高中数学专项复习：垂直问题的证明（原卷版）

第三篇立体几何

专题02垂直问题的证明

常见考点

考点一线面垂直的判定

典例1.如图，在正方体瓦G2中，E,尸分别是棱耳G,左8的中点，求证:

CV平面EAB.

变式1-1.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA=PC,判断直线

AC与平面是否垂直，并说明理由.

变式1-2.如图，在VABC中，M为边的中点，沿AM将折起，使点8

在平面ACM外.在什么条件下直线AM垂直于平面BMC?

变式1-3.如图，在三棱柱ABC-ABC中，V3CC］为正三角形，AC1BC,

4?1=20，40=相=2，尸为B片的中点，证明：CCJ平面AC/.

A

考点二面面垂直的判定

典例2.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，ZABC=60，如，平面ABCD,

且E,M分别为BC,尸£＞的中点，点尸为棱PC上一动点，证明：平面A£F,平面尸AD

变式2-1.如图，正三棱柱ABC-9G中，AB=4,的=3四，M,N分别是棱AG,

AC的中点，E在侧棱上，且AE=2EA,求证：平面MEB_L平面8硒；

B

变式2-2.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面MC，底面ABCD,

求证：平面SCDJ_平面S3C.

变式2-3.已知AB是圆的直径，出垂直圆所在的平面,C是圆上任一点.求证:平面

A3C_L平面PAC.

考点三线面垂直的性质

典例3.如图，已知P0,平面ABC,AC=BC,。为AB的中点，求证：AB1PC.

变式3-1.如图所示，尸是边长为1的正六边形ABCDE/所在平面外一点，PA=l,P

在平面ABC内的射影为BF的中点0.证明上4，3户.

变式3-2.如图，在三棱锥P-ABC中，CDLAB,垂足为D,尸0,底面ABC,垂足

为O,且。在C。上，求证：AB1PC.

变式3-3.如图，在空间四边形PABC中，AC=BC,ZACB=90,AP^BP=AB.求

证：PC1AB

考点四面面垂直的性质

典例4.在三棱锥P-ABC中，。,石分别为464。的中点，且C4=CB.

p

⑴证明：〃平面PDE；

⑵若平面PCD，平面ABC,证明：AB1PC.

变式4-1.如图，在四棱锥P-A3CO中，PA^PD,底面A8CD是矩形，侧面

，底面ABC。，E是A。的中点.

4-----------B

(1)求证：AD〃平面PBC；

(2)求证：PAD

变式4-1.如图所示，△PDC所在的平面与长方形A8CD所在的平面垂直.

D.

(1)求证：BC〃平面尸/M；

(2)求证：BC±PD.

变式4-2.如图，P是四边形A3CD所在平面外的一点，四边形A3CD是ZZMB=60。的

菱形，PA=PD,平面尸AD垂直于底面A3C£),G为AD边的中点.求证:

(1)3G,平面PAD-,

(2)AD.LPB.

巩固练习

练习一线面垂直的判定

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，阴，平面ABCD,AD±CD,AD//BC,阴=AD=CD=2,

PF1

BC=3.E为PD的中点，点E在PC上，＜—求证：CD,平面出D

2.如图，在四棱锥P—ASCD中，尸3,平面ABC。，AB1BC,AD//BC,AD=2BC,

点E为棱尸。的中点.

⑴求证：CE〃平面融&

(2)求证：AD_L平面B4B

3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3C。是正方形，PDL平面A3CD.

⑴求证：BC〃平面PAD；

(2)求证：AC_L平面PBD

4.如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADLCD,AJBHCD,

AB=AD=2,CD=4,Af为CE的中点.

(1)求证：3A///平面ADEF；

⑵求证：BC_L平面

练习二面面垂直的判定

5.如图，在四棱锥尸-ABCD中,四边形ABCD是菱形，尸A=PC,E为尸3的中点.

⑴求证:P。面AEC；

(2)求证:平面AEC±平面PDB.

6.四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，2kPAD为等腰直角三角形，ZAPD=90°,

面PAD上面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分别为PC和BD的中点.

(1)求证：EF〃面PAD；

(2)求证：面PDCJ_面PAB；

7.如图，在四棱柱ABCD-ABCQ中，平面瓦，底面MCQ,>ZABC=j.

(1)求证：BC〃平面ABC；

(2)求证：平面A平面A4G.

8.如图所示，在四棱锥P-ASCD中，AD//BC,AD±AB,面ABCD_L面上45.

求证：(1)AD//平面P3C；

(2)平面平面PAB.

练习三线面垂直的性质

9.P为正方形ABCD所在平面外一点，PA±ffiABCD,AE1PB,求证：AE1PC.

10.如图，已知在正方体A3CZ)-中，E为4G的中点.求证：CELBD.

11.如图，在三棱锥S-A5c中，AB=AC,SB=SC.求证：SA±BC.

12.如图，正方体ABC。-ABCR中，求证4CL8D.

练习四面面垂直的性质

13.如图，在四棱锥P-A3C。中，底面A8CO是直角梯形，S.AD//BC,ABA.BC,

BC^2AD,已知平面平面ABC。，E,尸分别为BC,PC的中点.

p

求证：(1)ABH平面QEV;

(2)BC_L平面QE尸.

14.如图，矩形ABC。所在平面与半圆弧CO所在平面垂直，”是半圆弧上异于C,

。的点.

/M

Z

J*

HB

(1)证明：直线平面BMC；

(2)在线段AM上是否存在点尸，使得MC//平面P8D?说明理由.

15.如图，在四棱锥P—A8CD中，AB//CD,AB±AD,CD=2AB,平面出。，底

ffiABCD,PALAD,E和歹分别是CO和PC的中点.求证：

p

(1)出