2025年湘教版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教版高二数学上册月考试卷923考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、函数y=x2cosx+9的导数为（）

A.y′=x2cosx-2xsin

B.y′=2xcosx-x2sin

C.y′=2xcosx+x2sin

D.y′=xcosx-x2sin

2、双曲线的两个焦点为F1，F2，若P上其上一点，且则双曲线离心率的取值范围为（）

A.

B.

C.

D.（1；+∞）

3、函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示；则下列说法正确的是（）

A.函数f（x）在（-2；3）内单调递增。

B.函数f（x）在（-4；0）内单调递减。

C.函数f（x）在x=3处取极大值。

D.函数f（x）在x=4处取极小值。

4、【题文】已知且则的值是（）A.B.C.D.5、【题文】等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示，若则的值为()A.B.1C.D.6、已知(1+x)(1鈭�2x)6=a0+1(x鈭�1)+a2(x鈭�1)2++a7(x鈭�1)7

则a3=(

)

A.220

B.350

C.380

D.410

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、等差数列8，5，2，的第30项是____．8、已知函数f（x）=16ln（1+x）+x2-10x，直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围____．9、【题文】已知cosθ·tanθ<0，那么角θ是第________象限角．10、设x，y满足则z=x+y的最小值为____．11、一个正方体的棱长为2，则该正方体的内切球的体积为______．12、设i是虚数单位，若复数z=i，则z的虚部为______．13、两个正数ab

的等差中项是52

一个等比中项是6

且a>b

则双曲线x2a2鈭�y2b2=1

的离心率e

等于______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共6分)19、【题文】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为右顶点为设点

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；

（3）过原点的直线交椭圆于点求面积的最大值。20、【题文】(本题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．评卷人得分五、计算题(共1题，共9分)21、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．评卷人得分六、综合题(共2题，共16分)22、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．23、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】

∵函数y=x2cosx+9，∴y′=2xcosx-x2sinx．

故选B．

【解析】【答案】利用导数的运算法则即可得出．

2、C【分析】

依题意，不妨设P点为双曲线的右支上的一点，F1为左焦点，F2为右焦点，在△PF1F2中，由正弦定理得：=

∴=①；

又=

∴=②

由①②得：=由假设可知|PF1|＞|PF2|；

∴=由双曲线的定义知=

∴|PF2|=由题意知|PF2|≥c-a；

∴≥c-a，即c2-2ac-a2≤0；

∴1＜≤1+．

故选C．

【解析】【答案】在△PF1F2中，=于是=①，结合题意=②；由①②即可求得双曲线离心率的取值范围．

3、B【分析】

根据导函数图象可知；

当-4＜x＜0或x＜4时；f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．

故选B．

【解析】【答案】利用图象判断导函数f'（x）正负；f'（x）＜0，f（x）单调递减，f'（x）＞0，f（x）单调递增，从而得出结果．

4、C【分析】【解析】

试题分析：因为又故所以又所以所以而所以选C.

考点：两角和与差的正切公式、正切函数在各象限符号的判断.【解析】【答案】C5、A【分析】【解析】化和的比为项的比。

∵

∴取极限易得【解析】【答案】A6、C【分析】解：由(1+x)(1鈭�2x)6=[(x鈭�1)+2][2(x鈭�1)+1]6

(1+x)(1鈭�2x)6=a0+1(x鈭�1)+a2(x鈭�1)2++a7(x鈭�1)7

隆脿[(x鈭�1)+2][2(x鈭�1)+1]6=a0+1(x鈭�1)+a2(x鈭�1)2++a7(x鈭�1)7

隆脿a3=C6222+2C6323=60+320=380

故选：C

．

由(1+x)(1鈭�2x)6=[(x鈭�1)+2][2(x鈭�1)+1]6

可得[(x鈭�1)+2][2(x鈭�1)+1]6=a0+1(x鈭�1)+a2(x鈭�1)2++a7(x鈭�1)7

求得a3

的值．

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．【解析】C

二、填空题(共7题，共14分)7、略

【分析】

根据题意得：等差数列的首项a1=8；公差d=5-8=-3；

∴等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d=8-3（n-1）=11-3n；

则此数列的第30项是a30=11-3×30=-79．

故答案为：-79．

【解析】【答案】根据题意得到此等差数列的首项a1和公差d，写出等差数列的通项公式an，然后令n=30求出a30；即为等差数列的第30项的值．

8、略

【分析】

由f（x）=f（x）=16ln（1+x）+x2-10x知；f（x）定义域为（-1，+∞）；

．

当x∈（-1；1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0；

当x∈（1；3）时，f′（x）＜0．

所以f（x）的单调增区间是（-1；1），（3，+∞），f（x）的单调减区间是（1，3）；

f（x）在（-1；1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增；

且当x=1或x=3时；f′（x）=0，所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2-9，极小值为f（3）=32ln2-21．

又因为f（8）=48ln2-21＞16ln2-9=f（2）；f（1）=0＜f（4）；

所以在f（x）的三个单调区间（0；2），（2，4），（4，+∞）上；

直线y=b与y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（4）＜b＜f（2）；

因此，b的取值范围为（32ln2-21；16ln2-9）．

【解析】【答案】先根据对数函数的定义求出f（x）的定义域，并求出f′（x）=0时x的值，在定义域内，利用x的值讨论f′（x）的正负即可得到f（x）的单调区间；再根据函数的增减性得到函数的极大值为f（2）和极小值为f（4），然后算出f（8）大于f（2），f（1）小于f（4）得到f（x）的三个单调区间（0，2），（2，4），（4，+∞）上，y=b与函数f（x）的图象各有一个交点，即满足f（4）＜b＜f（2），即可得到b的取值范围．

9、略

【分析】【解析】易知sinθ<0，且cosθ≠0，∴θ是第三或第四象限角．【解析】【答案】三或四10、2【分析】【解答】解：作出不等式组表示的可行域；如右图．作出直线y=﹣x；

z=x+y的几何意义是直线在y轴上的截距．

平移直线y=﹣x；

由y=4﹣2x代入直线x﹣2y﹣2=0；可得x=2，y=0．

将A（2；0）代入z=x+y；

可得z的最小值为2．

故答案为：2．

【分析】作出不等式组表示的可行域，作出直线y=﹣x，由z的几何意义：直线在y轴上截距．平移直线y=﹣x，观察即可得到所求最小值．11、略

【分析】解：由题设知球O的直径为2，故其体积为：．

故答案为．

球的直径就是正方体的棱长；求出球的半径，然后直接求出球的体积．

本题考查球的体积，球的内接体的知识，是基础题．【解析】12、略

【分析】解：∵复数z=i；

∴z的虚部为1．

故答案为：1．

直接由复数概念得答案．

本题考查复数的基本概念，是基础题．【解析】113、略

【分析】解：由题设知{a+b=5ab=6a>0b>0a>b

解得a=3b=2

隆脿c=13

隆脿e=ca=133

．

故答案为：133

．

由题设条件结合数列的性质，可解得a=3b=2

利用双曲线的几何量之间的关系可求得c=13

故可求离心率．

本题的考点是双曲线的简单性质，解题的关键是借助数列的性质，求出ab

再利用双曲线的简单性质．【解析】133

三、作图题(共5题，共10分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共6分)19、略

【分析】【解析】

试题分析：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=则半短轴b=1.

又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为

(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),

由得

又点P在椭圆上,得

∴线段PA中点M的轨迹方程是

(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.

当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx,代入

解得B(),C(－－),

则又点A到直线BC的距离d=

∴△ABC的面积S△ABC=

于是S△ABC=

由≥－1,得S△ABC≤其中,当k=－时,等号成立.

∴S△ABC的最大值是

考点：椭圆方程几何性质；直线与椭圆相交问题及轨迹方程。

点评：第二问中求轨迹方程用到的是相关点法，即设出所求点坐标，转化到已知条件中的点然后代入已知椭圆方程；第三问需注意讨论直线斜率存在不存在两种情况，其中求最值用到了均值不等式此题有一定的难度【解析】【答案】（1）（2）（3）20、略

【分析】【解析】

试题分析：法一：根据已知条件，抛物线方程可设为y2=-2px(p>0)；3分。

则焦点F(-0)．5分。

∵点M(-3；m)在抛物线上，且|MF|=5，8分。

故解得11分。

∴抛物线方程为y2=-8x，m=±2．12分。

法二：设抛物线方程为y2=-2px(p>0)，则准线方程为x=3分。

由抛物线定义；M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，5分。

∴有-(-3)=5；∴p=4．8分。

∴所求抛物线方程为y2=-8x；10分。

又∵点M(-3，m)在抛物线上，故m2=(-8)×(-3)，∴m=±2．12分。

考点：抛物线方程及性质。

点评：本题利用抛物线定义求解比较简单【解析】【答案】y2=-8x，m=±2五、计算题(共1题，共9分)21、略

【分析】由题设得则的概率分布为4分。012P故收益的概率分布为。1.622.4P所以=28分12分【解析】【答案】=2六、综合题(共2题，共16分)22、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为