高中数学专项复习：垂直问题的证明（解析版）

第三篇立体几何

专题02垂直问题的证明

常见考点

考点一线面垂直的判定

典例1.如图，在正方体瓦G2中，E,尸分别是棱耳G,左8的中点，求证:

CV平面EAB.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

通过证明CFLBE和AB_LCF,进而可得证.

【详解】

E,尸分别是棱比B的中点，

在RtABB[E和RtACBF中，BB〔=BC,B、E=BF,

所以三RtACBF,所以△/瓦=,

因为NB]BE+/EBC=9Q°,所以N3CP+ZEBC=90°,

所以/BOC=90°,即CFJ_3E,

又因为正方体ABC。-A3cB中，AB，平面BCCQ,CFu平面BCCQ,

所以ABLCF,AB和BE平面E4B内的两条相交直线，

所以CV,平面EAB.

变式1-1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CO是菱形，且PA=PC,判断直线

AC与平面PB。是否垂直，并说明理由.

【解析】

【分析】

利用线面垂直的判定定理即可证明.

【详解】

设ACfW=O,连接尸0,

则ACL8D,且。为AC的中点,

因为R4=PC,则尸OLAC,

又因为POn8D=。，

所以AC，平面PBD

变式1-2.如图，在VABC中，M为边BC的中点，沿AM将折起，使点8

在平面ACM外.在什么条件下直线AM垂直于平面瓦WC?

【答案】AB^AC

【解析】

【分析】

根据线面垂直的判断定理分析即可求解.

【详解】

解：由线面垂直的判断定理有，要使直线AM垂直于平面BMC,

则应有AM垂直于MC,且垂直于MB,即AM是上的高，

又因为M为边的中点，

所以AB=AC,即在AB^AC的条件下直线AM垂直于平面BMC.

变式1-3.如图，在三棱柱ABC-ABG中，V3CC］为正三角形，ACLBC,

AG=2及,AG=M=2,P为B用的中点，证明：平面ACQ

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

按照线面垂直的判定，证明CG垂直平面AG尸内的两条相交线即可.

【详解】

ACy—2-\/2,AG==2,得AC；=41；+AG~,C]CJ_AJCJ,

因为V3CG为正三角形，所以ABBC为正三角形.因为尸为B片的中点.所以GPL用2,

因为CCII4B,所以C/^GC,因为GPnAG=£,c/，AQu平面人。£,

所以ccj平面AGP.

考点二面面垂直的判定

典例2.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，ZABC=60°,PA±ABCD,

且E,M分别为BC,的中点，点F为棱PC上一动点，证明：平面AEFL平面尸A。

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

利用面面垂直的判定定理即可得到证明

【详解】

连接AC,

因为底面ABC。为菱形，ZABC=60°,所以三角形A3C为等边三角形，

因为E为BC的中点，所以AEL5c

又AD〃3C,所以AEJLAD.

因为PA_L平面ABCD,AEu平面ABCD,所以

因为A£)nAP=A,所以AE_L平面ADP.

又AEu平面AEF,故平面A£F_L平面PAD

变式2-1.如图，正三棱柱ABC-^旦储中，AB=4,M=3夜，M,N分别是棱AG，

AC的中点，E在侧棱AA上，^AiE=2EA,求证：平面MEBJ_平面3加；

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

根据定义，在平面MEB中找一条线让其垂直平面瓦W即可.

【详解】

在正三棱柱ABC-A笈G中，相，平面ABC,3Nu平面ABC,则441LBN.

N是棱AC的中点，AABC为正三角形，则BNJ.AC.

AAjHAC=A,BN_L平面的£C,MEu平面AA1c】C,BNLME.

又A5=4,M=3A/2,AE=2EA,EA=垃,4E=2也,

4£ANr~

引7=”=夜，则△4EM和△㈤VE相似，故/AEM=/ANE,

AJ/KZAE

ZA^EM+ZAEN=ZANE+ZAEN=90°,则有ZME7V=9O。，故ENLME.

ENcBN=N,ME_L平面5E7V,且MEu平面"仍，平面MEB_L平面5石N.

变式2-2.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC,底面ABCD,

求证：平面SCD，平面S3C.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

由面面垂直的性质可得3c，面SDC,根据面面垂直的判定即可证平面SCD1■平面

SBC.

【详解】

证明：由底面ABCD为矩形，则BC_LCD,

'：^SDC1^ABCD,ffiSDCI^ABCD=CD,BC^ABCD,

：.BCL^SDC,又3Cu平面SBC,

平面SCO,平面SBC.

变式2-3.已知AB是圆的直径，Bl垂直圆所在的平面,C是圆上任一点.求证:平面

43<7，平面尸4。

p

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

先证直线平面PAC,再证平面ABC,平面PAC.

【详解】

证明：「AB是圆的直径，C是圆上任一点，二ZACB=90。，

•••PA1平面ABC,BCu平面ABC,

•••BCLPA,又PAnAC=A,

BC,平面PAC,又BCu平面ABC,

平面A3C_L平面尸AC.

【点睛】

本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查垂直关系的

简单证明.

考点三线面垂直的性质

典例3.如图，已知尸0,平面A8C,AC=3C,。为A8的中点，求证：AB1PC.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

通过线面垂直证明线线垂直即可.

【详解】

证明：因为AC=BC,。为AB的中点，所以AB_LCD,

又尸0_L平面ABC,ABI平面ABC,所以AB_LPO,

又C£>c尸0=0,且C。、尸Ou平面PDC,

所以平面PDC,

又PCu平面PDC,

所以AB_LPC.

变式3-1.如图所示，尸是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，2=1,P

在平面ABC内的射影为BF的中点0.证明R4，班\

【答案】证明见解析

【解析】

连结AD,则易知AD与郎的交点为。，利用线面垂直的判定定理及性质定理，即可

得证.

【详解】

证明：连结AD,则易知AD与跖的交点为。，如图所示：

由正六边形的性质可得BP_LAO,

VBFA.PO,BFLAO,PO^AO=O,

：.3尸_1_平面AOP,

,?B4u平面AOP,

•\PAYBF.

变式3-2.如图，在三棱锥P-ABC中，CD1AB,垂足为。，尸。,底面ABC,垂足

为。，且。在C。上，求证：ABA.PC.

p

B

【答案】证明见解析

【解析】

通过线面垂直证得尸A3,结合。。，43得回，平面尸0。，即可得证.

【详解】

证明：底面ABC,向底面ABC,:.PO±AB.

在CO上,..POcCD=O.

又CDJ_A3,

二AB_L平面POC.u平面尸OC,.-.AB±PC.

【点睛】

此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直.

变式3-3.如图，在空间四边形PABC中，AC=BC,NACB=90。，AP=BP=AB.求

【答案】见详解

【解析】

【分析】

先证线面垂直，进而由线面垂直推出线线垂直.

【详解】

取43中点。，连结PD,CD.

■.■AP=BP,:.PD±AB.•：AC^BC,

CD_LAB.PD(~\CD=D,「.AB，平面尸CD.

♦.•PCu平面PCD,:.PCA.AB.

【点睛】

本题主要考查线面垂直的性质定理，属于基础题型.

考点四面面垂直的性质

典例4.在三棱锥尸-ABC中，。,£分别为4民4(7的中点，且C4=CB.

⑴证明：BC〃平面PDE；

⑵若平面尸CD，平面ABC,证明：ABLPC.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)由中位线定理，可得小〃BC,再根据线面平行的判定定理，即可证明结果.

(2)由题意可证AB_LCD,再根据面面垂直的性质定理，可证平面尸CD,由

此即可证明结果.

(1)

证明:因为。，E分别为AB,AC的中点，

所以DE〃8C,

又OEu平面PDE,8co平面POE,

所以BC〃平面PDE；

(2)

证明：因为C4=CB,。为48的中点，ABLCD,

又平面PCD，平面ABC

平面PCDC|平面ABC=CD,

所以AB，平面尸CO

又PCu平面尸CD

所以AB_LPC.

变式4-1.如图，在四棱锥P-ABC。中，PA=PD,底面ABCD是矩形，侧面B4O

J_底面ABC。，E是AD的中点.

(1)求证：AD〃平面PBC；

(2)求证：平面B4。

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)利用底面是矩形，得到AD〃BC,进而证明〃平面P3C；

(2)由AB_LAD,再由面面垂直的性质定理证明.

【详解】

(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，•.•底面ABCD是矩形，

J.AD//BC,

又AOO平面尸BC,BCu平面PBC,

...AD〃平面PBC；

(2)证明：•底面ABC。是矩形，

J.ABLAD,

又：侧面阴。，底面A3C。，侧面物r)n平面48CD=AO,4BU平面A3CO,

.•.A3,平面PAD.

变式4-1.如图所示，△PDC所在的平面与长方形ABC。所在的平面垂直.

⑴求证：BC〃平面P/M；

(2)求证：BC±PD.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

⑴根据给定条件利用线面平行的判定推理作答.

(2)由面面垂直的性质可得3C_L平面PDC,再利用线面垂直的性质推理得证.

(1)

因四边形ABCD是长方形，则而BCU平面PD4,4)u平面PZM,

所以3c〃平面

(2)

长方形ABCD中，则BC，CD,平面PDC±平面ABCD,平面PDC[\平面ABCD=CD,

BCu平面ABCD,则有平面PDC,又PDu平面PDC,

所以BCJ.PD.

变式4-2.如图，P是四边形ABC。所在平面外的一点，四边形ABC。是ZDAB=60。的

菱形，PA=PD,平面PAD垂直于底面ABC。，G为4D边的中点.求证：

A

(1)3G，平面PAD；

(2)AD±PB.

【答案】(1)证明见解析；

⑵证明见解析.

【解析】

【分析】

⑴利用面八4£>，面ABCD得至U3G_L平面PAD；

⑵证明">"L面尸3G,从而得

(1)

•••四边形ABC。是"4?=60。的菱形，

为等边三角形，又G为AD的中点，：.BG±AD,

又•.•平面平面ABC。，BGu平面ABCD,平面2⑦口平面=短)，

/.3G_L平面PAD；

⑵

VPA=PD,G为AD的中点，/.PGLAD,

又BGLAD,BGC\PG^G,BG,尸Gu平面PBG,

，AD,平面P3G,又•.•尸3u面PBG,

AD±PB.

巩固练习

练习一线面垂直的判定

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，阴，平面ABCD,AD±CD,AD//BC,阴=40=8=2,

PF1

BC=3.E为PD的中点，点/在PC上，5.—=",求证：aa平面出D

【答案】证明见解析

【解析】

由阴，CO,AO,CD即可得出.

【详解】

因为阴，平面ABC。，CDu平面ABC。，

所以阴J_CD,

又因为ADLCD,PAoAD^A

所以8,平面PAD.

2.如图，在四棱锥F—ABCD中，PB_L平面ABC。，ABLBC,AD//BC,AD=2BC,

点E为棱P。的中点.

P

⑴求证：CE〃平面血&

⑵求证：平面

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)构造平行四边形证明线面平行即可；

(2)根据线面垂直得线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直.

【详解】

(1)证明：取B4中点R连接ERBF,因为E为PD中点，尸为阴中点,

又因为BC〃AD,且=

所以EF/IBC,且EF=BC.

所以四边形BCE/为平行四边形，

所以CE〃班

因为CE.平面朋瓦BFu平面朋3

所以CE〃平面PAB.

(2)因为尸3,平面A8CD,ADu平面48co

所以PB_L4)

又因为ABL3C,AD//BC

所以M_LAB,

又ABcPB=B,48、必u平面以8

所以ADL平面PAB.

3.如图，在四棱锥P-A5CD中，底面ABC。是正方形，如，平面A3CD.

⑴求证：BC//平面PAD；

(2)求证：ACJ■平面PB£).

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)利用线面平行的判定定理即可证得；

(2)利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即可证得.

(1)

由底面A3CD是正方形，.•.BC7/AD

又3C<Z平面PAD,ADu平面PAD,3C〃平面PAD

(2)

•.•PD_L平面A3CD,ACu平面ABCD,:.PD±AC

又底面ABC。是正方形，；.LAC

又BDC\PD=D,8£),尸£)(=平面尸8£),；.47_1_平面汽8£(

4.如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADLCD,AB//CD,

AB=AD=2,CD=4,用为CE的中点.

⑴求证：3A///平面AD£F；

⑵求证：BCL^^BDE.

【答案】(1)证明见解析

⑵证明见解析

【解析】

【分析】

(1)取OE中点N,连结MN,AN,证明四边形何W为平行四边形，从而可证

3A///平面42EF；

(2)先证明瓦〃平面ABCD,可得EDLBC,再利用勾股定理，证明5C_L8D,利

用线面垂直的判定定理，证明平面BDE.

(1)

证明：取OE中点N,连结MN,AN.

在△EDC中,M,N分别为EC,ED的中点，

所以MN//CD,^.MN=~CD.

由已知AB〃CD,AB=^CD,

所以MN//AB,且A»V=AB.

所以四边形为平行四边形.

所以3M//AN.

又因为4Vu平面4)£F,且BMC平面ADEF,

所以//平面42EF.

⑵

证明：在矩形AT>£F中，EDVAD.

又因为平面ADEF，平面ABCD,

且平面AD£F口平面ABCD=AD,

所以瓦)_L平面A3CD.

因为BCu平面ABCZ).

所以£D，3C.

在直角梯形ABCD中，AB=AD^2,CD=4,可得BC=2五.

在△BCD中，BD=BC=2贬,CD=4,

\S^IBD2+BC2=CD2,所以BCLBD.

因为8£>cDE=£),班^力石匚平面^^,

所以3C_L平面3£>E.

练习二面面垂直的判定

5.如图，在四棱锥P-ABCD中,四边形A3CD是菱形，尸A=PC,E为尸3的中点.

p

⑴求证:〃面AEC;

（2）求证:平面AEC±平面PDB.

【答案】（1）要证明线面平行，则可以根据线面平行的判定定理来证明.

（2）对于面面垂直的证明，要根据已知中的菱形的对角线垂直，以及ACJ■面也犯来

加以证明.

【解析】

【详解】

试题分析：（1）由题意得只需在平面AEC内找一条直线与直线PD平行即可.设

AC[\BD=O,连接EO,由三角形中位线可得?。11万。即得；（2）连接PO,由题意

得POLAC,又底面为菱形，则AC_LBD,由面面垂直的判定定理即得.

试题解析：（1）证明：^AC^BD=O,连接E0,因为O,E分别是BD,PB的中

点，所以

而面AEC,E0u面AEC,所以PD〃面AEC

（2）连接P0,因为PA=PC,所以AC,尸O,又四边形ABCD是菱形，所以ACL8D

而POu面尸3D,BDu面PBD,PO[}BD=O,所以AC_L面尸3。

又ACu面AEC,所以面AEC_L面尸3。

p

考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理；

6.四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，NAD为等腰直角三角形，NAPD=90。,

面PAD上面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分别为PC和BD的中点.

(1)求证：EF〃面PAD；

(2)求证：面PDCL面PAB；

P

B

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)根据线面平行的判定定理，只需在面PAD内找到一条线与EF平行，由中点想

到中位线，即可证出；(2)根据面面垂直的判定定理，只需在其中一个面内找到一

条直线垂直于另一个平面即可.

【详解】

(1)连接AC,「ABCD为矩形，且F是BD的中点，，AC必经过F

又E是PC的中点，所以，EF〃AP.

EF在面PAD外，PA在面内,EF〃面PAD.

(2)VffiPADlffiABCD,CD±AD,ffiPADAffiABCD=AD,；.C"面PAD,

又APu面PAD,.\AP±CD

又•.,APLPD,PD和CD是相交直线，AP±ffiPCD

又APu面PAB,所以，面PABL面PDC

【点睛】

本题主要考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理的应用，牢记定理条件

是解题关键.

7.如图，在四棱柱A2CD-4环物中，平面AA四，底面ABCD,且乙钻C=(

(1)求证:BC〃平面ABG；

(2)求证：平面A平面A3c.

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

【详解】

(1)立体几何中线面平行的证明，可根据线面平行的判定定理来进行证明，只需证

明直线与该平面内的某一直线平行即可，一般常用的方法是平行四边形对边平行的

性质或者是三角形中位线与底边平行的性质；(2)可根据面面垂直的判定定理来进

行证明，一般思路是“面面垂直。线面垂直o线线垂直”的过程.

试题解析：(1)在四棱柱ABCD-44GA中，BCUBQ

因为3C平面ABg,Beu平面ABJCJ,

所以3c〃平面ABG.

(2)因为平面AA叫，底面A3CD,平面AA叫c底面ABCD=AB,3Cu底面ABC。，

jr

且由/ABC=5知ABLBC,

所以3CL平面

又BCUBG,

故耳CJ平面AAB耳.

而4Gu平面4耳G,

所以平面AA881平面ABC.

8.如图所示，在四棱锥P-ASCD中，ADUBC,ADYAB,面筋8_1面上钻.

p

求证：(1)AD//平面PBC；

(2)平面P3C_L平面

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)由题可得4)〃BC,根据线面平行的判断定理可证/⑦〃平面PBC；

(2)由题，易得3C_LAB,再利用面筋8_1面245可得灰」面上45,即得证.

【详解】

⑴■「AZ)//BC,BCu面P3C,A£)U面P3C,.\AD//平面尸BC

(2)VAD//BC,ADLAB；.BC1,AB

•.•面上48，面45。£>,面PABc面ABCD=AS,BCu面ABCD,BCl^PAB,

又BCu面BBC，，面PBC_L面PLB

【点睛】

本题主要考查了空间几何中平行以及垂直的判断定理和性质定理，熟悉定理是解题

的关键，属于较为基础题.

练习三线面垂直的性质

9.P为正方形ABCD所在平面外一点，PA±ffiABCD,AE±PB,求证：AE±PC.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由已知中P为正方形ABCD所在平面外一点，物_1_面488,结合正方形的几何特

征,我们易得到平面PAB,由线面垂直的性质得到BC±AE,结合已知中

及线面垂直的判定定理，得到平面P3C,最后再由线面垂直的判定定理，即可

得至（JAE1PC.

【详解】

证明：VMlffiABCD,

：.B\A_AD

X,'BC//AD

J.PALBC

又由ABLBC,PA^AB=A

.,.BC,平面PAB

又AEu平面PAB

：.BC±AE

又由AELPB,BCnPB=B

二4八平面PBC

又「PCu平面PBC

：.PC±AE

【点睛】

本题考查知识点是直线与平面垂直的判定及直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握

正方形的几何特征及线面垂直的判定定理和性质是解答本题的关键.

10.如图，已知在正方体ABCD-A4G2中，E为AC的中点.求证：CEA.BD.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

由正方体性质知比），AC且AA，面ABCD,再根据线面垂直的性质BD,由

线面垂直的判定及性质即可证结论.

【详解】

连接AC,在正方体A8CD-A4GQ中&)_LAC且AA，面ABC。,

又5£>u面ABC。，则AA，5D,>AAPIAC=A,AA、ACu面AC£A,

所以8〃_1面4<^£4,又CEu面ACGA，即CE_LBD.

11.如图，在三棱锥S-A5c中，AB^AC,SB=SC.求证：SAVBC.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

转化为证明线面垂直，再利用线面垂直的性质得出结论.

【详解】

如图：取BC的中点。，连接SD、AD.

因为AB=AC,S3=SC,所以ACBC,SDLBC.又5/不位>=。，SDu平面SAO,ADu

平面&W,所以BC_L平面&4D又SAu平面SAD,所以81_LBC.

12.如图，正方体ABC。-ABCQ中，求证ACL8。.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

证明80与平面MC垂直后可得线线垂直.

【详解】

证明：如图，连接AC,

ABCD是正方形，则ACL8D,

又44,，平面ABC。，BDu平面A5CD,所以

AA^AC=A,AA，ACu平面A",所以跳〃平面A",

又因为ACu平面AAC,所以BD_LAG.

练习四面面垂直的性质

13.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCO是直角梯形，且AD〃BC,ABLBC,

BC=2AD,已知平面阴8,平面A3CO,E,F分别为BC,PC的中点.

求证：（1）ABH平面DEF-,

（2）DEF.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）由四边形皿方是平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可；

（2）利用面面垂直的性质定理，以及线面垂直的定义，可得BCLPB,又因为

BC1DE,利用线面垂直的判定定理可得命题成立.

【详解】

证明：（1）因为仞/ABC,BC=2AD,E为BC的中点.，

所以AD0E,所以四边形4）班是平行四边形，

所以

又因为ASa平面DEF,DEu平面。呼

所以AB〃平面OEF.

（2）因为平面平面ABCD

平面RIBc平面ABCD=A5

AB1.BC,BCu平面ABCD

所以平面

因为PBU平面R48

所以BCLPB

因为分别为BC,PC的中点，

所以EF//BB,所以3c_L£F

因为BC1AB

所以BCLOE

因为£)Eu平面£>£F,£Fu平面£)£F,DE[\EF=E

所以2C_L平面DEF.

14.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CO所在平面垂直，M是半圆弧上异于C,

。的点.

(1)证明：直线平面3MC；

(2)在线段A"上是否存在点尸，使得MC//平面尸3D?说明理由.

【答案】(1)证明见解析；(2)存在，理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)由面面垂直的性质可得3CL平面CMD,继而得BCLZMf,结合DMLOW可

证；

(2)当P为AM的中点时，MC〃平面P6D,连结AC交8。于。，连结。P,由MC

//0P可证.

【