沪科版九年级数学常见题型专练：相似三角形的性质（7种题型）（原卷版）

第08讲相似三角形的性质（7种题型）

O【知识梳理】

一、相似三角形的性质定理

1.相似三角形性质定理1

相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

2.相似三角形性质定理2

相似三角形周长的比等于相似比.

3.相似三角形性质定理3

相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

二.相似三角形的判定与性质

（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两

方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等.

（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的

公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造

相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法

有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可.

三.相似三角形的应用

（1）利用影长测量物体的高度.①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性

质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决.②测量方法：在同一

时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度.

（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）.①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”

型或“X”型相似图，三点应在一条直线上.必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角

形.②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度.

（3）借助标杆或直尺测量物体的高度.利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三

角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.

四.作图-相似变换

（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.

（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单

的相似变换作图.如图所示：

（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据.比较简单的是把原三角形的三

边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形.

五.射影定理

（1）射影定理：

①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.

②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.

（2）Rt^ABC中，ZBAC=90°,AO是斜边8C上的高，则有射影定理如下：①

@AB1=BD'BC-,Ad=CD・BC.

BDC

D【考点剖析】

题型一：相似三角形性质定理i

Afi3

例1.已知AABCsM8G,顶点A、B、C分别与A、Bl、G对应，—=—,BE、分别是它们的对应

4月2

中线，且3E=6.求8向的长.

【变式1］已知AA5Cs的瓦6，顶点A、B、C分别与4、5、G对应，AC=12,AG=9,幺的平分

线Aid的长为6,求NA的平分线的长.

【变式2】求证：相似三角形对应高的比等于相似比.

【变式3】求证：相似三角形对应中线的比等于相似比.

【变式4】求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比.

【变式5】如图，AABC和的与G中，和8E是AABC的高，人。和耳耳是AA,耳£的高，且NC=NC；,

ADAB

ARA^i

ADBE

求证:

【变式6】如图，。是AABC的边8C上的点，NBAD=NC,BE是AA5c的角平分线，交A。于点R

BD=1,CD=3,求BRBE.

题型二：相似三角形性质定理2

例2.若MBCsADEF,AABC与ADEF的相似比为1:2,则AABC与ADEF的周长比为（)

(A)1:4(B)1:2(C)2:1(D)1:0

【变式1].已知AABCSA414c1,顶点A、B、C分别与Ai、Bi、G对应，它们的周长分别为48和60,且

AB=12,B,Ct=25,求BC和All的长.

【变式2].如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角

形的周长是.

【变式3】如图，在A/WC中，AB=12,AC=IO,BC=9,是8c边上的高.将A/WC沿EF折叠，

使点A与点。重合，则ADEF的周长为.

【变式4】.如图，梯形ABC。的周长为16厘米，上底CD=3厘米，下底AB=7厘米，分别延长和BC

交于点P,求APCD的周长.

【变式5】如图，在AABC中，/C=90。，AB=5,BC=3,点尸在AC上（与点A、C不重合），点。在

8C上，PQ//AB.当APQC的周长与四边形朋8。的周长相等时，求”的长.

c

题型三：相似三角形性质定理3

例3.(1)如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的_

________倍；

(2)如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的.

________倍.

【变式1】两个相似三角形的面积分别为5c7层和16cs2,则它们的对应角的平分线的比为()

(A)25:256(B)5:16(C)A/5:4(D)以上都不对.

【变式2】.如图，点。、E分别在AABC的边A8和AC上，DE//BC,DE=6,BC=9,=16.求又卸

的值.

【变式3】如图，在AABC中，。是48上一点，若NB=/ACD,AD=4cm,AC=6cm,

2

S^CD=8cm,求/SABC的面积.

A

【变式4】如图，在AABC中，点。、E1在A3、AC±,DE//BC,AADE和四边形8CED的面积相等，求

AD.BD的值.

【变式5】如图，在AABC中，ADYBC,BEVAC,D、E分别为垂足.若NC=60。，SACDE=1,求四边

形。E4B的面积.

【变式6】如图，及AABC中，点。是8C延长线上一点，直线EF//2。交AB于点£,交AC于点G,交

1CF

AD于点尸，右5AAa=TS四边形EBCG，求~7~n的值.

A

题型四.相似三角形的判定与性质

例4.（2023•芜湖模拟）如图，在△ABC中，。为2C边上的一点，且/。4。=/艮

AD_AC

（1）求证:

BA'BC

(2)若AC=2,BC=4,设△ADC面积为Si,△ABO面积为8,求证：S2=3SI.

【变式1］（2023•天长市校级二模）在正方形A8CO中，点E、/分别是边AS、上的点，连接EF,EF

_LFG且跖=八7.

图1图2

(1)如图1,当点G在C。上时，求证：DG=BE；

(2)如图2,当点8与点E重合时，EG,FG分别交C£）于点M,N,求证：MG1=MN-MD.

【变式2】（2023•瑶海区校级一模）将矩形ABCD沿。E折叠，使点A落在点尸处，折痕为。E,其中A8

图1图2

(1)如图（1）,若点E恰好在边上，连接AR求证：AABFsADAE；

(2)如图（2）,若E是的中点，所的延长线交BC于点G,求BG的长.

【变式3］（2022秋•滁州期末）如图，点P是正方形ABC。边上一点，。是边延长线上一点，若

AB=12,B4=5,PQ±BP.求C0的长.

QCB

【变式4】(2022秋•宣城期末)如图，△ABC中，分别在边AB、AC上取点。、E,使岖望，再取BC的

ABAC

中点连接AM交于点N.

(1)求证：DE//BC-,

(2)判断线段DN与NE的大小关系，并说明理由.

【变式5】.(2022秋•贵池区期末)如图，在△ABC中，BC=3,。为AC延长线上一点，AC=3CD,ZCBD

=NA,过。作。/〃A2,交BC的延长线于点

(1)求证：△HCDsAHDB；

（2）求8〃的长.

题型五.相似三角形的应用

例5.（2022秋•杜集区校级月考）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点尸、电视塔顶端E在同一

直线上，已知此测量人员的头顶距地面的长48为1.6加，标杆的长为32%且8C的长为2租，C。的长

为5m,求电视塔的高.

【变式1】.（2022秋•蚌山区月考）《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩.某

天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直

线上（如图）.已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离

城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米.请根据以上数据求出城楼的高度.

【变式2】.（2022秋•包河区期中）如图，直立在8处的标杆42=2.9米，小爱站在厂处，其中眼睛E,标

杆顶4树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点RB,D在同一条直线上）.已知

B£>=6米，尸3=2米，斯=1.6米，求树高CD

【变式3】.（2022•芜湖一模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图，在井口8处立一根垂直于

井口的木杆3D,从木杆的顶端。点观察井内水岸C点，视线。C与井口的直径AB交于点E如果测得

48=1.8米，米，BE=0.2米.请求出井深AC的长.

【变式4】.（2022秋•大观区校级月考）一块三角形材料如图所示，NA=30°,NC=90°,AB=12.用这

块材料剪出一个矩形C0EF,其中，点。、E、F分别在BC,AB,AC上.要使剪出的矩形CQEF的面积

最大.点E应选在何处？

【变式5】.（2022秋•庐阳区校级期中）如图是小孔成像实验，火焰AC通过小孔。照射到屏幕上，形成倒

立的平行实像，像长8。=30外OA=50cm,OB=\Ocm,求火焰AC的长.

【变式6】.（2022秋•怀远县期中）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，

在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长OC为16米，OA的影长。。为20米，小明

的影长BG为2.4米，其中。、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、。三点在同一直线上，且

OD,EFLFG.己知小明的身高所为1.8米，求旗杆的高A3.

【变式7】.（2022秋•定远县月考）小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度.如图：为路灯主

杆，AE为路灯的悬臂，是长为1.8米的标杆.已知路灯悬臂AE与地面8G平行，当标杆竖立于地面

时，主杆顶端A、标杆顶端。和地面上一点G在同一直线上，此时小明发现路灯E、标杆顶端。和地面

上另一点下也在同一条直线上（路灯主杆底端8、标杆底端C和地面上点R点G在同一水平线上）.这

时小明测得FG长1.5米，路灯的正下方”距离路灯主杆底端B的距离为3米.请根据以上信息求出路

灯主杆的高度.

【变式8】.（2022秋•金寨县校级月考）如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm,高

80mm,要把它加工成长方形零件使长方形尸。MN的边在2c上，其余两个顶点P,N分别

在A8,AC上，求这个长方形零件尸面积S的最大值.

【变式9】如图，在AABC中，矩形QEFG的一边。E在BC边上，顶点G、尸分别在48、AC边上，AH是

BC边上的高，4/与GP交于点K.若AH=32c〃z,BC=48cm,矩形。EFG的周长为76。相，求矩形。EFG

的面积.

【变式10].如图，正方形。EPG的边EF在AABC的边BC上，顶点。、G分别在边A3、AC上，AH是

AABC的高，BC=60厘米，A”=40厘米，求正方形DEFG的边长.

【变式11】在锐角AABC中，矩形。E/G的顶点。在边上，顶点E、尸在8c边上，顶点G在AC

边上，如果矩形。EPG的长为6,宽为4,设底边BC上的高为x,AABC的面积为y,求y与x的函

数关系式.

题型六.作图-相似变换

例6.（2022秋•包河区期中）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，△ABC的顶点均

在格点（网格线的交点）上.

（1）将△A8C先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到△AiBiCi（A,B,C的对应点

分别为Ai,Bi,C1）画出△4B1C1；

（2）若282c2s△ABC,且相似比为2：1,画出一个282c2.

r-

।

L_

I

I

r-

i

L_

I

I

r-

i

L_

I

I

I--

I

L_

【变式】（2022秋•固镇县校级期中）如图1,在8义8方格纸中，AABC的三个顶点都在小方格的顶点上,

按要求画一个三角形，使它的顶点都在方格的顶点上.

（1）请在图2中画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为2：1；

（2）请在图3中画一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比为&：1.

题型七.射影定理

例7.（2021秋•金安区月考）如图，RtzXABC中，ZBAC=90°,4£>_L8C于点。，若AB=4,AC=3,则

8。为（）

【变式】（2022秋•杜集区校级月考）如图，RtZkABC中，ZACB=90°,CD_LAB于。，AD=9,CD=6,

则BD的长为.

【过关检测】

一、单选题

1.（2022秋•安徽安庆•九年级校考阶段练习）下列4x4的正方形网格中，小正方形的边长均为1,三角形

的顶点都在格点上，则与团ABC相似的三角形所在的网格图形是（)

2.（2023•安徽蚌埠•模拟预测）下列说法中正确的是（）

①等边二角形二条高的交点就是它的重心；②二角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的二分之

一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等

于这边上高的三分之一

A.①③④B.②③④C.①②③D.①②③④

3.（2022秋•安徽安庆•九年级统考期末）如图，已知0ABemBDC,其中AC=4,CD=2,则BC=

C.2A/3D.4

4.（2023•安徽滁州•校考模拟预测）在ABC中，点。，E分别是AB,边的中点，点尸在QE的延长线

上，添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件不可以是（）

A.AD^CFB.LBDE/4CFEC.△CFE^ABC4D.ZA=ZF

5.（2023•安徽•统考中考真题）如图，点E在正方形A3C。的对角线AC上，£F_LAB于点/，连接并

延长，交边3c于点交边A2的延长线于点G.若AF=2,FB=1,则MG=（)

6.（2023春•安徽安庆•九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AO上一点，DE=2AE,

连接AC、BE相交于点O,若“纺的面积为1,则ABC的面积为（）

A.10B.12C.13D.18

7.（2023•安徽•模拟预测）如图，点P是；A5C的重心，过点尸作OE〃AC交BC,AB于。，E,

EF〃3C交AC于点八若3C=11,则跖的长为（）

X\

BDC

1111

A.—B.3C.—D.4

43

8.（2022•安徽•九年级专题练习）如图，在平行四边形A8CL）中，点E是上一点，AE=2ED,连接

8E交AC于点G,延长BE交C。的延长线于点孔则要■的值为

()

CJF

土:

2113

A.-B.-C.一D.-

3234

9.（2023・安徽阜阳•一模）如图，尸是矩形ABCD内的任意一点，连接B4,PB,PC,PD,得到

^PAD,一PAB,PBC,PCD,设它们的面积分别是S-52,S3,S4,下列结论错误的是（）

A.若5|=凡，则尸点在AB边的垂直平分线上

B.$2+S4=S]+4

C.若AB=4,BC=3,则上4+P3+PC+PD的最小值为10

D.若△尸以，且钻=4,BC=3,贝！]PA=2.5

10.（2023•安徽合肥•合肥市五十中学西校校考模拟预测）如图，四边形ABCZ）是矩形，CE平分/BCD,

AELCE,EA、CB的延长线交于点尸，连接。E,连接交CE于点G.下列结论错误的是（）

I.

FB（,

A.图中共有三个等腰直角三角形B.ZDGC=ZEBC

C.ABAD=CGCED..CDGs一CEB

二、填空题

Afi1

11.（2023春•安徽宿州•九年级统考阶段练习）已知ABC^^A'B'C',且不演=7，5ABC=4,则

AD2

S"B'C=-------------

12.（2023•安徽亳州•九年级专题练习）如图，在RtAABC中，NA=90。，点。是斜边BC上的一个动点,

过点。分别作DMIAB于点M,DV/AC于点N.

（1）的度数是

（2）若AB=6,AC=8,连接MN,当线段MN有最小值时，线段A"的长为.

13.（2023•安徽六安•统考模拟预测）如图，在.71BC中，点。在边A3上，点E在边BC上，把QBE沿直

线DE折叠，DBE恰好与ADCE重合,CD=AC.若3c=6,△BCD的面积为3,则AO的长为

14.（2023•安徽宿州•统考三模）如图，点A在反比例函数y=乙的图象上，连接。4交反比例函数y=F的

x3尤

图象于点8,若点A的横坐标为3,则点8的横坐标为.

15.（2023•安徽蚌埠•校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点3（6,0）,A是y轴正半轴上的动点，以

AB为一边在AB的右侧作面积为48的矩形ABCD,连接。C,则OC的最大值为.

16.（2023,安徽合肥•统考三模）如图，0ABe中，ZABC=90°,AB=3C,点。是边AC上一点,

CD=2AD,连接过点C作于点E,连接AE.

(1)ZAEC=°；

(2)若BC=3非,贝l|AE=.

三、解答题

17.(2023•安徽滁州•统考三模)在Rt^ABC中，/ACS=90。，AD平分,C转交3C于点。，3E平分

图1图2

(1)当AC=3C时，如图1,求证：△AEF回VBZ加；

(2)连接C尸，如图2.

①求证：AEFsAFC；

②)若EF=20，A尸=8,求AC的长.

18.(2023春・安徽安庆•九年级统考期末)如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,边AC的垂直平分线政

交BC于点、F,交AC于点E,AC于点连接AF交助于点D

A

⑴求证：AADHsMBH；

（2）若点。为瓦7的中点，求证：AH=2HE；

⑶在（2）的条件下，若BC=4色，求E尸的长.

19.