高中数学专项复习：放回不放回问题（解析版）

专题20放回不放回问题

例1.有编号为1,2,3的三只小球，和编号为1,2,3,4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个

盒子中，每只球的放置相互独立.

⑴求三只小球恰在两个盒子中的概率；

⑵求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率；

(3)记录至少有一只球的盒子，以X表示这些盒子编号的最大值，求EX.

【解析】⑴设“三只小球恰在两个盒子中”为事件A，则尸(A)=上余=2.

416

(2)设“恰有两个球的编号与盒子编号不同”为事件8,“三个球的编号与盒子的编号不同”为事件C,贝『至少有

两个球的编号与所在盒子编号不同”为事件：B+C,

C(l+2)9

PGB)=

64

2+C；x311

尸(C)=

4364

B与C互斥，

故尸(3+C)=P(B)+P(C)=—+—=

646416

(3)X=1,2,3,4.

1

4364

23-1

P(X=2)=-—-7

64

33

P(X=3)=_3_9_19

64

43-3337

P(X=4)=生三

64

故成XI4+2、看+3唱+4喘=群

例2.为庆祝“2017年中国长春国际马拉松赛”，某单位在庆祝晚会中进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装

有大小相同的6个小球，分别印有“长春马拉松”和“美丽长春”两种标志，摇匀后，规定参加者每次从盒中

同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀)，若抽到的两个小球都印有“长春马拉松”即可中奖，并停止抽奖，

.4

否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次.已知从盒中抽取两个小球不都是“美丽长春”标志的概率为《.

(I)求盒中印有“长春马拉松”标志的小球个数；

(II)用"表示某位嘉宾抽奖的次数，求T］的分布列和期望.

【解析】(I)设印有“美丽长春”的球有〃个，同时抽两球不都是“美丽长春”标志为事件a则同时抽取两球

都是“美丽长春”标志的概率是尸(m=冬

_4

由对立事件的概率：尸(Z)=l—P(A)=y.

即尸(力解得〃=3.

(II)由已知，两种球各三个，"可能取值分别为1,2,3,

F(??=3)=l—P("=I)—尸(〃=2)=H.

则V的分布列为

123

1416

p

52525

e、1I4,1661

所以E(ri)=ix-+sx-+sx一=一

5252525

例3.已知一个口袋中装有n个红球(〃21且〃£N*)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两

个球，若两个球颜色不同则为中奖，否则不中奖.

(I)当〃=3时，设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为x,求x的分布列；

(II)记三次摸球中(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P,当力取多少时，P最大？

C'C13

【解析】(i)当八=3时，每次摸出两个球，中奖的概率Po==三，则

2

P(X=O)=C°x

P(X=2)=C；x[j]=；P(X=3)=C；x3

1

\JJJJ.4J125

所以X的分布列为

X0123

8365427

P

125125125125

(2)设每次摸球中奖的概率为P,则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为

P=-p2-(1-p)=-3p3+3p2,0</7<1,

对于函数y=W+3/,0<%<1,y'=-9x2+6x=-3x(3x-2)

当xe'g］时，y'>0,旷=一31+3/在10,£|上单调递增，

当时，y'<°，2=一3尤3+3尤2在停，1)上单调递减，

2

故当P=§时，-3p3+3/取得最大值.

C1C12

2

V="2=-,即"一3"+2=0,解得〃=1或〃=2,

。+23

所以当"=1或2时，P最大.

例4.袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为J.现有甲、乙两人从

袋中轮流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取,……，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止.每

枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.

(1)求随机变量X的概率分布列和数学期望E(X)；

(2)求甲取到白棋的概率.

,x(l)

1

【解析】设袋中白棋共有X个，xeN：则依题意知：-^=-,•,・汽

77x6

2^1

即/一%—6=0,解之得x=3(尤=—2舍去).

(1)袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.

z八A'3zA!A*2zA；A!6

P（x=l）=/=3,P（%=2）=卡=弓,2（%=3）=》=n

z八AX3z,/A：1

P（x=4）=」^=—,P（x=5）=^-^=—.

I//35、/耳35

（注：此段4分的分配是每错1个扣1分，错到4个即不得分.）

随机变量X的概率分布列为：

X1234

5

32631

P

77353535

所以E（x）=lx—+2x—+3x—+4x—+5x—=2.

I,77353535

（2）记事件A="甲取到白棋”，则事件A包括以下三个互斥事件：

a=“甲第1次取棋时取出白棋”；

A=“甲第2次取棋时取出白棋”；

4="甲第3次取棋时取出白棋;

依题意知：P（A）='=m，P（4）=¥=*，P（A）=¥=+，

所以，甲取到白棋的概率为

P（A）=P（A+4+A）=P（A）+P（4）+P（A）O1|

例5.袋中有大小相同的3个红球和2个白球，现从袋中每次取出一个球，若取出的是红球，则放回袋中，继续

取一个球，若取出的是白球，则不放回，再从袋中取一球,直到取出两个白球或者取球5次，则停止取球，设取球次

数为X,

⑴求取球3次则停止取球的概率；

⑶求随机变量X的分布列.

32123127

【解析】(1)记“取球3次停止”为事件A,则pA=-----+---=--；

'"554544200

(2)由题意，X可能的取值为2,3,4,5,

尸M)嘘；

(75554554454442502001604000

7511

P(X=5)=1P(X=2)P(X=3)P(X=4)=4OOO

X其分布表如下：

X2345

1275492511

p

1020040004000

例6.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值

为k,当上上85时产品为一级品；当754左＜85时，产品为二级品，当704人＜75时，产品为三级品，现

用两种新配方（分别称为A配方和3配方）做实验，各生产了1。。件这种产品，

并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：（以下均视频率为概率）

4配方的频数分配表

指标值分组[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)

频数10304020

8配方的频数分配表

指标值分组[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)

频数510154030

（I）若从3配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的3配方产品中至少1件二级品”为事件C,求

事件。发生的概率尸(C);

t.k>85,

o11

(II)若两种新产品的利润率y与质量指标人满足如下关系：y=<5产,754左<85,其中一<t〈一，从长

76

〃9,70W左<75,

期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？

【解析】(I)由题意知’从3配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率为:’则没有抽中二级品的概率

为V

37

所以，P(C)=1-

64

(II)A配方立品的利润分布列为

yt5t2

P0.60.4

所以石3A=06+2产

3配方产品的利润分布列为

yt5/产

p0.70.250.05

所以石(力=0.7/+1.3产，因为卜/<g,所以E(y)A—E(y)B=:"—；|>0

所以投资A配方产品的平均利润率较大.

例7.一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.

(I)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率.

(II)若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率.

(III)若一次从袋中随机抽取3个球,记球的最大编号为X,求随机变量X的分布列.

(IV)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列.

【解析】(I)共有36=6x6种，和为6的共5种,

C11

(II)0=不|二3为抽2个球，有6的概率，

122

二C；P2(1—P)=3x三=§为所求.

(HI)X可取3,4,5,6,

C[_J_()r23

P(X=3)=PX=4*J

Cf-2O

P(X=5)=**/P(X=6)=|^

•••x的分布列为

X3456

133£

P

2020To2

(IV)p(x=l)=

NX=2)=[)+“£|+C；]£|=4

P"=3)=(+M・图啜

p(X=4)=[

3+《[{!啜

P(X=5)=

p(x=6)=:)+*)2+c；m啜.

•••x的分布列为

X123456

1719376191

P

216216216216216216

例8.从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.

(I)若抽取后又放回，抽3次.

(i)分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；

(ii)求抽到红球次数〃的数学期望及方差.

(II)若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数4的分布列.

2?1

【解析】(1)抽1次得到红球的概率为二，得白球的概率为守得黑球的概率为勺

①所以恰2次为红色球的概率为8=C；(|)2|=或

2?1?4

抽全三种颜色的概率^=(-x-x-)-A；=—

JJJJ.乙D

②〃〜8(3,：),则石77=3义|=1，£»〃=1|,

(2谬的可能取值为2,3,4,5

%=2)=柴＞PC=3)=1印.=：

1U2)

。6=4)=-，%=3)='♦寒二

10若5

即分布列为：

2345

1]_32

P

W510I

例9,已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后

不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

（1）求最后取出的是正品的概率;

（2）已知每检测一件产品需要费用1。。元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的

检测费用（单位：元），求X的分布列和数学期望

【解析】（1）最后取出的是正品对应的事件是：①3件都是正品；

②前3件里有1件次品2件正品，第4件是正品.

前3件都是正品的概率是：片=W1

A10

3件里有1件次品2件正品，第4件是正品概率是：p2=（妾/=a

2用10

132

所以最后取出的是正品的概率：2=历+而=《

（2）X的可能取值为200,300,400.

P（X=200）=U,P（X=300）=立产，

IV_LU

i36

P（X=400）=l-P（X=200）-P（X=300）=1---—

10

故X的分布列为:

X200300400

136

P

101010

E（X）=200x—+300x—+400x—=350

'）101010

例10.已知一个口袋中装有九个红球且“GN+）和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出2

个球，若2个球颜色不同则为中奖，否则不中奖.

⑴当〃=3时，设三次摸球中中奖的次数为X,求随机变量X的分布列；

⑶记三次摸球中恰有两次中奖的概率为P,求当〃取多少时，「的值最大.

3x23

【解析】（1）当力=3时，每次摸出两个球，中奖的概率P=-^=-,

_36

*々0)=*)3=卷；P(J=I)=G2

~125

P偌=2)=0冲2(令我;P(『)=C(/=W

f分布列为：

0123

8365427

P

125125125125

（2）设每次摸奖中奖的概率为P,

则三次摸球（每次摸奖后放回）恰有两次中奖的概率为：

P（J=2）=C；.p2.（i_0=_3/+6p2,o<p<i,

P=-9性+6p=-3P（时2）,知在［0，1］上尸为增函数，在［I"上J为减函数，

当。=|时P取得最大值.

4〃2

又"5+1）5+2）一§，

故n2-3n+2=0,解得：九=1或"=2,

故”为1或2时，尸有最大值.

例11.某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如下图所示：

消费金勤元

（1）将去年的消费金额超过32。。元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求

至少有I位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；

（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：

会员等级消费金额

普通会员2000

银卜主人2700

金卡会员3200

预计去年消费金额在（0,1600］内的消费者今年者B将会申请办理普通会员,消费金额在（1600,3200］内的消

费者都将会申请办理银卡会员消费金额在（3200,4800］内的消费者都将会申请办理金卡会员.消费者在申

请办理会员时，需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动,

现有如下两种预设方案：

方案1:按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励：普通会员

中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元；金卡会员中的“幸运之星”

每人奖励800元.

方案2:每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从-个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）

的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为2