沪教版八年级数学下册 第二十三章 概率初步（9个知识归纳+16类题型突破）（解析版）

第二十三章概率初步（9个知识归纳+16类题型突破）

课标要求

i.掌握事件的概念与可能性的大小;

2.掌握概率的意义和概率公式；

3.学会用树状图和列表法；

4、学会计算几何概率；

基础知识归纳

一.随机事件

（1）确定事件

事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然

事件和不可能事件都是确定的.

（2）随机事件

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.

（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，

①必然事件发生的概率为1,即尸（必然事件）=1；

②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；

③如果A为不确定事件（随机事件），那么0<P（A）<1.

二.可能性的大小

随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：

（1）理论计算又分为如下两种情况：

第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进

行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，

如：配紫色，对游戏是否公平的计算.

（2）实验估算又分为如下两种情况：

第一种：利用实验的方法进行概率估算.要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的

估计值，即大量实验频率稳定于理论概率.

第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算.如，利用计算器产生随机数来模拟实验.

三.概率的意义

（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率典会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就

n

叫做事件A的概率，记为尸（A）=p.

（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现.

（3）概率取值范围：OWpWl.

（4）必然发生的事件的概率尸（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0.

（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1,事件发生的可能性越小，概率越接近于0.

（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解

什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具

体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题.

四.概率公式

二事件A可能出现的结果数

（1）随机事件A的概率P（A）

所有可能出现的结果数

（2）P（必然事件）=1.

（3）P（不可能事件）=0.

五.几何概率

所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G,又区

域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点

假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积

等）成正比，而与g的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型.关于几何概型

的随机事件“向区域G中任意投掷一个点点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与

G的度量之比，即P=g的测度G的测度

简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是长度比，面积比，体积比等.

六.列表法与树状图法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，

再求出概率.

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或8的结果数目m,

求出概率.

（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三

个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.

（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝

丫个数就是总的可能的结果机

（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举.

七.游戏公平性

（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平.

所求情况数

（2）概率=

息情况数

八.利用频率估计概率

（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频

率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.

（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通

过统计频率来估计概率.

九.模拟试验

（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验.

（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、

省力，但能达到同样的效果.

（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》

要求，只要设计出一个模拟试验即可.

重要题型

题型一事件的分类

1.下列描述的事件为必然事件的是（）

A.打开电视，播放的节目是法治天地

B.抛掷两枚质地均匀的骰子，掷得的点数之和小于12

C.任意画一个三角形，内角和是180。

D.任意买一张电影票，座位号是2的倍数

【答案】C

【分析】本题考查了必然事件和三角形内角和，熟悉必然事件的定义以及三角形内角为180。是解题的关

键.必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断.

【详解】解：A、打开电视，播放的节目是法治天地，是随机事件；

B、抛掷两枚质地均匀的骰子，掷得的点数之和小于12,是随机事件；

C、任意画一个三角形，内角和是180。，是必然事件；

D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数，是随机事件；

故选：C

2.下列事件中，属于随机事件的是（）

A.平行四边形的对角相等B.a2<0

C.明天太阳从西方升起D.小明买彩票将获得500万元大奖

【答案】D

【分析】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事

件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随

机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念

分别对每一项进行分析，即可得出答案.

【详解】A.平行四边形的对角相等，是必然事件，故该选项不符合题意；

2

B.a<0,是不可能事件，故该选项不符合题意；

C.明天太阳从西方升起，是不可能事件，故该选项不符合题意；

D.小明买彩票将获得500万元大奖，是随机事件，故该选项符合题意；

故选：D.

3.下列事件是必然事件的是（）

A.投掷一枚正方体骰子，点数“6”朝上

B.如果。、6都是实数，那么a+8=b+a

C.经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯

D.袋子中有20个红球，5个白球，从中摸出一个球恰好是白球

【答案】B

【分析】本题主要考查了事件的分类，掌握必然事件是一定能够发生的事件是关键.根据必然事件是一定

能够发生的事件，逐项进行判断即可.

【详解】解：A.投掷一枚正方体骰子，点数“6”朝上是随机事件，故A不符合题意；

B.如果以6都是实数，那么6=6是必然事件，故B符合题意；

C.经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故C不符合题意；

D.袋子中有20个红球，5个白球，从中摸出一个恰好是白球是随机事件，故D不符合题意；

故选：B.

巩固训练：

1.下列事件是必然事件的是（）

A.抛掷一枚硬币，正面向上B.投掷一枚骰子，向上一面的点数是7

C.运动员射击一次，命中靶心D.在只有红球的袋中，摸出一个红球

【答案】D

【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念等知识点.必然事件指在一定条件下，一

定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条

件下，可能发生也可能不发生的事件.

根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐项判断即可.

【详解】解：A.抛掷一枚硬币，正面向上是随机事件，故选项不符合题意；

B.掷一次骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故选项不符合题意；

C.运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故选项不符合题意；

D.在只有红球的袋中，摸出一个红球是必然事件，故选项符合题意.

故选：D.

2.一只不透明的袋子里装有4个黑球，2个白球.每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意摸出1个球,

是黑球”的事件类型是—（填“随机事件”“不可能事件”或“必然事件”）.

【答案】随机事件

【分析】直接利用随机事件的定义得出答案.

【详解】解：,••袋子里装有4个黑球，2个白球，

，从中任意摸出1个球，可能是黑球，有可能是白球，

，事件“从中任意摸出1个球，是黑球”的事件类型是随机事件，

故答案为：随机事件.

【点睛】此题主要考查了随机事件，正确掌握相关定义是解题关键.

3.判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不确定事件，哪些是不可能事件？

事件1：三条边对应相等的两个三角形全等

事件2：三个角对应相等的两个三角形全等

事件3：有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

事件4：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

事件5：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

【答案】1,3,5是必然事件，2,4是不确定事件

【分析】根据必然事件、不可能事件及不确定事件的概念分别判断即可.

【详解】解：三条边对应相等的两个三角形全等，故事件1是必然事件；

三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故事件2是不确定事件；

有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，故事件3是必然事件；

有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，故事件4是不确定事件；

有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，故事件5是必然事件.

故1,3,5是必然事件，2,4是不确定事件

【点睛】此题考查根据必然事件、不可能事件及不确定事件的概念分别判断即可.必然事件是一定发生的事

件，不可能事件是一定不能发生的事件，必然事件和不可能事件都是确定事件；不确定事件是有可能发生

也有可能不发生的事件即随机事件.

题型二判断事件发生的可能性大小

1.下列事件中，必然事件是（）

A.随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数

B.抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上

C.在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球

D.在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于180。

【答案】D

【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的

事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可

能发生也可能不发生的事件.根据事件发生的可能性大小判断.

【详解】解：A、随机购买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件；

B、抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝下，是随机事件；

C、在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球，是不可能事件；

D、在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于180。，是必然事件；

故选D.

2.下列事件中：①在不透明的袋子中装有数量相等的黑、白两种棋子，随机摸一次，摸出的是黑色棋子与

摸出的是白色棋子；②射击试验中，某次射击结果是中靶与脱靶；③在发芽试验中，某粒种子的发芽与不

发芽；④随意抛掷一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上与反面朝上，是等可能事件的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①④

【答案】D

【分析】本题考查了判定事件的可能性大小，根据事件发生的可能性相等为的等可能事件，逐项判断即可

求解.

【详解】解：①在不透明的袋子中装有数量相等的黑、白两种棋子，随机摸一次，摸出的是黑色棋子与摸

出的是白色棋子，是等可能事件；

②射击试验中，某次射击结果是中靶与脱靶，不是等可能事件；

③在发芽试验中，某粒种子的发芽与不发芽，不是等可能事件；

④随意抛掷一枚质地均匀的硬币一次，正面朝上与反面朝上，是等可能事件；

故选：D.

3.已知一个不透明的袋子里装有1个白球，2个黑球，3个红球，每个球除颜色外均相同，现从中任意取

出一个球，则下列说法正确的是（）

A.恰好是白球是不可能事件B.恰好是黑球是随机事件

C.恰好是红球是必然事件D.恰好是红球是不可能事件

【答案】B

【分析】本题考查事件的分类，理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念是解题关键.

根据随机事件，必然事件，不可能事件进行逐项分析即可.

【详解】解：A、恰好是白球是随机事件，故该选项错误，不符合题意；

B、恰好是黑球是随机事件，故该选项正确，符合题意；

C、恰好是红球是随机事件，故该选项错误，不符合题意；

D、恰好是红球是随机事件，故该选项错误，不符合题意.

故选：B.

巩固训练

1.从写有1~20的20张卡片中任意抽一张，抽到（）的可能性最大.

A.质数B.合数C.奇数D.偶数

【答案】B

【分析】根据质数，合数，奇数，偶数的意义计算判断即可.

【详解】根据题意，1~20中的奇数有1,3,5,7,9,11,13,15,17,19共有10个，偶数有2,4,6,8,10,12,14,16,18,20共

有10个，质数有3,5,7,11,13,17,19共有7个，合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20共有11个，

故抽到合数的可能性最大，

故选B.

【点睛】本题考查了可能性，熟练掌握可能性的基本计算是解题的关键.

2.用一副扑克牌中的10张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以下三个条件；

（1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同；

（2）翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小；

（3）翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小；

解：我设计的方案如下：

“红桃”一张，“黑桃”一张，“方块”一张，“梅花”一张

【答案】5212

【分析】根据各种花色的扑克牌被翻到的可能性的大小，推断出各种花色的扑克牌的张数，再根据总张数

为10张，每一种都是整数，进而得出答案.

【详解】解：一共有10张扑克牌，

满足（1）,说明“黑桃”和“梅花”的张数相同，

满足（2）说明“方块”的张数比“梅花”的少，

满足（3）说明黑颜色的牌（黑桃、梅花）的张数比红颜色牌（红桃、方块）的张数要少，

因此黑色的牌要少于5张，黑色的两种牌张数相同，

于是：①黑色的为4张，可以得至『‘黑桃”和“梅花”各2张，“方块”1张，剩下的为“红桃”5张.

“红桃”5张，“黑桃”2张，“方块”1张，“梅花”2张，

②黑色的为4张，可以得到“黑桃”和“梅花”各2张，“方块”0张，剩下的为“红桃”6张.

“红桃”6张,“黑桃”2张，“方块”0张，“梅花”2张，

③黑色的为2张，可以得到“黑桃”和“梅花”各1张，“方块”0张，剩下的为“红桃”8张.

...“红桃”8张,“黑桃”1张，“方块”0张,“梅花”1张，

因此可能为：5,2,1,2或6,2,0,2或8,1,0,1（不唯一），

故答案为：5；2；1；2.

【点睛】本题考查等可能事件发生的概率，理解可能性的大小是正确解答的关键.

3.某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯40s、绿灯60s、黄灯3s.小明的爸爸随机地由南往北开车到

达该路口，问：

（1）他遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？

（2）他遇到红灯的概率是多少？

【答案】（1）绿灯的概率大

【分析】（1）直接利用概率的意义得出遇到绿灯的概率大；

（2）利用绿色灯亮的时间除以三种颜色灯的设置时间，进而得出遇到红灯的概率.

【详解】（1）解：每一时刻经过的可能性都相同，南北方向红绿灯的设置时间为：红灯40s、绿灯60s、黄

灯3s

:绿灯时间比红灯时间长，

...他遇到绿灯的概率大；

（2）解：•••在103s内，红灯的时间是40s

，他遇到红灯的概率是七40.

【点睛】本题主要考查了概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键.

题型三列举随机试验的所有可能结果

1.在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色

玻璃球有5个.现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多

3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（）

A.19种B.18种C.17种D.16种

【答案】D

【分析】本题考查列举法（树状图法）.利用树状图法首先确定红球的个数，然后确定黑球的个数，最后确

定对应的白球的个数即可.

【详解】解：画树状图如图所示：

红球的个数

黑球的个数

白球的个数87657654

则取法的种数是16.

故选：D.

2.某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩,甲、乙、丙、丁排队等候,甲前面有若干人，乙排在甲后

面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人.下

列说法：①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；

③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组.正确的个

数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据题意，列出这8个人的位置，然后根据题意逐项分析即可求解.

【详解】解：依题意，设中间隔着的人用x代替，则排序为：

甲，X,X,乙，X,丙，X,丁

①若分组为（甲，X,X,乙），（X,丙，X,丁），故①正确；

②若分组为……甲），（X,X,乙，X）,（丙，X,丁，……，故②错误，

③由②可知③错误，

④依题意，分组为：甲，X）,（X,乙，X,丙），（X,丁，...,

或甲，X,X,（乙，X,丙，X）,（丁，……,

故④正确，

故选：B.

【点睛】本题考查了推理，列举法求试验结果，根据题意举出反例或列举是解题的关键.

3.某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是48,36,24；后轴上有四个齿轮，齿数分

别是36,24,16,12,则这种变速车共有多少档不同的车速（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】B

【分析】根据求得齿轮数的比值，比值等于1,则车速相等，进而即可求解.

【详解】解：•••主动轴上有三个齿轮，齿数分别是48,36,24；

，主动轴上可以有3个变速，

:后轴上有四个齿轮，齿数分别是36,24,16,12,

后轴上可以有4个变速，

•.•变速比为2,1.5,1,3的有两组，

又；前后齿轮数之比如果一致，则速度会相等，

共有3x4-4=8种变速，

故选:B.

【点睛】本题考查了列举法求可能性，解决本题的关键是找到两次实验中每次可能出现的结果次数.

巩固训练

1.如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“。”和一个

从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分

别为昨值)和%值)，则下列关系可能出现的是()

omPP川cc汨m%

A.y甲二，乙B.y甲=2y乙C.5y甲=6y乙D.3y甲=5y乙

【答案】C

【分析】分析左图可知，1个“E”的质量等于2个“。”的质量.两个物体等可能的向左或向右落时，共有

4种情况，分别计算出左边托盘和右边托盘的质量，即可得出扉(g)和%(g)的关系.

【详解】解：由左图可知2个“。”与1个“旧”的质量等于2个“[Q”的质量，

•■■1个“E”的质量等于2个“。”的质量.

・•・右图中，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，

二共有4种情况：

(1)“。”和“E”都落到左边的托盘时：

左边有3个“。”2个，旧”，相当于7个“。”，右边有2个，E”，相当于4个“。”，此时4昨=7%；

(2)“。”和“⑻”都落到右边的托盘时：

左边有2个“。”1个"”,相当于4个“。”，右边有3个“旧”1个“。”，相当于7个“。”，止匕时7y甲=4y乙；

(3)“。”落到左边的托盘，“IQ”落到右边的托盘时：

左边有3个“。"1个"E”，相当于5个“。”，右边有3个“E”，相当于6个“。”，此时6期=5%;

(4)“。”落到右边的托盘，“E”落到左边的托盘时：

左边有2个“。”2个”，相当于6个“。”，右边有2个“E”1个“。”，相当于5个“。”，此时5廨=6y乙;

观察四个选项可知，只有选项C符合题意，

故选C.

【点睛】本题考查等可能事件、等式的性质，解题的关键是读懂题意，计算所有等可能情况下降(g)和我(g)

的比值.

2.学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动.用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A,

B,C,加工要求如下:

①每台设备同一时间只能加工一件工艺品;

②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工；

③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间(单位：min)如下表所示:

ABC

甲724

乙256

(1)若要求A,B,C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20min,请写出一种满足条件的加工方案

(按顺序写出工艺品的编号)；

(2)A,B,C三件工艺品全部加工完成，至少需要min.

【答案】答案不唯一，如BC415

【分析】本题考查了有理数的加法，概率的分析应用是解题的关键.

(1)罗列出6种情况，选择符合题意的即可；

(2)罗列出6种情况，进行比较大小即可.

【详解】按照ABC顺序加工，需要7+2+5+6=20min,

按照ACS顺序加工，需要7+2+(4-2)+6+5=22min,

按照顺序力口工，需要2+5+6+2=15min：

按照BAC顺序加工，需要2+5+(7—5)+2+(4-2)+6=19min；

按照C4B顺序加工，需要4+6+(7-6)+5=16min；

按照C54顺序加工，需要4+6+5=15min.

(1)总时长不超过20min,可以按照顺序加工；

(2)通过比较发现，最短时间为15min.

3.求解下列问题：

(1)在1〜10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10,共有多少种取法？

(2)在1〜100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100,共有多少种取法？

(3)你还能提出什么问题？

(4)各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是

什么？

【答案】(1)25；(2)2500；(3)见解析；(4)36,见解析

【分析】(1)仔细分析题意，可先取出一个数，根据取出的这个数来确定另一个数的可能取值，取第一个

数为10,则第二个数可以为1,2,……，9,同理第一个数取9,可以发现若第一个数为10,则可能的取法有

9种，若第一个数取9,则可能的取法有7种，若第一个数取8,可能的取法有5种，……，将所有类别的

取法相加，即可求得结果；

(2)利用类似于(1)的方法进行分析即可解答；

(3)提一个类似于(1)(2)的问题即可；

(4)结合(1)、(2)的方法，注意要考虑两边相等的情况

【详解】(1)根据题意每次取的两个数之和大于10,可能取法为：

10+1、10+2、10+3、...10+9,共9种

9+2、9+3、9+4、…9+8,共7种

8+3、8+4、8+5、8+6、8+7,共5种

7+4、7+5、7+6,共3种

6+5,共1种

in2

所以可能的取法共有9+7+5+3+1=又-=25（种）

4

（2）同理可得可能的取法的种数为也=2500（种）

4

（3）（答案不唯一）在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21,

有多少种不同的取法？

（4）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于H,有10+8+6+4+2=30种不同的

取法；

②若另两个数相同，则6+6,7+7,11+11,共6种不同的取法；所以各边长都是整数，最大边长为11

的三角形有：30+6=36（个）.

它与上述两个问题都类似，区别这个问题要考虑两个数相同时的情况.

【点睛】此题考查分类加法计数原理的运用.分类加法计数原理：完成一件事，有〃类办法，在第1类办法

中有电种不同的方法，在第2类办法中有小种不同的方法，……，在第"类办法中有机〃种不同的方法,

那么完成这件事共有版+佗+……+，博种不同的方法.注意分类后，寻找规律，避免大量运算，其次注意分类

讨论要不重不漏.

题型四概率的意义理解

1.校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率.下表是小亮一次训练时的进球情况:

投篮数（次）50100150200

进球数（次）4081118160

则下列说法正确的是（）

A.小亮每投10个球，一定有8个球进B.小亮投球前8个进，第9,10个一定不进

C.小亮比赛中的投球命中率一定为80%D.小亮比赛中投球命中率可能超过80%

【答案】D

【分析】本题主要考查了概率的相关知识点，准确判断是解题的关键.根据概率的知识点判断即可.

【详解】解：A、小亮每投10个球，不一定有8个球进，故错误；

B、小亮投球前8个进，第9、10个不一定不进，故错误；

C、小亮比赛中的投球命中率可能为80%,故错误；

D、小亮比赛中投球命中率可能为超过80%,故正确；

故选：D.

2.下列说法正确的是（）

A.如果明天降水的概率是50%,那么明天有半天都在降雨

B.若甲、乙两组数据的平均数相同，S差=1.3,5^=4.6,则乙组数据较稳定

C.了解全国中学生的节水意识应选用普查方式

D.早上的太阳从东方升起是必然事件

【答案】D

【分析】

本题考查了方差、概率、全面调查和抽样调查以及随机事件，熟练掌握定义是解题的关键.根据方差、概

率、全面调查和抽样调查以及随机事件的意义分别对每一项进行分析即可得出答案.

【详解】解：A.如果明天降水的概率是50%,表示明天有降雨的可能性，故不正确；

B.若甲、乙两组数据的平均数相同，S看=1.3,S；=4.6,则甲组数据较稳定，故不正确；

C.了解全国中学生的节水意识应选用抽样调查方式，故不正确；

D.早上的太阳从东方升起是必然事件，正确；

故选D.

3.掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概

率是（）

23I

A.1B.-C.-D.g

352

【答案】D

【分析】

此题主要考查了概率的意义，直接利用概率的意义分析得出答案.

【详解】解：•••掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同，

再次掷出这枚硬币，正面朝上的概率是：

故选：D

巩固训练

1.下列说法正确的是（）

A.367人中至少有2人生日相同

B.任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，

0

C.天气预报说明天的降水概率为90%,则明天一定会下雨

D.某种彩票中奖的概率是1%,则买100张彩票一定有1张中

【答案】A

【分析】根据概率的含义和随机事件的定义即可得出答案.

【详解】解：A.一年有365天，则367人中至少有两人生日相同，故该选项正确；

B.任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是：3=1故该选项错误；

62

C.天气预报说明天的降水概率为90%,则明天不一定会下雨，故该选项错误；

D.某种彩票中奖的概率是1%,则买100张彩票不一定有1张中奖，故该选项错误；

故选：A.

【点睛】本题主要考查了概率的含义，关键是要牢记概率表示事件发生的可能性大小.

2.某航班每次约有200名乘客，一次飞行中飞机失事的概率尸=0.00005,某保险公司为乘客提供保险，承

诺飞机一旦失事，向每位乘客赔偿60万人民币.平均来说，保险公司应该至少向每位乘客收取元

保险费才不亏本.

【答案】30

【分析】先求出飞机失事时保险公司应赔偿的金额，再根据飞机失事的概率求出赔偿的钱数即可解答.

【详解】解：每次约有200名乘客，如飞机一旦失事，每位乘客赔偿60万人民币，共计12000万元，

一次飞行中飞机失事的概率为2=0。0005,

故赔偿的钱数为120000000x0.00005=6000元，

故至少应该收取保险费每人6000+200=30元，

故答案为：30.

【点睛】本题考查的是概率在现实生活中的运用，部分数目=总体数目乘以相应概率.

3.完成下列各题：

(1)写出下列命题的条件和结论，并指出它是真命题还是假命题.

①面积相等的两个三角形全等；

②同角的补角相等；

③两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.

(2)任意投掷一枚均匀的骰子.

①掷出的点数小于4的概率是多少？

②掷出的点数是奇数的概率是多少？

③掷出的点数是7的概率是多少？

④掷出的点数小于7的概率是多少？

(3)现有足够多除颜色外均相同的球，请你从中选12个球设计摸球游戏.

①使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等；

②使摸到红球、白球、黑球的概率都相等；

③使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率.

【答案】(1)见解析

(2)①！②g③。④1

(3)见解析

【分析】(1)把命题写成“如果……，那么……”的形式，写出题设和结论，并判断真假即可解题；

(2)根据概率的球阀，找准全部情况的总数和符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率，求出

比值即可；

(3)①设计红球和白球的个数相同即可；②设计红球，黑球和白球数量相同即可；③让红球和白球数量相

同，且小于黑球的数量即可

【详解】(1)①条件：两个三角形的面积相等.

结论：这两个三角形全等

它是假命题；

②条件：两个角是同一个角的补角

结论：这两个角相等

它是真命题；

③条件：两个三角形有两角分别相等且其中一组等角的对边相等

结论：这两个三角形全等

它是真命题.

(2)投掷一枚均匀的骰子，可以得到6种等可能结果，即123,4,5,6,

_31

①掷出的点数小于4的有3种结果，即概率是二二彳；

o2

31

②掷出的点数是奇数的有3种结果，即概率是二二不；

③不可能掷出的点数是7,即有概率是0；

④掷出的点数小于7的6种结果，即概率是5=1；

O

(3)①使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等；

白球，红球各6个，摸到红球和白球的概率均为3；

②使摸到红球、白球、黑球的概率都相等；

白球，红球，黑球各4个，摸到黑球、红球和白球的概率均为:；

③使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率.

白球，红球各放3个，黑球放6个，此时摸到白球，红球的概率为!，而摸到黑球的概率为4.

【点睛】本题考查命题的题设和结论，概率公式的应用和计算，解题的关键是掌握在总数一定的情况下,

相应数量越多，概率越大.

题型五判断几个事件的大小关系

1.如图是一个游戏转盘.自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1,2,3,4所示区域内可能

性最大的是()

A.1号B.2号C.3号D.4号

【答案】D

【分析】比较圆心角度数大小即可.

【详解】解：由图形知，数字4对应扇形圆心角度数最大，所以指针落在数字1,2,3,4所示区域内可能性最

大的是4号，

故选：D.

【点睛】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性(概率)的计算方法.

2.一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任

意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是()

A.白球B.黑球C.红球D.黄球

【答案】C

【分析】根据概率公式可知，哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大.

【详解】解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，

3>2>1

，其中红球最多，

.,•摸到红球的概率最大.

故选：C.

【点睛】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数?所有可能出现的结

果数.

3.一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅均后从中任意摸出一

个球，在下列事件发生概率最高的是（）

A.摸到黄球B.摸到红球C.摸到白球D.摸到黑球

【答案】A

【分析】

分别求出摸到各种颜色的求的概率，再比较大小即可.

【详解】袋子中一共有1+3+4=8个球，有1个白球，3个红球，4个黄球，没有黑球.

，摸到白球的概率士

O

摸到黄球的概率=，

O

摸到红球的概率=1

O

摸到黑球的概率=0

...摸到黄球的概率最高.

故选：A

【点睛】本题主要考查了概率的计算，事件发生的概率=.掌握概率的计算

A累所有翳事今件发既生的需结果鬻总数警

方法是解题的关键.

巩固训练

1.从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K"；②抽至U“黑桃”；③抽至U“大王”；④抽到“黑色”

的，其中，发生可能性最大的事件是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】D

【分析】根据概率公式逐项计算，再比较大小.

【详解】•••从一副扑克牌中任意抽取1张，共有54种等可能结果，

42

，①抽到"K'的概率为—=—；

5427

„13

②抽至U“黑桃”的概率为-7；

54

③抽到“大王”的概率为上；

54

④抽到“黑色”的概率为H，

故答案为：D.

【点睛】此题考查了概率大小，解题的关键是熟记概率公式.

2.某公司共有13名员工，这13名员工中，有两个人出生月份相同的概率为—.

【答案】1

【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可

能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，

一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

【详解】某公司共有13名员工，这13名员工中，有两个人出生月份相同的概率是必然事件，

二两个人出生月份相同的概率为1,

故答案为：1.

3.有两个一红一黄大小均匀的小正方体，每个小正方体的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.如同

时掷出这两个小正方体，将它们朝上的面的数字分别组成一个两位数.（红色数字作为十位，黄色数字作为

个位），请回答下列问题.

（1）请分别写出一个必然事件和一个不可能事件.

（2）得到的两位数可能有多少个？其中个位与十位上数字相同的有几个？

（3）任写出一组两个可能性一样大的事件.

【答案】解：（1）必然事件：组成的两位数十位与个位上的数字一定是1〜6的数字；不可能事件：组成的

两位数是10（答案不唯一）；（2）得到的两位数可能有36个；个位与十位上数字相同的有6个；（3）11与

12出现的可能性一样大.

【分析】（1）组成的数只要是十位与个位上的数字是1〜6的就是必然事件，否则是不可能事件；

（2）根据十位上出现的数字与个位上出现的数字的可能情况解答，写出十位与个位数字相同的情况即可;

（3）根据任意一个数出现的可能性相同解答.

【详解】（1）必然事件：组成的两位数十位与个位上的数字一定是1〜6的数字；

不可能事件：组成的两位数是10（答案不唯一）；

（2）十位数字有1〜6共6种可能，

个位数字有1〜6共6种可能，

•".6x6=36,

得到的两位数可能有36个；

个位与十位上数字相同的有11、22、33、44、55、66共6个；

（3）11与12出现的可能性一样大.

【点睛】本题考查了正方体相对面上的文字问题，随机事件与可能性的大小的计算，是基础题，比较简单.

题型六根据概率公式计算概率

1.毕业典礼上，甲、乙、丙三人合影留念，3人随机站成一排，那么甲和丙位置不相邻的概率（）

A.--B.—C.—D.—

2346

【答案】B

【分析】本题考查了概率公式计算和画树状图或列表求概率，根据题意画出树状图得出所有等情况数和甲

和丙位置不相邻的情况数，然后根据概率公式即可得出答案.准确的画出树状图是关键.

【详解】解：根据题意画图如下：

开始

共有6种可能情况数，其中甲和丙位置不相邻的有2种，

21

故甲和丙位置不相邻的概率为工=二

o3

故选：B.

2.某校即将举行田径运动会，小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择一项参赛，则他

选择“100米”项目的概率是（）.

A1CD

-2B-i-I-A

【答案】B

【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意直接根据概率公式，即可求解.

【详解】解：四个项目中，随机选择一项参赛，则他选择“100米”项目的概率是1，

故选：B.

3.数学社团同时开展“摸球”“掷骰子”和“抛硬币''三项活动，小明与小丽各随机参加一项，两人恰好选择同

一项活动的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

9939

【答案】C

【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率.首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等

可能的结果以及小明与小丽恰好选择同一项活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

【详解】解：把“摸球”“掷骰子”和“抛硬币”分别记为A、B、C,

画树状图得：

•.•共有9种等可能的结果，小明与小丽恰好选择同一项活动的有3种情况,

3|

.•.小明与小丽恰好选择同一项活动的概率为：-=

故选：C.

巩固训练

1.某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是48,36,24；后轴上有四个齿轮，齿数分别是

32,24,16,12.当链条卡在主动轴上的齿轮齿数大于卡在后轴上的齿轮齿数时，自行车处于加速状态.随意

变换链条卡在主动轴和后轴的不同齿轮上，则自行车处于加速状态的概率是（）

1235

A."B.-C.—D.一

2346

【答案】D

【分析】本题考查了简单的概率计算，由概率公式求解即可，得出所有等可能的结果"，再从中选出符合事

件A或8的结果数目加，然后利用概率公式计算事件A或事件8的概率.

【详解】解：由题意可知，主动轴上有三个齿轮，齿数分别是48,36,24；后轴上有四个齿轮，齿数分别是

32,24,16,12,

在主动轴与后轴的不同齿轮上变换一共有3*4=12种情况，而自行车处于加速状态的有10种，

自行车处于加速状态的概率=萼="

126

故选：D.

2.随着科学技术的不断发展，某地探讨并建成两个水果种植基地A和B,为了让农民快速致富，聘请了农

科院的四位专家每两人一组分别去A和2基地现场指导，这四位专家分别为王专家、李专家、刘专家和杨

专家，该地为了公平、公正，采用抽签的方式随机让两位专家去对应的水果种植基地，由此可知，王专家

和李专家分成一组去A基地的概率是

【答案】|

O

【分析】本题主要考查概率公式，把王专家、李专家、刘专家和杨专家分别记为甲乙丙丁，画树状图，再

计算王专家和李专家分成一组去A基地的概率即可，

【详解】解：把王专家、李专家、刘专家和杨专家分别记为甲乙丙丁，画树状图如下：

开始

/甲K/乙K/丙N/丁N

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

公有12种等可能的结果，其中王专家和李专家分成一组去A基地的结果有2种

所以，王专家和李专家分成一组时的概率为2+12=」；

6

故答案为：—.

6

3.一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀.

⑴从中任意摸出1个球；

①判断摸到什么颜色的球可能性最大？

②求摸到黄颜色的球的概率；

(2)如果把白球拿出来，将剩下的5个球摇匀，从中任意摸出2个球，求摸到2个都是黄颜色球的概率.

【答案】⑴①红；②g

【分析】本题考查了可能性大小的判断、概率公式的计算、画树状图求概率，熟练掌握概率公式的计算、

画树状图求概率是解题的关键.

(1)①哪种球的数量最多，摸到哪种球的概率就最大，得出答案即可；②利用概率公式计算即可；

(2)根据题意画出树状图，求概率即可.

【详解】(1)解：①二•一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，

.♦•红球的数量最多,

•••摸到红颜色的球可能性最大;

②•••一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀,

，摸到黄颜色的球的概率=2房与三1；

(2)解：如图，画树状图，

开始

黄黄红红红

/yK

黄红红红黄红红红黄黄红红黄黄红红黄黄红红

共有20个等可能的结果，摸到2个都是黄颜色球的结果有2个,

，摸到2个都是黄颜色球的概率=二=3.

题型七根据概率判断

1.已知地球的表面陆地与海洋面积的比约为3:7,如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则()

A.落在陆地上的可能性大B.落在陆地和海洋的可能性大小一样

C.落在海洋的可能性大D.这种事件不能判定

【答案】C

【分析】分别求出陨石落在地球的表面陆地和落在海洋的概率，判断即可.

【详解】解：,••地球的表面陆地与海洋面积的比约为3:7,

3377

宇宙中飞来一块陨石落在地球的表面陆地的概率为.=—；落在海洋的概率为彳■=—;

••二＞上

,1010，

...落在海洋的可能性大;

故选C.

【点睛】本题考查几何概率，利用概率判断可能性大小.解题的关键是掌握几何概率的计算方法，求出概

率.

2.用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（）

A.摸到黄球的概率是g,摸到红球的概率是3

B.摸到黄球的概率是彳2，摸到红球、白球的概率都是21

C.摸到黄球、红球、白球的概率是:

D.摸到黄球的概率是:，摸到红球的概率是:，摸到白球的概率是