湖南省长郡十八校2024-2025学年高一年级上册12月检测数学试题（含答案解析）

湖南省长郡十八校2024-2025学年高一上学期12月检测数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集。={-1,0」,2,3,4},A={1,3},则即A=()

A.{0,2,4}B.{-1,0,2,4}C.{1,3}D.{-1,1,3}

2.已知弧长为兀的弧所对的圆心角为则该弧所在的扇形面积为()

3兀一兀-2兀-3兀

A.——B.-C.——D.——

2334

3.在平面直角坐标系中，若角。与夕的终边关于>轴对称，则角。与夕之间的关系满足().

A.a+°=式B.a+J3=2kitCkGZ)

C.a+4=E(kEZ)D.a+/?=(2左+1)兀(左WZ)

4.4知函数/(x)=(x—a)(x—6)(其中a,b为常数,且6<a),若/⑺的图象如图所示，

则函数g(x)=，+6的图象是()

5.函数/(x)=j_1+8x的单调递减区间是()

A.（4,+oo）B.（0,4）C.（4,8）D.（-oo,4）

6.已知函数/(x)=d—x_i在区间［1,1.5］内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结

果如下表所示，

X11.51.251.3751.3125

/W-10.875-0.29690.2246-0.05151

那么方程》3一彳_1=0的一个近似根(精确度为0.1)为()

A.1B.1.5C.1.25D.1.3125

7.己知。=logs2,6=c=ln3,贝U〃、b、c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

8.已知二次函数〃x）=«x2+x+c（xeR）的值域为［0,”），则9+这的最小值为（）

ca

A.6B.8C.10D.12

二、多选题

9.已知命题p:X/x£Re2-ar+l>0,则命题。成立的一个充分条件可以是()

A.ae［0,4)B.a=4C.ae(0,4)D.a=0

Y—3

10.关于函数〃x)=ln',下列结论正确的是()

A.若函数g(x)=ln(x-3)-ln(x+l),则与g(x)是同一个函数

B./(%)是奇函数

C./(%)的图象关于点(1,0)对称

D./(X)的值域为(-8,0)5。，+8)

1L已知定义域为(7,0)U(0，y)的函数“X)满足:〃取)=〃x)+〃y)-4,且当X>1时,

〃力>4,则()

试卷第2页，共4页

A.〃T)=4

B.的图象关于了轴对称

C.〃x)在(0,+巧上单调递减

D.不等式"2)+"x+2)<"x-1)+4的解集为(-5,-2)U(-2,-1)

三、填空题

12.已知幕函数/(x)=(/+a-5卜"的定义域是R,则。=.

13.在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v(单位：km/s)和所携带

的燃料的质量M(单位：kg)与飞行器(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式

近似满足2。=。+”(。为常数).当携带的燃料的质量和飞行器(除燃料外)的质量相等

m

时，V约等于2.9km/s,当携带的燃料的质量是飞行器(除燃料外)的质量的13倍时，V约

等于5.8km/s,则常数6的值为.

_>0

_二一八关于X的方程/(%)—24(%)+。—1=O(Q£R)有四个相

-ln(x+l),x<0

异的实数根，则。的取值范围是.

四、解答题

15.计算：

+^(-10)2-2^x^/27-7i0x且；

I9J12J

(2)log5125+1g康+In直+2幅3+1iOg23-log98.

16.已知a>0,b>0,S.2a+b—4ab=0.

(1)证明：ab>^-

(2)求。+2〃的最小值.

17.已知函数/(%)='詈为奇函数.(e为自然对数的底数，e®2.718)

⑴求。的值及函数的值域；

(2)用函数单调性的定义证明函数无)在R上是增函数；

⑶求不等式/■(4一£)+/(4-5*2-，卜0的解集.

18.已知函数/(x)=x|2a-x|+fev,aeR.

⑴当〃=_2时，若函数/(x)恰有两个不同的零点，求实数。的值；

(2)当方=2时，若函数/(x)在R上是增函数，求实数。的取值范围；

(3)当匕=2时，若存在实数ae[0,2],使得关于x的方程/(力-犷(2«)=0有三个不相等的实

数根，求实数f的取值范围.

19.设集合A是至少有两个元素的实数集，集合尸(4)={2|2=孙"广€4且工力耳，称集合

尸(A)为集合A的积集.

⑴当A={1,2,4,8,32}时，写出集合A的积集-A)；

⑵若A={4%，/，%}是由4个正实数构成的集合，求其积集打A)中元素个数的最小值；

(3)若4={4%，/，%}是由4个有理数构成的集合，积集E(A)=~8,-求

集合A中的所有元素之和.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BADABDDCACDCD

题号11

答案ABD

1.B

【分析】根据补集的概念求出答案.

【详解】^A={-1,0,2,4}.

故选：B

2.A

【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得结果.

=--3

【详解】由题意可知，扇形的半径为rK,

3

13几

因此该扇形的面积为5=丁兀、3=工.

22

故选：A.

3.D

【分析】根据题意得到。+尸=兀，即可求解.

【详解】由题意，角。和夕的终边关于y轴对称，

贝!]a+/?=（2左+1）兀（ZeZ）.

故选：D.

4.A

【分析】由图可得b<-l<0<a<l,计算出g（0）并结合指数函数性质即可得解.

【详解】由图可得

则有g（O）=a°+b=b+l<0,且该函数为单调递减函数.

故选：A.

5.B

【分析】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解仁-d+8x在（0,8）内的单

调递增区间，结合开口方向和对称轴，得到答案.

答案第1页，共14页

【详解】由题意得一一+8彳>0,解得0〈尤<8,故〃x）=:的定义域为（0,8）,

y—X+8%

由于y=[在（。,+8）上单调递减，由复合函数单调性可知，

故只需求解f=-无2+8x在（0,8）内的单调递增区间，

仁-尤?+8x开口向下，对称轴为尤=4,故（0,4）即为所求.

故选：B

6.D

【分析】由零点存在性定理和1.375-1.3125=0.0625<0.1,得到方程的一个近似根为1.3125.

【详解】由于=在R上为连续函数，

/（1.375）=0.2246>0,/（1.3125）=-0.05151<0,

且1.375-1.3125=0.0625<0.1,

Jfj]1.5-1=0.5>0.1,1.5-1.25=0.25>0.1,1.375-1.25=0.125>0.1,均不合要求，

故方程尤3_彳_1=0的一个近似根为1.3125,D正确

故选：D

7.D

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出。、6、。的大小关系.

【详解】因为对数函数yTogs》、y=lnx在（0,+co）上均为增函数，

所以，a=log52<log5亚=；,c=ln3>Ine=1,

因为指数函数y=在R上为减函数，则g<d<U°=i，即;<6<1,

因止匕，c>b>a.

故选：D.

8.C

【分析】根据二次函数的值域得到故口>0，C>O，ac=J,变形后利用基本不等式求出最

小值.

【详解】二次函数〃力二垢+小豌口对的值域为乩依）,

故。>0,A=I2—4ac=0,故ac=：,

答案第2页，共14页

二匚|、|八。+2。+2+c2+2tz+2c./22\o/\

所以c>0,----+----=--------------=4/+/+8（〃+c）

caac'）

>Sac+8x2\[ac=2+8=10,

当且仅当/=c2,a=c=g时，等号成立，

故史工+T的最小值为10.

ca

故选：c

9.ACD

【分析】分。=0和4力0两种情况，结合二次函数的性质得到不等式，求出。e[o,4）,命题

P成立的一个充分条件是。e[0,4）的子集，得到答案.

【详解】VxeR,ax2-6ix+l>0,当。=0时，1>0,满足要求，

a>0

当。片0时，需满足《八2,八，解得0<。<4,

A=（-a）-4a<0

综上，ae[0,4）,命题P成立的一个充分条件是。目0,4）的子集，

故ae[0,4）,ae（O,4）,a=0均满足要求.

故选：ACD

10.CD

【分析】利用函数相等的概念可判断A选项；利用函数奇偶性的概念可判断B选项；利用

函数对称性可判断C选项；利用对数函数的值域可判断D选项.

【详解】对于函数〃x）=ln=,有=>0,解得x<T或x>3,

人।1।1

丫一q

所以，函数的定义域为（-<»,-1）53，收），

对于函数g（x）=ln（x-3）-ln（x+l）,有解得x>3,

所以函数义"）=111（工-3）-山（犬+1）的定义域为（3,+0））,

所以这两个函数的定义域不相同，A错；

对于B选项，因为函数/（尤）的定义域为（为,-1）口（3,y）,定义域不关于原点对称，

所以函数/'（X）不是奇函数，B错；

答案第3页，共14页

oYq_丫iY_i_i-y-q

对于c选项，因为〃2-尤)=ln、^=ln二口=ln与2=-111二=一〃耳,

2—尤+1—x+3x~3x+1

所以函数/(%)的图象关于点(1,0)对称，C对；

对于D选项，因为当龙£(-8,-1)时，x+l<0,

则----=-------=1----->1,此时，f(x)=\n---->0,

x+1x+1x+lX+1

当无£(3,+oo)时，x+1>4,贝!J0<---<—,-----=------=1------£(0,1),

x+14x+1x+1x+1

丫-q

此时"x)=ln±/<0,

综上所述，函数〃x)的值域为(3,O)U(O,心)，D对.

故选：CD.

11.ABD

【分析】A选项，赋值法得到了(1)=4,进而赋值得到/(-1)=4；B选项，令》=-1得，

〃r)=〃x),B正确；C选项，令x=x"y=三，0<%<々，由定义法得到在(0,+巧

玉

上单调递增，C错误；D选项，变形得至叱(2x+4)</(x-l),在BC基础上，得到不等式，

求出解集.

【详解】A选项，/(孙)=/(x)+/(y)_4中，令无=y=l得=

解得/⑴=4,

令x=y=T得=4,解得〃-1)=4,A正确；

B选项，/(孙)=/(x)+〃y)—4中，令y=T得，

/(-^)=/(x)+/(-l)-4=/(x),故〃x)的图象关于了轴对称，B正确；

C选项，/(»)=/(x)+/(y)_4中，令x=髭,y=上，其中Ov&vx?,

x\

则〃3)-/(元1)=7—V4>

因为当X>1时，/(x)>4,且手>1，所以/］彳卜4,

所以〃(西)>。，/伍)>/(%)，

答案第4页，共14页

所以〃尤)在(。,+巧上单调递增，c错误；

D选项,因为〃孙)=/(x)+〃y)—4,所以〃2)+/(x+2)—4=〃2x+4),

故/(2)+/(x+2)</(尤-l)+4=〃2)+/(x+2)—4</(x-l),

即*2尤+4)<〃x-l),

由BC选项知，在(0,+")上单调递增，又为偶函数，

尤一l|)n|2x+4|<|尤一］,且2x+4w0,x—l彳0,

|2x+4|<卜-1|两边平方得尤2+6x+5<0,

彳导—5<x<-1,x片一2,x21,

所以不等式“2)++2)<"x-1)+4的解集为(-5,-2)U(-2,-1),D正确.

故选：ABD

【点睛】抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值,

再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解

12.2

【分析】根据幕函数的系数为1，求出。的值，再结合募函数的定义域进行检验即可.

【详解】因为函数/■(元)=(1+。-5卜。为塞函数，则/+._5=1,即标+a-6=0,

解得a=2或a=-3,

当4=2时，函数/(x)=f的定义域为R,合乎题意；

当a=-3时，函数〃同=-=*的定义域为国元片0},舍去.

综上所述，a=2.

故答案为:2

13.3

【分析】根据题意得到方程组，联立求出2?=4,进而求出人=3.

M—M

【详解】由题意得，当〃=加,一=1时，2a=b+—=b+l@,

mm

M-M

当一=13时，2“=b+—=b+13@,

mm

答案第5页，共14页

空(空、

②-①得，2"2丁-1=12,解得2看=4,负值舍去，

I71

29

所以6+1=2工=4,解得6=3.

故答案为：3

14.(-co,0)u(l,+oo)

【分析】分析函数〃尤)的性质并作出图象，令/(x)=r,把问题转化为方程2勿+。-1=0

有两个不等实根，再确定根所取值情况，结合一元二次方程根的分布求解.

【详解】函数Ax)的定义域为(T田),当尤＜0时,函数〃无)=Tn(x+l)在(-1,0)上单调递

减，

当尤20时,函数/'(尤)=-/+2x在［0,1］上单调递增，在［L+8)上单调递减，

在坐标系内作出函数/(X)的图象,

令/(X)=，，方程r(尤)-24(x)+a-1=0(。eR)有四个相异的实数根,

则方程g(t)=/一2af+a-l=。有两个不等实根。,4(4＜芍)，

函数y=/(x)的图象与直线、=4,〉=/2的图象一共有4个交点,

匿［公：或［°<了1

由图象知,

0<z2<1［t2=1［t2>1

:<。fg(0)=a-l<0

解得a＜0；

0<r2<r何［g⑴=_q>0

4=。p(0)=a-l=0

无解;

t2=l'侍［g(l)=-a=0

0<?!<lzsfg(0)=«-l>0

解得。＞1,

t2>1，佝［g⑴=_q<0

所以a的取值范围是(-°°,0)5L+8).

答案第6页，共14页

故答案为：(YO,0)51,yO)

15.(1)4

⑵2

2

【分析】(1)利用指数的运算性质计算可得所求代数式的值；

(2)利用对数的运算性质、换底公式计算可得所求代数式的值.

1

【详解】⑴原式若"山屋L河+—一："

⑵原式=3-3+雪3+2.叱隹二+2.更也4+1，

23In2ln3223In22In322

16.(1)证明过程见解析

⑵:

【分析】(1)由基本不等式得到2〃+匕22缶从而得到4H22A/^,证明出结论;

(2)变形得到“+：=1，由基本不等式的妙用求出最小值.

【详解】(1)已知。＞0,人＞0,且2〃+Z?=4而,

由基本不等式得+BP4ab＞2^/2^,解得abwg,

当且仅当2a=b,即。=1,6=1时，等号成立，证毕;

2

(2)因为且2〃+b=4而，

所以

所以。+26=(。+26)「-1-+-1-]=幺+4+1+223+2、回万

\\2b4a)2b42a4\2b2a

当且仅当导=，，即4=6=1时，等号成立，

2b2a4

9

故。+2》的最小值为:

4

17.(l)a=—l,(-1,1)

(2)证明见解析

⑶[-2,0]

【分析】(1)利用奇函数的性质求出，再求出函数值域.

(2)利用函数单调性的定义，结合指数函数单调性推理证明.

答案第7页，共14页

(3)利用函数奇偶性和单调性，把不等式转化为代数不等式，再借助一元二次不等式求解.

【详解】(1)因为函数/=为奇函数，定义域为R,所以〃r)+〃x)=o.

所以-----+-----=0=------+-----=0n(〃+l)e+1=0

e-x+lex+lex+lex+l'八)

因为e'+lwO,所以。+1=0,所以a=—1.

所以"x)=K=l-二17，

ex+lex+l

i_92

因为％cR,所以e，+l>l=0<-^~;vl=-2<-^<0——1<1---<1,即

e+1e+1e+1

/(x)e(-l,l).

所以函数f(x)的值域为：(-1,1).

(2)设占<%，

周外—e二l_(e*T(eJlHe=l)(eJl)2d一内

人」"2)八)-西rg-d+i)e+i)一(41取+

因为玉<々，所以0<e*YeH,于是砂-9>0,e也+1>0,*+1>0,

所以〃9)-〃孑)>。即〃%2)>〃不).

所以函数/■(“在R上单调递增.

(3)由广(4-1+/(4-5x2T)W0n/(4T)W-14-5x2-)

因为函数f(x)为奇函数，且在R上单调递增.

所以/(4-*)4/(5x-4)=>45x2一工-4n(2一，『-5x2一，+4W0

所以(2-*-1)(2-*-4/0=^l<2"x<4=>0<-x<2^-2<x<0.

即所求不等式的解集为：[-2,0]

18.(1)。=±1

⑵-iWaWl

答案第8页，共14页

/、।।\x2-（2a+2]x,x>2a

【分析】⑴写出=x2〃一％-2%={zx，分av-1,a=—1,〃=1,

11\-x2+（2a-2）x,x<2a

-IvavO,0<（7<l,等情况，结合函数图象，求出零点个数，得到〃=±1；

（2）根据函数的对称轴和特殊点函数值，得到当即-”“41时，〃元）在

R上单调递增；

（3）分0*41和1<〃42两种情况，结合函数单调性，得到当/（2〃）<"（2〃）<"〃+1）时，

关于X的方程/（力=/（2。）有3个不等实根，即4"4R<（a+l）2,所以l<t<，a+：+2],

设/[伍）=；。+1+2],故只需,<旗4）皿，求出〃⑷1mx=〃⑵=[求出实数，的取值范围

是葭]

【详解】（1）〃=一2时，f（x）=x\2a~x\-2x=\/,么°,

[—X+\2a-2）x,x<2a

当了之2。时，的对称轴为％=a+l,

当xv2a时，/（%）的对称轴为x=a-l,

当av-l时，2〃<〃一1<1+1,

此时函数图象如下：

其中令/一（2〃+2）%=0,解得x=2a+2或0,满足要求，

令一+（2。-2）尤=0,解得x=2a-2<2a,满足要求，0舍去，

故此时有3个零点，不合要求，舍去；

当Q=-1时，

答案第9页，共14页

X2,X>-2

故"x)=

一f—4x,x<—2

令Y=o得x=0,满足要求，

令一%2—4%=0,解得了=-4或0（舍去）,

满足f（x）恰有两个不同的零点;

当“=1时'/⑺弋二『2'

令X2一4%=0,解得％=4或0（舍去）,

令_炉=0,解得兀=0,满足要求，

满足了（“恰有两个不同的零点；

当一IvavO时，a-l<2a<a+l,

画出函数图象，如下：

令％2_（2a+2）x=0,解得％=0或2。+2,满足要求,

令—幺+（2a—2）x=0得％=2。—2或0（舍去），满足要求,

此时“可有3个不同的零点，不合题意;

当0<a<l时，a-1<2a<a+\,

画出函数图象，如下：

答案第10页，共14页

令f—（2a+2）x=0,解得x=2a+2或。（舍去）,

令-42+（2々-2卜=0得％=2〃-2或0,满足要求,

此时“X）有3个不同的零点，不合题意；

当a>l时，2a>a+l>a-l,画出函数图象，如下:

令-f+（2a-2）%=0,解得x=2a-2或0,

故此时有3个零点，不合要求，舍去；

综上，/（力恰有两个不同的零点，则，=±1;

x2+(2—2〃)羽x22a

(2)Z?=2时，/(x)=x|2a-x|+2%=<

-x2+(2+2〃)％,x<2a

当x之2〃时，/（%）的对称轴为尤=a-1,

当xv为时，/（%）的对称轴为％=。+1,

答案第11页，共14页

并且（2a）+（2—2Q）•2a=—（2〃）+（2+2〃）・2〃=4〃，

故当〃一142〃4々+1,即-IWQKI时，/（x）在R上单调递增;

/（x）-以2〃）=。的解即为方程=口2〃）的解，

当OWaVl时，〃可在R上单调递增；

故关于x的方程/（力=tf（2a）不可能有三个不等的实根，

当1<〃W2时，2〃〉〃+1>々一1,

〃x）在（-M+1）上单调递增，在（。+1,2。）上单调递减，在（2”,+e）上单调递增,

当/（2〃）<力（2〃）</（々+1）时，关于%的方程"元）=以2〃）有3个不等实根，

即4a<4at<（a+1）2,

因为a>l,所以---|,

ClH----F2，故只需，<力（。）

a

由对勾函数性质可知，〃（）

a=:ClH----F2在ae（L2]上单调递增,

a

9

故〃⑷“小卜二

故若存在实数ae[0,2],使得关于x的方程/（x）_/（2a）=0有三个不相等的实数根,

实数/的取值范围是

【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等

式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含

参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不

等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

19.（1）F（A）={2,4,8,16,32,64,128,256}

（2）5

答案第12页，共14页

【分析】(1)根据题意，得到"A)={2,4,8,16,32,64,128,256}；

(2)不妨设0<%<%<%<%，推出尸(A)中的元素个数大