2018春北师大版八年级下册数学专题冲刺第四章因式分解

第四章因式分解专题一本章知识梳理思维导图考纲要求

会用提取公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）.知识梳理1.因式分解把一个________化成几个______的____的形式，这种变形叫做因式分解.2.公因式的定义多项式各项都含有的__________，叫做这个多项式各项的公因式.多项式整式积相同因式知识梳理3.确定公因式的方法确定公因式的一般步骤：（1）确定公因式的系数，即多项式各项系数的__________.（2）确定公因式的字母及其指数：字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数_______的.（3）当第一项系数为负时，应将公因式的符号取为______.最大公约数最低负号知识梳理4.提公因式法（1）定义：如果一个多项式的各项含有________，那么就可以把这个________提出来，从而将多项式化成两个__________的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.（2）用提公因式法因式分解的一般步骤：①确定多项式的公因式，公因式等于各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积.公因式公因式因式乘积知识梳理②将多项式除以它的公因式，从而得到多项式的另一个因式.5.平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的________，公式为（a＋b）（a－b）＝_________.6.完全平方公式两个数的和（或差）的平方，等于它们的________,加上（或减去）它们积的2倍，公式为（a±b）2=__________.平方差a2－b2平方和a2±2ab+b2知识梳理7.因式分解的一般步骤（1）如果多项式各项有________，应先提取_______.（2）如果各项没有_________（或已提取完），可以（再）尝试使用公式法，当多项式为两项时，考虑用_________；当多项式为三项式时，考虑用_____________.（3）检查因式分解是否__________，要求必须分解到每一个因式都不能再分解为止.公因式平方差公式完全平方公式彻底公因式公因式专题二本章易错点归总易错点1错误运用平方差公式在运用平方差公式进行有关整式乘法计算时，容易出现以下错误：（1）不能准确判断是否能利用平方差公式；（2）运用平方差公式时，弄不清等于谁和谁的平方差；（3）写平方差时，容易只把字母平方，而遗漏系数平方.易错点【例1】计算：(m＋5n)(－m＋5n).

易错提示：运用平方差公式时容易出现以下错误：（1）弄不清谁与谁的差；（2）写平方差时忘记系数也要平方.正解：易错点(m＋5n)(－m＋5n)＝(5n)2－m2=25n2－m2.1.（－x－2y）（2y－x）＝_________.学以致用x2-4y2易错点2错误运用完全平方公式在运用完全平方公式进行有关整式乘法计算时，容易出现以下错误：（1）漏掉“2倍之积项”；（2）漏掉乘积中的因数“2”；（3）弄错“2倍之积项”的符号，尤其当两数都是负数时，易出现符号错误；（4）与平方差公式相混淆.易错点【例2】计算：(x+y)(x2－y2)(x－y).易错提示：运用完全平方公式时容易出现以下错误:（1）混淆完全平方公式与平方差公式;（2）容易写错中间项符号.易错点正解：原式=（x+y）（x－y）（x2－y2）=（x2－y2）（x2－y2）=（x2－y2）2=x4－2x2y2+y4.2.计算:（－3x＋y）2.学以致用解：原式=9x2－6xy＋y2.易错点3运用提公因式法因式分解时出现疏漏或分解因式不彻底运用提公因式法分解因式时，提公因式后，括号里的多项式项数与原多项式项数应一致.当系数有公因式时，注意系数不能丢掉；当提出的公因式的系数为负时，括号里的各项都要改变符号.同时注意，分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止.易错点【例3】分解因式-2a3b-4a2b2-2ab3.易错提示：确定公因式时：一看系数，二看字母，三看指数，提公因式时，容易漏掉系数和弄错因式中各项的符号.易错点正解：原式=-2ab(a2+2ab+b2)=-2ab(a+b)2.3.分解因式：（1）-x3y3+2x2y2-xy;（2）6x4-4x3+2x2;（3）a2(a-1)2-a(1-a)2.学以致用解：（1）原式=-xy(x2y2-2xy+1)=-xy(xy-1)2.（2）原式=2x2(3x2-2x+1).（3）原式=a(a-1)2(a-1)=a(a-1)3.专题三本章重要考点专练——提公因式法一、选择题1.把a2-2a分解因式，正确的是（）A.a（a-2）B.a（a+2）C.a（a2-2）D.a（2-a）2.若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（）A.-1B.0C.1D.2AB3.(3x+2)(-x6+3x5)+(3x+2)(-2x6+x5)+(x+1)(3x6-4x5)与下列哪一个式子相同？（）A.（3x6-4x5）（2x+1）B.（3x6-4x5）（2x+3）C.-（3x6-4x5）（2x+1）D.-（3x6-4x5）（2x+3）C4.下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（）A．（a+1）（a-1）=a2-1B．a2-6a+9=（a-3）2C．x2+2x+1=x（x+2x）+1D．-18x4y3=-6x2y2·3x2yB二、填空题5.因式分解：x2-2x+(x-2)=__________.6.如图Z4-1中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式_________________________________.(x+1)(x-2)am+bm+cm=m（a+b+c）7.若ab=2，a-b=-1，则代数式a2b-ab2的值等于__________.三、解答题8.把下列各式分解因式：（1）2m(m-n)2-8m2(n-m);（2）-8a2b+12ab2-4a3b3;（3）(x-1)(x+4)+4;（4）10a(x-y)2+5ax(y-x).-2解：（1）原式=2m（m-n）［（m-n）+4m］=2m（m-n）（5m-n）.（2）原式=-4ab（2a-3b+a2b2）.（3）原式=x2+3x-4+4=x2+3x=x（x+3）.（4）原式=10a（x-y）2-5ax（x-y）=5a（x-y）［2（x-y）-x］=5a（x-y）（x-2y）.

9.化简：(a-b)(a+b)2-(a+b)(a-b)2+2b(a2+b2).解：原式=(a-b)(a+b)(a+b-a+b)+2b(a2+b2)=2b(a2-b2）+2b(a2+b2)=2b(a2-b2+a2+b2)=4a2b.

10.已知：a-b=-2015，ab=求a2b-ab2的值.

11.若a2+a=0，求2a2+2a+2015的值.解：∵2a2+2a+2015=2(a2+a)+2015,又∵a2+a=0,∴原式=2015.

12.阅读题：因式分解：1+x+x（x+1）+x（x+1）2.解：原式=（1+x）+x（x+1）+x（x+1）2

=（1+x）［1+x+x（x+1）］=（1+x）［（1+x）+x（1+x）］=（1+x）2（1+x）=（1+x）3.（1）本题提取公因式几次？（2）若将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式多少次？结果是什么？

解：（1）共提取了两次公因式.（2）将题目改为1+x+x（x+1）+…+x（x+1）n，需提公因式n次，结果是（x+1）n+1.专题四本章重要考点专练——公式法一、选择题1.下列多项式因式分解正确的是（）A.4-4a+a2=（a-2）2B.1+4a-4a2=（1-2a）2C.1+x2=（1+x）2D.x2+xy+y2=（x+y）2

A2.把多项式x2-6x+9分解因式，结果正确的是（）A.（x-3）2B.（x-9）2C.（x+3）（x-3）D.（x+9）（x-9）A3.已知x＋y＝10，xy＝24，则x2＋y2的值是（）A.52B.148C.58D.764.若多项式x2+2ax+4能用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（）A.2B.-2C.±2D.±4AC二、填空题5.分解因式：4a2-4a+1=__________.6.分解因式：（x-8）（x+2)+6x=_______________.（2a-1）2（x+4）（x-4）7.已知m2－n2＝4，那么（m－n）2（m＋n）2的结果是________.8.已知a＝2016x＋2015，b＝2016x＋2016，c＝2016x＋2017，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝______.163三、解答题9.分解因式：（1）8（x2-2y2）-x（7x+y）+xy；（2）（a2+1）2-4a2；（3）（a2+b2）2-4a2b2.解：（1）原式=8x2-16y2-7x2-xy+xy=x2-16y2=（x+4y）（x-4y）.（2）原式=（a2+1+2a）（a2+1-2a）

=（a+1）2（a-1）2.（3）原式=（a2+b2+2ab）（a2+b2-2ab）=（a+b）2（a-b）2.10.如图Z4-2，在一块边长为acm的正方形纸板四角，各剪去一个边长为bcm(b＜)的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时，剩余部分的面积.解：剩余部分的面积为a2-4b2=（a+2b）（a-2b）=20×6.4=128（cm2）.11.已知4m+n=40，2m-3n=5.求（m+2n）2-（3m-n）2的值.解：（m+2n）2-（3m-n）2=（m+2n+3m-n）（m+2n-3m+n）=（4m+n）（3n-2m）=-（4m+n）（2m-3n）.当4m+n=40，2m-3n=5时，原式=-40×5=-200.12.已知a，b，c是△ABC的三边，试说明：（a2+b2-c2）2-4a2b2的值一定是负数.解：（a2+b2-c2）2-4a2b2=（a2+b2-c2+2ab）（a2+b2-c2-2ab）=［（a+b）2-c2］［（a-b）2-c2］=（a+b+c）（a+b-c）（a-b-c）（a-b+c）.∵a，b，c是△ABC的三边，∴a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b-c＜0，a-b+c＞0.∴（a+b+c）（a+b-c）（a-b-c）（a-b+c）＜0，即值为负数.专题五本章重要考点专练——综合运用提公因式法和公式法因式分解一、选择题1.分解因式：2x2-2=（）A.2（x2-1）B.2（x2+1）C.2（x-1）2D.2（x+1）（x-1）2.把8a3-8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（）A.2a（4a2-4a+1）B.8a2（a-1）C.2a（2a-1）2D.2a（2a+1）2DC3.把代数式3x3-12x2+12x分解因式，结果正确的是（）A.3x（x2-4x+4）B.3x（x-4）2C.3x（x+2）（x-2）D.3x（x-2）24.已知x+y=6，xy=2，则x3y+2x2y2+xy3的值等于（）A.12B.24C.72D.36DC5.若三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2b-a2c+b2c-b3=0，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.三角形的形状不确定A6.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x-y，a-b，2，x2-y2，a，x+y，分别对应下列六个字：南、爱、我、美、游、济，现将2a（x2-y2）-2b（x2-y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A.我爱美B.济南游C.我爱济南D.美我济南c二、填空题7.分解因式：2m3-8m=______________________.8.分解因式：x2y-2xy2+y3=______________.2m（m+2）（m-2）y（x-y）29.若x+y-1=0，则x2+xy+yy2-2=_______