沪科版九年级数学常考压轴题：反比例函数的六大实际问题（含答案及解析）

专题10反比例函数的六大实际问题

目录

解题知识必备.....................................................................1

压轴题型讲练....................................................................2

类型一、几何类..................................................................2

类型二、表格类..................................................................4

类型三、图形类..................................................................7

类型四、探究类..................................................................9

类型五、利润类.................................................................12

类型六、新定义问题.............................................................13

压轴能力测评...................................................................16

“解题知识必备♦♦

1几何类

反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，反比例函数解析式，理解题目中各点

坐标的计算方法，函数之间相交的交点的计算方法。

2表格类

解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题.

3图形类

反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量

之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.

4探究类

反比例函数的图像和性质，利用图像解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在.还能利用图

像直接比较函数值或是自变量的大小.将数形结合在一起，是分析解决函数问题的一种常用方法.

5利润类

反比例函数的利润问题，往往和二次函数或者一次函数结合，单价、总价、数量的关系，以及函数解析式

的求法，要熟练掌握；同时，一次函数解析式，分段函数、二次函数的性质，反比例函数的性质等知识，

综合性较强，熟练掌握各函数性质是解题关键；表格类问题的利润一般合理从表格中获取关键信息列式是

解题的关键.

6新定义问题

弄懂新定义的概念和性质是关键。

X压轴题型讲练”

类型一、几何类

反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，反比例函数解析式，理解题目中各点

坐标的计算方法，函数之间相交的交点的计算方法。

例.如图，一次函数＞=h+2（左/0）的图象与反比例函数y='尤＞0）的图象交于点A（2,〃），

与＞轴交于点8,与x轴交于点c（-4,o）.

（1）求左与机的值；

3

（2）P（a,0）为x轴上的一动点，连接3P,若A即的面积为..CBO面积的1，求。的值.

【变式训练11如图，一次函数%=依+6的图象与反比例函数%=:的图象交于点A0，6）和点3（”,-2）.

⑴求一次函数的表达式以及m的值；

⑵根据图象直接写出当x>2时，必的取值范围;

⑶连接0B,求VAQB的面积？

7k

【变式训练21.如图，直线％=f+4,%==无都与双曲线y=*交于点41，机)，这两条直线分别与无轴

4x

(1)求为和双曲线的函数关系式；

⑵直接写出当x>0时，不等式-无+4>8的解集；

X

⑶若点尸在无轴上，连接AP把VABC的面积分成1:3两部分，求此时点P的坐标.

【变式训练3].如图，直线y=x+6与双曲线好勺尤>0)的交点为A(l,a),与x轴的交点为8(-1,0),点C

为双曲线y=：(x>0)上的一点.

图1图2

⑴求。的值及反比例函数的表达式；

(2)如图1,当点C的横坐标为4时，判断△AOC的形状，并说明理由;

⑶如图2,当NAOC=45。时，求点C的坐标.

类型二、表格类

解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题.

Y—3

例.小明根据学习函数的经验，对函数尸17T的图象与性质进行了探究，请补充完整:

⑵结合函数的图象，说出两条不同类型的性质；

①二一

_X—34

②y的图象是由＞的图象如何平移得到？

⑶当函数值二＞-1时，X的取值范围是一.

【变式训练11为了探索函数y=x+』（x＞o）的图像与性质，我们参照学习函数的过程与方法.

X

列表：

X12345

432

17105_£101726

y2

TT22TTy

描点：在平面直角坐标系中，以自变量X的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如

图1所示：

⑴如图1,观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图像；

（2）已知点（占,兀），（4，无）在函数图像上，结合表格和函数图像，回答下列问题：

若。＜下＜工241,贝!若1＜为＜%,则％

若X7・尤2=1,则%“2（填""或

⑶某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米.已知底面造价为1

千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米.设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元.

图2

①请写出了与x的函数关系式；

②若该农户预算不超过5.25千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？

【变式训练2】.如图，如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=4,AC=3,点尸从点8出发，沿折线

3

C-A运动，当它到达点A时停止，设点尸运动的路程为心点。是射线C4上一点，CQ=~,连接8Q

x

设M=SACBQ,必—.

yjk

8

7

6

5

4

3

2

1

012345678

（i）求出％,力与尤的函数关系式，并注明尤的取值范围;

（2）补全表格中％的值;

以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点，并在x的取值范围内画出％的函数图象;

⑶在直角坐标系内直接画出力函数图象，结合％和力的函数图象，求出当％<为时，尤的取值范围.

【变式训练31数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的

大小，从而改变电路中的电流/,最终通过显示器显示物体质量.已知可变电阻R（单位回kQ）与物体质量加（单

位回kg）之间的关系如图2所示，电流/（单位团mA）与可变电阻R之间关系为Z=-^-（7?>0）.

+3

A7/mA

2.25——

1.75—十十亍十+十十十T

L50--41一：」

1.25—!--1—：--!—

1.oo—:--”丁一;—:

0.75——!--r-1--

0.50一…

ol123456789,R/kQ

ffil图2图3

⑴该小组先探究函数/=3（R20）的图像与性质，并根据/与R之间关系得到如下表格:

R+3

7?(kQ)01234567

/(mA)21.51.2P0.750.6

①表格中的p=_;

②请在图3中画出/=£（7?20）对应的函数图像；

（2）该小组综合图2和图3发现，/随着他的增大而「（填"增大"或"减小"）

⑶若将该款电子秤中的电路电流范围设定为0.2</W0.4（单位：mA）,判断该电子托盘秤能否称出质量为

2kg的物体的质量？请说明理由.

类型三、图形类

反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量

之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.

例.某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15~20℃（包含15℃和20。。）的新品

种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图像，其中

段是恒温阶段，8C段是双曲线y=%x>0）的一部分，请根据图中信息解答下列问题：

（1）求y与尤之间的函数表达式；

⑵当x=18时，大棚内的温度是否适宜该品种蔬菜的生长？

⑶恒温系统在一天内保持大棚内该品种蔬菜适宜生长温度的时间为多少？

【变式训练11某医药企业几年前研制并上市一种新的特效药，销售部门根据该药品过去几年的销售数据、

同类特效药的销售数据以及对市场的分析、预估，绘制了该药品年销售量丫（单位：万盒）随价格》（单位：

元/盒）变化的大致图象（图象由部分双曲线AB与线段BC组成），如图所示.该药品2021年价格为60元/

盒，经国家医保局与该医药企业谈判，将该药纳入医保，2022年价格下调至30元/盒.但在制药成本不变

的情况下，当年销售该药品的利润还是与2021年相同，根据已知信息解决下列问题：

750

100

O

⑴求2022年该药品的年销售量；

⑵该企业2023年将使用新研发的制药技术，使制药成本降低40%.为惠及更多患者，该企业计划在2023

年继续下调该药品的价格，并希望当年销售该药品的利润比2022年至少增加2500万元用于制药技术的研

发，请你为该企业设定该药品价格的范围，并说明理由.

【变式训练2】.实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时,

学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标y随时间x(分

钟)变化的函数图象如图所示，其中当204x445时，图象是反比例函数的一部分.

(1)求点C,。所在反比例函数的表达式和直线4B的表达式;

(2)张老师想在数学课上讲解一道数学综合题，希望学生注意力指标不低于36,那么她最多可以讲分

钟.

【变式训练3】.某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y(万支)与月份x之间的

变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，

请根据图中数据解答下列问题：

⑴该企业4月份的生产数量为多少万支？

（2）该企业有几个月的月生产数量不超过90万支?

类型四、探究类

反比例函数的图像和性质，利用图像解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在.还能利用图

像直接比较函数值或是自变量的大小.将数形结合在一起，是分析解决函数问题的一种常用方法.

例.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上

课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意

力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、

2C分别为线段，为双曲线的一部分）：

⑴求出y与尤之间的函数关系；

⑵开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？

⑶一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当

安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？说明理由.

【变式训练模具厂计划生产面积为4,周长为机的矩形模具，对于根的取值范围，小亮已经能用"代数”

的方法解决，现在他又尝试从"图形"的角度进行探究，过程如下：

⑴建立函数模型：

设矩形相邻两边的长分别为无，儿由矩形的面积为4,得盯=4,即、=:；由周长为〃J得2（x+y）=根,

即y=-x+£.满足要求的（x,y）应是两个函数图像在第象限内的交点的坐标.

⑵画出函数图像：

4H7

函数y=—5>0）的图像如图所示，而函数^=-工+式的图像可由直线^=-x平移得到.请在同一直角坐标

系中直接画出直线丫=-％.

⑶平移直线y=f,观察函数图像：

当直线平移到与函数y=3（尤>o）的图像有唯一交点（2,2）时，写出周长小的值__________；

X

⑷得出结论：

若能生产出面积为4的矩形模具，求出周长机的取值范围.（直接写出结论）

【变式训练2].函数图象是研究函数的重要工具探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数

图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程请结合已有的学习经验，画出函数的图象，

x+4

并探究其性质.

⑴列表，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；

y

⑵观察函数图象，判断下列关于该函数性质的命题:

①当-2WxV2时，函数图象关于直线y=x对称；

②当x=2时，函数有最小值最小值为一2；

③时，函数y的值随尤的增大而减小

其中正确的是(请写出所有正确命题的序号)

⑶结合图象，请直接写出不等式色>尤的解集

X+4

【变式训练3].如图，在平面直角坐标系中，正比例函数>=履(%>0)与反比例函数y=:的图象分别交于

A、C两点，已知点8与点。关于坐标原点。成中心对称，且点B的坐标为(加，0).其中m>0.

⑴四边形ABC。是.(填写四边形ABCD的形状)

(2)当点A的坐标为(〃,3)时，四边形ABCD是矩形，求冽〃的值.

⑶试探究：随着左与，”的变化，四边形ABC。能不能成为菱形？若能，请直接写出左的值；若不能，请说

明理由.

类型五、利润类

反比例函数的利润问题，往往和二次函数或者一次函数结合，单价、总价、数量的关系，以及函数解析式

的求法，要熟练掌握；同时，一次函数解析式，分段函数、二次函数的性质，反比例函数的性质等知识，

综合性较强，熟练掌握各函数性质是解题关键；表格类问题的利润一般合理从表格中获取关键信息列式是

解题的关键.

例.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店

采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平

均每天可多售出2件.

⑴若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量为多少件？

⑵若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？

⑶当每件商品降价多少元时，商店可获得最大利润？最大利润为多少元？

【变式训练某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售盈利，商场

决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于20元，经调查发现.若每件衬衫每降价1元，则商场每天

可多销售2件.

⑴若每件衬衫降价4元，则每天可盈利多少元？

（2）若商场平均每天盈利1200元.则每件衬衫应降价多少元？

（3）降价多少元时，平均每天盈利最大？

【变式训练2】.某商场购进某种商品时的单价是40元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是60元

时，销售量是300件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件.

（1）设该种商品的销售单价为了元（尤＞40）,请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具

获得利润卬元，并把结果填写在表格中：

销售单价（元）X

销售量y（件）—

销售服装获得利涧犷（元）

—

（2）在（1）的条件下，若商场获得了4000元销售利润，求该商品销售单价x应定为多少元?

（3）当定价多少时，该商场获得的最大利润，最大利润是多少元？

【变式训练3】.某厂按用户的月需求量打件）完成一种产品的生产，其中x>0.每件的售价为18万元，每

件的成本N（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量打件）成反比.经市场

调研发现，月需求量x与月份"（〃为整数，符合关系式x=2/-2切+9亿+3）（人为常数），且得到

了表中的数据

月份〃（月）112

成本y（万元/件）1112

需求量X（件/月）120100

（1）直接写出上的值；

⑵求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元;

⑶推断是否存在某个月既无盈利也不亏损.

类型六、新定义问题

弄懂新定义的概念和性质是关键。

例.阅读与探究.定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，将原函数中的自变量》替换为国，从

而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的"绝对函数例如，函数y=x+l的"绝对函数"是，=国+1,

即YU：?）；函数—+2I的"绝对函数”是7+2W一1，即函数

y=x+l的图象如图1,则它的“绝对函数"y=|x|+l的图象如图②所示.

X

⑵在图3的平面直角坐标系中画出y=-x+2的绝对函数的图象；

⑶在（1）的"绝对函数"图象上取一点4点A关于y轴的对称点为A，0是平面直角坐标系的原点，则ANO

的面积是；

⑷函数y=f-4x+3的"绝对函数"与直线V=r+7"有四个交点时，求m的取值范围.

【变式训练我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是8矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形3

的完全N倍体.

（1）若矩形A为正方形，是否存在一个正方形8是正方形A的完全2倍体？（填"存在"或"不存在”）.

【深入探究】长为3,宽为2的矩形C是否存在完全2倍体？

小鸣和小棋分别有以下思路：

fx+y=10

【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y,则依题意x+y=10,冲=12,联立\，得d-10x+12=0,

'［孙=12

再探究根的情况；

12

【小棋函数流】如图，也可用反比例函数4：y=一与一次函数4：y=-x+io来研究，作出图象，有交点，

意味着存在完全2倍体.

(2)那么长为4.宽为3的矩形C是否存在完全1倍体？请利用上述其中一种思路说明原因;

2

(3)如果长为5,宽为4的矩形C存在完全左倍体，请直接写出上需要满足的不等式.

【变式训练2】.我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是8矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形8的

完全N倍体.

⑴若矩形A为正方形，是否存在一个正方形8是正方形A的完全2倍体？(填"存在"或"不存在").

【深入探究】长为3,宽为2的矩形C是否存在完全2倍体？

小鸣和小棋分别有以下思路：

【小鸣方程流】设新矩形长和宽为X、则依题意x+y=io,肛=12,

y=10

联立二c得f-10x+12=0,再探究根的情况；

[xy=12

12

【小棋函数流】如图，也可用反比例函数个y==与一次函数4：y=-x+io来研究，作出图象，有交点,

X

意味着存在完全2倍体.

⑵那么长为4.宽为3的矩形C是否存在完全;倍体？请利用上述其中一种思路说明原因.

⑶如果长为4,宽为3的矩形C存在完全左倍体，请求出左的取值范围.

【变式训练3】.如图，已知直线/：%=左尤+。分另U与x轴、y轴交于A、8两点，与双曲线羽=2(人30,

X

尤＞0)交于。、E两点，若点。的坐标为(4,1),点E的坐标为(1,4).

（1）求直线/和双曲线的表达式；

（2）当％4%时，请直接写出X的取值范围；

⑶若将直线/向下平移相（加>0）个单位得到新直线，当机为何值时，新直线与双曲线在第一象限内有且

只有一个交点

♦♦压轴能力测评“

1.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，

则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售

利润为y元.

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

2.随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖

一段时间后再出售.已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000,放养30天的总成本为

178000元.设这批小龙虾放养t天后的质量为akg,销售单价为y元/kg,根据往年的行情预测，a与t的函

数关系为2=[]1100000,（000<0?（<22。0<1）5。）一与t的函数关系如图所示•

（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；

（2）求y与t的函数关系式；

（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元.问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少

天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？

（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额-总成本）

3.2015年9月19日第九届合肥文博会开幕.开幕前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺

品投放市场进行试销.经过调查，得到如下数据：

销售单价X（元/件）2030405060

每天销售量（y件）500400300200100

（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x

的函数关系，并求出函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？

（3）开幕后，合肥市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过38元/件，那么销售单价定为多少时,

工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？

4.列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应

k

关系.下表是函数y=2x+人与丁=勺部分自变量与函数值的对应关系:

X

_7

a1

~2

2x+ba1

k_

7

X

(1)求。、b的值，并补全表格；

⑵结合表格，当y=2x+力的图像在y=A的图像上方时，直接写出x的取值范围.

X

5.如图，在RtaABC中NACB=90。，BC=4,AC=3,点尸从点5出发，沿折线C—A运动，当它

到达点A时停止，设点P运动的路程为X,若点。是射线CA上一点，且CQ=9,连接BQ,设

⑴求出以，必与x的函数关系式，并注明x的取值范围;

(2)先补全表格中％的值，再画出外的函数图像

⑶在直角坐标系内直接画出％的函数图像，结合％和%的函数图像，求出当％<%时，x的取值范围.(结

果取精确值)

6.我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是8矩形的N倍,那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体.

(1)若矩形A为正方形，是否存在一个正方形8是正方形A的完全2倍体？(填"存在"或"不存在").

【深入探究】

长为3,宽为2的矩形C是否存在完全2倍体？

小鸣和小棋分别有以下思路：

【小鸣方程流】设新矩形长和宽为了、丫，则依题意尤+>=10,xy=U,

[x+y=10

联立-得/_10彳+12=0,再探究根的情况；

Ixy=12O

12

【小棋函数流】如图，也可用反比例函数4：>=—与一次函数4：)=+来研究，作出图象，有交点,

意味着存在完全2倍体.

(2)那么长为3.宽为2的矩形C是否存在完全;倍体？请利用上述其中一种思路说明原因.

⑶如果长为3,宽为2的矩形C存在完全左倍体，请直接写出左的取值范围：.

7.如图，反比例函数%=:(加*0)的图象与一次函数%=区+)(人工°)的交于A、8两点，已知点A的坐标

为(1,4),点8的坐标为(4,”).

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

⑵点。为坐标原点，求点。到直线48的距离.

8.如图，正方形ABC。的边长为3,以所在的直线为x轴，以AD所在的直线为'轴建立平面直角坐标

系反比例函数＞=一的图象与交于E点,与CB交于F点.

x

(1)求证：AE=AF-,

⑵若的面积为；，求反比例函数的解析式；

⑶点P是对角线AC上的一个动点，在（2）的条件下，是否存在点尸，使得OP+EP的值最小？如果存在,

直接写出点尸的坐标，如果不存在，请说明理由.

k

9.如图，已知：矩形AOCB的顶点B在反比例函数y=左＞0,无＞0）的图象上，且AB=3,BC=8.

（1）求反比例函数的关系式；

⑵若动点E从A开始沿A3向8以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点尸从8开始沿BC向C以每秒2

个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为f秒，

①当t为何值时，谶砂是等腰直角三角形？

②当t=2时，在双曲线上是否存在一点使得四边形£/浏1为平行四边形？说明理由；

⑶若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上是否存在点。，使乩）跖的周长最小？若存在，请求出QEF

的周长最小值；若不存在，请说明理由.

10.如图，已知反比例函数y=f和一次函数y=2x-l,其中一次函数的图象经过（4力），g+l,6+左）两点.

（1）求反比例函数的解析式；

⑵如下图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；

⑶利用（2）的结果为条件，请问：在x轴上是否存在点尸，使,49尸是以4。为腰的等腰三角形？若存在,

直接写出点P的坐标.

专题10反比例函数的六大实际问题

目录

解题知识必备...................................................................22

压轴题型讲练...................................................................23

类型一、几何类.................................................................23

类型二、表格类.................................................................30

类型三、图形类.................................................................38

类型四、探究类.................................................................44

类型五、利润类.................................................................51

类型六、新定义问题.............................................................55

压轴能力测评...................................................................64

“解题知识必备♦♦

1几何类

反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，反比例函数解析式，理解题目中各点

坐标的计算方法，函数之间相交的交点的计算方法。

2表格类

解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题.

3图形类

反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量

之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式.

4探究类

反比例函数的图像和性质，利用图像解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在.还能利用图

像直接比较函数值或是自变量的大小.将数形结合在一起，是分析解决函数问题的一种常用方法.

5利润类

反比例函数的利润问题，往往和二次函数或者一次函数结合，单价、总价、数量的关系，以及函数解析式

的求法，要熟练掌握；同时，一次函数解析式，分段函数、二次函数的性质，反比例函数的性质等知识，

综合性较强，熟练掌握各函数性质是解题关键；表格类问题的利润一般合理从表格中获取关键信息列式是

解题的关键.

6新定义问题

弄懂新定义的概念和性质是关键。

X压轴题型讲练♦♦

类型一、几何类

反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，反比例函数解析式，理解题目中各点

坐标的计算方法，函数之间相交的交点的计算方法。

例.如图，一次函数>=h+2(人中0)的图象与反比例函数y="(〃zwO,x>0)的图象交于点A(2,w),

与，轴交于点8,与x轴交于点C(TO).

(1)求左与7"的值；

(2)P(a,0)为x轴上的一动点，连接若尸的面积为ACBO面积的“求。的值.

【答案】⑴4=机=6；

(2)a=T0或2.

【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系

数法，学会利用参数构建方程解决问题.

(1)把点C的坐标代入一次函数的解析式求出左，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解

析式中，可得结论;

(2)根据SACAP=S^ABP+以CBP，构建方程求解即可.

【详解】(1)解：把C(-4,0)代入y=履+2,得A=1,

1c

y=5%+2,

把A(2,〃)代入y=5尤+2,得〃=3,

二.A(2,3),

rvi

把A(2,3)代入y=竺,得m=6,

X

:.k=—,m=6；

2

(2)解：当x=0时，y=2,

•.3(0,2),

.尸(〃,0)为X轴上的动点，

/.尸C=|a+4|,

S.CBP=5,尸C•。8=]X|a+41x2=|〃+41f=50C•%=5X|Q+41x3,

13

SRCAP~S^ABP+S&CBP,SCOB=-x4x2=4,ABP的面积为，CSO面积的1，

33

/.—|a+4|=4x—+|a+4|,

.,.〃=一10或2.

【变式训练11如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A(l，6)和点川〃，一2).

⑴求一次函数的表达式以及m的值；

(2)根据图象直接写出当x>2时，上的取值范围;

⑶连接。4、OB,求VAOB的面积？

【答案】⑴一次函数表达式X=2X+4,反比例函数表达式%=9；

X

⑵。<y<3；

⑶^AAOB=8.

【分析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式>2=勺k即可求出反比例函数的解析式，把8的坐标代入

x

求出8的坐标，把A3的坐标代入一次函数乂=依+》即可求出函数的解析式；

(2)首先求出反比例函数经过点(2,3),然后利用图象求解即可；

(3)求出一次函数与x轴的交点C的坐标，分别求出△AOC和的面积，即可求出答案；

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点的应用是解题

的关键.

【详解】(1)把4(1,6)代入反比例函数%=?得m=6,

团反比例函数的表达式是必=9，

X

团反比例函数必=?的图象过点

0-2=-,得〃=-3,

n

03,-2),

团一次函数％=◎+)的图象过点A(l,6)和点5(—3,—2),

[a+b=6

回《，

[-3a+b=-2

fa=2

解得：,

[6=4

回一次函数的表达式是％=2x+4；

(2)当x=2时，y=—=3

2x

团反比例函数经过点(2,3)

由图象可得，当x>2时，0<y<3；

(3)如图，设一次函数X=2x+4的图象与x轴交于点c,

解得x=-2

0C(-2,O),

回OC=2,

团SAOB=SAOC+SBOC=gx2x6+gx2x2=8.

3k

【变式训练2].如图，直线％=r+4,%=m+b都与双曲线丁=勺交于点41,加，这两条直线分别与1轴

4x

⑴求为和双曲线的函数关系式；

k

⑵直接写出当x>0时，不等式-%+4〉一的解集；

x

⑶若点尸在工轴上，连接AP把VABC的面积分成1:3两部分，求此时点夕的坐标.

3Q3

【答案】（1）%=:兀+:，y=~；

（2）l<x<3；

⑶或0o].

【分析】（1）把点A（l,〃z）代入X=-x+4,确定A（L3）,分别代入%=：x+b,y=计算即可.

k

（2）首先求出％=-江+4与>=勺相交时两横坐标分别为1,3,结合不等式，运用数形结合思想求解即可.

X

=

(3)分SAPB3sAPC，3sAPB=SAPC计算即可.

【详解】(1)把点代入M=-x+4,得〃z=_l+4=3,

0A(1,3),

把A(L3)分另I」代入%=[x+b,y=|,得3=：+仇3=；,

9

解得〃=:,左=3,

4

393

回为=丁+“尸)

kQ

(2)团当一x+4=一时，由丁=—,

1%

43

回一元+4=一,

x

去分母得_X2+41=3,

团(x—3)(x—1)—0,

k

回％=一工+4与丁=—相交时两横坐标分别为1,3,

x

k

根据图象可知不等式-x+4>+的解集是I<xv3.

x

3Q

(3)团直线％=—兀+4,y=_x+_,

44

团5(4,0),C(-3,0),

设P(m,0),贝i」BP=4—m，PC=m+3；

团Sj8:SAPC—BP：PC,

团AP把VABC的面积分成1:3两部分，

当sAPB=3SAPC时，得4一机=3(m+3),

解得加=二，

4

故尸[-川；

当3SAPB=SAPC时，得3(4)=(加+3),

9

解得〃7=了，

4

故哈。｝

故点的坐标为尸[-jo)或pg,o].

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合确定解析式构成不等式的解集，三角形

面积之比，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键.

【变式训练3】.如图，直线＞=工+匕与双曲线、=§卜＞0)的交点为4(1,0),与X轴的交点为3(-1,0),点C

为双曲线＞=*＞0)上的一点.

(1)求。的值及反比例函数的表达式;

(2)如图1,当点C的横坐标为4时，判断△AOC的形状，并说明理由;

(3)如图2,当NAOC=45。时，求点C的坐标.

2

【答案】(l)a=2,y=-(x>0)

X

。△人。。为直角三角形，理由见解析

⑶cV6,

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，勾股定理的逆定理，熟练利用待定系数法求函数解析式，利

用数形结合的思想是解题的关键.

(1)把巩-1,0)代入一次函数，求得一次函数的解析式，再求出点A坐标即可；再将点A坐标代入反比例

函数，即可解答；

(2)求出点C坐标，利用勾股定理的逆定理即可判断△AOC为直角三角形；

(3)过点A做AF垂直。4交射线OC于点尸，过点A做AD垂直，轴交V轴于点D,过点尸做FE垂直AD

交直线AD于点尸，利用全等三角形的性质得到点歹的坐标，求得。尸的解析式，点C即为反比例函数与一

次函数的交点.

【详解】(1)解：「直线AB过点B(TO),

二.-1+8=0,解得：b=l,

「•直线AB的表达式为y=%+1.

点A。,a)在直线A3上，

Q=1+1=2,

，点A的坐标为(1,2).

又；双曲线Y(x>0)过点A(l,2),

「#=1x2=2,

2

・••反比例函数的表达式为y=—。>0).

(2)解：△AOC为直角三角形，理由如下：

・点。在y=*上，且点。的横坐标为4,

x

*••点C的纵坐标为7，

2

即点

.-.OA2=(1-0)2+(2-0)2=5,

AC2=(4-l)2+Q-2^=：,

oc2=(4-0)2+Q-0^|=?,

,-.OA2+AC2=5+—=—=OC2

44

.：AOC为直角三角形；

(3)解：如图(2),过点A做AF垂直。4交射线OC于点尸，过点A做AD垂直，轴交y轴于点。，过点尸

做FE垂直AD交直线AD于点尸.

AF1OA

:.ZOAF=90

又1ZAOC=45

图2

:.OA=AF

AO_Ly轴，FE1AD

:.ZADO=90=ZAEF

ZDOA+ZOAD=9Q

又•.NQ4月=90

/.ZDAO+ZEAF=90

.\ZAOD=ZEAF

ADO^AEF(AAS)

:.AE=OD=2,EF=AD=1

，易得尸(3,1),

设。厂的函数解析式为y=rm

.,.l=3mBPm=1

二.Ob的函数解析式为y=；x

,2

y=一

联立:，

y=—x

I3

2]

BP—=—x,x=±^6

x3

x>0

:.x=a，:♦y=々戊

即。瓜

类型二、表格类

解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题.

例.小明根据学习函数的经验，对函数w标的图象与性质进行了探究，请补充完峪

y

r-5

：-4

；-3

\-2-

kl-

45-443T2口0123455

尸2

尸3

尸4

,二5

⑴根=_,再根据表格数据，利用描点法在平面直角坐标系中画出该函数的图象;

-5-4-3