河北省某中学2024-2025学年高三年级上册期中考试数学试题（含答案解析）

河北省正定中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

学校:..姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.已知集合人=卜卜一[<1},2=卜卜一向>2},若AB=B,则机的范围（）

A.[-2,4]B.(-00,-2]U[4,+oo)

C.[0,2]D.(^o,0]u[2,+oo)

2.已知复数z=（"。W），则三的虚部为（）

i4-i

A.-1B.1C.-2D.2

3.已知等差数列{%}中，前100项和doo=10100,则。5。+%的值为（）

A.100B.101C.200D.202

已知函数十）=[?2，+3!，龙之2,若/⑷+〃_耳=29,则正实数〃的值为（

4.)

A.1B.逗C.5D.6

2

5.如图，在四棱锥月-ABCD中，底面ABC。为矩形，24,平面ABC。，E,F分别为PB,BC

的中点，则AF1QE的一个充要条件为（）

A.PA=ABB.PF±BD

C.AB=ADD.AB=42AD

6.已知关于x的方程卜2-27以卜/+4有三个不相等的实数根，则实数机的取值范围为（）

A.2-\/2,2>/2jB.—2-\/2+ooj

C.(-2,2)D.(TO,-2)D(2,+8)

7.已知函数〃x）=6sin<yx-coso尤-夜（0>0）在［0,可上恰有2个零点，则。的范围为（

-、(

—7—29—7—29

A.，B.

_1212>

-1129、

C.D.1125

」212）_12，12

8.定理：如果函数〃尤）及g（x）满足：①图象在闭区间［。回上连续不断；②在开区间（。力）

“与一/⑷/'(c)

内可导；③对Vxe（a,b）,g'（x）wO,那么在（。力）内至少有一点c,满足

g(6)-g(a)g'(c)

成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知了（到二2，若存在正数

A

a,b（a#b）,满足f（6）=21n：+则实数彳的取值范围为（）

二、多选题

9.已知。>b>O,m>O,〃eN*,下列说法正确的是（）

I—/—a+tna

A.yJam>>JbmB.------->—

b+mb

C.d+°3>（a+b）D.6>1时，a"+—>b+—

4a'b

10.已知等比数列｛4｝中（〃eN*）,其公比为4,前〃项和为S“，则下列选项正确的是（）

A.若数列｛4｝为递增数列，则一定有4>0

B.若％<%,则数列｛q｝为递增数列

C.若%=3",数歹！J7_孕_八的前〃项和恒成立

D.5”，星”一5“，53,一$20一定成等比数列

11.如图，在棱长为2的正方体ABC。-ABCQI中，点耳尸分别在线段CD,3C上运动，且

EF=1,则下列说法正确的是（）

试卷第2页，共4页

A.AA｛VEF

B.三棱锥E-3C尸体积最大值为:

c.AE.AF的最小值为6

D.存在点注尸，使得AELEF

三、填空题

12.平面向量a,b＞两足2闷=忖，a_Lb，右a+6+c=0,则cos(a,c)=.

13.在平面直角坐标系中，已知4(3,4),圆C:d+y2=],设点过点尸的直线/与

圆C切于点8,且|抬=|尸3],则1PAi长度的最小值是.

14.已知定义在R上的函数”21)关于g,oj对称.〃-2)=0,且当x>0时,

3/(x)-x-r(x)<0,则不等式#(》一1)>0的解集为.

四、解答题

15.已知等差数列｛风｝中，其前凡项和为S”S9=45，d9=190.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵若数列同满足2=5",求数列片的前"项和却

16.在VABC中,角A,民C所对的边为a,b,c且满足asinAcosC=(g^-asinC)cosA.

⑴求A；

⑵当。=2时，求BC边上中线AO的范围.

17.如图，在四棱锥尸—ABCD中，PD±DA,CD±AD,AB^AD,PD=AD=2,

CD=也AB=2A/2,PB=4.

⑴证明：AC_L平面尸B£＞；

(2)求平面PAC与平面PBC的夹角.

18.已知函数〃x)=xex-〃zx+2的图象在处的切线与直线x+(2e-l)y=0垂直.

⑴求机的值，并讨论函数“X)的单调性；

(2)若不等式/'(力2诉cosx恒成立，求实数”的取值范围.

19.我们在研究非整数时，有时需要用到与它最接近的整数，比如与4.6最接近的整数是5,

与7.4最接近的整数是7.已知〃eN*,请回答以下问题：

(D若瑞是与g最接近的整数，求々024；

⑵若凡是与最接近的整数，形5时，数列卜勺第5项到第〃项和为工，求心。；

(3)设久是与日最接近的整数，g是与⑨最接近的整数.记的前〃项和为T”，的

前〃项和为此，请比较写期与4。24的大小，并说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BCDCCBCAACDAC

题号11

答案ABD

1.B

【分析】先求出集合A,3,再由A3=3知由此可得-2+〃业2或2+m40,解不

等式即可得出答案.

【详解】由忖-1|<1可得：0<x<2,

由可得：x<-2+〃z或x>2+〃z,

所以A=1x|0<x<2｝,B=｛尤>2+m或％<-2+相｝,

因为AB=B,所以A=

所以一2+mN2或2+机«0,解得：m>4^cm<-2,

则根的范围为(-00,-2］口［4,+<»).

故选：B.

2.C

【分析】根据复数的除法运算法则，计算出复数z的值，然后求出复数z的共轨复数口最

后写出)的虚部即可.

(l+i)(l-i2)2(l+i)2(l+i)(l+i)

【详解】

4

一i-i-1-i(l-i)(l+i)'

所以z=-2i，所以z的虚部为-2.

故选：C

3.D

【分析】利用等差数列的性质可求。50+%的值

【详解】因为工。。=啰y詈^=50(%+%)=10100，故％。+%=202,

故选：D.

4.C

【分析】就。22、0<。<2分类计算后可得方程的解.

答案第1页，共15页

【详解】因为4>0,故/（一。）=。2+1,

而当时，有〃<7）=log2（a+3）,故log?（a+3）+/+1=29,

故log2（a+3）+/=28,而8（<7）=1082（4+3）+/在[2,+00）为增函数,

且g（5）=28,故a=5,

若0<a<2,则44）=〃+1,故2（/+1）=29,而2（£+1）<10,

故2（"+1）=29在（0,2）上无解，

故/（。）+/（-。）=29的正实数解为。=5,

故选：C.

5.C

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,利用数量积探求充要条件为=和

【详解】因为R4,平面ABCD且底面ABCD为矩形，故可建立如图所示的空间直角坐标系，

FC

则4（0,0,0）,^\AB\=2a,|AZ）|=2/?,|PA|=m,

则3（2。,0,0）$（0,0,〃?）,。（0,力,0）,则“区0,3）,F（2a,b,0）,

故AF=（2a,40）,£）£=[q,-2b,万），

AFLDE的充要条件为A尸•DE=0即：

AF1QE的充要条件为2/-2〃=o即：

AFIDE的充要条件为。=6,即AF1DE的充要条件为AB=A£>,

故C正确，D错误；

PA=AB即2a=机，此时得不到2a=26,故A错误；

对于B,PF=(2a,b,—m),BD=(—2a,2b,0),

若PF1.BD,则尸尸.50=0即4/=2廿即亿=入

答案第2页，共15页

由A的分析可得AF1DE的充要条件为不是故B错误;

综上，选C.

故选：C

6.B

【分析】分〃2=0，%＞0和帆＜0,将题意转化为--2例-必-4=0有三个零点，将函数

写成分段函数，求解即可.

【详解】当m=0时，则关于x的方程/=/+4,不成立，故加中0,

当相＞0时，关于尤的方程*-2时=x」+4,所以卜2一2同一*2-4=0,

-2mx-4,xe(-oo,0]<j[2m,+a?)

令尸(x)=N-2词-r-4=

2mx-2x2-4,xe(0,2m)

要使方程--2时=炉+4有三个不相等的实数根，

则xe（-8,0]u[2/%+oo）,F（x）=-2mx-4-4]口1，+＜»）有一个零点,

xG(0,2m),F(x)=2mx-2x2-4=-2+巴-4必有两个零点,

2

F（0）＜0-4＜0

所以〈尸（2加）＜0,则＜4/-8/-4＜0,解得：m＞20,

同理，当机＜0时，可得利＜-20，

综上：实数机的取值范围为：-2亚卜（2行,+勾.

故选：B.

7.C

7T

【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由X的范围求出。尤-当的范围，结合函数图像确

G)>0

3兀,n9兀，解不等式即可.

——<con——<——

64

【详角星】因为/(x)=^sinGX—cos啰x—点=2sin2-虚3>°),

令〃元)=0,即2sin--5/2=0,2sinCDX——=母;

答案第3页，共15页

7T7171

又因为工式。,兀],所以。X-方—,。兀----

66

A71,兀兀

令3X__71=t,有］£——,6971——,则问题转化为2sin，=0，如图所示,

666

尸2sin，

O

司>

6：/43兀971

4TT

因为函数“X)在[0,可上恰有2个零点，所以詈f安,

①>0

即用11,29

所以3兀，兀9兀，解付—Wx<—.

---<COTI-----<----1212

1464

故选：C.

8.A

【分析】令g(x)=lnx,由柯西中值定理可知：那么在(。力)内至少有一点。，满足

/0)一小)「(c)=4,令尸。)=午^,

对FQ)求导，求出尸0)的值域，即可得出答案.

g(6)—g(。)g'(c)g

【详解】由〃6)=21n2+"a)可得：⑷*

Qlnb-\na

人/、1scri"STS)于(%-于(a)

令g(x)=lnx,所以1也-=g㈤一g(「

/\—/'(c)

由柯西中值定理可知：那么在。，“内至少有一点C,满足7;=%成立,

g[b)-g[a)g(c)

丫2x2xex-x2ex2x-x2i

因为/(x)=三，g(x)=lnx,所以/(z尤)=-py—=-^一,g'(x)=~,

2x-x2

所以令外司=乌?=3^-x2(2-x)

g(x)1ex

X

,x>0,

e%

令厅(x)>0可得：0<兄<1或x>4,

令厂'(“<0可得：1<X<4,

答案第4页，共15页

所以F(x)在(0,1),(4,+8)上单调递增，在(1,4)上单调递减,

又尸⑴=：,F(4)=],*0)=0,

当x趋于正无穷时，F(x)趋近0,

「一321~\「321"

所以尸(x)e—,所以实数力的取值范围为-不，—•

_eeJ|_ee_

故选：A.

9.ACD

【分析】由作差法可判断ACD；举反列可判断B.

【详解】对于A,因为劭2-加=机(〃-Z?)＞0,

所以。相＞加7,yfam＞y/bm,故A正确;

对于B,取a=3,/?=l,机=1,满足根＞。，

a+m3+1-a

所以-------==2<—=3,故B错误;

b+m1+1b

。%+之

对于C,/+:3_/++33ab3a3+3b^+3ci^b+3ab^

44

22

=[+/+ab+ab)=：[4(〃+〃)+/=?(Q+b)(〃+〃)>0,

所以"+/＞号1

故c正确;

对于D,

因为。＞人＞1,所以所以〃2—。,1.....—>0,

所以储故D正确.

故选：ACD.

10.AC

【分析】利用反证法可判断A的正误，利用反例可判断BD的正误，利用裂项相消法求，后

可判断C的正误.

【详解】对于A,若4＜0,则｛%｝中各项正负交错出现，该数列不是增数列，故4＞。必成

立，

故A正确；

答案第5页，共15页

对于B,取等比数列为%=(-!)",而4=-1<%=1,但不是增数列，

故B错误；

2%_2x3〃__J______1_

对于C'+1)一(3"+1)(3向+1厂F7T3向+]'

故<=1一焉<；，故C成立；

对于D,取等比数列为q=(-1)”,则邑=$4=$6=。，

故$4-邑=$6-54=0,止匕时邑,$4-S?,$6-邑不为等比数歹!J，故D错误；

故选：AC.

11.ABD

【分析】利用线面垂直的性质可判断A,结合等积转化可判断B,取所中点并利用数量积

的运算律可判断C,利用垂直关系的转化结合零点存在定理可判断D.

【详解】

对于A,因为AA_L平面ABC",而EFu平面ABC。，故AA_LE/"

故A成立;

对于B,连接用E,左色与C,则L6w=%LEb=?2xS£CF=：xCExW,

WCE2+CF2=1>2CExCF,i^CExCF<-,

2

当且仅当CE=CB=正等号成立，故CExCF的最大值为二,

22

故％的最大值!，故B正确；

对于C,设EF的中点为连接AM,CM,AC,

—2-------21

-ME=AM——

4

答案第6页，共15页

而CM」，［fuAM>AC-CM=2A/2--,

22

当且仅当A,M,C共线时等号成立，故AE.A尸的最小值为上血--1=8-272,

故C错误;

对于D,若AELEP,由A可得的尸，而AEc44,=4,

AEA4,u平面AEA,故EF_L平面AEA,而E4u平面4班,

DEFLEA,设Z>E=X,1<X<2,故CE=2-X,

因/ZME+/DE4=90。，/DEA+NCEF=90°,故/DAE=NCEF,

故tanZ.DAE=tanZCEF,故二=

2

设S(X)=X(2T)-2/一(2-s(l)=l>0,而«|卜：一24=|一6<0,

故s（x）在（1,2）有解，即存在瓦歹使得AELEP,故D正确；

故选；ABD.

【点睛】思路点睛：空间中点的存在性问题，可以根据几何关系得到相应的方程，从而把存

在性问题转化为方程解的存在性问题，后来可利用零点存在定理来处理.

12.一旦-上小

55

【分析】求出|c|和人"后利用向量的夹角公式可求余弦值。

【详解】因为所以入6=0，

由题设有。=一（。+6）,故”=一）一。力=—/,

而出炉不风，故侬亿。二卷

故答案为：-叵

5

13.—/2.4

5

【分析】由|融=|尸石求出点p在直线3x+4y-13=0上，|%|长度的最小值为A（3,4）到直

线3x+4y-13=0的距离，求解即可.

答案第7页，共15页

【详解】圆C：尤2+丁=1的圆心为C(0,0),

=\PBf=\pcf-\CBf=\pcf-1,

因为P(x,y),所以(x-3)2+(y-4)2=/+9一1,

化简可得：3x+4y—13=0,

即点尸在直线3尤+4>-13=0上，

所以|总长度的最小值为4(3,4)到直线3彳+与-13=0的距离：

,19+16-13112

d=J———!■=——

A/32+425-

14.（f-（0,1）（（3什）

【分析】令g(x)=/?,可判断g(x)在(F,0)5°，+⑹为偶函数且g(x)在(。，+。)为增函

数，讨论该函数的符号后可求#(x-l)>o的解.

【详解】因为“21)关于[加对称，故〃2x-1)+扛2(1)-1]=0,

^/(2x-l)+/(l-2x)=0,故/(r)=一/(功,故〃x)为奇函数,

设g(x)=与，则g，(x)=/'a)j3"x)>0,其中x>0,

故g(X)在(0,+力)为增函数，而g(-%)="：)=g(X)，

故g(元)在(-co,0)u(0,+oo)为偶函数，故g(尤)在(-8,0)为增函数,

而g(一2)="^=0,

—O

故当一2<％<2,%。。时，g(x)<0；

答案第8页，共15页

当%v-2或x>2时，g(x)>0,

故当一2vO或x>2时，/(x)>0,当0<x<2或Xv-2时，/(%)<0,

/、fx>0fx<0

而#(1)>。等价于或

当1>0时，一2<九一1<0或无一1>2时，故0<x<l或%>3；

当兀<0时，0<%—1<2或%—1<一2,故

故#卜-1)>0的解集为(-00,-1)3°』)。(3,+00).

故答案为：(-<»,-1)u(0,1)u(3,+<»).

【点睛】思路点睛：函数不等式的求解问题，应该根据原函数与导函数的关系式构建新函数,

构建时结合导数的运算规则.

15.(1)«„=«

ya.+joa=46

【分析】(1)由题意可得方程(二inn，解方程求出4=11=1,即可求出等差数

[19%+17Id=190

列的通项公式；

(2)子=三，利用错位相减法即可得解.

【详解】(1)设等差数列的首项和公差分别为4，1,

9q+36d=45

因为S9=45,九=190,所以

19%+1712=190

解得：％=l,d=l,所以4=q+（〃一l）d=几.

gn

(2)因为2=5",%=n，所以肃=三,

匚丁123n-1n.

所以r~rH-7H—r+H~rH（ZI1）

〃5152535〃T5〃

.II23n-ln小

5n5253545〃5〃+i

（I、）-⑵、侍,口：b4T=l丁i/+系I++方I一n产=［二+不I+手I++yIj-^n

答案第9页，共15页

11/1丫

化简得:

5"1一,5向41{5)\5"+14(5)145)

5一

所以T.晨113)

71

16.(1)-

3

(2)(1,73]

【分析】(1)根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦公式化简求解.

(2)利用余弦定理，结合基本不等式求出税的范围，再利用向量数量积的运算律求出范围.

【详解】(1)在VABC中，由asinAcosC=(而?-asinC)cosA及正弦定理,

得sinAsinAcosC=(A/3sinB-sinAsinC)cosA,

贝!JsinA(sinAcosC+cosAsinC)=^cosAsinB,即sinAsin(A+C)=A/3COSAsinB,

于是sinAsin5=\/5cosAsinB,而ABEQH),COSAsinB0,则tanA二百，

jr

所以A=*

(2)由(1)及余弦定理，^4=a2=b2+c2-2bccos^=b2+c2-bc>bc,

当且仅当6=c时取等号，

因止匕〃+/=4+6c,0<bcV4,由AD为BC边上中线，得A£>=：(AB+AC),

则|皿」J(AB+AC¥=~b2+C2+2Z?CCOS-=-y/b2+c2+bc=-j4+26ce(1,®

22Y322

所以5c边上中线AD的范围是(1,百］.

17.(1)证明见解析

【分析】(1)建系标点，由数量积的定义证得AC，。民AC再由线面垂直的判定定

理即可证明；

(2)分别为求平面PAC、平面PBC的法向量，利用空间向量求二面角.

【详解】(1)因为AB_LAD,所以SD=AMB2+AT>2=龙*=25

因为阳2+。32=形2,所以尸又因为PDLD4,

答案第10页，共15页

ZM,O8u平面ABC。，又因为ZMcZ）3=。，

所以PD_L平面ABC。，又因为CD_LAD,

以。为坐标原点，小,。（7,。尸分别为％%2轴，建立空间直角坐标系,

所以£>（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,a,0）,8（2,2加,0）,P（0,0,2）,

AC=（-2,A/2,0）,£>B=（2,2V2,0）,£>P=（0,0,2）,

AC-DB=-4+4=0,AC-DP=0,

所以AC_L03,AC_LOP,

旦DB?DPD,。氏DPu平面P3£）,可得AC_L平面PB£）,

⑵可得痴=（2,0,-2）,PC=（0,72,-2）,BC=（-2,-72,0）

%•BC=-2xx—④y1=0

设平面PBC的法向量为五=（xi，yi，zj,贝卜

勺-PC=0yi-2Z]=0

令玉=1,则％=-右，4=一1,可得々=（1,一0,-1）；

n-PA=2X-2Z=0

设平面PAC的法向量为巧=（X2，%，Z2），则＜222

Z

n2-PC=—22=0

令%=，则％2=1*2=1,可得几2=（1,1）;

a”1-2-1_-2_1

则cos%,〃2=|||2x2-T-_2,

由题意可知：平面PAC与平面尸5C的平面角为锐角,

所以平面PAC与平面PBC的夹角为三.

18.（l）m=l,的减区间为（-8的）,增区间为（0,+8）.

（2）—1口41

答案第11页，共15页

【分析】(1)求出函数的导数和切线的斜率后可求〃2=1,判断出导数的符号后可得函数的

单调性；

(2)先利用特值法判断出TWaVI,再利用常见的函数不等式和导数证明当-IV。VI时不

等式恒成立.

【详解】(1)_f(x)=(x+l)e，-m,故尸(l)=2e-〃z,

而切线与直线尤+(2e-l)y=0,故切线的斜率为2e-l,故根=1,

故/''(x)=(x+l)e"—1,设s(x)=(x+l)e”一1,贝I]s'(x)=(x+2)e",

故当x<-2时，s'(x)<0,故s(x)在(-%-2)上为减函数且s(x)<0恒成立，

当%>-2时，s'(x)>0,故s(x)在(-2,+oo)上为增函数,

而s(0)=0,故当一2Vx<0时，s(x)<0,

当x>0时，5(x)>0,故当x<0时，s(x)<0,

故〃尤)的减区间为(-8,0),增区间为(0,+8).

(2)设s(x)=e2-L无>0,

则s，(iY=—=忆丝旦

22r

L尤2尤2e2xX2e2xXe

设“(x)=e*-0x,则M(x)=e*-夜，

当O<x<ln0时，〃'(尤)<0,当x>ln应时，〃'(尤)>。，

故在(O/n0)上单调递减，在卜n起,+00)上单调递增，

故”(x)mm=8,应_01n0=0(l_gln2]>O,

故e*>0x在(。，+°°)上恒成立，故s'(x)>。，故s(x)在(。,+8)上为增函数，

又当1>0时，户〉2母X，故s(X)=。一2"一：v2Ax_：<0恒成立.

故」7-L<0(x>0)恒成立且当xf+8时，(★).

exex

又/(x)Notcosx即为xe,—尤+22oxcosx,

取尤=-2kn,左eN*,贝I]—2防出一麻+2lat+2>a(-2far),

答案第12页，共15页

故Q2—l+e~2kn---对任意的左£N*T旦成立即a+—-,

kue依ku

当左f+oo时，由(★)可得〃+1之0即.

取％=—24兀+兀,左£N,贝ij(―2fai+ji)e2®+"+2E—兀+2之一a(—2E+71),

1?

故QVI--^+―----对任意的左6N*恒成立，

e2Ax-n2kn-7i

a-l<—^_______

故一2桁-兀2*平对任意的左wN*恒成立，

2e

,-----------1>Q一」,----------------...>，o

由(★)可得2%兀一兀2x2far-K恒成立且当左f+00时，2kli—Tl2x弛T,

2e22e2

故4一14。，

综上，-1<6Z<1,

下证当一1«〃41时，—％+2Aoxcosx怛成立.

2

证明：当％>0时，要证xe"—x+22以cos%,即证：ex-l+->tzcosx,

x

即证：ex-l+-2>l,即证e“—2+2*之0,

xx

而e-x+l,故e，-2+2zx+2-lN2忘-1>0,

XX

故%>0时，xex一1