沪科版九年级数学上册期末复习：二次函数与反比例函数易错训练与压轴训练（5易错+7压轴）

第二十一章二次函数与反比例函数易错训练与压轴训练

01思维导图

目录

易错题型一忽略二次项系数为0.................................................................................................................................1

易错题型二求函数取值范围时忽略抛物线顶点位置................................................2

易错题型三混淆“与x轴交点”和“与坐标轴交点”.............................................2

易错题型四忽视反比例函数中k不为0.....................................................................................................................2

易错题型五已知图形面积求反比例函数中k的值，忽视图象位置...................................2

压轴题型一与线段有关的最值..................................................................5

压轴题型二运用二次函数区间最值求参数........................................................7

压轴题型三与利润有关的最值..................................................................9

压轴题型四与面积有关的最值.................................................................10

压轴题型五存在性问题........................................................................10

压轴题型六二次函数的实际应用...............................................................10

压轴题型七反比例函数的综合问题.............................................................10

02易错题型

易错题型一忽略二次项系数为o

例1.（23-24九年级上.江苏泰州•阶段练习）若y=（小一1次力+皿是关于X的二次函数，则的值为（）

A.-2B.-2或1C.1D.0

巩固训练

1.（23-24九年级上•安徽黄山・期中）若y=（＞n—2）“力高一久一3是二次函数，则相的值是（）

A.-2或2B.4C.2D.-2

2.（23-24九年级上.山东烟台.期中）已知函数y=（a—4）尤加-2］是关于％的二次函数，则6的值是（）

A.0或4B.0C.2D.4

3.（23-24九年级上•湖北十堰•阶段练习）若、=+1）乂--4加+5是二次函数，则爪=（）

1

A.7B.-1C.一1或7D.以上都不对

易错题型二求函数取值范围时忽略抛物线顶点位置

例2.（23-24九年级上•河北邢台・期末）函数y=x2+2%-3（-2<x<2）的最大值和最小值分别为（）

A.4和一3B.5和一3C.5和一4D.-1和4

巩固训练

1.（2024・浙江•模拟预测）已知二次函数y=/-4久+3的图象经过点P,点P的横坐标为当时,

总有则ni的值为（）

3

A.4+V13B.4-V13C.4±V13D.-

4

2.（24-25九年级上•全国•假期作业）当a-2WxWa时，二次函数y=/-4尤+3的最小值为15,则a的

值为（）

A.—2或8B.8C.6D.-2或6

3.（2023•安徽•二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=/—2a比+a?+4a（。为常数）.

（1）当抛物线经过（1,4）时，a=.

（2）当a=l时，-IWxWzn时，4<y<8,则根的取值范围是.

易错题型三混淆“与x轴交点”和“与坐标轴交点

例3.⑵-24九年级上•浙江杭州•开学考试）已知函数y^mx2-2x+m+2的图象与坐标轴只有两个交点，

贝Um=.

巩固训练

1.（23-24九年级上.江苏无锡・期末）若二次函数y=/+2x-6的图象与坐标轴有两个公共点，则6满足

的条件是.

2

2.（23-24九年级上.江苏宿迁•期中）函数y=k/+3久一4+k与坐标轴有两个公共点，求左的值

2

3.（23-24九年级上.江西宜春.期末）已知抛物线%=/+©+3,y2=-x-x+a,若这两条抛物线与x轴

共有3个交点，贝布的值为.

易错题型四忽视反比例函数中k不为0

例4.（23-24八年级下.江苏淮安•阶段练习）已知反比例函效y=?，则%不可以取下列的哪个值（）

A.-1B.0C.1D.2

巩固训练

1.（23-24九年级上•广东佛山•期中）如果函数y=（小一1）久㈤T是反比例函数，那么机的值是（）

A.2B.-1C.1D.±1

2.（20-21九年级上•广东深圳•阶段练习）若函数y=（m+1）”斗3血+1是反比例函数，则m的值为（）

A.m=—2B.m=1C.m=1或m=—2D.m=—=—2

3.（22-23九年级上•全国・单元测试）已知函数y=（k2+2k）/z+k-i是反比例函数，贝心的值为（）

A.1B.-1C.。或一1D.±1

易错题型五已知图形面积求反比例函数中k的值，忽视图象位置

例5.（23-24八年级下.山东烟台・期末）如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作ZBly轴于点3,点

尸在x轴上，0P=4B,四边形4BP。的面积为12,则这个反比例函数的表达式为.

3

巩固训练

1.（2024.河南商丘.模拟预测）如图，在△力。B中，4。=4B,点B在久轴上，C、。分别为。4、OB的中点,

k

连接CD,E为CD上任意一点，连接4E、BE,反比例函数y=—（x<0）的图象经过点4.若△4BE的面积为6,

x

则k的值为_.

2.（23-24八年级下•浙江宁波・期末）如图，点4B是反比例函数y=£（k力0）图象上的两点，直线48交y轴

正半轴于点C,连接2。并延长交反比例函数图象的另一支于点。，过点D作NC4。的角平分线的垂线，垂足

为点E,若点B是线段4c的中点且S“BE=6,则k=

3.（2024•江苏南京•三模）如图，点P是反比例函数为=?（七K0）的图象上任意一点，过点「作/5〃！*轴,

4

垂足为M,线段PM交反比例函数月=§也2丰0)的图象于点C,PC=2CM,若小COM的面积等于1,则七的

值等于.

03压轴题型

压轴题型一与线段有关的最值

例1.(23-24九年级上•陕西西安・期末)如图，已知抛物线y=a/+6x+c与x轴交于4(—3,0)、B(l,0)两

点，与y轴交于点C(0,3),其顶点为。，对称轴/与x轴交于点反.

(2)若点P是该抛物线对称轴/上的一个动点，求P3+PC的最小值.

巩固训练

1.(2024.四川自贡.模拟预测)综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+3久(a40)与无轴交于点A,与直线y=-%交于点8(-4,4),

点C在y轴上，且坐标为(0,4),点。为直线。8下方抛物线上的一点，连接CD与0B交于点E.点尸是线段

0B上的一动点，从点8出发向点。匀速运动，同时点。从点。出发，以与尸大小相同的速度沿x轴负方

向匀速运动，当点尸到达点。时停止运动，此时点。也随之停止运动，连接BQ,PC.

5

(2)当CD1。8时，则4COE的面积为二

DF

⑶当=；=1时，求点。的坐标；

CE

(4)BQ+PC的最小值是

2.(23-24九年级上•广西南宁.开学考试)如图，已知抛物线与无轴交于4(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴相交

于点C,直线y=—2x+3经过点C,与x轴交于点D.

6

备用图

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上找一点。，使ANCQ的周长最小，求点。的坐标；

(3)点尸是(1)中抛物线上的一个动点，设点尸的横坐标为t(0<t<3),是否存在△PCD是以CD为底的等

腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由.

3.(2024•宁夏银川•模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=jx2+bx+c与直线4B交于点4(0,-4),

B(4,0).

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)如图①，若点”是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G,使的周长最小，求此时点G的坐标.

(3)如图②，点P为直线4B下方抛物线上的一动点，过点P作PM14B交4B于点“，过点尸作y轴的平行

线交无轴于点N,求应PM+PN的最大值及此时点P的坐标.

压轴题型二运用二次函数区间最值求参数

例2.(2024.浙江宁波.模拟预测)已知二次函数y=a/+加；+3(a40)的图象过点(1,0).

7

(1)若该函数图象的对称轴为直线式=-1,求该函数的表达式.

(2)在(1)的条件下，当nWxWn+4时，函数y有最小值一5,求n的值.

(3)已知a>0,二次函数的图象经过点(石,丫1),(x2,y2),xr+x2=4,且的<%2，试比较为与力的大小•

巩固训练

1.(23-24九年级上•浙江绍兴•期中)如图，抛物线y=/+bx+c与无轴相交于A,8两点，与y轴相交于

点C,对称轴为直线x=2,顶点为。，点B的坐标为(3,0).

(1)填空：点A的坐标为，点。的坐标为,抛物线的解析式为

(2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P,使APAC是以4C为斜边的直角三角形？若存在，请求出点尸

的坐标；若不存在，请说明理由;

(3)当二次函数y=/+bx+c的自变量x满足mWxW机+2时，函数y的最小值为：，求机的值.

2.(2024.山东临沂.模拟预测)如图，抛物线y=ax2-4ax+3a交x轴于A,8两点(点A在点8的左侧),

交y轴正半轴于点C,OB=OC,点尸在抛物线上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接4P,将线段4P绕点A逆时针旋转90。，点尸恰好落在y轴上，求P点坐标.

(3)当tWxWt+4时，函数的最大值是a,最小值是a-(3=6,求f的值.

8

3.（2024・浙江温州•三模）二次函数y=尢2+人乂+c的图象与无轴交于点2（的,0）,B（久2,0）且久i4久2•

（1）当/=2,且b+c=—6时，

①求6,c的值

②当时，二次函数y=/+6%+c的最大值与最小值的差为4,求f的值；

（2）若无］=3X2，求证：-c<3.

压轴题型三与利润有关的最值

例3.（22-23九年级上•广东广州•期中）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元.据市场调查，销

售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单

价不得低于成本.现公司决定降价出售.

（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价无（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（2）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？（每天的总

成本=每件的成本x每天的销售量）

巩固训练

1.（2024九年级下.新疆.专题练习）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之

间时，销售额月（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为％=5x；成本丫2（万元）与销售量了（吨）的函

数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中c，是其顶点.

（1）求出成本关于销售量x的函数解析式；

（2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？

9

（3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额-成本）

2.（23-24九年级上•浙江台州•期中）某水果超市经销一种水果，售价每千克50元.每千克盈利10元，每天

可售出500千克，调查发现，进货价不变的情况下，每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.规定每千克

涨价不能超过8元.

（1）该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？

（2）超市决定每卖出1千克捐赠a元（a<2）给贫困山区学生，若每天盈利随着售价的增加而增大，求a的取

值范围.

3.（2024.四川南充・中考真题）2024年“五一”假期期间，闿中古城景区某特产店销售48两类特产.A类

特产进价50元/件，B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A

类特产和5件B类特产需540元.

（1）求A类特产和8类特产每件的售价各是多少元？

（2）4类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件

（每件售价不低于进价）.设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写

出自变量尤的取值范围.

（3）在（2）的条件下，由于8类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两

类特产的总利润为w元，求卬与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大

利润是多少元？（利润=售价一进价）

压轴题型四与面积有关的最值

例4.（23-24九年级上•吉林•阶段练习）如图，用长为34米的篱笆，围成一面利用墙（墙的最大可用长度

为16米）的一个矩形场地花圃力BCD,4B边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围），设花

圃的一边4D长为无（米），面积为y（平方米）.

（1）若矩形场地面积为144平方米，求矩形场地的长和宽;

10

(2)矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积.

巩固训练

1.(2024・湖南长沙•模拟预测)某校九年级学生在数学社团课上进行纸盒设计，利用一个边长为30cm的正方

形硬纸板，在正方形纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒.

(1)若无盖纸盒的底面积为484cm2,则剪掉的小正方形的边长为多少？

(2)折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果

没有，说明理由.

2.(2023・四川绵阳・模拟预测)如图,在平面直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴的正半轴上,04=6,

OC=4,以。4OC为邻边作矩形0A8C,动点M,N以每秒1个单位长度的速度分别从点A、C同时出发,

其中点M沿2。向终点。运动，点N沿CB向终点8运动，当两个动点运动了/秒时，过点N作NPLBC,

交。8于点P,连接MP.

(1)直接写出点B的坐标为一，直线。B的函数表达式为二

(2)记AOMP的面积为S,求S与f的函数关系式(0<t<6)；并求f为何值时，S有最大值，并求出最大值.

3.(23-24九年级上•四川成都•阶段练习)如图，在Rt、4BC中，AC=24cm,3c=7cm,尸点在8C上，从8

点到C点运动(不包括C点)，点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点(不包括A点)，

速度为5cm/s.若点尸、。分别从夙C同时运动，且运动时间记为f秒，请解答下面的问题，并写出探索

的主要过程.

11

(1)当f为何值时，P、Q两点的距离为5企cm?

(2)当，为何值时，APCQ的面积为15cm2?

(3)请用配方法说明，点尸运动多少时间时，四边形BPQ4的面积最小？最小面积是多少？

压轴题型五存在性问题

例5.(23-24九年级上•吉林.阶段练习)如图，平面直角坐标系中，点4(—1,0)、B(0,3)在抛物线y=-/+

bx+c±,该抛物线的顶点为C,点尸为抛物线上一点，其横坐标为九

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当BPly轴时，求ABCP的面积；

(3)当该抛物线在点A与点P之间(包含点A和点P)的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为1时，求出

m的值；

(4)在抛物线对称轴上是否存在一点E,使AABE是以4B为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的坐

标；若不存在，请说明理由.

巩固训练

1.(2024.四川泸州.中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线;y=4+法+3经过点4(3,0),

与y轴交于点8,且关于直线x=l对称.

12

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当一1WxWt时，y的取值范围是0<y<2t-l,求f的值；

(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线4B于点。，在y轴上是否存在点

E,使得以3,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由.

2.(2024・四川达州・中考真题)如图1,抛物线y=a/+kx-3与x轴交于点4(一3,0)和点与y轴交

(2)如图2,连接AC,DC,直线4C交抛物线的对称轴于点M,若点P是直线4c上方抛物线上一点，且S“MC=

2SADMC，求点P的坐标；

(3)若点N是抛物线对称轴上位于点。上方的一动点，是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角形,

若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

3.(2024・四川眉山・中考真题)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点4(-3,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),

点。在抛物线上.

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(1)求该抛物线的解析式；

(2)当点。在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点。的坐标；

(3)在直线BC上是否存在点P,使AOPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标;

若不存在，请说明理由.

压轴题型六二次函数的实际应用

例6.(2024・陕西榆林•二模)某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，如图1所示.图

2为该拱门的示意图，。4是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点B处，拱门到水平地

面的高度y(m)与到柱子。4的水平距离x(m)满足函数关系式y=ax2+x+c(a、c为常数,aK0),己知。4=

3m,OB=6m.

图1图2

(1)请求出图2中抛物线的函数表达式;

(2)从柱子。4上的点C处拉一条横幅到拱门的点。处，CD||0B,若CD=44C,小华的身高是1.65小，请问

拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？

巩固训练

1.(2024•江西・中考真题)如图，一小球从斜坡。点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y=

a/+bx(a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y=刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y

(米)的变化规律如下表：

14

⑴①m=，n=；

②小球的落点是A,求点A的坐标.

（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间f（秒）满足关系丫=-5/+区.

①小球飞行的最大高度为米；

②求v的值.

2.（22-23九年级下•江西南昌•阶段练习）高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如

图，在一废弃高楼距地面106的点A和其正上方点8处各设置了一个火源.消防员来到火源正前方，水枪

喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点

C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为12M.待A处火熄灭后，消防员退到点。处，调整水枪

进行第二次灭火，使水流恰好到达点8处，已知点。到高楼的水平距离为12m，假设两次灭火时水流的最

高点到高楼的水平距离均为3机.建立如图所示的平面直角坐标系.水流的高度y（m）与到高楼的水平距离

x（m）之间的函数关系式为y=ax2+bx+c.

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(1)求消防员第一次灭火时，水流所在抛物线的解析式；

(2)若两次灭火时，水流所在抛物线的形状相同，求A、8之间的距离；

(3)若消防员站在到高楼水平距离为9nl的地方，想要扑灭距地面高度12〜18根范围内的火苗，当水流最高点

到高楼的水平距离始终为37n时，直接写出a的取值范围.

3.(2024・湖北武汉.模拟预测)悬挂过山车是武汉欢乐谷经典项目之一.如图4tBtCtEtF为该过山

车的一部分轨道，轨道a-B-C和C-E-F可以各自看成一段抛物线，其形状相同，B,E分别为两段

轨道的最低点.建立平面直角坐标系如图，点A在y轴上，B,E两点在x轴上，其中。4=16.9米，08=13

米(轨道厚度忽略不计).

(1)求抛物线AtC的函数表达式；

(2)已知在2tBt。轨道上有两个位置D和C,且它们到地面的距离相等，轨道抛物线C-EtF最低点E

的坐标为(33,0),求点。的坐标；

(3)现需要对轨道下坡段4-B进行安全加固，利用某种材料建造水平和竖直支架GP、GM,HQ、HN,且

要求MN=20M.已知这种材料的价格是5000元/米，请通过计算说明：当GP多长时，造价最低？并求最

低造价为多少元？

压轴题型七反比例函数的综合问题

例7.(2023・山东・中考真题)如图，正比例函数为=六和反比例函数%=2>0)的图像交于点4(6,2).

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⑴求反比例函数的解析式；

⑵将直线04向上平移3个单位后，与y轴交于点8,与无=其%>0)的图像交于点C,连接力B,AC,求A/IBC

的面积.

巩固训练

1.(2023•江苏・中考真题)在平面直角坐标系中，一次函数、=履+6的图像与反比例函数y=:的图像相交于

点4(2,4)、B(4,n).C是y轴上的一点，连接C4CB.

(1)求一次函数、反比例函数的表达式；

(2)若△28C的面积是6,求点C的坐标.

2.(2022・四川眉山・中考真题)已知直线y=%与反比例函数y=:的图象在第一象限交于点M(2,a).

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⑴求反比例函数的解析式；

（2）如图，将直线y=久向上平移b个单位后与y=（的图象交于点4（1,爪）和点8（",-1）,求6的值；

⑶在（2）的条件下，设直线2B与x轴、y轴分别交于点C,D,求证：△40D三ABOC.

3.（23-24九年级上•湖南长沙•阶段练习）我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点

P（%i，yi）、Q（x2,y2）,如果满足--%%那么称P、Q两点互为“等差点

⑴请判断在点4（2,-1）、3（1,4）、C（-2,-1）中，有哪些点与点。（一1,2）互为“等差点”？

（2）已知点E在直线y=X—2上，点尸在双曲线y=―（k为常数,且左。±1）上，且E、尸两点互为“等差

x

点”.请求出点F的坐标（用含土的代数式表示）；

（3）已知抛物线%=。产++2（a,b为常数且awO、bwO）的顶点为G点，与无轴交于M、N两点，

GM1GN,P、。两点分别在抛物线丫1=。％2+坂+2和直线%=;|工-3上，如果尸、Q两点互为“等差点”，

且P、Q两点的横坐标是一元二次方程依2+次甘x+：=。的两根，求3a-6的值.

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第二十一章二次函数与反比例函数易错训练与压轴训练

01思维导图

目录

易错题型一忽略二次项系数为0.................................................................................................................................1

易错题型二求函数取值范围时忽略抛物线顶点位置................................................2

易错题型三混淆“与x轴交点”和“与坐标轴交点”.............................................2

易错题型四忽视反比例函数中k不为0.....................................................................................................................2

易错题型五已知图形面积求反比例函数中k的值，忽视图象位置...................................2

压轴题型一与线段有关的最值..................................................................5

压轴题型二运用二次函数区间最值求参数........................................................7

压轴题型三与利润有关的最值..................................................................9

压轴题型四与面积有关的最值.................................................................10

压轴题型五存在性问题........................................................................10

压轴题型六二次函数的实际应用...............................................................10

压轴题型七反比例函数的综合问题.............................................................10

02易错题型

易错题型一忽略二次项系数为o

例1.（23-24九年级上.江苏泰州•阶段练习）若y=（小一1次力+皿是关于X的二次函数，则的值为（）

A.-2B.-2或1C.1D.0

【答案】A

【分析】本题主要考查了二次函数的定义.根据“形如丫=。/+/«+。9彳0）的函数关系，称为y关于尤

的二次函数”，即可求解.

【详解】解：”=（m-1次后+血是关于x的二次函数，

■•■m2+m-2且zn—1力0,

解得：m=-2.

故选：A

巩固训练

1.（23-24九年级上.安徽黄山・期中）若y=（m—2）**-2—%—3是二次函数，则小的值是（）

19

A.-2或2B.4C.2D.-2

【答案】D

【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如丫=a/+bx+c（a、6、c是常数，aKO）的函

数，叫做二次函数，据此作答即可.

【详解】解：:y—（m-2'）xm2~2—x—3是二次函数，

••.m2—2=2,且m—2彳0,

■•■m--2.

故选：D.

2.（23-24九年级上•山东烟台•期中）已知函数y=（6-4）%豚-2|是关于久的二次函数，则小的值是（）

A.。或4B.0C.2D.4

【答案】B

【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义得到关于皿的方程，解方程即可.

【详解】解：•.•函数y=（m—4）尤加-2|是关于x的二次函数，

.■.\m-2|=2且m—4于0,

解得m-0.

故选:B.

3.（23-24九年级上•湖北十堰•阶段练习）若丫=（租+1）乂/-46+5是二次函数，则根=（）

A.7B.-1C.-1或7D.以上都不对

【答案】D

【分析】令》的指数为2,系数不为0,列出方程与不等式解答即可.

【详解】由题意得：m2—4m4-5=2；且m+1大0；

解得m=3或1；m丰-1,

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键.

易错题型二求函数取值范围时忽略抛物线顶点位置

例2.（23-24九年级上•河北邢台・期末）函数y=/+2x-3（-2WxW2）的最大值和最小值分别为（）

A.4和一3B.5和一3C.5和一4D.一1和4

【答案】C

【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.根据函数求出对

20

称轴，根据二次函数的性质进行计算即可.

【详解】解：y=/+2%-3中，

对称轴％=——=——-=-1,

2a1x2

故在对称轴处求出最小值，当x=—l时，y=(-1)2+2x(-1)-3=-4,

当％=-2时，y=(-2)2+2X(—2)—3=-3,

%=2时，y=2?+2x2—3=5,

故选C.

巩固训练

1.(2024・浙江•模拟预测)已知二次函数y=/一4%+3的图象经过点P,点P的横坐标为根，当加时，

总有T〈y<4m,则m的值为()

3

A.4+V13B.4-V13C.4±V13D.-

4

【答案】D

【分析】本题考查二次函数的图象及性质.

将二次函数的解析式配方成顶点式，可得出抛物线的开口向上，顶点坐标为(2,-1),对称轴是直线x=2,

当x=2时，y取得最小值-1,由已知“当时，总有根据抛物线的对称性和增减性分类

讨论:若0<小32时，若-;WmWO时，分别求出机的值，即可求出答案.

【详解】解：*=一一4%+3=(%—2产一1,

a=1>0,

・•・抛物线的开口向上，顶点坐标为(2,-1),对称轴是直线x=2,

・•・当%=2时,y取得最小值-1,

•・,当机时，总有一1Vy<^m,

-<m<2,

4

若0VTHW2,贝!j当汽=4时，y—4m,

BP有4m=4?—4义4+3,

解得：m=-；

若一；工血工0,则当％=机时，y=4m,

即有4zn=m2—4m+3

21

解得：m=4±V13>不合题意,

・•.这种情况不存在，

3

综上所述，当机时，总有一l<y«4根，贝|］加=^.

故选：D

2.(24-25九年级上•全国•假期作业)当。一2<%<。时，二次函数y=%2—4%+3的最小值为15,贝！Ja的

值为()

A.-2或8B.8C.6D.-2或6

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特

征找出当y=15时％的值是解题的关键.利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=15时％的值，结合当

时函数有最小值15,即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】解：当y=15时，有/一4%+3=15,

解得：/=-2,x2=6.

•・,当a-2<x<a时，函数有最小值15,

二.a—2=6或a=-2,

•••a=8或。=—2,

故选：A.

3.(2023・安徽・二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=/一2a%+彦+4。(〃为常数).

(1)当抛物线经过(1,4)时，a=.

(2)当a=l时，一1工支工6时，4<y<8,则根的取值范围是.

【答案】一3或114血43/32%之1

【分析】(1)将点(L4)代入即可得；

(2)将a=1代入可得二次函数的解析式为y=(第一1)2+4,再求出y=8时，％=-1或％=3；y=4时,

%=1,然后结合二次函数的图象即可得.

【详解】解：(1)将点(1,4)代入y=x2-2ax+a2+4a得：•一2。+/+4。=4,

解得a=1或。=-3,

故答案为：-3或1；

(2)当a=1时，y=x2—2%+5=(x—I)2+4,

当y=8时，(%—1)2+4=8,解得汽=-1或久=3,

22

由二次函数的性质可知，当％=1时，y=4,

,••如图，当一14%工血时，4<y<8,

1<m<3,

故答案为：l<m<3.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象

与性质是解题关键.

易错题型三混淆“与x轴交点”和“与坐标轴交点”

例3.(23-24九年级上•浙江杭州•开学考试)已知函数y=mx2-2x+m+2的图象与坐标轴只有两个交点,

贝Um=.

【答案】0或-2或-1±近

【分析】本题考查了函数与坐标轴的交点问题，分类讨论加=0和mH0两种情况即可求解.

【详解】解:①当m=0时，y=-2x+2,该一次函数与坐标轴有两个交点，满足题意；

②当m丰0时，y=mx2—2x+m+2为二次函数，

若图象经过原点，则m+2=0,解得：m=-2,

此时y=-2/—2x,4=4〉0,图象与x轴还有一个交点，满足题意；

或函数y=mx2-2x+m+2的图象与x轴只有一个交点，

.•-4=(-2)2—4mx(m+2)=0,

解得：m——1±^2，

综上所述：m=0或一2或一1±/；

故答案为：0或一2或—1土近

巩固训练

23

1.（23-24九年级上•江苏无锡・期末）若二次函数y=x2+2x-b的图象与坐标轴有两个公共点，则6满足

的条件是.

【答案】-1或0

【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识.熟

练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键.

由题意知，分①二次函数y=x2+2x-b的图象与x轴有1个公共点；②二次函数y=x2+2x-b的图象与

x轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可.

【详解】解：•••二次函数y=%2+2%-b的图象与坐标轴有两个公共点，

分①二次函数y=x2+2x-b的图象与x轴有1个公共点；②二次函数y=x2+2x-b的图象与x轴有2

个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；

①当二次函数y=x2+2%—6的图象与x轴有1个公共点时，A=22-4（一匕）=0,

解得b=-1；

②当二次函数y=/+2x-6的图象与％轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，b-0,

=刀2+2久=+2）,与%轴有2个公共点,为（—2,0）或（0,0）,

综上所述，b的值为-1或0,

故答案为：-1或0.

2.（23-24九年级上.江苏宿迁•期中）函数y=k/+3x—4+k与坐标轴有两个公共点，求左的值_______.

【答案】0或1或—1或4

【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据k=0,kH0分两种情况分别求解，当k时再根据

与坐标轴交点的情况，分两种情况进行求解即可.

【详解】解：当k=0时，y=3x-4,为一次函数，与坐标轴有两个公共点，符合题意；

当k丰0时，

••・函数与坐标轴有两个公共点，

当函数与y轴有一个公共点，与x轴有一个公共点时，

4=32-4fc（-4+k）=0,解得：k=［或k=一右

当函数与x轴有两个公共点时，其中一个为原点，此时k=4,

综上所述，满足条件的左有0,~l，p4,

故答案为：。或-T或|或4.

24

2

3.(23-24九年级上.江西宜春•期末)已知抛物线％=/+4x+3,y2=-x-%+a,若这两条抛物线与“轴

共有3个交点，贝必的值为.

【答案】0或6或一］

【详解】解：*i=x2+4x+3=(x+1)(%+3)

••・抛物线％=Y+4x+3与x轴的交点坐标为(—1,0),(—3,0),

•••抛物线X=x?+4x+3,y2=———x+a与x轴共有3个交点,

二分三种情况：

①抛物线先=---x+a与x轴有一个交点，则有

(-1)2-4x(-1)xa=0

解得：a=—：

4

②当抛物线丫2=-x+a经过点(一1,0)时，则有：

-(-l)2-(-l)+a=0

解得，a=0

③当抛物线力=-x2-x+。经过点(一3,0)时，则有：

一(一3)2-(-3)+。=0

解得，a=6

综上，两个抛物线与X轴共有3个交点时。的值有-：，0,6,

4

故答案为：一：,0,6.

4

易错题型四忽视反比例函数中k不为0

例4.(23-24八年级下.江苏淮安•阶段练习)已知反比例函效y="，则%不可以取下列的哪个值()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数定义即可求解.

【详解】解：y=—,

'X

工k—1手0,即/cW1,

故选：C.

25

巩固训练

1.（23-24九年级上.广东佛山•期中）如果函数y=