广东省惠州市博罗县2024-2025学年高一年级上册11月期中考试 数学试卷（含解析）

博罗县2024-2025学年度第一学期高一阶段性教学质量检测

数学试题

本试卷共4页，19小题；总分：150分，检测用时：120分钟

注意事项：

1.答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设全集0={-=则%（ZD8）=（）

A,{1,-1,2}B.{-1,2}C.{1}D.{-2}

【答案】D

【解析】

【分析】由集合的并集与补集运算求解即可.

【详解】因为。={—2,—1,1,2},/={-1,1},5={1,2},

所以=所以科（NU3）={—2}.

故选：D

2.命题“*eR,rAx”的否定是（）

A.eR,x2<xB.VxeR,x2<x

C.R,x2<xD.VxeR,x2<x

【答案】B

【解析】

【分析】由存在量词命题得否定为全称量词命题即可得解.

【详解】命题“HxeR,x2〉x”的否定是\/xeR,x2<x.

故选：B.

3.函数y=业二二的定义域是()

X

A.[-2,2]B.(-2,2)C.[—2,0)U(0,2]D,[-4,0)o(0,4]

【答案】C

【解析】

【分析】由4——NO且xwO可求得结果.

4-x2>0

【详解】由题意得<,解得—2WxW2且xwO,

xw0

所以函数的定义域为[-2,0)U(0,2].

故选：C

4.已知函数=-加%+5在(-8,2]上单调递减，则加的取值范围为()

A.[4,+co)B,[2,+oo)c.(-oo,4]D.(-8,2]

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次函数的对称轴列不等式即可得解.

【详解】由二次函数性质可知，要使函数/(x)在(-叫2]上单调递减，只需最22,

解得机24,即加的取值范围为[4,+8).

故选：A

5.已知关于x的不等式加工2-4x+加20的解集为R，则加的取值范围为()

A.B.

C.(2,+00)D.[2,+00)

【答案】D

【解析】

【分析】讨论加=0和加W0时，从而求出不等式恒成立时实数加的取值范围.

【详解】当加=0时，—4x20,解得xVO,不合题意；

fm>0

当加w0时，〈/、2，解得mN2.

(-4)—4xmxm<0

故选：D.

6.不等式（加+l）x+加<0的解集中恰有三个整数，则实数加的取值范围为（）

A.{加卜34加<5}B.{间一24加〈一1或4〈加〈5}

C.{间一3<加<1或4c加<5}

D,卜"卜34加〈一2或4〈加W5}

【答案】D

【解析】

【分析】由含参一元二次不等式的求解方法，对参数加分类讨论得到结果.

【详解】x2一（阴+l）x+加<0=（%—1）（工一加）<0,

①当加=1时，明显不符合题意；

②当"2>1时，不等式的解集为1<X（加，

由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为2,3,4,故4〈加K5；

③当加<1时，不等式的解集为加<x<l,

由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为0,-1,-2,故-3Wm<-2.

所以实数加的取值范围为{加卜3V加〈一2或4〈加W5}.

故选：D.

7.数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公

式Sf（p_a）（p_b）（p_c）求得,其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公

式.现有一个三角形的周长为12,a=4,则此三角形面积的最大值为（）

A.4B.4A/2C.473D.475

【答案】C

【解析】

【分析】由题意得b+c=8,p=6,代入S=J0（0-a）（0-4）（0-。）化简后利用基本不等式可求得答

案

【详解】由题意得6+c=8,p=6,

贝US=j6（6_4）（6-4）（6-c）=2>/3x］（6-b）（6-c）W邪i（6-b+6-c）=4G，

当且仅当6=c=4时，等号成立，此时三角形的面积有最大值，且最大值为4百.

故选：c

,、\a,a<b,,、\b,a<b,

8.已知min{a,Z?}=<，max{a,Z?}=<则下列选项错误的是(

\b,a>b,[a,a>b,

A.min{(z,Z?!+max{«,Z?}=a+b

.、a+b—\ci-b\

B.vmn[a,b]=-------------L

C.max+6)2,(«-Z))~|<a2+Z)2

Dmax{|a+耳，.一码Nmax{问，网}

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可知min{a,b}表示a,Z?中的最小值，max{a,6}表示a,Z?中的最大值.

依据最大值最小值的定义逐一分析选项可得结果.

【详解】由题意可知min{a,b}表示中的最小值，max{a1}表示a,b中的最大值.

对于选项A,因为min{a,6},max{a,6}分别取a,Z?中的一个最小值与一个最大值,

所以min{a,Z?}+max{a,Z?}=a+6,故A正确.

对于选项B,当a>6,则min{a,b}=b,"+

LL.t.(\ab—\ci—b\

所以mm{Q,6}=---------------

,,.(-a+b-\a-b\a+b-(b-a\~…、a+b-\a

当a46时r，min[a,b]=a,-------J------U-------A----所以min{a,b}=----------------

综上所述，min{a,b}=土心[^——,故B正确.

对于选项C,取a=6=l,则max{(a+6/,(4—6)2}=4,

而/+〃=2，此时max{(a+by,(a-by}>a2+b2,故c错误.

对于选项D,当卜+.<卜—可，即仍W0时，max^|(2+Z)|,|fi!-&|j=|(2-Z)|,

因为仍WO,所以,一耳》时，卜一同2例，所以max{|a+qJ"W}»max{时,同}；

当卜+“〉,—W，即ab＞0时，max｛，+W，|a-耳｝=|a+@，

因为仍＞0,所以,+4卜+62同，所以max｛|a+W,卜一码之max｛问,同｝.

综上所述，max｛|a+W，|a—@｝»max｛同,同｝,故D正确.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=x〃的图象经过点贝IJ()

A./(x)的图象经过点[%g]B./(x)的图象关于y轴对称

C./(x)在定义域上单调递减D./(x)在(0,+")内的值域为(0,+")

【答案】AD

【解析】

【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据塞函数的性质判断.

【详解】将点的坐标代入/(x)=x“，可得a=—1,

则/(x)=L

所以/(X)的图象经过点[9,g],A正确；

根据幕函数的图象与性质可知/(x)=工为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性，

函数/(x)=—在(0,+8)内的值域为(0,+8),故BC错误,D正确，

故选：AD.

10.下列说法中，正确的是()

A.若“〉人2,仍＞0,则,B.若巧

I!>不b，贝n!j,q>6

abcc

C.若b〉a〉0,m＞Q,则”％＞区D.若a>b,c<d,贝！Ja—c〉b—d

b+mb

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用不等式的性质一一判定选项即可.

【详解】对于A,若a=-2]=-1,则工=—，>▲=—1,故A错误；

a2b

ab

对于B,可知02>0，不等式F〉二两侧同乘以02,有a>b,故B正确;

,a+ma(b-a^m

对于C,利用作差法知--石

b(b+m)

由Z)>a>0,m>0,知(b—Q)加〉0/(b+机)〉0,

a+ma(b-a)m

即-------=>0,故C正确;

b+mb7-b\7-b--+---m-)7

对于D,由"c<d,c<“知。〉"一c〉—d,由不等式同向可加性的性质知D正确.

故选：BCD

11.高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设

xeR,用符号国表示不大于x的最大整数，如[1.6]=1,[-1.6]=-2称函数/(x)=[%]叫做高斯函数.下

列关于高斯函数/(x)=[x]的说法正确的有()

A./(-3)=-3

B.若/(。)=/伍)，则同<1

C.函数y=〃x)-x的值域是

D,函数〉=x-/(x)在[1,+8)上单调递增

【答案】ABD

【解析】

【分析】由高斯函数/(X)=[x]的定义逐一判断即可.

【详解】对A,由高斯函数的定义，可得/(-3)=-3,故A正确;

对B,若/(。)=/伍)，则同=[句，而[可表示不大于x的最大整数，则一即|"耳<1,

故B正确；

对C,函数y=/(x)-X,当X=1时，J=/(l)-l=[l]-l=0,故C错误；

x(l<x<2)

2x(2<x<3)

对D,函数y=X・/(%)=xJx]=<即函数y=x-/（x）为分段函数，在[1,+8）上单调递

3x(3<x<4)

增，故D正确.

故选：ABD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.二次不等式"2+区+1>0的解集为<x—1<X<；Q,则仍的值为.

【答案】6

【解析】

1b

1—1-1—=----

【分析】由二次不等式与二次方程的关系可得r3a,从而得解.

、3a

【详解】二次不等式ax1+bx+\>0的解集为<x-l<x<^>,

则。<0,且ax?+6x+l=0的两个根为一1和1.

1b

—1Id-=--

所以<]:",解得。=—3]=—2.

、3a

所以ab=6

【点睛】本题主要考查了二次方程与二次不等式的关系，属于基础题.

13.已知函数/（X）是奇函数，且当x<0时，/（X）=X3-3X+1,则/（2）=,当x〉0时,

/（%）=-

【答案】①.1②.X3-3X-1

【解析】

【分析】不妨设x〉0,则-x<0,将-x代入解析式，由/（_》）=—/（x）即可求解.

【详解】设x〉0,则—x<0,又因为x<0,/(X)=X3-3X+1,

所以/(—x)=-x3+3x+1,

,•,y=/(》)是奇函数，，/(一》)=—/00，所以-/(%)=7?+3丁+1,

即/(X)=X3-3X-1,且/(2)=1.

故答案为：①1

@X3-3X-1

14.函数y=/(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=/(x)为奇函数，可以将其推广为:

函数y=/(x)的图象关于点尸(。,6)成中心对称的充要条件是函数y=/(x+。)-b为奇函数.已知函数

/(%)=工3—3f图象成中心对称，贝U：

/(-2O22)+/(-2O21)+-+/(O)+/(l)+/(2)+-••+/(2023)+/(2024)=.

【答案】-8094

【解析】

【分析】根据给定的充要条件，利用待定系数法求出函数/(x)的对称中心，再求值即可.

【详解】设函数/(力=/—3/图象的对称中心为尸(d6),

设g(x)=/(x+a)—b=(x+a)3-3(x+a)2-b,则g(x)为奇函数，

g(-x)=/(-%+«)-&JLg(-x)=-g(x),贝！]/(_x+a)-6=6-/(x+a),

即f(—x+a)+/(x+a)=2b,即[(—x+a)，—3(—x+a)~]+[(x+a)，—3(x+a)~]=2b,

/、，,,f6(z-6=0fa=1

整理得(6"6)一+2成一6。--26=0,于是I、3,2c,>解得c，

'72a3-6a2-2b=0M[b=-2

因此函数/(力=/—3/图象的对称中心为(1,—2),则/(—x+l)+/(x+l)=—4,

令S=/(—2022)+〃—2021)+…+/(O)+/(l)+/(2)+•••+/(2023)+/(2024),

则S=/(2024)+〃2023)+…+/(2)+/(1)+/(0)+-一+/(—2021)+/(—2022),

于是2s=4047x(—4),解得S=—8094,

所以/(―2022)+/(-2021)+---+/(0)+/(1)+/(2)+-••+/(2023)+/(2024)=-8094.

故答案为：-8094

【点睛】结论点睛：函数V=/(x)的定义域为。，VxeZ),

①存在常数a,6使得/(x)+/(2a—x)=2b=/(a+x)+/(a—x)=2b,则函数歹=/(x)图象关于点

(a,6)对称.

②存在常数。使得/(x)=/(2a—x)=/(a+x)=/(a—x),则函数歹=/(x)图象关于直线x=a对称.

四、解答题：本大题共5小题，其中15小题13分，16题与17题每小题15分，18题与19

题每小题17分，共77分.

x+3,x<0

15.已知函数/(x)=<

-x2+2x,x>0

(1)求/(/(—2))的值；

(2)在给出的坐标系中画出函数/(x)的大致图象，并写出函数/(x)的单调区间和值域.

【答案】(1)1；(2)作图见解析，增区间为(-8,0],(0,1],减区间为[1,+8),值域是(一叫3].

【解析】

【分析】(1)判断并代入求出函数值.

(2)画出给定函数的图象，结合图象求出单调区间及值域.

【小问1详解】

x+3,x<0

函数/(X)=2c-贝2)=1,所以/(/(—2))=/■⑴=1.

-X-+2x,x>0n

【小问2详解】

当x<0时，/(x)=x+3,其图象是直线y=x+3在〉轴及左侧部分；

当x〉0时，/(X)=-X2+2X,其图象是抛物线歹=—%?+2%在〉轴右侧部分,

函数/(x)的大致图象，如图：

函数/(X)的递增区间为(―8,0],(0,1],递减区间为[1,+8),

当x<0时，/(x)e(-co,3];当x〉0时，/(x)e(-8,1],

所以函数/(X)的值域是(-8,3].

16,设集合/={》,2—2加x+加2vo},5=|x2-4x-5<0J.

Cl)若加=5,求4cB；

(2)若“xe/”是“xeB”的充分不必要条件，求实数%的取值范围.

【答案】(1)^n5={x|4<x<5}；(2)0<m<4；

【解析】

【分析】

(1)由集合描述求集合A、B,根据集合交运算求(2)由充分不必要条件知B,即可求加

的取值范围.

[详解]5={X|X2-4X-5<O}={X|-1<X<5},

(1)加=5时，A=<^x|x2-10x+24<0^={x14<x<6},

Ar>B={xI4<x<5}；

(2)“工£4”是“工£5”的充分不必要条件，即B,

又/二卜卜之一2mx+加2-lV()}二{x|加一IVxV加+1}且加一1〈加+1,

m-1>-1

掰.I。，解得。*为

【点睛】本题考查了集合的基本运算，及根据充分不必要条件得到集合的包含关系，进而求参数范围，属

于基础题.

17.如图，在周长为8的矩形48CD中(其中48〉2。)，现将V48c沿ZC折叠到V48'C,设/9与

CD交于■点E,设4B=x,B'E=y.

（1）求△8'EC的周长；

（2）试用x表示V,并求x的取值范围；

（3）当x为何值时，△8'EC的面积S取得最大值，并求出该最大值.

Q

【答案】（1）4；（2）>=4一一,2<x<4；

X

（3）当x=2啦时，△8'EC的面积S取得最大值12-8近.

【解析】

【分析】（1）通过证明△/£>£三ACS'E,即可得到/£=。£,。£=8'£,从而求出48'£。的周长.

（2）在火/VB'CE利用勾股定理并结合（1）即可建立B'E和％的关系，根据题意即实际意义可求出x的范

围.

（3）将△8'EC的面积表示出来，再利用基本不等式求最大值即可.

【小问1详解】

依题意，NAED=NCEB：NADE=ZCB'E,AD=CB',

则VADE=ACB'E,于是AE=CE,AD=CB',DE=B'E,

因此砥+05'+5'£=砥+/。+。£=/。+。。=4,

所以△B'EC的周长为定值4.

【小问2详解】

由折叠知AB'=AE+B'E=AB=x,则AE=x—y,即CE=x—y,

由（1）知C£++CS'+5'£=4,即（x—y）+C8'+y=4,则CS'=4—x,

在RtAB'EC中，由勾股定理得8'£2+8，。2=砥2,

Q

即必+（4—x）2=（x—y）2,化简得y=4——,

而AB>AD,AB+AD=4,则x>4—x且x<4,即2Vx<4,

8

所以歹二4——,2<x<4.

x

【小问3详解】

在Rt^B'EC中,S='5'C-8'E=L（4—X）（4—»）=12—3—2X,2<X<4,

22xx

则S=12—（"+2x）W12—2、S.2X=12—8、5，当且仅当屿=2%，即》=2夜时等号成立，

x\xx

所以当x=20时，△8'EC的面积S取得最大值，为12-8JL

18.已知函数/（力=竽/是定义在［—1』上的奇函数，且/。）=1

（1）求加，〃的值；

（2）用定义法判定/（x）的单调性；

（3）求使/（。-1）+/（。2-1）<0成立的实数。的取值范围.

【答案】（1）m=2,n=0

（2）/（x）在［-U］上是增函数.

⑶［0,1）.

【解析】

【分析】（1）由函数在x=0处有定义得/（0）=0,联立/（1）=1待定系数加，〃，再利用定义证明函数的奇

偶性即可；

（2）按“区间取值一作差变形——符号判断”的步骤利用定义法判定即可得；

（3）结合函数的奇偶性与单调性解抽象不等式的方法求解，注意函数的定义域.

【小问1详解】

因为函数/（可是定义在上的奇函数，

7（o）=o［〃=°W=2

所以1八1,得加+〃，，解得c，

=1［^―=1〔〃=0

2x

验证：当加=2,〃=0时，/（%）=———.

X+1

由题意，/（X）的定义域［-1,1］关于原点对称.

-2x

且任意都有/(—x)=;一六二含=-小),

(r)+1

所以/(x)是奇函数，满足题意.

故加=2,〃=0.

【小问2详解】

/(X)在[-U]上是增函数.

2x

由(1)知，/(%)=——-,xe[T,l].

证明：设VXi，/e[T1],且再<%2，

2匹2X2_2可代+1)-2%2_2伉-XJG/T)

则/(xj—/(工2)=

x：+lxf+1卜：+1乂岐+1)(片+川君+1)

-1<^<x2<1,x2-x1>0,x[x2-1<0,(X；+*后+1)>0,

.•./(x1)-/(x2)<0,.-./(x1)</(x2),

・•・f(x)在［-1』上是增函数.

【小问3详解】

+-1)<0=/("l)<-/任-1)，

因为/(x)是定义在［-1,1］上的奇函数,

所以_/—1)=/(l—a),

则叫，

2Y

由(2)知/(x)=丁匚在[-U]上是增函数,

X+1

—1<a—l<l0<a<2

所以《-1<«2-1<1,即<Q<a2<2,解得0<a<l.

Cl—1<1—Q2—2VQV1

故实数。的取值范围是［0,1).

-l.xeM,

19.对于集合跖定义函数京(x)=<W”对于两个集合MN,定义集合

MM={x|九(x)/(x)=—1}.已知/={2,4,6,8,10},5={1,2,4,8,16}

（1）写出以（1）和/（1）的值，并用列举法写出集合NAS；

（2）用Can/（河）表示有限集合“所含元素的个数，求Card（丛4）+C