湖北省武汉市江岸区2024-2025学年高三年级上册11月调考数学试卷（含答案解析）

湖北省武汉市江岸区2024-2025学年高三上学期11月调考数学

试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合人={*1<%<1},B={x|0<x<2},则A|JB=()

A.1x|-l<x<21B.|x|-l<x<21

C.1x|O<x<l|D.|x|0<x<2}

4

2.已知复数z在复平面内对应的点为(2,-1),则7言=()

A.1+iB.3+iC.1-iD.3-i

3.若a>6>0,c<0,则下列结论正确的是()

A.ac>bcB.a+c<b-\-c

C.—<—D.a—c<b—c

ab

4.设等差数列{4}的前,项和为S“，已知4$=7%-21,则与=()

A.-2B.-1C.1D.2

5.若向量丽=(2,5),AC=(m,m+l),且A,B,。三点共线，则机=()

0,贝IJ不等式少的解

7.定义在R上的奇函数/(%)在(O,+e)上单调递增，且了

“2

集为()

A.1-应，-;U("+”)

c.U{。}U(逝',+8)

2222

8.已知椭圆£:=+与=1a>4>0）与双曲线G：1-2=1（出>。也>0）有相同的焦点

42a2b2

耳,尸2,若点尸是C1与g在第一象限内的交点，且忻用=2|尸阊，设q与G的离心率分别为

6©,则4-G的取值范围是

A.->+°°JB.+C.3,+0°）D.fp+0°J

二、多选题

9.近年来，我国持续释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，如图所示，是我国从2014

年到2023年的国内游客出游花费统计，下列说法正确的是（）

A.从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的第75百分位数为4.9

B.从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的中位数为3.4

C.从2014年到2023年，这10年的国内游客出游花费的极差为2.7

D.从2014年到2019年，国内游客出游花费呈现上升趋势

10.记等比数列｛%｝的前〃项积为（，且生，4eN*,若7；。=65,则%+4的可能取值为（）

A.-7B.5C.6D.7

22

11.已知点尸是左、右焦点为K，尸2的椭圆C：土+乙=1上的动点，则（）

84

A.若/耳「鸟=90。，则西桃的面积为40

B.使为直角三角形的点P有6个

C.|尸同-2忸段的最大值为6一2亚

试卷第2页，共4页

D.若则|尸耳|+怛闾的最大、最小值分另U为40+岑和4应一专

三、填空题

12.某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:。C)

有关.如果最高气温不低于25℃,需求量为600瓶；如果最高气温位于区间［20℃,25℃),

需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃,需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划，

统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：

最高气温[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数45253818

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需

求量不超过无瓶的概率估计值为01，贝口=.

13.已知直线/倾斜角的余弦值为-手，且经过点(2,1),则直线/的方程为.

14.1557年，英国数学家列科尔德首先使用符号“=”表示相等关系，在莱布尼茨和其他数学

家的共同努力下，这一符号才逐渐被世人所公认.1631年，英国数学家哈里奥特开始采用

符号”＞，，与“＜，，,分别表示“大于,，与“小于，，，这就是我们使用的不等号.以上内容是某校数

学课外兴趣小组在研究数学符号发展史时查阅到的资料，并组织小组成员研究了如下函数与

不等式的综合问题：已知函数/(力=2丁-2〃优+〃?(〃?eR),g(x)=-3f,若关于x的不等

式/'(x)Vg(x)在区间［1,依)上有解，则实数加的取值范围是.

四、解答题

3

15.在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为6,J已知。＞。，a=5,b=6,sinC=-.

(1)求c和sinA的值；

(2)求三角形BC边的中线AD长.

16.已知抛物线和双曲线都经过点M(L2),它们在x轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，

抛物线的顶点为坐标原点.

(1)求抛物线和双曲线标准方程；

⑵己知动直线加过点P(3,O),交抛物线于A,8两点，记以线段AP为直径的圆为圆C,求证：

存在垂直于X轴的直线/被圆C截得的弦长为定值，并求出直线/的方程.

17.如图，在三棱柱ABC-ABC中，侧面AC£A_L底面ABC,AC=M=2,AB=1,BC=M,

点E为线段AC的中点.

⑴求证：A耳//平面BECX；

7T

(2)若=求二面角A-BE-G的余弦值.

18.已知函数〃尤)=%-1一上ln_r,左HO.

⑴当左=2时，求曲线〃x)在x=l处的切线方程；

⑵若"x)Z0,求上的值；

(3)设机为整数，且对于任意正整数小[1+3][1+"["[1+：]＜加’求机的最小值.

19.已知0为坐标原点，对于函数〃x)=asinx+反o&x,称向导的'=(。⑼为函数的

互生向量，同时称函数/(x)为向量丽的互生函数.

⑴设函数/(X)=cos+xj+cos(-X)，试求f(x)的互生向量两■;

⑵记向量西的互生函数为“X),求函数y=/(2x)在xe0,|上的严格增区间;

(3)记丽=(2,0)的互生函数为,若函数g(x)=〃x)+2石|cosx|-左在[0,2兀]上有四个

零点，求实数上的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BBCBBADDADBD

题号11

答案BCD

1.B

【分析】根据补集的定义求解即可.

【详解】因为A=｛R-L<尤<“，8=｛尤|04尤42｝,

所以Au8=｛尤卜1<*42｝.

故选：B.

2.B

【分析】根据复数的概念和运算法则计算可得.

4z8-4i(4-2i)(l+i)^^=3+i

【详解】由题意,因为z=2—i,所以——二7下

z-i2-21(「i)(l+i)2

故选：B.

3.C

【分析】根据不等式的性质以及作差法可求得结果.

【详解】对于A：因为♦>/?>(),c<0,利用不等式的性质得acv6c,故A错误；

对于B：根据不等式可加性可知：a>b>0,c<0,则a+c>)+c,故B错误；

对于C：作差可得工一；==，因为所以力一“<。，贝故C正确;

ababab

对于D：c<0,则-c>0,根据不等式可加性可知：a-c>b-c,故D错误.

故选：C.

4.B

【分析】结合等差数列｛见｝的前〃项和公式以及等差数列的性质即可求出结果.

【详解】设设等差数列｛%｝的公差为d，因为$7=7皿；%)=7%,4s7=7%-21,

所以4(7%)=7%—21,所以28(%+d)=7(生+4d)—21,解得?=—1.

故选：B.

5.B

答案第1页，共13页

【分析】由题意可得通〃*，根据两向量平行的坐标运算求解即可.

【详解】解：由A,B,C三点共线，

得旗〃就，

2

得2(m+l)-5加=0,解得m

故选：B.

6.A

【分析】以；为整体，利用诱导公式结合倍角公式求sin20,cos26,结合两角和差公式

4

运算求解.

(JI।Ji(n3^1

【详解】因为6e0,-,则夕+：eb

口(八兀)V10-日.(n兀)]2(n~^53A/10

且cos3H—=-----，可*住fsin0H——11—cos0—=-----，

I4j10I4)丫[4J10

则sin26=sin]2[e+：]-]=-cos2^+^=l-2cos2+=，

c八八兀)兀3

cos20=cos26+——=sin2l6>+^j=2sinl6>+^jcosl<9+^

I4)25

匚UI、I•(c八兀、1.my/3cc4+3y/3

以sin26—=—sin23--cos26=-------，

I3J2210

故选：A.

7.D

【分析】首先根据函数的奇偶性、单调性，判断/'(0)=0,7■(%)在(-8,0)上单调递增，且

尸，j=0，再结合函数/(x)的单调性解不等式即可.

【详解】由题意可得，/(o)=o,/(X)在(一8,0)上单调递增，且=

由老M得/(-v)<0/(x)>0

或

X2-2>0'X2-2<0

,."(X)WO时，X<,ng0<X<j,

又/一2>0，即x<-0，或x>&,

答案第2页，共13页

故解得x<_a,

[x-2>0

・.・/(x)N0时，一；<九40,或

又f-2<0,即-0<%v0,

故乃解得YK0

^-<x<y/2,

[x-2<033

则不等式老4。的解集为:

故选：D.

8.D

【分析】设椭圆与双曲线的半焦距为闺叫=2c,|尸片|=匕由题意可得％-4=c,用表示出

%,结合二次函数的性质即可求出范围.

【详解】如图所示：

设椭圆与双曲线的焦距为闺词=2c,|P/|=f,由题意可得

•：t+c=2aX,t-c=2a2

t=2a1-c,t=2a2+c,:.2a{-c=2a2+c,即4-%=。

由《2>1可知0<工<1,令x=」e(0,l),

:.y=x2+xG(0,2),

%八e2

答案第3页，共13页

所以02-0]>3，故选D.

【点睛】本题主要考查了双曲线和椭圆的性质以及离心率的问题，考查了转化思想，属于中

档题.

9.AD

【分析】根据图中数据，将其从小到大一排列，即可逐一求解.

【详解】由图可知：10年游客出游花费从小到大排列为2,2,2,2.9,3,3.4,3.9,4.6,4.9,

5.1,5.7,故10*75%=7.5,故第75百分位数为第八个数4.9,A正确,

中位数为：屋3.65,故B错误，

2

极差为5.7—2=3.7,C错误，

由折线图可知从2014年到2019年，国内游客出游花费呈现上升趋势，D正确，

故选:AD

10.BD

【分析】利用等比数列的性质得出生&=6,再把6拆成两个正整数的积，只有2x3,1x6两

种，从而可得见+4.

55

【详解】由题意T10=ala2---a10=(a5a6)=6,

二。5a6=6,又GseN*,而%4=6=lx6=2x3,

a5+a6=1+6=7或〃5+4=2+3=5,

故选：BD.

11.BCD

【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定

义可求线段和差的最值，判断CD.

22

【详解】A选项：由椭圆方程工+乙=1,所以"=8,b2=4,所以片=4-/=4,

84

所以△月尸耳的面积为S=〃tan幺笋=4,故A错误；

B选项：当产月,耳工或尸居，月月时△片尸鸟为直角三角形，这样的点尸有4个，

设椭圆的上下顶点分别为S,T,则闺用=4,|少=2,.'.\OS\=；闺用，同理|OT|=J耳局,

知/£58=/居*=90。，所以当尸位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形，

答案第4页，共13页

其他位置不满足，满足条件的点尸有6个，故B正确；

C选项:由于|尸周—2|尸阊=2°—|尸国—2|尸阊=4夜—3|尸阊,

所以当|正耳|最小即。=2/-2时，|尸£|-2忸耳|取得最大值6-2/，故C正确;

D选项：因为|尸耳|+|9|=2加|「鸟|+|尸闾=4五+|尸闾-|朋|,

又仍闾卡小也|=乎,则|尸耳+|尸”|的最大、最小值分别为40+争口40-冬

当点尸位于直线班与椭圆的交点时取等号，故D正确.

故选：BCD

12.300

【分析】根据频率分布表的频率估计概率，进而得解.

【详解】由表可知，最高气温低于25℃的频率为：^=0.1,

所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.

故答案为：300.

13.2元+y-5=0.

【分析】由同角三角函数的基本关系求出直线斜率，点斜式求出直线方程即可.

【详解】设直线的倾斜角为。，由题意知cosa=-

贝1Jsina-Vl-cos2a=~~~，

所以k=tana=s^na=-2,

cosa

又直线过点(2,1)，

所以直线方程为y-1=-2(x-2),

即直线方程为2x+y-5=0.

故答案为：2中一5=0

答案第5页，共13页

14.[5,+oo)

2r3+3r22x3+3r2

【分析】分离参数得机2上土”，设九⑴:少+3、红训,利用导数求最值.

21v72x-lv7

【详解】由题意，知2尤3-2〃a+%4一3/，BP2x3+3x2<m(2x-l).

'2/+3/

因为xe[l,+oo),所以人23+；在[1,+co)上有解,只需加2

、2x—1

min

设，(X)=2；；3：(M1),对函数火力求导,

8x3-6x2彳(2天+若)(2了石)

得“(%)=>0,

(21)2(21)2

所以函数〃(X)在[1,”)上单调递增,所以从力而产入⑴=5,所以〃725.

故答案为：[5,+co).

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，可按如下规则转化:

一般地，己知函数y=f(尤)，无力],y=g(x)^ce[c,<7]

⑴若％\//文,心，总有/a)<g(w)成立,故/(x)1mx<g(x)1nto；

(2)若V%e[a,6],3x2e[c,<7],有/(%)<g(龙?)成立，故/'(x)1mx<g(x)111ax;

(3)若叫e[a,b],3%,&[c,d],有/&)<g(尤?)成立，故/⑺1n<8⑺鬲；

(4)若％e[a,6],叫e[c,d],有了(不尸8值),则/㈤的值域是g(x)值域的子集.

15.(1)。=如，sinA=^l；(2)恒.

132

【分析】(1)由三角形三条边的长度大小可知角C为锐角，由已知条件求出角C的余弦值,

再由余弦定理求出C,正弦定理求出SinA.

(2)由中线为边的△ACD中，用余弦定理即可求出.

34

【详解】(1)在VABC中，由已知可得故由sinC=y,可得cosC=g.

由已知及余弦定理，Wc2=a2+b2-2abcosC=13»所以c=JR,

a-曰..asinC3A/13

由正弦定理付sinA=------=-----

sinAsinCc13

所以，C的值为Ji?,SinA的值为续1.

13

答案第6页，共13页

4

(2)设5C边的中点为。，在△ACD中，cosC=-,由余弦定理得:

AD=卜02+(笥|一2xACx-xcosC=^62+^_2x6x^x1=半■

16.(1)/=4x,

3-2A/220-2

(2)证明见解析，x=2.

【分析】(1)由焦点在无轴上，可设出抛物线和双曲线的标准方程，将/(L2)代入科的抛

物线方程，求出焦点坐标，进而可得到双曲线的方程;

(2)与圆知识相结合，注意特殊三角形的应用.

【详解】⑴由已知，可设抛物线的方程为y=2px(°>0),

22

双曲线的标准方程为七=l(a>0,b>0)

ab

把点M(l,2)代入抛物线方程，求得p=2,

..•抛物线的方程为V=4x,焦点坐标为月(1,0).

则对于双曲线，右焦点坐标为用(1，。)，则另一个焦点坐标为月故c=l,

又M(l,2)在双曲线上，根据双曲线的定义知，

2.=|阿卜|"司=|V22+22-7O2+22|=2夜-2,

a=V2-1，a2=3—2^/2，b2=c2—a2=2y/2—2.

22

故双曲线的标准方程为己方-定3=1.

(2)由题意可得，AP的中点为C,/的方程为X=",以线段AP为直径的圆C交/于。、E

两个点，OE的中点为则C〃_L/.

设A(/X)，贝°伍,%)，x2=n,

则口C=JA尸卜;他-3)f-\CH\=寸一%=g(%-2尤2)+3

因为，VCffl)为直角三角形，且/CH£>=g,|cq2=|CH「+|HE)「

所以，F=|DCF-1"CF=：[(%]-3)2+靖]——2%)+3]2=(n-2)为一/+3〃，

显然，当〃=2时，口”「=-4+6=2为定直

答案第7页，共13页

所以，弦长为。闵=2|。叫=20为定值.

故存在垂直于x轴的直线/（即直线。E）,被圆截得的弦长为定值，

直线/的方程为x=2.

【点睛】本题中在求圆的弦长时，利用圆中的特殊直角三角形，通过勾股定理得到半弦长,

进而得到弦长.

17.（1）证明见详解

⑵一（

2

【分析】（1）连接交2。于点N,连接A®,利用线面平行的判定定理证明；

（2）由已知可知，△44.C为等边三角形，故4EJ.AC,利用面面垂直的性质定理可证得

底面9C,进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值.

【详解】（1）连接BG，交8（于点N,连接AE,

B

因为侧面3CG片是平行四边形,

所以N为与c的中点，又因为点E为线段AC的中点，

所以NE〃A用，

因为AB】（Z面BEC],NEu面BECX,

所以4月〃面BEG.

IT

（2）连接AC,\E,因为4AC=§,AC=M=2,

所以AA41c为等边三角形，A<=2,

因为点E为线段AC的中点，

所以AELAC,

答案第8页，共13页

因为侧面ACC|A_L底面A3C,平面ACGAPl平面ABC=AC,人石u平面ACCW,

所以AE,底面ABC,

过点E在底面A3c内作EF，AC,如图以E为坐标原点，分布以前，EC，可的方向为

x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

则E（0,0,0）,B孝，-；，。，G（0,2,73）,

\7

所以丽=EQ=（0,2,73）,

I22）

设平面5£G的法向量为沅=（须y,z）,

in-EB=x——y=0广

则<22，令A％=1,则y=6,z=-2

m-EC]=2y+6z=0

所以平面BEC,的法向量为m=（1,6,-2）,

又因为平面ABE的法向量为尢=（0,0,1）,

n„-20

贝！Jcosm,n=/:=------,

J1+3+42

经观察，二面角A-BE-G的平面角为钝角，

所以二面角A-8E-G的余弦值为一变.

2

18.（l）y=-x+l

（2）1

（3）3

答案第9页，共13页

【分析】(1)利用导数几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标，写出切线方程即可；

(2)利用导数研究“X)的最值，由最小值为0,进一步利用导数研究方程左-l--nA=O的

根即可；

(3)应用(2)的结论，结合数列求和知识研究机的取值范围，进而求得最小值.

【详解】(1)当左=2时，/(^)=x-l-21nx,(x>0),

所以广=所以切线的斜率为/'(1)=-1,

又因为=-21nl=0,

所以曲线f(x)在x=l处的切线方程为y=—(x—1),即y=-x+L

(2)因为/(力=1一人="，搂o,

XX

当左<0时，尸(尤)=T>o,

所以/(%)=%一1一左In九在(0,+8)上单调递增，

又因为(；］=-；+左山2<0,与〃丈)却不符；

当左>0时，由/'(%)='-&>0得%>左，

所以/(%)=尤-1-左Inx在(0,k)上单调递减，在(忆”)上单调递增.

所以/(%)之/(左)=左一1一左In左，所以左一1一左In左=0,

设g(x)=X—1-xlnx(x>0),

则g'(%)=1—(1+In%)=—Inx,

由g(r)>0,可得

所以g(x)=%T-％ln%在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

所以g(x)<g(l)=l-1-lnl=。，

所以左一1—kin左=0有唯一解，且左二1.

(3)由(2)知当%>0时，/(x)=x-l-lnx>0,

当且仅当％=1时，/(i)=o.

所以当％>0且xwl时，/(x)=x-l-lnx>0,

答案第10页，共13页

贝!Jx—l>lnx.

取x=l+^T(〃eN*),所以+

所以ln(l+；)<；,ln(l+^-)<^r，L,in(l+：)<：

乙乙乙乙乙乙

所以ln(l+；)+ln(l+/)+…+ln(l+f)<；+(+~+(.

乙乙乙乙乙乙

所以In(l+g)(l+*)…(1+£)

1111--

所以(1+”1+尹)…(1+F)<e?’<e

于是对于任意正整数n,V+r\<m,

只需eWm,又因为wieZ,所以m23,

则m的最小值为3.

【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题

（1）分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题;

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根