沪科版九年级数学常见题型专练：图形的位似变换、测量与误差（原卷版）

第09讲图形的位似变换、测量与误差

O【知识梳理】

一、位似的概念及性质

1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似

图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。

相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似

图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。

2）相似图形与位似图形的区别与联系：

区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；

②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。

联系：位似图形是特殊的相似图形。

3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。

L________________________________r4）、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。

;位似中心的位置：可能位于两I

i个图形之间，也可能位于两个图形I

i一侧，也可能位于两图形内。；

i位似中心的确定：根据"对应i

I点的连线都经过位似中心”的特点I

i确定位似中心的位置。i

二、利用位似变换作图（放大或缩小图形）

利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1,则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于

1,则通过位似变换把原图形缩小。

画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延

长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。

三、以原点为位似中心的位似变换

在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为“，那么位似图形对应点的坐标的比等

于"（对应点在位似中心同侧）或者一H对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为（根,“），

则其位似图形对应点的坐标为（Am,如）或（-切z,-也）o

四.相似三角形的应用

（1）利用影长测量物体的高度.①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性

质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决.②测量方法：在同一

时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度.

（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）.①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”

型或“X”型相似图，三点应在一条直线上.必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角

形.②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度.

（3）借助标杆或直尺测量物体的高度.利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三

角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.

W【考点剖析】

题型一：位似变换的应用

【解题技巧】掌握画位似图形的一般步骤为（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的

关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小

的图形）.

例1.平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，贝k）

A.将各点横坐标乘以2,纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似

B.将各点纵坐标乘以2,横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似

C.将各点横，纵坐标都乘以2,得到的鱼与原来的鱼位似

D.将各点横坐标乘以2,纵坐标乘以工，得到的鱼与原来的鱼位似

2

【变式1】如图，一ABC在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使4（2,3）,C（6,2）,并写

出3点坐标；（2）以原点。为位似中心，位似比为2,在第一象限内将,-A6C放大，画出放大后的图形

VAB'C.

【变式2］如图，在平面直角坐标系中，已知AABC三个顶点的坐标分别为A（-1,2）,B（-3,4）C（-

【变式3】如图,在平面直角坐标系中，已知AABC的三个顶点的坐标分别为A（T,3）,5（—3,1）,C（—1,3）,

请按下列要求画图：（1）将AABC先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长度，得到AA1与G，画

出入4,3。1，并写出点3的坐标；（2）以点A为位似中心将AA5C放大2倍，得到△452c2，画出八4昆。2

并写出点B的坐标.

题型二：相似三角形的实际应用

【解题技巧】解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，利

用相似及方程思想有效解决.

例2.如图，花丛中有一路灯AB.在灯光下，小明在点D处的影长DE=3m,沿BD方向行走到达点G,

DG=5m,这时小明的影长G〃=5m.如果小明的身高为L7m,求路灯AB的高度.（精确到0.1m）

【变式】为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下探索：根据光的反射

定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子水平放置在离B（树底）

8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=3.2

米，观察者目高CD=1.6米，求树AB的高度.

题型三：相似三角形中的动态问题

例3.如图，在矩形Q4HC中，OC=8,04=12,3为CH中点，连接A3.动点M从点。出发沿。4

边向点A运动，动点N从点A出发沿A3边向点3运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，

连接设运动时间为/(秒)(0<?<10).贝旷=时，AQVW为直角三角形

【变式1】如图所示，在等腰△/8C中，AB=AC=lQcm,"7=16颂.点，由点力出发沿四方向向点8匀速

运动，同时点£由点6出发沿8。方向向点C匀速运动，它们的速度均为IcWs.连接庞，设运动时间为t

(s)(0<t<10),解答下列问题：(1)当［为何值时，△叱的面积为7.5ck；(2)在点〃，£的运动中，

是否存在时间t,使得△叱与△/以相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由.

【变式2】如图，RS48C,/C=90°,/C=10颂,BC=3an.点户从点。出发，以2cMs的速度沿。向点

4匀速运动，同时点0从点8出发，以IcWs的速度沿正向点。匀速运动，当一个点到达终点时，另一个

2

点随之停止.（1）求经过几秒后，△户&的面积等于△/8C面积的g?

（2）经过几秒，△户⑺与AA5c相似?

题型四：相似三角形中的综合问题

例4.如图，在aABC中，AB=AC=10,点D是边BC上一动点（不与B,C重合），ZADE=ZB=a,

4

DE交AC于点E,且cosa=，.下列结论：①△ADES/\ACD；②当BD=6时，ZkABD与4DCE全等；

25

③4DCE为直角三角形时，BD为8或上；④0CCEW6.4.其中正确的结论是.（填序

2

号）

【变式1】已知，如图1,在勿8（力中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F.（1）求证：

△ADE^ABFE；（2）如图2,点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点H,连接

HC,过点A作AK〃HC,交DF于点K.①求证：HC=2AK；②当点G是边BC中点时，恰有HD=n・HK（n为正整

数），求n的值.

【变式2】如图1,在Rt^ABC中，ZC=90°，AC=BC=2,点D、E分别在边AC、AB上，AD=DE=-AB,连接

2

DE.将4ADE绕点A逆时针方向旋转，记旋转角为。.

BEBE

（1）问题发现①当。=0°时，---=；②当9=180。时，---=.

CDCD

BF

（2）拓展探究试判断：当0。W0V36O。时，——的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

（3）问题解决①在旋转过程中，BE的最大值为；②当4ADE旋转至B、D、E三点共线时，线段CD的

长为.

图1B图2

【过关检测】

一、单选题

1.（2023・安徽淮北•校考一模）如图，在平面直角坐标系中，一与位似，位似中心为原点O,

已知点4-1,-1）,C（T,-1）,AC'=6,则点C'的坐标为（）

A.（2,2）B.（4,2）C.（6,2）D.（8,2）

2.（2022秋・安徽滁州•九年级校考阶段练习）如图，已知0ABe和aeoc是以点C为位似中心的位似图形,

且0ABe和回即C的位似比为1：2,SEOC的周长为8,则0ABe的周长是（）

A.2B.4C.8D.16

3.（2021秋•安徽阜阳•九年级校考阶段练习）如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高18%他在地面上的

影长为2.1m.若小芳身高只有1.2m,则她的影长为（）

A.1.2/77B.1.4mC.1.6mD.1.8m

4.（2023春・安徽合肥・九年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是（）

A.两个多边形相似，则它们一定是位似图形B.两个位似图形的位似中心可能不止一个

C.位似图形一定是相似图形D.两个多边形相似，面积比一定是相似比

5.（2022秋•安徽亳州•九年级统考期末）如图是赵师傅利用一块三角形的白铁皮剪成一块正方形铁皮备

用.在a48c中，BC=120,高A£）=80,正方形E/GH的边GH在边8C上，E,尸分别在边AB,AC上,

则正方形EFGH的边长为（）

A

BHDGC

A.36B.42C.48D.54

6.（2022秋•安徽合肥•九年级合肥寿春中学校考期中）如图，身高为1.6m的小明想测量一下操场边大树的

高度，他沿着树影54由8到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得

A.3.2mB.4.8mC.6.4mD.8m

7.（2020•安徽合肥・合肥市第四十二中学校考一模）如图，以点。为位似中心，将五边形A8CZJE放大后得

到五边形A'8'C'D'E',已知。4=10cm,OA'=20cm,则五边形ABCOE的周长与五边形A'B'C'D'E'的周长比

8.（2022秋•安徽宿州•九年级统考期末）如图所示，王华晚上由路灯A下的8处走到C处时，测得影子

CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子所的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么

路灯A的高度A8等于（）

A

C.7.2米D.8米

9.（2022秋•安徽蚌埠•九年级校考期中）如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶

端B观测井水水岸，视线班）与井口的直径C4交于点E,若测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米,

则水面以上深度。为（）

A.4米B.3米C.3.2米D.3.4米

10.（2021秋・安徽阜阳•九年级统考阶段练习）如图四个图中，ABC均与A8C'相似，且对应点交于一

点，贝人.ABC与&AUC'成位似图形的有（）

图4

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

11.（2021秋•安徽安庆•九年级统考期中）如图所示，一条河流的两岸互相平行，沿南岸有一排大树，每隔

4米一棵，沿北岸有一排电线杆，每两根电线杆之间的距离为80米，一同学站在距南岸9米的点P处，正

好北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住，那么这条河流的宽度是米.

北岸

孑

匕

、

三二

三

三

?三

、

二

、

三

二

二

二

三

三

、三

、

三

二

三

、

；

三

、H

三

、

三

三

二

、

、

一

'、、\//南岸

P

12.（2022秋•安徽马鞍山•九年级马鞍山八中校考期中）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置3。绕

。点旋转到AC位置，已知8。足分别为8,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=lm,则栏杆C

端应下降的垂直距离CD为.

13.（2022秋•安徽宿州•九年级统考期末）如图，A8表示一个窗户的高，AM和表示射入室内的光线,

窗户的下端到地面的距离8c=lm.已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5m,AC在地面的影长CM=

4.5m,则窗户的高度为m.

14.（2022秋•安徽安庆•九年级统考期中）如图，小明在A时测得垂直于地面的树的影长为4米，8时又测

得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为米.

15.（2022秋•安徽宣城•九年级统考期末）如图是小孔成像原理的示意图，=25cm,OC=10cm,

ABCD.若物体A3的高度为15cm,则像C£＞的高度是cm.

16.（2021秋•安徽滁州•九年级校考期中）如图，某测量工作人员的眼睛A与标杆顶端E铁塔顶端E在一

条直线上，已知此人眼睛距离地面的高为1.6m,标杆高为3.2m,且BC=lm,CD=5m,则铁塔的高

DE=m

三、解答题

17.（2023,安徽合肥,合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的

网格中，给出了格点.ABC（顶点是网格线的交点）和点。且点。在网格的格点上.

⑴以点D为位似中心，将,ABC在点D上方画出位似变换且缩小为原来的!得到44瓦G.

⑵将（1）中的△ABC绕点〃顺时针旋转90。得到△入坊Q,画出鸟

（3）AA,B2C2的面积是.

18.（2022秋•安徽芜湖•九年级校考阶段练习）如图，图中的小方格是边长为1的正方形，ABC与

—A8C'是关于点。为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.

(1)画出位似中心点。;

(2)求出，至C与一A'3'C'，的位似比；

(3)以点。为位似中心，在图中画一个△入鸟G，使它与国C的位似比等于3团2.

19.(2023・安徽亳州•统考一模)已知：ABC三个顶点的坐标分别为42,2),8(4,1),C(l,5).

⑴以点。为位似中心，在第一象限将,.ABC放大为原来的2倍，得到△4片£,请在网格中画出

（2）若点尸（无,y）是一ABC内任意一点，点尸在△ABC1内的对应点为4，则点片的坐标为

⑶请用无刻度直尺将线段AB三等分.

20.（2022秋•安徽滁州•九年级校考阶段练习）小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度•如图：

为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，。是长为1.8米的标杆•已知路灯悬臂AE与地面3G平行，当标杆竖

立于地面时，主杆顶端A、标杆顶端。和地面上一点G在同一直线上，此时小明发现路灯E、标杆顶端。

和地面上另一点厂也在同一条直线上（路灯主杆底端3、标杆底端C和及地面上点/、点G在同一水平线

上）.这时小明测得尸G长1.5米，路灯的正下方H距离路灯主杆底端B的距离为3米•请根据以上信息求出路

灯主杆的高度.

21.（2022秋•安徽蚌埠•九年级统考阶段练习）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上

从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡在点G处，手电