高三物理一轮复习多维度导学与分层专练：电磁感应中的单棒问题（含答案及解析）

2025届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练

专题64电磁感应中的单棒问题

导练目标导练内容

目标1三类常见单棒问题

目标2三类含容单棒问题

【知识导学与典例导练】

一、三类常见单棒问题

模型规律

1、力学关系：工=礼止；叱

jR+厂mm(R+r)

Xx_X

2、能量关系：［

-mv^-O=Q

阻尼式(导轨光滑)

3、动里电里关系：一5力q=n=

;

1、力学关系：(£-£R)(E-B/v)

iA—DLDv

R+rR+r

mm(R+r)

—11—

XXX2、动量关系：BLq—Nmgt=rnvm_G

「XXX

3、能量关系：qE=Q+〃mgS+gmv；

电动式(导轨;赳糙)

4、稳定后的能量转化规律：

/mil=反+彳加(夫+厂)+卬0皿

5、两个极值：(1)最大加速度：v=0时,E反=0,电流、加速度

最大。

r；；

/=__E__Fm=BIm1*z7——FUmi_-_j__u_m_g

R+rm

最大速度：稳定时，速度最大，电流最小。

(2)

:E-B1Vm

而11R+r，

jumg=F=Bl1=BE~BlVmI

产bminmin八,

R+r

1、力学关系：17J7p2/2

b-r-/imgrBIv

(i—B—

mm机(R+r)

2、动量关系：Ft—BLq—firngt=mvm-。

3、能量关系：]

Fs=Q+/L1mgs+

XXX4、稳定后的能量转化规律：(BLV)2

Fv,n=0m+8匕

R+r

5、两个极值：

2之电式（导轨粗糙）

(1)最大加速度：当V=0时，尸…。

上一"mg

U

m-m

(2)最大速度：当a=0时，

F-F-jumgFB212V

a=--------B--^――=--------------——jug=0

mmm(R+r)

【例1】如图所示，两条足够长的平行金属导轨固定在水平面内，处于磁感应强度大小为2、

方向竖直向下的匀强磁场中，两导轨间距为L左端间接一电阻R,质量为相的金属杆ab

静置于导轨，杆与导轨间动摩擦因数为〃.现给金属杆一个水平向右的冲量金属杆运动

一段距离x后静止，运动过程中与导轨始终保持垂直且接触良好.不计杆和导轨的电阻，重

力加速度为g.则金属杆ab在运动过程中

八

XXXX;BX

XX，oXX!X

R---->

XXXX;XL

XXXX：x)f

b

A.做匀减速直线运动

B.杆中的电流大小逐渐减小，方向从b流向a

D2T2J

C.刚开始运动时加速度大小为-〃g

mR

D.电阻R上消耗的电功为-jumgx

2m

【答案】BD

【详解】AB.金属杆获得冲量/。后，速度v=%,对金属杆应用右手定则分析可得电流方向

m

是b到a,受安培力方向向左，根据牛顿第二定律是=8〃=应包，〃机g+g互=〃M，

RR

所以杆做的是加速度减小的减速直线运动，A错误B正确

p2T2T

C.刚开始运动时，〃〃.+生豆=〃切，v=九，联立解得:啜+"g'C错误

Rm

D.对金属棒应用动能定理：0-^mv2=-W^-^imgx,克服安培力的功等于转化给回路的电

能即电阻消耗的电功，解得：W^=^--/imgx,D正确。

【例2】如图所示，固定于水平面的"u"形导线框处于磁感应强度大小为B,方向竖直向下

的匀强磁场中，导线框两平行导轨间距为d,左端接一电动势为Eo,内阻不计的电源。一质

量为机、电阻为R的导体棒垂直平行足够长导轨放置并接触良好，忽略摩擦阻力和导轨

的电阻。闭合开关S,导体棒从静止开始运动，经过时间t,达到最大速度运动的距离为（）

x.Wx

XXX*

“B~d'Ent-2mEnR„mE0R

B3d3B3d3

2

Bd-EQt-mE0RmE°R

行B2d,

【答案】C

【详解】闭合开关S后，线框与导体组成的回路中产生电流，导体棒受到安培力作用开始加

速运动，导体切割磁感线会使电路中的电流变小，加速度变小，当导体切割磁感线产生的电

动势等于电源电动势时，电路中的电流为零，导体棒不受安培力作用，合外力为零，开始做

匀速运动，即达到稳定运动.有Eo=Bdv

解得，=与对导体棒用动量定理碗”=Bdq=mv整个过程中通过导体棒的电荷量

Ba

（£-

_石_（综-E）t_<>_g，-A①_Eot-Bxd联立解得x=二/七呜区故C正

q=u=------------=---------------=------------=-------------7?储，

RRRR

确,ABD错误；

故选C

【例3】如图，固定在水平桌面上的足够长的光滑金属导轨cd、eg处于方向竖直向下的匀

强磁场中，金属杆ab与导轨接触良好，在两根导轨的端点d、e之间连接一电阻，其他部分

电阻忽略不计，现用一水平向右的恒力P作用在金属杆ab上，使金属杆由静止开始向右沿

导轨滑动，滑动中杆ab始终垂直于导轨，金属杆受到的安培力用尸妄表示，则下列说法正

确的是（）

Xxxaxxxxx

d\--------------I-----------------------c

XnxXXXXXX

XXXXXXXX

A.金属杆ab做匀加速直线运动

B.金属杆ab运动过程回路中有逆时针方向的电流

C.金属杆ab所受到的尸安先不断增大，后保持不变

D.金属杆ab克服安培力做功的功率与时间的平方成正比

【答案】BC

【详解】AC.金属杆受到的安培力为是=2辽=2T金属杆在恒力作用下向右做加速运动，

随速度v的增加，安培力变大，金属杆受到的合力减小，加速度减小，当安培力与恒力合力

为零时金属杆做匀速直线运动，安培力保持不变，由此可知，金属杆向右先做加速度减小的

加速运动，然后做匀速直线运动，故A错误，C正确；

B.由右手定则或楞次定律可知，金属杆ab运动过程回路中有逆时针方向的感应电流，故B

正确；

p2T-22

D.安培力的功率为七=是"=色/如果金属杆做初速度为零的匀加速直线运动，则丫=

加金属杆克服安培力做功的功率与时间的平方成正比，由于金属杆先做加速度减小的加速运

动后做匀速直线运动，因此金属杆ab克服安培力做功的功率与时间的平方不成正比，故D

错误。故选BC。

二、三类含容单棒问题

模型规律

1＞电容器充电量：Q=CE

2、放电结束时电量：Q=cu=CBlVm

12_

__XX

3、电容器放电电量：△Q=A—Q=CE—CB/%

4、动量关系：5力•加=yBICE

放电式（先接1,后接2。

mm+B212c

导轨光滑）

5、功能关系：12m（BlCE）2

皿安=2*=2(m+924

-1__1----达到最终速度时：

LX「°

~Txxx1、电容器两端电压：u=Blv（v为最终速度）

无外力充电式（导轨光滑）2、电容器电量：q=CU

例

4]

3、动里关系：一BI}M--Blq=mv-mv0；v_-%

—m+B212c如

图,

1、力学关系：F-FA=F-BLI=ma

两

根

XX2、电流大小：八。CAC/CBM

I=----=-------=---------=CBla相

AZAZAt

有外,力充电式（导轨光滑）互

3、加速度大小：p

a--------------平

2

m+CB1}行

的

光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上,在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R

的电阻。质量为机、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导

轨电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器所带的电荷量

为。，合上开关S后，（）

A.通过导体棒电流的最大值为名

RC

B.导体棒MN向右先加速、后匀速运动

C.导体棒MN速度最大时所受的安培力也最大

D.电阻R上产生的焦耳热大于导体棒上产生的焦耳热

【答案】AD

【详解】在运动过程中为非纯电阻，MN上的电流瞬时值为2=匕”

R

A.当闭合的瞬间，Blv=O,此时MN可视为纯电阻R,此时反电动势最小，故电流最大

17=-u=--Q-

taxRCR

故A正确；

B.当时，导体棒加速运动，当速度达到最大值之后，电容器与及R构成回路,

由于一直处于通路的形式，由能量守恒可知，最后终极速度为零，故B错误；

C.在运动过程中为非纯电阻电路，上的电流瞬时值为，=匕也当〃=B/v时，MN

R

上电流瞬时为零，安培力为零此时，速度最大，故C错误；

D.在加速度阶段，由于反电动势存在，故上电流小于电阻R上的电流，电

阻R消耗电能大于上消耗的电能（即禺>耳出），故加速过程中，QR>QMN;当MN

减速为零的过程中，电容器的电流和导体棒的电流都流经电阻R形成各自的回路，因此可

知此时也是电阻R的电流大，综上分析可知全过程中电阻R上的热量大于导体棒上的热量,

故D正确。故选AD。

【例5】如图所示，光滑的平行长导轨水平放置，导体棒静止在导轨上，与导轨垂直且

接触良好，电容C足够大，原来不带电；现使导体棒沿导轨向右运动，初速度为%,设导

体棒的速度为八动能为丸、两端的电压为电容器上的电荷量为4。下列图像中正确

的是（）

1M

XX~X~X

N

【答案】A

【详解】开始时，导体棒向右运动，产生感应电动势，同时电容器充电，回路中有感应电流,

导体棒受到向左的安培力而做减速运动，随速度的减小，根据少可知感应电动势减小，

R2T2

充电电流减小，安培力减小，则棒的加速度a=色&减小，当加速度减为零时导体棒做匀

m

速运动，此时电容器两板间电压恒定不变；此过程中电容器一直充电，电量一直增加，MN

间电压一直增加，最后不变，则选项A正确，BCD错误。

故选Ao

【例6】如图甲所示，宽度为L的足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面上，导轨左端连

接一电容为C的电容器，将一质量为机的导体棒与导轨垂直放置，导轨间存在垂直导轨平

面向下的匀强磁场，磁感应强度为8,用与导轨平行的外力厂向右拉动导体棒，使导体棒由

静止开始运动，作用时间b后撤去力E撤去力F前棒内电流变化情况如图乙所示，整个过

程中电容器未被击穿，不计空气阻力，下列说法正确的是（）

甲

A.有外力作用时，导体棒在导轨上做匀速运动

B.有外力作用时，导体棒在导轨上做匀加速直线运动

C.外力F的冲量大小为用（或+篇）

CJDJL

D.撤去外力F后，导体棒最终静止在导轨上，电容器中最终储存的电能为零

【答案】BC

【详解】对电容器Q=CU,贝U△Q=C△U,/=些；AU=AE=BZAv；解得1=^^=CBLa,

AtAZ

则导体棒的加速度a恒定，做匀加速运动，选项A错误，B正确；根据牛顿第二定律：F-BIL-ma,

rrjTm

则F=BIL+B，则外力F的冲量大小为/产司=%（比+选项C正确；撤去外力F

CBLCBL

后，导体棒开始时做减速运动，当导体棒产生的感应电动势与电容器两端电压相等时，回路

中电流为零，此时安培力为零，导体棒做匀速运动，此时电容器两端的电压不为零，则最终

储存的电能不为零，选项D错误；故选BC.

【多维度分层专练】

1.用如图所示的电路来研究反电动势，水平金属导轨通过开关和电池相连，匀强磁场的磁

感应强度8竖直向下，当开关闭合后，光滑导体棒由静止开始运动，与导轨始终接触良好,

导体棒最终以垂直导棒的速度V匀速运动，电池的电动势为E,回路的总电阻始终为R,导

轨的间距为3导棒与金属导轨的夹角始终为53。，sin53°=0.8,下列说法正确的是（）

A.导体棒两端的感应电动势的方向为“好6

B.电源的电动势与导棒速度的关系为丫=券4F

JBL

C.当导体棒的速度为a时，反电动势为4=m8〃，回路中的电流为要

44H

D.当反电动势为”,回路的电流为/时，能量转化关系为以+综/=/次

【答案】B

【详解】A.当回路中有感应电流，根据右手定则，从上向下看，流过导体棒的感应电流沿

逆时针方向，即导体棒两端的感应电动势沿逆时针方向，故A错误；

B.当导体棒以速度v匀速运动时，导体棒不受安培力，回路中没有感应电流，感应电动势

R/4尸

与电源的电动势等大反向，即E=—v可得丫=出故B正确；

sin535BL

C.当导体棒的速度为"时，反电动势综回路中的电流为/=占0=吟警故

4R4R

C错误；

D.当反电动势为4,回路电流为/时，由/=与与改写为=进一步可得

R

/次二双-综/故口错误。

故选Bo

2.如图所示，光滑平行金属导轨与水平面成一定角度，两导轨上端用一定值电阻相连，该

装置处于一匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上。现有一金属杆仍以沿导轨平面向

上的初速度丫。从导轨底端开始运动，然后又返回到出发位置。在运动过程中，M与导轨垂

直且接触良好，不计防和导轨的电阻，则在下列图像中，能正确描述金属棒油的速度与时

间关系的是（）

【答案】D

p2T2D2r2

【详解】上滑过程中，有机gsin6+±»=3解得〃=gsin6+色冬贝IJ金属杆〃。做力口速度

RmR

2

DT2

逐渐减小的减速运动，直到速度为0。下滑过程，有相gsin0-、叱=〃/解得

D2r2

"=gsin"之父则金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，直到加速度为0时，速度达

mR

到最大值，最后做匀速运动。

根据速度与时间图像的斜率表示加速度，则能正确描述金属棒ab的速度与时间关系的是D

图，所以D正确；ABC错误；故选D。

3.如图甲所示，电阻不计、间距为/、足够长的光滑平行导轨固定在一绝缘水平面内，导轨

左端连接阻值为R的定值电阻，金属杆仍垂直导轨放置，接入电路的电阻也为R,且始终

与导轨接触良好，整个装置置于竖直向下的匀强磁场中。金属杆/受到水平向右的拉力尸

作用沿导轨向右匀速运动，拉力尸与杆的速度v的关系如图乙所示，图中工、％均为已知

量。则该匀强磁场的磁感应强度大小为（）

2F.R

【答案】B

【详解】金属杆做匀速运动，有尸=是=3〃，/=占，E=Rv解得F=丝在当—%，尸=片

2H27?

时，解得

B=故ACD错误，B正确。故选B。

4.水平放置的光滑金属长导轨W和之间接有电阻R,导轨左、右两区域分别处在方

向相反且与轨道垂直的匀强磁场中，右侧区域足够长，方向如图。设左、右区域的磁感应强

度分别为囱和史,一根金属棒"放在导轨上并与其正交，棒和导轨的电阻均不计。金属棒

在水平向右的恒定拉力作用下，在左边区域中恰好以速度v做匀速直线运动，则（）

Mg

XX

XX•••

XX:F/2.

XXX•

N

A.若B2=BI,棒进入右边区域后ab受到安培力的方向发生改变

B.若棒进入右边区域中后仍以速度v做匀速运动

C.若用=28/,棒进入右边区域后先做减速运动，最后以速度］做匀速运动

D.若B2=2BI,棒进入右边区域后先做加速运动，最后以速度41，做匀速运动

【答案】B

【详解】AB.金属棒在水平向右的恒力作用下，在左边区域中以速度V做匀速直线运动，恒

力厂与安培力平衡，若B2=BI,棒进入右边区域后，棒切割磁感线的感应电动势与感应电

流大小均没有变化，棒所受安培力大小和方向也没有变化，与恒力产仍然平衡，则棒进入

右边区域后，以速度v做匀速直线运动，故A错误，B正确；

CD.若B2=2BI,棒进入右边区域后，棒产生的感应电动势和感应电流均变化，所受的安培

力也变大，恒力没有变化，则棒先减速，随着加速度减小，感应电动势和感应电流减小，棒

所受安培力减小，当安培力与恒力再次平衡时，棒做匀速直线运动，设最大速度为v,在左

侧区域有歹=变旦在右侧区域做匀速运动，有户=空上=（24）”"即「=上所以棒最

RRR4

后以:做匀速运动，故CD错误。故选B。

4

5.如图1、2中，除导体棒用可动外，其余部分均固定不动，图1中的电容器C原来不带

电。设导体棒、导轨电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计，图中装置均在水平面内，

且都处于方向垂直于水平面（即纸面）向里的匀强磁场中，导轨足够长。现给导体棒仍一

个向右的初速度也，在图1、2两种情形下，关于导体棒"的运动状态，下列说法正确的是

（）

A.图1中，油棒先做匀减速运动，最终做匀速运动

B.图2中，油棒先做加速度越来越小的减速运动，最终静止

C.两种情况下通过电阻的电荷量一样大

D.两种情形下导体棒ab最终都保持匀速运动

【答案】B

【详解】A.图1中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，由于充电

电流不断减小，安培力减小，则导体棒做变减速运动，当电容器C极板间电压与导体棒产

生的感应电动势相等时，电路中没有电流，外棒不受安培力，向右做匀速运动，故A错误;

BD.图2中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，导体棒受向左的安培力而做减速

运动，随速度的减小，电流减小，安培力减小，加速度减小，最终油棒静止，故B正确，

D错误；

——

C.根据弓=BIL有陵=BILt=qBL=mAv得q=-电荷量跟导体棒ab的动量变化量成

正比，因为图1中导体棒的动量变化量小于图2,所以图1中通过R的电荷量小于图2中通

过R的电荷量，故C错误。

故选Bo

6.电磁炮简化原理图如图所示，电磁炮以大容量电容器为电源，电容器充电后放电，在导

轨与导体棒和弹体中形成放电电流，弹体与导体棒在安培力的推动下获得动能。设电容器电

容为C,充电后电压为U。，平行光滑金属导轨间存在磁感应强度大小为8、方向垂直纸面

向下的匀强磁场，导轨宽度为L导体棒长也为L导体棒与弹体质量为相。在运动过程中，

导体棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好，导轨、导体棒和弹体电阻均忽略不计。某次导体

棒与弹体离开导轨时，电容器的带电荷量减小为初状态的;，则此次发射过程中导体棒与弹

体离开导轨时获得的动能为（）

X

XX

22*(7为：42辽2。然

【答案】C

【详解】若导体棒与弹体获得的速度为v，根据动量定理可得=又方=△«；

422

联立解得人竺篙所以导体棒与弹体在发射过程中获得的动能线=竺『故ABD

错误，C正确。

故选C。

7.如图所示的甲、乙图中，MN.PQ是固定在同一水平面内足够长的平行金属导轨。导体

棒用垂直放在导轨上，导轨都处于垂直水平面向下的足够大的匀强磁场中，导体棒和导轨

间接触良好且摩擦不计，导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，甲图中的电容器C原

来不带电。今给导体棒一个向右的初速%,甲、乙图中导体棒ab在磁场中的最终运动状

态是（）

A.甲图中棒仍最终静止，乙图中“6棒最终做匀速运动

B.甲图、乙图中，棒仍最终均做匀速运动

C.甲图中棒仍最终做匀速运动，乙图中棒仍最终静止

D.甲图、乙图中，棒H最终都静止

【答案】B

【详解】甲图中，必获得初速度后向右运动产生感应电动势，从而为电容器充电，充电过

程中仍受到安培力而减速，产生的感应电动势E逐渐减小，而电容器两端电压U从零开始

逐渐增大，当U=E时，回路中不再有电流，即最终M将做匀速运动。

乙图中，获得初速度后先向右运动，且向右运动的过程中必将始终受到向左的安培力而

减速，当速度减为零后，必将向左开始做加速运动，同时产生与电源电动势相反的感应电

动势，当感应电动势增大到与电源电动势大小相等时，仍将做匀速运动。综上所述，故选B。

8.在甲、乙、丙、丁四图中，除导体棒协可以移动外，其余部分均固定不动，图中的R

为定值电阻，导体棒和导轨电阻均不计，导体棒和导轨之间的摩擦力也不计，图中装置均在

水平面内，且都处于方向垂直于水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长。图甲、

乙、丙中的导体棒油均受外力厂的作用，其中图甲、丙中外力厂为恒力，图乙中外力厂的

功率恒定，图丙中的电容器C原来不带电，图丁中的电容器C已充电，四个图中导体棒仍

从静止到最终做匀速运动的是（）

甲乙丙丁

A.图甲B.图乙C.图丙D.图丁

【答案】ABD

D272

【详解】A.图甲中的尸为恒力，由尸-"上=〃也可知随着速度的变大，导体棒"的加速

R

度越来越小，当加速度为。时，导体棒仍做匀速运动，A符合题意；

po212

B.图乙中的尸的功率恒定，由二-三?=根。可知随着速度的变大，导体棒"的加速度越

vR

来越小，当加速度为。时，导体棒仍做匀速运动，B符合题意；

C.由尸=I==C—U==Bia可得a=—J------可知图丙导体棒。〃从静

NtNtAtCBl-+m

止开始一直做匀加速直线运动，C不符合题意：

D.设图丁中的电容器两端的电压为"c，由8〃=〃•宅处=〃也可知随着速度的变大，

导体棒外的加速度越来越小，当加速度为。时，导体棒。6做匀速运动，D符合题意。故选

ABD„

9.如图所示，足够长的平行光滑金属导轨倾斜放置，与水平面夹角为30。，两导轨间的距

离为L,导轨顶端接有电容为C的电容器。一根质量为机的均匀金属棒湖放在导轨上，与

两导轨垂直且保持良好接触，整个装置放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向

垂直于导轨平面向上，重力加速度为g,不计一切电阻。由静止释放金属棒，金属棒下滑x

的过程中电容器未被击穿，下列说法正确的是（）

'bB

c.

--------

A.金属棒做加速度越来越小的加速运动

Imex

B.金属棒下滑x时的速度n，2W+2*C）

C.金属棒下滑x的过程中电容器储存的电荷量居*不

-mgCB2l?x

D.金属棒下滑尤的过程中，电容器储存的电场能E电=2（：+Bg

【答案】CD

【详解】A.导体棒沿光滑导轨下滑切割磁感线产生动生电动势，同时给电容器充电，由牛

顿第二定律有

mgsin30°-BiL=ma而充电电流为i=包=,""='配""=CBLa联立可得

加NtAr

a=2（加黑2^2）可知加速度恒定,即金属棒做匀加速直线运动，故A错误；

B.金属棒做匀加速直线运动，则下滑x