，取得"号运动服装的概率

为：，求x,y的值.

29.寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下：

①棋盘为正五边形一跳棋棋子从点A开始按照逆时针方向起跳.从点A跳到点8为1步.从点B跳

到点C为1步，以此类推.每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定：

②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点A,就算完成了一次操作：

③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点A,就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位

置，不论是否回到点A.都算完成了一次操作.

（1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到A点的概率为一.

（2）求小明经一次操作，使得棋子跳回到A点的概率，（请用“树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

30.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶

以每瓶2元的价格当天全部降价处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关.为了

制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x（℃）及当天售出（不含降价处理）的酸

奶瓶数），等数据统计如下：

X(℃)153<2020sx<2525sx<3030<x<35

天数610113

y（瓶）270330360420

以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率.

（1）试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率；

（2）根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍.问今年六月份这种酸奶一天的进

货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？

31.九年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后，利用课外活动时间积极参加体育

锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试.现将项

目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图.请你根据上面提供的信息回答下

列问题：

（1）该班共有学生_____人，训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是.

（2）老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的方

法求恰好选中两名男生的概率.

项目选择人数情况统计图

32.某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠

塔林（上下车时间忽略不计），第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，小聪周

末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路

步行25分钟后到达塔林，离入口处的路程》（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示.

（1）求第一班车从入口处到达塔林的时间.

（2）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草

甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不

变）.

（3）若小聪在8：30至8：50之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不

超过3分钟的概率是多少？

入口

图1

图2

33.我们来定义下面两种数：

（一）平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数=

（最左边数）2+（最右边数）2,我们就称该整数为平方和数.

例如：对于整数251.它中间的数字是5,最左边数是2,最右边数是1.

22+产=5,,251是一个平方和数

又例如：对于整数3254,它的中间数是25,最左边数是3,最右边数是4,

3、42=25,3254是一个平方和数.当然152和4253这两个数也是平方和数；

（二）双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成最左边、中间、最右边三个数后满足：中间数

=2x最左边数x最右边数，我们就称该整数为双倍积数.

例如：对于整数163,它的中间数是6,最左边数是1,最右边数是3,

2xlx3=6,.-.163是一个双倍积数，

又例如：对于整数3305,它的中间数是30,最左边数是3,最右边数是5,

2x3x5=30,,3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数.

注意：在下面的问题中，我们统一用字母。表示一个整数分拆出来的最左边数，用字母匕表示该整数分拆出

来的最右边数，请根据上述定义完成下面问题：

（1）①若一个三位整数为平方和数，且十位数为4,则该三位数为；

②若一个三位整数为双倍积数，且十位数字为6,则该三位数为；

③若一个整数既为平方和数，又是双倍积数，贝|。乃应满足的数量关系为；