函数的性质-2025高考数学一轮复习讲义

第7讲函数的性质

知识梳理

1、函数的单调性

（1）单调函数的定义

一般地，设函数“X）的定义域为A,区间。屋A：

如果对于£）内的任意两个自变量的值%,马当玉＜工2时，都有•/（'）＜/（工2），那么就

说“X）在区间。上是增函数.

如果对于£）内的任意两个自变量的值与，Z，当不＜%时，都有了（占）＜/（々），那么

就说了（幻在区间D上是减函数.

①属于定义域A内某个区间上；

②任意两个自变量不，%且不＜々；

③都有/（占）＜/（々）或/（占）＞/（々）；

④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右

是下降的.

（2）单调性与单调区间

①单调区间的定义：如果函数/（无）在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数

/（X）在区间。上具有单调性，。称为函数于（x）的单调区间.

②函数的单调性是函数在某个区间上的性质.

（3）复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函

数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数

是减（增）函数，复合函数是减函数.

2、函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有关于y轴对

偶函数

/（-尤）=/（X）,那么函数/（尤）就叫做偶函数称

如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有关于原点对

奇函数

/（-X）=-/（九），那么函数/（X）就叫做奇函数称

判断了（-x）与的关系时，也可以使用如下结论：如果y（-x）-y（x）=o或

△zH=i(/(x)wo),则函数/(x)为偶函数；如果〃一x)+f(尤)=0或

f(x)

幺二0=-l(/(x)w0),则函数〃元)为奇函数.

以X)

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内

的任意一个x,r也在定义域内(即定义域关于原点对称).

3、函数的对称性

(1)若函数y=/Ix+a)为偶函数，则函数y=/(x)关于x=a对称.

(2)若函数y=/(x+a)为奇函数，则函数y=/(x)关于点(a,0)对称.

⑶若/(x)=/(2a-X),则函数/(x)关于尤=a对称.

(4)若/(x)+/(2a-x)=2Z?,则函数/(x)关于点(a,6)对称.

4、函数的周期性

(1)周期函数：

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都

有/•(x+T)=f(x),那么就称函数y=为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函数了(幻的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做

/(%)的最小正周期.

【解题方法总结】

1、单调性技巧

(1)证明函数单调性的步骤

①取值：设为，%是/(X)定义域内一个区间上的任意两个量，且占＜/；

②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；

③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

④得出结论.

(2)函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行

判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接

写出它们的单调区间.

(3)记住几条常用的结论：

①若/(x)是增函数，则-/(尤)为减函数；若/(尤)是减函数，则-/(x)为增函数；

②若于(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f{x}和g(x)的公共定义域上/(尤)+g(x)为

增(或减)函数；

③若/Xx)〉。且/(尤)为增函数，则函数4而为增函数，」一为减函数；

/(X)

④若f(x)>0且/(尤)为减函数，则函数为减函数，」一为增函数.

fM

2、奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数/(尤)是偶函数o函数/(尤)的图象关于y轴对称；

函数了(元)是奇函数o函数/(%)的图象关于原点中心对称.

⑶若奇函数y=/(尤)在x=0处有意义，则有/(0)=0；

偶函数y=/(x)必满足/(x)=/(|x|).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内

关于原点对称的两个区间上单调性相同.

(5)若函数/(%)的定义域关于原点对称，则函数/(%)能表示成一个偶函数与一个奇函

数的和的形式.记g(x)=g"(x)+f(-x)],/7(x)=g"(x)-f(-x)]，贝U/(x)=g(无)+/?(尤).

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除

四则运算所得的函数，如/(X)+g(x),f(x)-g(x),f(x)Xg(x),/(x)g(x).

对于运算函数有如下结论：奇土奇=奇；偶±偶=偶；奇士偶二非奇非偶；

奇x(+)奇=偶；奇x(+)偶=奇；偶x(+)偶二偶.

(7)复合函数y=/[g(x)]的奇偶性原来：内偶则偶,两奇为奇.

(8)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数/(%)=皿"+l)(xwO)或函数f(x)=m(^~―-).

a-1。+1

②函数/(X)=±3「「).

③函数f(x)=log。虫”=log”(1+用上)或函数f(x)=logo三”=log。(1--网-)

x—mx—mx+mx+m

2

④函数/(x)=log。(，/+1+x)或函数/(X)=loga(y/x+1-x).

注意：关于①式，可以写成函数/(x)=机+FL(xwO)或函数

a-1

/(无)=加一-——(meR).

a+1

偶函数：①函数f(x)=±(函+尸).

②函数y(x)=log.5小+1)-胃.

③函数y(lxi)类型的一切函数.

④常数函数

3、周期性技巧

函数式满足关系(尤eR)周期

f(x+T)=f(x)T

/(x+T)=①无)2T

/(尤+T)=I；/(尤+7)=_1

2T

/(x)/(无)

/(x+T)=/(x-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)47

ff(a+尤)=f(a-x)

2(/?-tz)

\f(b+x)=f(b-x)

\f(a+x)=/(a-x)

2a

[/(x)为偶函数

{f(a+x)=-f(a-x)

2(Z?-a)

f(b+x)=-f(b-x)

f(a+x)=-f(a-x)

2a

/(x)为奇函数

/(a+x)=/(a-x)

4(/?-a)

f(b+x)=-f{b-x)

ff(a+x)=于(a-x)

4a

[7(x)为奇函数

f(a+x)=-f(a-x)

4a

/(x)为偶函数

4、函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数/(尤)是周期函数，且

T=2(b-a)；

(2)若函数y=/(x)的图象有两个对称中心(a,c),(6,c)(a<6),则函数y=/(x)是周

期函数，且7=2(。一为；

(3)若函数y=/(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心S,0)(a<6),则函数

y=/(x)是周期函数，且7=4(。一。).

5、对称性技巧

(1)若函数y=/(x)关于直线x=a对称，则/(a+x)=/(a-x).

(2)若函数y=/(x)关于点(a,b)对称，贝！I/(a+x)+/(a-x)=2〃.

(3)函数y=/(a+x)与y=f(a-x)关于y轴对称，函数y=f(。+尤)与y=-/(。一彳)

关于原点对称.

必考题型全归纳

题型一：函数的单调性及其应用

例1.已知函数/(》)的定义域是R,若对于任意两个不相等的实数占，巧，总有

A：｝1%)>0成立,则函数“X)一定是()

A.奇函数B.偶函数C.增函数D.减函数

【答案】C

【解析】对于任意两个不相等的实数毛，巧，总有‘优)一/')>o成立,

x2-xx

等价于对于任意两个不相等的实数占<%，总有/a)</(x2).

所以函数/(x)一定是增函数.

故选：c

例2.若定义在R上的函数7U)对任意两个不相等的实数a,b,总有一⑷彳⑸>0成立,则

a-b

必有()

A.兀x)在R上是增函数B.7(%)在R上是减函数

C.函数人x)先增后减D.函数兀0先减后增

【答案】A

【解析】由:("),(”)>0知加)式。)与同号，即当a<b时，仙)勺S)，或当a>b时,

a-b

八〃)次份，所以«x)在R上是增函数.

故选：A.

例3.下列函数中，满足“〃%+,)=〃力/3”的单调递增函数是

A.=B./(x)=x

c./(x)D./(x)=3'

【答案】D

【解析】由于优•，=优”，所以指数函数〃x)=罐满足/(x+y)=/(x)+〃y),且当0>1

时单调递增，0<x<l时单调递减，所以/(x)=3，满足题意，故选D.

考点：幕函数、指数函数的单调性.

变式1.函数〃司=,-3尤+2］的单调递增区间是()

3

A.叵+力B.1,—和［2,+8)

「3D.15卜口［2,+“)

C.(一00,1］和-,2

【答案】B

x2-3x+2,x<l

【解析】y=|x2-3x+2|=<-x2+3x-2,l<x<2

x2-3x+2,x>2

和［2,+8).

故选：B.

变式2.(江苏省泰州市海陵区2024学年高三上学期期中数学试题)已知函数

,xe(0,+oo).

⑴判断函数AM的单调性，并利用定义证明;

(2)若/(2加一1)>/。—根)，求实数加的取值范围.

【解析】(1)Ax)在(0,+s)上递减，理由如下:

任取玉,工2(°，+°°)，且玉(尤2，则

2%2+2%

x2+l%+1

_2为（x2+1）-2%（尤i+1）

（尤2+D（尤1+1）

2(占一龙1

(尤2+1)(须+1)

因为不,工2W(0,+OO),且网<尤2,

所以玉-%<0,（%+1）（占+1）>0,

所以/(尤2)-](再)<0,即以尤2)</a)，

所以/W在(0,+co)上递减；

(2)由(1)可知/⑺在(0,+co)上递减,

所以由/(2加—一机)，得

2m-1>0

12

<l-m>0,解得一<根<一,

23

2m-l<l-m

所以实数加的取值范围为

变式3.(2024.全国.高三专题练习)设。>0,a^l,证明：函数利句=工zl是％的增函

数(x>0).

【解析】证明：当起>占>0,在伯努利不等式定理3中取l+x=a*,r=^,0<r<l,

X]

则有(l+x)’41+rx,即(a也尸+-1),

贝I]有“国<1+工(a*-1),从£1>工1,

工2X?再

即姒％)>四)•

所以当x>0时，0(x)是尤的增函数.

变式4.(2024・上海静安.高三校考期中)已知函数/(1)=二-£(〃>0),且/(0)=0.

a2

(1)求”的值，并指出函数/(x)的奇偶性；

(2)在(1)的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数Ax)在(-叫口)上是增函数.

【解析】(I)因为/(0)=1-4=0,又。>0,所以。=1,

a

所以/(x)=2*--xe(-co,-H»),

2

此时/(-x)=士-2r=-/(%),所以/(%)为奇函数；

2

⑵任取占<马，贝|/(占)一/(%)=2为一5一2*+5

2为一2巧||

二(2再一2电)+-----=(2再-2^)(1+----)=2%1(1+----)(]_2%一为),

+%2+%2+%2

因为再<龙2,所以*f>1,所以1-2也F<0,2'<1+不2)>。

所以/(%)-/(%)<。即/(%)</(马)，

所以函数f(x)在(-00,+00)上是增函数.

【解题总结】

函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行

判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接

写出它们的单调区间.

题型二：复合函数单调性的判断

例4.函数y=Jf+3x的单调递减区间为()

3

——,+oo

2

C.[0,+<z>)D.(-哂-3]

【答案】D

【解析】由题意，得d+3x20,解得xV-3或xNO,

所以函数y=77五的定义域为(e，-刃UtO,内),

3

令/=元2+3%,贝=f+3%开口向上，对称轴为工=一

2

所以yf+3]在(",-引上单调递减，在。+8)上单调递增,

而y=«在。+8)上单调递增，

所以函数y=4+3x的单调递减区间为(f,-3].

故选：D.

例5.（陕西省宝鸡市金台区2024学年高三下学期期末数学试题）函数y=log2（2x-Y）的

单调递减区间为（）

A.（1,2）B.（1,2]

C.（0,1）D.[0,1）

【答案】A

【解析】由2x-d>o,得0<x<2,

令1=2%一尤2,则y=log2f,

t=2x—f在（0,1）上递增,在（1,2）上递减,

因为y=log2：在定义域内为增函数，

所以y=log2（2x-Y）的单调递减区间为（1,2）,

故选：A

例6.（陕西省榆林市2024学年高三下学期阶段性测试）函数y=lg（2cosx-退）的单调递

增区间为（）

B.(2%乃+4,2%»+，乃|(%GZ)

A.（2k兀+71,2左万+2^-）（Z:GZ）

C.（2%万一7，2%乃]（左eZ）D.12%肛2左乃+?)(左GZ)

【答案】C

【解析】根据题意，2cosx-V3>0,解得，2kji-^<x<2k7r+y,k^Z

66

又函数y=/gx在定义域内为单调增函数，

且函数y=2cosx-g在^2k7r-^,2k7^,keZ内为单调增函数

根据复合函数的单调性可知：

y=/g（2cosx—的单调增区间为（2左乃-弓',2®）,keZ

选项C正确，选项ABD错误.

故选：C.

【解题总结】

讨论复合函数y=/[g（x）]的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数

的单调性.一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复

合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：

1、若M=g(x),y=/(〃)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y=/［g(x)］

为增函数；

2、若"=g(x),y=/(〃)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则

题型三：利用函数单调性求函数最值

例7.(河南省2024届高三下学期仿真模拟考试数学试题)已知函数/(尤)为定义在R上的

单调函数，且/(〃尤)-2*-2x)=10,则/(x)在［-2,2］上的值域为

"7"

【答案】--.io

【解析】因为/(%)为定义在R上的单调函数，

所以存在唯一的/eR,使得/(。=10,

则f(x)—2'-2x=r即〃。=2'+3f=10,

因为函数y=2'+3r为增函数，且22+3x2=10,所以y2,

f(x)=2x+2x+2.

7

易知“X)在［-2,2］上为增函数，且〃-2)=-：，"2)=10,

r7-

则“X)在［-2,2］上的值域为--,10.

"7"

故答案为：-“1。.

例8.(上海市静安区2024届高三二模数学试题)已知函数/卜)=(^(4>0)为偶函数,

则函数“X）的值域为.

【答案】［o,l

【解析】••・函数〃元）=工（。〉0）是偶函数,

2+1

优

24=>Q=V2

2X+1

.."（尤）=笠，易得/（无）>0,

设力=(近)'«>0),

则y=77i=17肛，

t

当且仅当r=［即r=i时，等号成立，

t

所以0</4，

所以函数“X）的值域为（0,；.

故答案为：［o,1.

例9.（河南省部分学校大联考2024学年高三下学期3月质量检测）已知函数

〃x）="+3x+l（a>0且awl）,若曲线y=〃x）在点（0/（0））处的切线与直线

x+2y-1=0垂直，则/（力在［-1,2］上的最大值为.

【答案】7+4

e

【解析】由题意得r（x）=a%ia+3,所以r（0）=lna+3,

因为切线与直线x+2y-l=0垂直，而x+2y-l=0的斜率为

所以切线斜率为2,即lna+3=2,解得a=e-,

所以〃%）=b+3%+1,且/'（力七",

显然((x)是增函数，

当xe[-l,2]时，r(x)>r(-l)=3-e>0,

所以“X)在［-1,2］上单调递增,故/⑴2=/(2)=7+5.

故答案为：7+—

变式5.(新疆乌鲁木齐市第八中学2024届高三上学期第一次月考)若函数

在区间［0,1］上的最大值为3,则实数%=.

【答案】3

【解析】•.•函数/("=生?=2+存，

X+lX+1

由复合函数的单调性知，

当机＞2时，〃力=今詈在［0,1］上单调递减，最大值为〃0)=m=3；

当机＜2时，〃力=今詈在［0』上单调递增，最大值为〃1)=个=3,

即777=4，显然"7=4不合题意，

故实数m-3.

故答案为：3

【解题总结】

利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值.常用到下面的结

论：

1、如果函数y=/(x)在区间(a,句上是增函数，在区间屹，c)上是减函数，则函数

y=/(x)(xea,c)在x=b处有最大值/(，).

2、如果函数y=/(x)在区间(a,句上是减函数，在区间g,c)上是增函数，则函数

y=/(x)(xea,c)在x=6处有最小值于(b).

3、若函数y=f(x)在［a,句上是严格单调函数，则函数y=f(x)在侬，句上一定有最

大、最小值.

4、若函数y=/(x)在区间［a,6］上是单调递增函数，则y=/(x)的最大值是了(6),最

小值是/(a).

5、若函数y=f(x)在区间［a,6］上是单调递减函数，则y=f(x)的最大值是/(a),最

小值是f(b).

题型四：利用函数单调性求参数的范围

(3a-1)x+4a(x<1)

例10.已知函数〃尤)=＜满足对任意的实数玉,巧且再。尤2，都有

[/(%)—/(尤?)](芯—W)<0,则实数。的取值范围为()

A.卜IB-H}CS

【答案】C

【解析】对任意的实数x户元2,都有[/&)-/&)]&-电)<0,即以正3<0成立,

%一工2

可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0,说明函数是减函数；

3d—1<0

可得：<。>0,

3a-l+4a>a

解得。仁

637

故选：C

例11.(吉林省松原市2024学年高三上学期第一次月考)若函数〃x)=loga(x3-6)

(。>0且"1)在区间，川内单调递增，则。的取值范围是()

A.加B.C.[：,+.D.

【答案】B

,1

【解析】函数/(x)=log03-*(a>0,awl)在区间(--,0)内有意义，

贝!](—甘H—ci..0,a...—,

224

设力=%3-依,则y=logj,tf=3x2-a

(1)当a>1时，y=logj是增函数，

要使函数/(%)=logjx3-ax)(a>0,aw1)在区间(一万,0)内单调递增,

需使t^x3-ax在区间(-；,0)内内单调递增，

贝懦使，=3/_/0,对任意xe(-10)恒成立，即。43尤2对任意彳€(-1，0)恒成立；

22

因为xe(——1,0)时，0<3d<±3所以a<0与矛1盾，此时不成立.

244

(2)当0<°<1时，y=log/是减函数,

要使函数〃无）=log.（尤3-依卜。>0,a*1）在区间（-1,0）内单调递增,

需使r=V-℃在区间（-：,0）内内单调递减，

2

则需使P=3/-a40对任意XeT0）恒成立,

2

即对任意xe（-;,0）恒成立，

13

因为工£（——,0）时,0<3%2<—,

24

3

所以〃…—，

4

3

又av1,所以二,,a<l.

4

3

综上，〃的取值范围是

4

故选：B

例12.（四川省广安市2024学年高三上学期期末数学试题）已知函数

'2

—X—CLX—9,X1

/（x）=a在R上单调递增，则实数a的取值范围为（）

一,X>1

、%

A.[-5,0）B.（-«）-2）

C.[-5,-2]D.SO）

【答案】C

【解析】由题意，xeR,

-2

~x—tzx—9,%<1

在〃X）=a中，函数单调递增,

一,X>1

IX

一〃

>1

2x(-0

a<0,解得：-5<a<-2,

-l-a-9<—

1

故选：C.

变式6.（江西省临川第一中学2024届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数

〃x）=log”（尤2-G+3）在[0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A.(0,1)B.(1,4)

c.(0,1)51,4)D.［2,4)

【答案】D

【解析】函数〃x)=log.(x2-⑪+3)在［0』上是减函数，

22

当0<。<1时，d-ax+3=(%-—)2+3-幺23-幺>0恒成立，

244

而函数"=V一依+3在区间［0』上不单调，因此不符合题意，

当时，函数y=log,"在(0,+s)上单调递增，于是得函数"=d-ax+3在区间［0』上

单调递减，

因此三21,并且12_。4+3>0,解得2Wa<4,

所以实数。的取值范围是［2,4).

故选：D

变式7.(天津市复兴中学2024学年高三上学期期末数学试题)已知函数

〃尤)=*+2"-5在［-2,4］上具有单调性，则实数上的取值范围为().

A.k<~AB.k>2

C.左或左22D.左<-4或左>2

【答案】C

【解析】函数〃x)=f+2履-5的对称轴为x=-左，

因为函数/⑺=/+2辰-5在［-2,4］上具有单调性，

所以一人24或一左V-2,即左WT或左22.

故选：C

【解题总结】

若已知函数的单调性，求参数。的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参

数。的不等式，利用下面的结论求解.

1、若a>/(x)在［加，川上恒成立oa>/(x)在［/",网上的最大值.

2、若a<f(x)在，川上恒成立oa</(x)在［m,上的最小值.

题型五：基本初等函数的单调性

例13.(2024•天津河西•天津市新华中学校考模拟预测)已知函数y=/(x+2)是R上的偶

函数，对任意毛，^2G[2,4W),且x产々都有".A"%)〉。成立.若a=/(i0gj8),

xt-x2一

(e2>(taio>

b=F[ln&J，c=/[e2j,则a,b,c的大小关系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解析】因为函数y=〃x+2)是R上的偶函数，

所以函数y=〃x)的对称轴为丈=2,

又因为对任意七，X2G[2,4W),且日片々都有:(斗)一：(%)>0成立.

玉-x2

所以函数y=/(x)在(2,+⑹上单调递增，

而3=log27>log18>log9=2ln^==lne2-Inyf2,=2-In^2<2,

333V2

InlO

cJT—_c”加

In10e2

所以e2>log18>2>ln

3正'

所以，

因为函数y=/(%)的对称轴为、=2,

所以6=/=/4-ln^==/（2+ln72）,

而a="logs18）=/（log39x2）=/（2+log32）,

因为In0<log32,

2

e

所以2<4-lng<log318<3,

所以bva,

所以b<a<c.

故选：A.

例14.(多选题)(甘肃省庆阳市宁县第一中学2024学年高三上学期期中数学试题)已知

函数“X)在区间［-5,5］上是偶函数，在区间［0,5］上是单调函数，且/⑶<〃1),则

()

A./(-1)</(-3)B./(0)>/(-1)

C./(-1)</(1)D./(-3)>/(5)

【答案】BD

【解析】函数/(X)在区间［0,5］上是单调函数，又3>1,且〃3)<〃1),

故此函数在区间［0,5］上是减函数.

由已知条件及偶函数性质，知函数/(x)在区间［-5,0］上是增函数.

对于A,-3<-1,故/(-3)<〃-1),故A错误；

对于B,0>-1,故故B正确;

对于C,=故C错误；

对于D,/(-3)=/(3)>/(5),故D正确.

故选:BD.

例15.(2024届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题)下列函数中，既是偶函数又

在区间(0,+8)上单调递增的是()

2|A1

A.>=尤3B.y=-x+1C.y=log2xD.y=2

【答案】D

【解析】根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案.函数y=/是奇函

数，不符合；

函数y=-/+i是偶函数，但是在(0,+勾上单调递减，不符合；

函数y=iog2x不是偶函数，不符合；

函数y=2㈤既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递增，符合.

故选：D

【解题总结】

1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解

决.

2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③

求复合函数单调区间（同增异减）.

3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定

义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数

定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.

题型六：函数的奇偶性的判断与证明

例16.利用图象判断下列函数的奇偶性：

一无?+2x+1,x>0

(D/(x)=，

X2+2x-l,x<0

x2+x,x<0,

⑵f(x)=

x2-x,x>0

(3)y=

(4)y=|log2(x+l)|；

(5)y=x~—2|x|—1.

【解析】(I)函数f(x)的定义域为(f,0)U(0,+8),

—尤2+2x+1,x>0

对于函数"x）=

2

X+2x-l,尤<0

当尤>0,/（尤）=-f+2x+l,为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为x=l,

当x<0,/（尤）=/+2尤-1,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为％=-1,

—+2x+1,x>0

画出函数/（©=-21x<。的图象’如图所示,

函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数;

(2)函数〃%)的定义域为(-8,0)U(0,+s),

x2+x,x<0

对于函数/（1）=

x2-x,x〉0'

当x<OJ（x）=/+x,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x=-J,

当工>0,/。）=/-尤，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x=；,

画出函数的图象，如图所示，

x一%,x>0

函数图象关于y轴对称，故/（x）为偶函数;

（3）先作出>=（；）*的图象，保留》=（；）'图象中无K）的部分,

再作出y=的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，

即得y=（?M的图象，如图实线部分.

由图知y=（；/的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.

（4）将函数y=log2X的图象向左平移一个单位长度，再将无轴下方的部分沿X轴翻折上

去，

即可得到函数y=|log2（x+l）曲图象，如图，

由图知y=|log2（尤+1）伯勺图象既不关于y轴对称，也不关于无轴对称,

（5）函数y=/（%）=/_2卜卜1={-,

［犬2+2尤一1,尤<0

当x20"（x）=/-2x-l,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x=l,

当天<0,/。）=炉+2了-1,为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为x=—1,

x2—lx—Lx>0

画出函数/（X）=",八的图象，如图，

x2'+2无一1,x<0

由图知,=/一2国_1的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.

例17.（2024・北京.高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+8）上单调递增

的是（）

A.y=cosxB.>=阴C.y=lgxD.y=—

X

【答案】B

【解析】对于A,函数y=cosx的定义域为R,且满足cos（-x）=cosx,所以其为偶函数,

在(0,兀)上单调递减，在(兀,2兀)上单调递减，故A不符合题意；

ex,x>0

对于B,设〉=〃"=朋，函数〃尤”别=1,的定义域为R,

(一),x<0

Ie

且满足/(-力=/(力，所以函数〃x)=e凶为偶函数，

当xe(0,+s)时，〃尤)=e'为单调递增函数，故B符合题意；

对于C,函数y=lgx的定义域为(0,+s),不关于原点对称，

所以函数>=lgx为非奇非偶函数，故C不符合题意；

对于D,设y=/(x)=』，函数〃尤)=工的定义域为(-8,0)U(0,E),关于原点对称，

XX

且满足〃-x)=-/(x)，所以函数〃X)=,为奇函数，

又函数"X)在(0,+8)上单调递减，故D不符合题意.

故选：B.

例18.(多选题)(黑龙江省哈尔滨市第五中学校2024学年高三下学期开学检测数学试

题)设函数/(x),g(x)的定义域都为R,且是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论

正确的是()

A./(xbg(x)是偶函数B.是奇函数

C.〃x>|g(x)|是奇函数D.是偶函数

【答案】CD

【解析】因为函数〃x),g(x)的定义域都为R,

所以各选项中函数的定义域也为R,关于原点对称，

因为/(x)是奇函数，g(为是偶函数,

所以/(r)=-/(x),g(-力=g(%),

对于A,因为f(-x).g(r)=-"x)g(x),

所以函数/(力*⑴是奇函数，故A错误；

对于B因为|/(-x»g(T)=k/(x»g(x)=,(x)|.g(x),

所以函数是偶函数，故B错误；

对于C,因为〃-X>|g(T)|=-〃X>|g(X)|,

所以函数〃a|g(x)l是奇函数，故c正确；

对于D,因为卜卜/'(x)-g(x)|=|/(x>g(x)],

所以函数|"彳"(*)|是偶函数，故D正确.

故选：CD.

变式8.(北京市海淀区2024届高三二模数学试题)下列函数中，既是奇函数又在区间

(0,1)上单调递增的是()

2

A.y=lgxB.y=—C.y=2凶D.y=tanx

x

【答案】D

【解析】对于A,y=lgx的定义域为(0,+e),定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函

数，故A错误，

对于B,〃力=：的定义域为(-8,0)11(0,内)，定义域关于原点对称，又

f(-x)=-x-^=-f(x),所以/⑺为奇函数，但在(0,1)单调递减，故B错误，

对于C,〃力=2凶的定义域为R,关于原点对称，X/(-X)=2M=2W^(X),故〃X)为偶

函数，故C错误，

对于D,/(x)=tanx,由正切函数的性质可知〃x)=tanx为奇函数，且在(0,1)单调递增，

故D正确，

故选：D

【解题总结】

函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的

对称性.

题型七：已知函数的奇偶性求参数

例19.(四川省成都市蓉城联盟2024学年高三下学期第二次联考)已知函数

〃x)=(e，+ae-)sin2x是偶函数，贝！Ja=.

【答案】-1

【解析】〃%)=付+4。卜M2彳定义域为区,

由/(-x)=〃尤)得：(1+ae")sin(-2尤)=(e*+aeTxjsin2x,

因为sin(-2x)=-sin2;v,所以一(b+常)=6*+4—*,故a=-l.

故答案为：-1

例20.(江西省部分学校2024届高三下学期一轮复习验收考试)若函数

/(x)=log2(16*+1)-办是偶函数，则log02=.

【答案】1

【解析】•••/(x)为偶函数，定义域为R,

...对任意的实数X都有"X)=f(T)，

即log?(16"+1)-ox=log,(16x+1)+ax,

Ax

2ax=log2(16+l)-log2(16+l)=log216=4x,

由题意得上式对任意的实数x恒成立，

2。=4,解得a=2,所以log”2=1

故答案为：1

例21.(湖南省部分学校2024届高三下学期5月联数学试题)已知函数

/(x)=2f+依+2,若/(x+1)是偶函数，则4=.

【答案】-4

【解析】因为/(x+1)是偶函数，

所以/(—x+l)=/(x+l),

2(—x+1J+a(—x+l)+2=2(x+l)~+a(尤+1)+2,

即8x=-2ax,

解得〃=Y.

故答案为：—4.

变式9.若函数/(x)=2e2'+ae&+l为偶函数，则〃=.

【答案】2

【解析】•.•函数/(x)=2e2，+aeT，+l为偶函数

/(x)=2e2'+ae~2x+1=/(-%)=le2x+ae2x+1

BP(2-a)e2j:=(2-a)e-to

2x2x2x2x

又e>0,e~>0,e丰e^(xH0)2一a=0

故答案为：a=0

【解题总结】

利用函数的奇偶性的定义转化为了(-x)=±/(x),建立方程，使问题得到解决，但是

在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.

题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值

例22.(2024年高三数学押题卷五)已知函数/(%)是奇函数，函数g(x)是偶函数.若

/(x)-g(x)=xsinx,贝I]/[20；3兀1=(

)

人2023兀「2023兀

A.-----B.-------C.0D.-1

22

【答案】C

【解析】由函数/(X)是奇函数，函数g(x)是偶函数,/(x)-g(x)=xsinx,

故/(一彳)_g(-x)=-xsin(-x),gp-/(x)-g(x)=xsin(x),

将该式和/(x)-g(x)=xsinx相减可得〃x)=0,

则d殁，=o,

故选：C

,.无？—3"，尤<0,

例23.(广东省湛江市2024届高三二模数学试题)已知奇函数/尤=/、，△则

g(