广西壮族自治区2024-2025学年高三年级上册12月模拟考试数学试题

广西壮族自治区名校2024-2025学年高三上学期12月模拟考

试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.复数彳=cos坞isin—,则在复平面内Z对应的点位于（）

55

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.已知1石为单位向量，且“在6上的投影向量为;则囚-B卜（）

A.2B.3C.2历D.2道

3.某次数学考试后，为了分析学生的学习情况，从该年级数学成绩中随机抽取一个容量为

〃的样本，整理得到的频率分布直方图如图所示，已知成绩在（50,60］范围内的人数为60，

则下列说法正确的是（）

A.〃的值为200

B.这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为85%

C.估计学生成绩的第75百分位数为80分

试卷第11页，共33页

D.总体分布在（50,60］的频数与总体分布在（80,90］的频数相等

4.函数〃耳=片匚一在区间［T3］上的图象大致是（）

x—2x+2

5.已知直线4：2工+°2^_1=0与直线4：3办-了+9=0，贝U"a=6"是乙_L的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

6.已知双曲线比［一,=ig>0,6>0）的左、右焦点分别为用耳，过点片的直线,交"的

左支于A,3两点.3HM（。为坐标原点），点。到直线’的距离为匕，则该双曲线

2

的离心率为（）

A.血B.6C,亚D,巫

2

7.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形

构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所

成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、

正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切

球的表面积的比为（）

试卷第21页，共33页

A-gB.2月C.3«D.3

8.已知若函数/(x)=(x-、(e-)20,则的最小值为()

b

1e

A.-B.1C.D.3

e

二、多选题

9.设函数/(X)=/COS(S+W(/R0M>0,0对”的图象关于直线方兰对称，它的最

小正周期是兀，则以下结论正确的是()

A.的图象过点］,_£|

B.7(x)在「巴，女］上是减函数

_63_

C./(x)的最大值与A的取值有关

D./(尤)的一个对称中心是卜

10.已知函数/(工)=工3一3办+i，则()

试卷第31页，共33页

A.必有两个极值点

B-存在实数不使得了'（%）=〃％）

C点（0,1）是曲线y=〃x）的对称中心

D.若曲线V=有两条过点（2，1）的切线，贝/二°或3

3

11.法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，被称为“画法几何”创始人

“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中

22

心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆£：.+条=1（。>6>0）的蒙日圆为

C-.x2+y2=-a2,过圆。上的动点初作椭圆E的两条切线，交圆,于尸'。两点，直线

3

交椭圆£于48两点，则下列结论正确的是（）

A.椭圆"的离心率为Y6

3

（忖EDA,DBAB

B.若点01，7在椭圆上，且直线的斜率之和为0,则直线的斜率为

\7

46

~6~

C.点M到椭圆"的左焦点的距离的最小值为

3

D.AMPQ面积的最大值为

试卷第41页，共33页

三、填空题

12.已知尸(九5)是角&=比终边上的一个点，将°。绕原点。顺时针旋转生至贝U

63

点Q的坐标为-----

13.已知等差数列｛氏｝的前〃项和是s“,Sg>O,Sg<0，则数列｛/｝中最小的项为第项.

14.箱子里有大小相同的4种点数不同的纸牌各若干张，每次从中摸出4张纸牌为一组，

其中摸出恰有3种点数组合纸牌的不同取法为种：若要保证至少有2组纸牌的点数组

合是一样的，则至少要摸出____组纸牌.(两空均用数字作答)

四、解答题

15.在锐角V48c中，内角对边分别为a,6,c，己知26cos/cos_8)+aosC-QcA=

(1)求3；

⑵求cos/-cose的取值范围•

16.为了调查某校学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问

卷调查，得到如下的2x2列联表:

喜欢跑步不喜欢跑步合计

女生a90120

男生b55k

合计m145200

(1)计算a,6,加，后的值，并依据小概率值夕=0.100的/独立性检验，判断性别与喜欢跑步是

否有关？

(2)从上述的200名学生中按性别比例用分层抽样的方法抽取10名学生，再在这10人中抽

试卷第51页，共33页

取3人调查其是否喜欢跑步，用y表示3人中女生的人数，求丫的分布列及数学期望.

A.A.

2

附：%2n（ad-be）

（Q+b）（c+d）（Q+c）（6+d）

a0.1000.0500.0100.001

X

z2.7063.8416.63510.828

17.如图，在正三棱柱/80_4用5中，侧棱与底面边长均为2,点凡尸分别为/c,Cq的

B

(1)求证：耳,£),瓦厂四点共面；

(2)求直线/4与平面DEF所成角的正弦值.

18.已知点4(2,1)在抛物线C:/=2加(0>0)上，按照如下方法依次构造点

虫〃=2,3,4,…)，过点只一作斜率为」的直线与抛物线,交于另一点2一，作点2T关于

2

y轴的对称点月，记勺的坐标为(斗,匕)

(1)求抛物线c的方程；

试卷第61页，共33页

n1

(2)求数列｛%，｝的通项公式，并求数列,的前项和

〔斗+尤

⑶求心上,月式，*)的面积.

19.给出下列两个定义：I.对于函数了=/卜)，定义域为。，且其在。上是可导的，若其

导函数定义域也为。，则称该函数是“同定义函数”JL对于一个“同定义函数"夕=/G),

若有以下性质：①/<x)=g(/(x))；②=其中y=g(x),y=/z(尤)为两个新

的函数，y=/(X)是V="X)的导函数.我们将具有其中一个性质的函数y=称之为

“单向导函数”，将两个性质都具有的函数y=/(x)称之为“双向导函数"，将y=g(x)

称之为“自导函数”.

(1)判断函数”x)=2,和v(x)=lgx是“单向导函数”，或者“双向导函数”，并说明理由.

如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；

(i)若的“自导函数”是〉=T，试求。的取值范围；

(ii)若且定义/(x)=/(x)-sinr-丘，对任意工，：］，不等式“力、°恒成立,

求上的取值范围.

试卷第71页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案CCCBADDBACDBCD

题号11

答案AB

1.C

【分析】利用诱导公式及共物复数的定义得到2=-cos'^isin—,再根据复数的几何意义

55

判断即可.

【详解】因为N=cos—^bisin—,所以2=cos/is由邙■cos—=isin---

55V5j555

71八（兀兀.）

cos—>0-cos—,-sin—

5,所以在复平面内对应的点I5”,位于第三象限.

因为V

.71八

sin—>0

5

故选：C

2.C

【分析】利用平面向量的数量积及投影向量即可求出两个向量的夹角，再利用向量的模长

公式即可得到结果.

a与b01-1blr.nl

【详解】设的夹角为，由题意得坪°s。Q冏=《，…cconsse一=口

所以(3a—=9〃~-6a石+片=9-6xg+l=8,小力卜2亚

故选：C

3.C

【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，求出°的值，再结合

频率分布直方图一一判断即可.

【详解】•1-(0.005+0.010+2tz+0.025+0.030)x10=1'解得a=0.015.

答案第11页，共22页

所以成绩在（50,60］范围内的频率为0.015x10=0.15，二〃=60+0.15=400人，故A错误；

•■•1-（0.005+0,015）x10=0.8,所以这次考试的及格率（60分及以上为及格）约为80%,故B

错误；

成绩在［40,80］的频率为（0.005+0.015+0.03+0,025）x10=0.75'

所以估计学生成绩的第75百分位数为80分，故C正确；

样本分布在（50,60］的频数与样本分布在（80,90］的频数相等，

但总体分布在（50,60］的频数与总体分布在（80,90］的频数不一定相等，故D错误.

故选：C

4.B

【分析】由/（2+x）+/（-x）=0可得"X）的图象关于点0,0）的中心对称，即可排除C、D,

再由/（3）的值排除A.

【详解】因为"x）=2*-2二2（x7）,xe［-l,3］,

{'/-2尤+2（I）?+i

所以〃2+、）+/一）=高上+$3=。，

所以/（X）的图象关于点（1,0）的中心对称，故排除c,D,

6-24

又/（3）=（3d+广产,故排除A.

故选：B

5.A

【分析】根据两直线垂直求出参数°的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】因为直线4:2x+a2y-\=0与直线+9=0，

答案第21页，共22页

1/2>贝U2x3a+(-l)xa2=0，解得。=0或。=6，

所以“a=6”是"4_L/?”的充分不必要条件.

故选：A

6.D

【分析】令双曲线E的半焦距为c,取片B的中点。，连接0。、F2B，即可得到

BF2//OD,从而得到忸£[=3a，BF?LBF/再由双曲线的定义求出⑶同，最后由勾股定理

及离心率公式计算可得.

【详解】令双曲线£的半焦距为c,取形的中点O,连接0。，由|0同=|。片|，

得。8居B,则皿=〃=久连接时由。为时的中点，得阴〃”

所以忸鸟|=2d=3a，BF21BF^\FtB\=\BF2\-2aa'

因此忸居「+忸=E凡广gP(3a)2+a2=(2c)2>整理得5a?=2c?,

所以离心率e，

7.D

【分析】对于正八面体，需要找出其外接球半径和内切球半径的关系，再根据球的表面积

公式S=4兀/，来计算表面积的比.

答案第31页，共22页

【详解】设正八面体的棱长为。，正八面体的中心到顶点的距离就是外接球半径R,

:=£中心到面的距离就是内切球半径r,

2，

正八面体的体积T”喈叩纾

V=—xr=—x8x|—xaxaxsin60°|r=—―a3'解得r=—―a

3表3（2）36

S=4"2V

根据球的表面积公式,外接球表面积E=4兀箴为r—a=a2,

屉2〃2

内切球表面积S2=4万一=4万—a=—a

673

H_2jia2_

则外接球与内切球表面积之比=耳；=3

1"。

故选：D

8.B

【分析】由函数/(x)=(工一4卜”―人"(P幕价于(x_Q)(x_lnb)20即

x2—(a+lnb)x+Qln620在R上怛成乂，由A%可得。=ln6，再分析函数

g(»=lnb+±优＞0)的单调性，即可求出a+工的最小值.

bb

【详解】函数/(x)=(x-a乂e"-b)N(P等价于(x-a)(x-lnb)20，

即x2-(a+in6)x+alnbN0在R上恒成立，

答案第41页，共22页

即△屉(a+4卵-ab\n{a-Ob)2<,L。.则a+Lg",

bb

令g(b)=lnb+：,(6>0),对其求导得g，(6)=：-;=纥L(b>0),

当0<6<1,・.4伍)<0,."仅)在(0,1)上单调递减，当6>1,・.曾修)>0,.・名他)在(1,+8)单调

递增，

所以=(g(叽「g(i)=i

X^/min

故选：B

9.ACD

【分析】根据函数的最小正周期求出°,再根据函数的对称性求出0,即可得到函数解析

式，再根据余弦函数的性质一一分析即可.

【详解】：函数/(X)=NCOS(S+0)QNO,0>O,OW3<的最小正周期是兀，二@=兀，

(0

co=2j

又「/⑴的图象关于直线x=W对称，；.2x(苫而夕5)后eZ,."=尿吟:eZ,

3'J

又味夕<,"=g,+竽)，

;/(0)=Ncos与=-沫，；/(X)图象过W),故A正确；

,.,4的正负未知，故无法确定/(x)的单调性，故B错误；

显然的最大值与A的取值有关，故C正确；

答案第51页，共22页

・•./1制=/。。5爹=0,二「自0)是的一个对称中心，故D正确.

故选：ACD

10.BCD

【分析】求出函数的导函数，即可判断A；令/，(x)=/(x),令g(x)=x3.31-3⑪+3a+l，结

合零点存在性定理判断B；由〃_x)+〃x)=2判断C；设切点为(与，%)，利用导数的几何意

义表示出切线方程，即可得到2*-64+60=0,再令“(x)=2x3-6x2+6a，利用导数说明函数

的单调性，依题意要使"小)=0有两个解，一个极值一定为0,即可求出“的值.

【详解】对于A,因为/，(*)=3/一3”当“>0时，/，(x)=0有两个不相等实数根，所以

/(x)有两个极值点，

当建0时，/'8x®>0恒成立，所以无极值点，故A错误；

2

对于B，f'(x)=3x-3a>令/'(x)=/(x)，贝1--30%+1-3/+30=0，

令8。)=/_3--30%+30+1'g(l)=I3-3-3a+3a+1=-1<0>当、—+8时g(x)>0,

根据函数零点存在定理，存在实数与e(l,+8)使得/，(/)=/(%)，故B正确；

对于C,由/(一同+/(苫)=一/+3办+1+X3-3以+1=2,知/(x)的图象关于(0,1)中心对

称，

所以点(0,1)是曲线>=/(无)的对称中心，故c正确；

对于D,/(x)=/_3ax+l过(2,1)的切线的切点为(%,%),

切线斜率为广(与)=3君-3a>则切线方程为y-%=(3君-3a)(x-x())，

答案第61页，共22页

把点(2,1)代入可得_4+3的)=(3君-3。)(2-%o)，化简可得2焉-6君+6a=0，

^u(x)=2x3-6x2+6a»则/(%)=6——12%，令疗(%)=6/一12%=0可得X=0或X=2，

疗(X)在(_,0)和(2,+。)上大于零，所以M%)在(—8,0)和(2,+8)上单调递增，

/(x)在(0,2)上小于零，所以〃(%)在(0,2)单调递减,

要使〃(x)=0有两个解，一个极值一定为。，

若函数〃(%)=2%3_6f+6Q在极值点X=0时的函数值〃(0)=0，可得4=0，

若函数心)=2/-6/+6a在极值点X=2时的函数值〃⑵=6"8=0,可得.，，

3

所以若曲线y^fl^有两条过点22,i®的切线，则”。或3,故D正确.

3

故选：BCD

11.AB

【分析】过椭圆E的上顶点作y轴的垂线，过椭圆E的右顶点作X轴的垂线，即可得到交

点(0,6)在圆c上，从而求出离心率，即可判断A；依题意可得直线尸。经过坐标原点，则

点A,B关于原点对称，设/(再,必)，由斜率公式求出匹必、x；即可判断B；设可伉,％),

椭圆C的左焦点为尸(_°,0)，连接MF，表示出|液「再由七的范围，求出|埼|的最小值,

即可判断C；依题意可得0°为圆°的直径，则忸。上平°,再由面积公式即可判断D.

【详解】对于A,依题意，过椭圆£的上顶点作轴的垂线，过椭圆£的右顶点作x轴的

垂线，

答案第71页，共22页

则这两条垂线的交点S，»在圆。上，

所以得"口3〃，所以椭圆E的离心率£_EE_V6,

故A正确;

e2

3-a-Va-3

A22

对于B,由可知工+匕=i又过点0,诿］，所以J+京=L解得=3

2

3bzb2\b=l'

2

所以椭圆方程为土+,=1，

3

因为点可，尸,。都在圆C上，且/PMQ=90。，所以尸0为圆C的直径，

所以直线P0经过坐标原点，易得点A,3关于原点对称，

设/(“)，则)「"±1,一乂*,

后."三二rk°B=-x1-i

所以y「彗-y、-牛所以XJ1=*,

又片+3"=3,'"2,所以3广%=±号邛，故B正确;

x0

\xx

对于c,设椭圆C的左焦点为b(_c,o)，连接MR，

因为02=/-62=2/,即0="”，

33

222

所以=(%+c)-+=X；+y；+2x0C+C"=^a+2x0x^-a+^a=2a+^^~

又一手二与“,所以“2一殍(

所以则M到左焦点的距离的最小值为守a,故C不正确;

答案第81页，共22页

对于D,因为点都在圆。上，且/尸MQ=90。，所以尸0为圆。的直径，则

|P2|=2x^a2=^~Y~a,

设点M到P°的距离为"，则0＜公¥。,

所以AMPQ面积5=;陷旧4回上浮=品¥"¥"=#,故口不正确;

故选：AB

【点睛】关键点点睛：C选项关键是结合％的范围，D选项关键是推导出|POI=华a.

12.（0,-10）

【分析】设0（XJ）,首先求出tana,根据三角函数的定义即可求出力的值，再求出口可，

贝Ux=10cos(ay=lOsin^a-g)计算可得.

【详解】设°a'y）,因为tana

由正切函数定义可得tana='解得"'="8

答案第91页，共22页

,-.|Op|=^-5V3)2+52=10,

即点Q的坐标为（0,TO）.

故答案为：（o,TO）.

13.5

【分析】依题意根据等差数列求和公式得到生<0、%+%>0,1曲>卜即可得到等差

数列｛%｝为递减数列，即可求出数列｛4｝中最小的项.

【详解】•.冏:眄产

—9(75<0,S、=—~~-=4(°4+)>0,

%>0且%>W>0，：.闻>%5］，故等差数列｛（｝为递减数列，即公差为负数,

<24>g5*且0>>%，:.-a6>-a5>0,：,al>a^所以数列｛叫中最小的项是第5项.

故答案为：5.

14.

1236

【分析】先计算取出一组的类型取法数，即可确定第一空，此时最不利的情况即每种组合

各取一次，接着再取一组，就一定可以保证有2组纸牌的点数组合一样，即可确定第二空.

【详解】先计算取出一组的类型取法数,

取一组有1种点数的取法数：c；xl=4.

答案第101页，共22页

取一组有2种点数的取法数：c；x(C；+C；)=18,

取一组有3种点数的取法数：c卜C；=12，

取一组有4种点数的取法数：cb1=1，故共有4+18+12+1=35种不同的组合取法.

此时最不利的情况即每种组合各取一次，

接着再取一组，就一定可以保证有2组纸牌的点数组合一样，即所求为35+1=36种・

故答案为：12；36.

5(呜

(2)(_走叵

【分析】(1)利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出“SB，即

可得解；

(2)由(1)知cosN-cosC=cos/-cos(g"-，从而转化为关于的二角函数，求出

A的取值范围，再根据余弦函数的性质计算可得.

【详解】(1)因为2bcos/cos5)+oosC-OcA=，

所以-2bcosB+acosC+ccosA=0'

由正弦定理可行-2sinBcosB+sinZcosC+sinCcos4=0'

所以一2sin3cos3+sin(4+C)=0，即一2sin5cos3+sin3=0，

sinS>0g、［1

又，所以cosBn=—，

答案第111页，共22页

因为日(0,兀)，所以2』

=cosZ+?cos4一csin/=mcos/-4sinZ—cosf24+-^

222273

因为<

兀兀,兀兀2兀,

—</<一:.—<A+—<——

62363

即cos'-cosC的取值范围为］0

/.cosA-COSCG如叵I

16-（l）a=30'加=55，6=25，左=80'无关

9

(2)分布列见解析，期望为］

【分析】(1)根据表格直接计算，再利用卡方公式计算即可；

(2)根据分层抽样和超几何分布即可得到答案.

⑴，

【详解】a=120-90=30'm=200-145=556=55-30=25)=200-120=80

零假设为“。：性别与学生喜欢跑步无关，

2

由题意得x=2°°x(3°f5x9°yx0,940<2,706

55x145x120x80

答案第121页，共22页

依据小概率值a=0100的/独立性检验，没有充分证据认为〃。不成立,

所以判断性别与喜欢跑步无关;

（2）由题意，参与调查的200人中，女生有120人，男生有80人,

因为120:80=3:2,按性别比例分层抽样抽出1。人，则女生抽6人，男生抽4人,

从10人中随机抽取3人，则x的取值可以为01,2,3,

WO_C犯一4_1

"I"菖一而力

HXT—C©_36_3

P(^=2)=-^1=—=-

I'%1202

KC|C°201

3=弟=寸石

17.(1)证明见解析

⑵2^

10

【分析】（1）取8Q中点力，过a作于G，连接班7，GC，依次证明GC////F,

DEHHF,即可证明H,D，E,尸四点共面，最后由与eDH即可得证;

答案第131页，共22页

(2)由已知得BE工4c，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得•

【详解】(1)取8Q中点a,过b作〃G_LA8于G,连接HF，GC，

则Z>G=G3,HGI/BBJ/CF,HG=gBBi=CF,

所以四边形“GQ7是平仃四边形，...GC////F，

由亚=J_益得==DG=^AB=AD

3

又4E=EC':.DE//GC'DEIIHF'所以D，E'尸四点共面，

E，下四点共面;

(2)由已知得BE’/c，如图，以后为原点，E/为x轴，即为y轴，

建立空间直角坐标系£-中z,则1(1,0,0),4(1,0,2),8(0,右,0)，

用(0,右，2)，C(-l,0,0),.•.尸(-1,0,1),

二丽=(-1,0,1)，函=(0,行，2)，

DEFB[n=(x,y,z)n-EF=0-x+z=0

设平面的法向量为，则由‘1万.明=0'得'同+2z=0'

令y=_2g得x=z=3，；=(3,-2G,3)，

答案第141页，共22页

不(0,0,2)_—ii-AA.6V30

cosn,AA=----——4=----1=---

又

同|词2X^32+(-2V3)2+3210

设直线.与平面”即所成角为‘‘则sin”m，万，可=噜.

18.⑴­=4了

⑵%=2",3____1________]

12(〃+1)-2(〃+2)

⑶2

【分析】(1)由.2,1)代入抛物线方程，求出p，即可得解；

(2)依题意可得直线匕-©1的方程为牛=联立直线与抛物线方程，求出

X,即可得到从而数列｛%｝的通项公式，再由」_=/_=1_仕一_L］,

xn+ynn+2n2(〃n+2J

利用裂项相消法计算可得；

(3)由(2)可知:耳(2〃，*2),2+1(2”+2,("+1)2)，2+2(2”+4,("+2)2)，求出点力］到直线

pP+2的距离及火匕+，］,再由面积公式计算可得.

答案第151页，共22页

【详解】⑴因为点6(2,1)在抛物线ci=2勿上，则2?=2pxl，解得P=2,

所以抛物线C的方程f=4y；

(2)由片(2,1)可知石=2,乂=1，

因为点*'%)在抛物线C"2=4y上，贝心,邛，且“(—”)，

过？一("专)，”"2,且斜率为一的直线?⑶：尸率=一；—,

2

'x_1y(x-为-i)(x+x〃-1+2)=0

联立方程了一寸=_](X_%T),消去可得，

x2=4y

解得X=Xi或％=一2’-xn=-xn_1-2,可得为=x〃_i+2,

所以数列“〃｝是以首项为2,公差为2的等差数列，所以马=2+2(〃-1)=2〃

又U__4〃2_//.=—=4(-^7)

乂4一彳_4-芍+歹〃n2+2n2nn+2，

一〃2(32435nn+2)

=ln1__1____1_)=3_____1________

-2V2n+1n+2)~42(〃+l)2(〃+2)；

(3)由(2)可知:匕(2〃，/)，.+1(271+2,5+1)2)，一+2(2〃+4,(〃+2)2)，

直线修修+2的方程为y-〃2=^+2^(x-2n)=(n+\)(x-2n)，

2〃+4-2〃

(n+1)x-y-n2-2n=Q，

答案第161页，共22页

点%1到直线PR+2的距离为d=I2("+1)2-("+1)2_/-2〃|=]

"("+1)2+1{(“+1)2+1

⑶2+2\=^2n+4-2n)2+[(n+2)2-n2f=g+l