14.4 全等三角形的判定的综合（第6课时）（教学课件）-2023-2024学年七年级数学下册同步课堂（沪教版）

14.4全等三角形的判定的综合（3）2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件主讲典例解题方法：模型介绍：倍长中线法模型介绍：手拉手模型模型介绍：夹角模型例题11

如图，根据六年级第二学期学过的用直尺圆规作角的平分线的方法，画出了∠AOB的平分线,请说明这种方法正确的理由.A0B解：联结CD、CE.

在△OCD和△OCE中OD=OE(所作)DC=EC(画弧时所取的半径相等)OC=OC(公共边).所以△OCD≌△OCE(S.S.S)得∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等)即OC是∠AOB的平分线A0BCD例题12

已知AD⊥AB，AE⊥AC，AD⊥AC，AD=AB，AE=AC，那么DC与BE相等吗?为什么?解:因为AD⊥AB,AE⊥AC(已知)，所以∠DAB=∠EAC=90°(垂直的意义),得∠DAB-∠BAC=∠EAC-∠BAC(等式性质)即∠DAC=∠BAE.在△ADC与△ABE

中，AD=AB(已知)∠DAC=∠BAE，AC=AE(已知)所以△ADC≌△ABE(S.A.S)因此DC=BE(全等三角形的对应边相等)ABCDE模型介绍：夹角模型模型介绍：倍长中线模型例题13如图，AD是△ABC的BC边上的中线，AB=4，AC=3，求AD的取值范围．解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．因为AD是BC边上的中线(已知)，所以BD=CD．(三角形中线的定义)在△ABD和△ECD中，AD=DE(作图)∠ADB=∠EDCBD=CD所以△ABD≌△ECD(SAS)，所以AB=EC(全等三角形的对应边相等)．BCDAE模型介绍：倍长中线模型例题13如图，AD是△ABC的BC边上的中线，AB=4，AC=3，求AD的取值范围．因为AB=4(已知)，所以CE=4(等量代换)．在△ACE中，EC-AC＜AE＜AC+CE(三角形三边关系)，而AC=3(已知)，所以1＜AE＜7．因为AE=AD+DE，且AD=DE，BCDAE

模型介绍：手拉手模型例题14如图，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．(1)求证：AE=CD；(2)求证：AE⊥CD；BEDCA证明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，在△ABE和△CBD中，AB=CB∠ABE=∠CBDBE=BD∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE=CD．模型介绍：手拉手模型例题14如图，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．(2)求证：AE⊥CD；BEDCA证明：∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE=∠BCD，∵∠NMC=180°-∠BCD-∠CNM，∠ABC=180°-∠BAE-∠ANB，又∠CNM=∠ANB，∵∠ABC=90°，∴∠NMC=90°，∴AE⊥CD．1.如图，已知∠1=∠2，∠BAD=∠BCD，则下列结论：①AB∥CD，②AD∥BC，③∠B=∠D，④∠D=∠ACB，正确的有(____)A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD，∴①正确；C∵∠BAD=∠BCD，∴∠BAD-∠1=∠BCD-∠2，即∠DAC=∠BCA，∴AD∥BC，∴②正确；∴∠D+∠DAB=∠B+∠DAB=180°，∴∠B=∠D，∴③正确；只有当AB=AC时才会有∠B=∠ACB=∠D，∴④不正确；综上可知正确的有三个，故选：C．2.如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有(____)A.5对B.6对C.7对D.8对【解析】解：由平行四边形的性质可知：△ABD≌△CDB，△ABO≌△CDO，△ADE≌△CBF，△AOE≌△COF，△AOD≌△COB，△ABC≌△CDA，△ABE和△CDFC故选：C．3.下列说法中：①如果两个三角形可以依据“ASA”来判定全等，那么一定也可以依据“AAS”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形全等，那么这两个三角形也一定全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对角对应相等．正确的是(____)A.①和②B.②和③C.①和③D.①②③A【解析】解：①如果两个三角形可以依据“ASA”来判定全等，那么一定也可以依据“AAS”来判定它们全等，根据三角形内角和定理可知，本小题说法正确；②如果两个三角形都和第三个三角形全等，那么这两个三角形也一定全等，根据全等三角形是能够完全重合的三角形可知，本小题说法正确；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等，本小题说法错误；故选：A．4.如图，A、C、D、B四点共线，AC=BD，∠A=∠B，∠E=∠F，图中全等三角形有(____)对．A.2B.3C.4D.5【解析】解：∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，即AD=BC，又∵∠A=∠B，∠E=∠F，B∴△ADE≌△BDF(AAS)①∴∠ADE=∠BCF，∠PCA=∠QBD∴△APC≌△BQD(ASA)②∴AP=BQ∵∠A=∠B∴AM=BM∴PM=QM可证△ADE≌△BCF(AAS)③．故有三对全等三角形，故选：B．5.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=4，AC=6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．(1)求证：△ADC≌△EDB．证明：∵延长AD到点E，使DE=AD，在△ADC和△EDB中，AD=ED(已作)，∠ADC=∠EDB(_____________)，CD=BD(中点定义)，∴△ADC≌△EDB(_____)．(2)探究得出AD的取值范围是_________．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图2，△ABC中，∠B=90°，AB=4，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=8，且∠ADE=90°，求AE的长．对顶角相等SAS1＜AD＜5

∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；(3)解：如图2，延长AD交EC的延长线于F，___∵∠B=90°，EF⊥BC，∴∠ABD=∠FCD=90°，在△ABD和△FCD中，

6.如图，AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．(1)求证：AB∥CD；(2)直线EF过点O，分别交AB，CD于点E，F，试判断OE与