沪科版九年级数学常见题型专练：锐角的三角函数（5种题型）（原卷版）

第10讲锐角的三角函数(5种题型)

O【知识梳理】

一.锐角三角函数的定义

在RtZkABC中，/C=90°.

(1)正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做/A的正弦，记作sinA.

即sinA=NA的对边除以斜边=曳.

c

(2)余弦：锐角A的邻边6与斜边c的比叫做/A的余弦，记作cosA.

即cosA=ZA的邻边除以斜边=生.

c

(3)正切：锐角A的对边a与邻边6的比叫做乙4的正切，记作tanA.

即tanA=ZA的对边除以NA的邻边=包.

b

(4)三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的锐角三角函数.

二.锐角三角函数的增减性

(1)锐角三角函数值都是正值.

(2)当角度在0°〜90°间变化时，

①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；

②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)；

③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).

(3)当角度在0°W/AW90°间变化时，OWsinAWl,l》cosA20.

当角度在0°<NA<90°间变化时，tanA>0.

三.同角三角函数的关系

(1)平方关系：sin2A+cos2A=l；

(2)正余弦与正切之间的关系(积的关系)：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=EZ&

cosA

或sinA=tanA*cosA.

四.互余两角三角函数的关系

在直角三角形中，NA+NB=90。时，正余弦之间的关系为：

①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos(90°-ZA)；

②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-ZA）；

也可以理解成若/A+/B=90°,那么sinA=cosB或sin8=cosA.

五.特殊角的三角函数值

（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值.

=工.=返；tan30°=返；

sin30°cos30°=

23

=叵

sin45°cos45°=tan45°=1；

22

=我.

sin60°cos60°=工tan60°

22

（2）应用中要熟记特殊角的二角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切

逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记.

（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三

角形中应用较多.

一」【考点剖析】

锐角三角函数的定义（共4小题）

1.（2023•镜湖区校级一模）如图，RtaABC中，ZC=90°,BC=2,A8=3,则cosB的值是（）

A.夸B-Vc-iD-f

2.（2022秋•蒙城县期末）如图，在RtAABC中，ZC=90°，2AB=5BC,贝！IcosB的值

为

3.（2021秋•萧县期末）在RtZXABC中，ZC=9Q°,AB=5,BC=3,则tanA的值是（）

A.4B.43D.3

5354

4.（2021秋•安徽月考）如图，在RtZkABC中，AC=4,BC=3,NC=90°,则sinA的值为（

A

A

二.锐角三角函数的增减性（共5小题）

5.（2021秋•金安区校级月考）已知：cosa=/，则a范围是（）

3

A.0°<a<30°B.30°<a<45°C.45°<a<60°D.60°<a<90°

6.（2021秋•淮北月考）已知角a为AABC的内角，且cosa=2,则a的取值范围是（）

3

A.0°<a<30°B.30°<a<45°C.45°<a<60°D.60°<a<90°

7.（2023•安徽模拟）比较大小：sin81°tan47°（填”或

8.（2022秋•天长市月考）比较大小：tan40°tan50°（填“>”“=”或

cos30°

9.（2023•安徽一模）解不等式组:

2x-l5x+l7[

三.同角三角函数的关系（共6小题）

10.（2021秋•金牛区校级期中）在△ABC中，NC=90°,tanA=2,则sinA+cosA=

11.（2022秋•宣州区期末）已知a为锐角，cosa=J,求tana-。叵”二-的值.

31-sina

12.（2022秋•宿州月考）已知NA是锐角，COSA=2,求sinA,tanA的值.

5

13.（2021秋•安徽月考）若sinA=L,则tanA=

2

14.（2023•怀宁县一模）若NA是锐角，且tanA=2sinA,则NA=.

15.（2021•安庆模拟）已知sin〃=-^-（〃为锐角知则tana

13

四.互余两角三角函数的关系（共3小题）

16.（2023春^金安区校级月考）如图，在Rt△ABC中，NC=90°,tanA=2,则sinB

（秋•怀宁县月考）在中，互，则的值为（

17.2022RtZXABCZC=90°,sinA=cosB)

13

B-it0・京D-i

18.（2022秋•池州期末）在RtAACB中，NC=90°,tanA=2遥，则sinB的值为()

A-iB4C.&D.M

五.特殊角的三角函数值（共16小题）

19.（2023•亳州模拟）计算2sin30°的值()

c.亨

A.3B.1D.73

20.（2022秋•宣城期末）在中,NC=90°，BC=1,AC=2,下列各式中，正确的是（

A81B-cosA=1CsinA=]D.tanB=-^

A.tanA=-

匹-cosB）2=0,则NC的度数是（

21.（2020秋•蚌埠月考）在△ABC中,若|sinA--1+(

22

A.45°B.75°C.105°D.120°

B满足|sinA-(~

22.（2012秋•根阳县月考）若AABC中，锐角A、I+(cosB—2=0,则△ABC是

)

A.钝角三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

23.（2023•合月巴一模）若0°<a<45°,且sin2Cl=喙，贝”式

度

24.（2022秋•宣城期末）在△ABC中，若sinA=-l,cosB=1人人，NB都是锐角，则NC的度数

22

是

25.(2023•涡阳县模拟)(1)计算：2cos?45°-l+tan30°tan60°；

（2）x.l>3（x-l）-4-

26.（2022秋•宁国市期末）计算：（-1）2023+2sin45°-cos30°+sin60°+tan260°.

27.（2022秋•长丰县校级期末）计算：cos60°-2sin245°+.5-tan230o-sin30°.

2

28.（2022秋•池州期末）计算：2sin45°-7（cos60°-sin60°）2+^^—.

29.（2022秋•宣城期末）计算：COS230°+sin245°-tan60°*tan30°

30.（2022秋•定远县期末）计算:

（1）cos30°sin45°+sin30°cos45°；

⑵sin600-1

tan600-2tan45

31.（2023•庐阳区一模）计算：6tan230°-V3sin60o+2tan45°.

32.（2023•池州模拟）计算：（-2022）0-2tan45°+|-2|+%①.

33.（2023春•蚌埠月考）计算：sin45°*cos45o-tan60°4-cos30°.

34.（2023•庐阳区校级一模）计算：2tan45°-——^―-2sin260°.

sin30

【过关检测】

一、单选题

1.（2023春・安徽安庆・九年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，若连接格点

AB,CD,A3与8交于点。，贝UtanNAOD的值为（）

A.1B.^5C.若D.2

2.（2。22秋・安徽六安•九年级统考阶段练习）已知则锐角A的取值范围是（）

A.60°<A<80°B.30°<A<80°C.10°<A<60°D.10°<A<30°

3.（2023春•安徽安庆•九年级统考期末）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,sinA=1,则有（）

cosA=—B.tanA=2y/1D.tanB=2^2

3

4.（2022秋•安徽安庆•九年级统考阶段练习）在加AABC中，/C=90°,sinA=N，则cosB的值为（）

13WWWV

131255

A.—B.—C.—D.—

5131312

5.（2022秋•安徽安庆•九年级统考阶段练习）如图，点A为/a边上的任意一点，作AC1BC于点C,

于点。，下列用线段比表示出sin。的值，正确的是（）

AD

灰678

6.（2023春•安徽滁州•九年级校考阶段练习）在44BC中，ZA都是锐角，sinA=—,tanB=1,则

2

△ABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形

7.（2023•安徽合肥•一模）一个钢球沿坡角31。的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位:

米）（）

A.5cos31°B.5sin31°D.5tan31°

sin31°

8.（2023•安徽淮北•淮北市第二中学校考二模）如图，。为Rt^ABC的AC边上一点，ZC=90°,

c

9.（2021•安徽•九年级专题练习）如图，在AABC中，0ACB=9O°,回ABC=26。，BC=5.若用科学计算器求边

AC的长，则下列按键顺序正确的是（）

C.5xcos26°=D.5xtan26°=

10.（2023•安徽蚌埠•校考二模）E,尸分别是正方形ABCD的两边BC,CO的中点，AE,相交于

P,M,N分别是AE,3尸的中点，连接ACV,DP.则下列结论错误的是（）

A.AErBFB.DP=ADC.糕='D.翳乎

二、填空题

11.（2023•安徽亳州•统考模拟预测）如图，已知AABC的三个顶点均在格点上，则cosC=.

12.（2022秋•安徽合肥•九年级期末）比较大小：s加48°—co$48。（填">"、"<"或

13.（2023•安徽六安•统考三模）在等腰直角三角形ABC中，?B90?,AB=2,。为的中点，作

AADC关于AC的对称图形AAD'C,并连接OD.

（1）DZ7的长为；；（2）sinZDAD'=.

14.（2023•安徽合肥•一模）若0。<夕<45。，且sin2a=走，则夕=度.

2

15.（2022秋•安徽六安•九年级校考期末）如图，矩形ABCD中，AB=1,AD=2,点E为对角线上的

一个动点，过点E作EFLAE交BC于

（2）E厂长的最小值为.

16.（2023春•安徽合肥•九年级合肥市第四十五中学校考期中）已知：点尸是“3C内一点,

ZPBA=ZPCB,3尸与CP的中垂线交于点

（1）ZABM=

（2）若AS=2,NABC=60。，BC=3,则AP的最小值是.

三、解答题

17.（2023•安徽合肥•校联考三模）计算：2sin6（y-3tan3（r+G]+（-1户”

18.（2023秋・安徽宣城•九年级统考期末）已知。为锐角，cosa=1,求的值.

31-smcr