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文档简介
宁德市2023-2024学年度第二学期期末高一质量检测
数学试题
本试卷有第I卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分,考试时间120分钟,满分150分.
注意事项:
1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名,考生要认真核对答
题卡上粘贴的条形码的“准考证号,姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;第n卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答,
在试题卷上作答,答案无效.
第I卷(选择题共58分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有
一个选项是符合题目要求的.
1.设复数z=2+i,则卜卜()
A.V3B.3C.V5D.5
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数模的公式可求结论.
【详解】因为z=2+i,所以[=2—i,所以臼=^为+(—I》=6.
故选:C.
2.已知向量a==(3,—22),若a〃(2a—b),则%=()
A.-3B.-1C.1D.3
【答案】A
【解析】
【分析】先求出正-3的坐标,再利用向量共线的坐标式列出方程即可解得.
一/\一/\ULU1
【详解】由a=(1,2),6=(3,—2%)可得,2a—b=2(1,2)—(3,—2X)=(—1,4+22),
因。〃(2a—6),故得4+22=—2,解得力=—3.
故选:A.
3.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件
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“乙分得红牌”是()
A.对立B.相等C.相互独立D.互斥但不对立
【答案】D
【解析】
【分析】利用互斥事件和对立事件的特征易判断得出结论.
【详解】因纸牌只有红、蓝、黑、白4张,分给甲、乙、丙、丁4个人,每人一张,
则事件“甲分得红牌,,与事件“乙分得红牌,,在一次分法中不可能同时发生,故两事件互斥;
同时在一次分法中除了这两个事件,还有“丙分得红牌”,“丁分得红牌”这些可能事件,
故这两个事件不是对立事件.
故选:D.
4.设加,〃是两条不同的直线,a,6是两个不同的平面,下列命题正确的是()
A,若加ua,nu°,mLn,则B.若他ua,nu(3,mlln,则a//夕
C.若加ua,nu0,a///3,则M〃〃D.若加_La,mlln,〃u用,则cJ_/7
【答案】D
【解析】
【分析】对于A,两个平面内的两条直线垂直不能推这两个面垂直;对于B,两个平面内的两条直线平行
不能得到这两个面平行;对于C,面面平行则平面内的任意直线加,〃平行或异面;对于D,由面面垂直
的判定定理即可判断.
【详解】对于A,若加ua,nu。,mln,则a,尸不一定垂直,可能相交或平行,故A错误;
对于B,若mua,nu(3,mlln,则a,尸不一定平行,可能相交,故B错误;
对于C,若能ua,nup,al1(5,则直线加,"平行或异面,故C错误;
对于D,若加_La,mHn1则〃_La,又nu(3,所以夕_1_齐,故D正确.
故选:D.
5.根据某地天气预报,在今后的三天中,每天下雨的概率均为20%.利用计算机产生1到5之间整数值的
随机数,当出现随机数1时,表示下雨,当出现随机数2,3,4,5时,表示不下雨,产生20组随机数:
435451132533224344151231424142
412414335312123233314254353442
据此估计这三天中至少有1天下雨的概率为()
A.0.4B.0.5C.0.55D.0.6
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【答案】B
【解析】
【分析】由题意知经随机模拟产生的20组随机数中表示三天中至少有1天下雨的可以通过列举得到共10
组随机数,根据概率公式得到结果.
【详解】20组随机数中三天中至少有1天下雨的有
451,132,151,231,142,412,414,312,123,314,共10组随机数,
所以这三天中至少有1天下雨的概率为W=0.5.
20
故选:B.
6.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在余下的两局比赛中再赢一局就获得冠军,若余下比
2
赛中甲队每局获胜的概率为一,则甲队获得冠军的概率为()
5
9131619
A.—B.—C.—D.—
25252525
【答案】C
【解析】
23
【分析】由题设知比赛中甲队每局获胜的概率为一,输的概率为一,甲队要获得冠军,则至少在两局内赢
55
一局,利用概率的乘法和加法公式求概率即可.
23
【详解】比赛中甲队每局获胜的概率为一,输的概率为一,
55
当第一局甲获胜,其概率为4=2,
15
当第一局甲输,第二局甲赢,其概率为8=—X—=一,
■5525
甲队获得冠军的概率为尸=2+9=竺.
52525
故选:C.
7.若平面向量工员】两两的夹角相等,丘|=1,向=2,向=3,^\\a+b+c\=()
A.3B.6C.当或6D.3或6
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得,扇3,5两两的夹角为0°或120°,按照此两种情况讨论,结合数量积的运算律即可得
出结果.
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【详解】因为平面向量用b忑两两的夹角相等,
所以平面向量原3,1两两的夹角为0°或120°,
又因为同=1,忖=2,同=3,
当夹角为0°时,即向量扇B忑同向,则归+3+3=同+|片+同=1+2+3=6;
当夹角为120°时,即=何亚卜0$120°二lx2x-1,
a-c二同•同cos1200
1
c-b=c\]b\cosn0=3x2x—3,
2
则B+3+W=^a2+b2+c2+2a-b+2a-c+2c-b=Jl+4+9-2-3-6=G.
综上所述,5+B+W等于岔或6.
故选:C.
8.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6),先后抛掷两次,将得到的点数分别
记为加,〃,记向量1=(3加一4,〃一2),3=0,-1)的夹角为6,则。为钝角的概率是()
51711
A.—B.—C.—D.—
1863636
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算可得3加<〃+2,且〃76-3加,利用列举法结合古典概型分析求解.
【详解】由£/厉可得(3加—4)x(—1)—(〃—2)xl=0,则〃=6-3%
因为6为钝角,所以£4<0,且Z]不共线,
(3加-4)x1+(〃-2)x(-1)<0
可得即3m<〃+2,且〃。6-3加.
nw6-3m
当冽=1时,有〃〉1且〃。3,所以〃可取2,4,5,6;
当加=2时,有〃>4,〃可取5,6;
当初=3,加=4,m=5,加=6时,n>3m-2>6,此时无解;
综上所述:满足条件的加,〃有6种可能.
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又先后抛掷两次,得到的样本点数共36种,
所以,为钝角的概率P=L
6
故选:B.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中有多项符合
题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.
9.若x是样本数据的平均数,则()
A.a,—c,d的极差等于a,瓦的极差
B.的中位数等于a,6,c,d,x的中位数
C.a,6,c,d的众数等于a,仇c,d,x的众数
D.a,6,c,d的方差大于a,6,c,d,x的方差
【答案】AD
【解析】
【分析】根据极差,中位数,众数的定义分析,由方差计算公式分析.
【详解】根据题意,设样本数据a,4Gd中,最小值为。,最大值为d,
对于A,因为样本数据a,b,c,d的平均数x,其极差为d-a,而样本数据a,8c,d,x加入原样本数据的平
均数无,其最值和原样本数据是一样的,所以极差是一样的,即d-a,故A正确;
/)+「
对于B,因为样本数据a,仇c,d的中位数^——■,而样本数据a,"c,d,x的中位数为ac,x中排在中间的数,
2
则原样本数据的中位数不一定等于新样本数据的中位数,故B错误;
对于C,因为样本数据4c,d与样本数据a,"c,d,x的数据都没有实际数据,均没办法判断众数,故C
错误;
对于D,样本数据a,b,c,d的方差为4(a—+9—x)2+(c-x)2+(d—,
样本数据见仇c,d,x的方差为
+(Z?-x)2+(c-x)2+(d-x)2+(x-x)[=+(Z>-x)2+(c-x)2+(d-x)[,显然前者
更大,故D正确.
故选:AD.
10.已知A4BC三个内角4瓦。的对应边分别为见“c,且c=2,则()
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A,若砺方,则丽=20瓦
333
JT_
B.若/二:,则方在k上投影向量的模长为1
6
兀3
C.若B=_,b=—,则角。有两解
42
,,ULULuum,I---------»|2I----------»|2
D.若。.C3<0,贝+|C5|<4
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A,画出图形根据三点共线的向量表达式判断;
对于B,用投影向量的模长公式计算判断;
对于C,画出图形,求出高线,比较大小来判断解的个数;
对于D,用数量积和余弦定理综合考虑即可判断.
【详解】对于A,如图所示,
对于B,布在就上投影向量的模长为|益|COSN=2X曰=Q.故B错误.
对于C,如图所示,求得48=2sin弓=血<^=6,则有两组解,故C正确.
对于D,CA-CB<。,则。为钝角,贝!lcosC=----------------<0,即52+/一。2<0,
Iba
即加+〃<4,t^|C4|2+|C5|2<4,故D正确.
故选:ACD.
11.我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形的棱台称为“刍童”.已知棱台/BCD-HB'CZ)'是一
个侧棱相等的“刍童",若A'B'=A'D'=A'A=LAB=2,贝Ij()
2
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D'C
A.该“刍童”的表面积为20+12G
B.能够被完整放入该“刍童”内的圆台的体积可能为307r
C.该“刍童”的外接球的球心到平面氏4的距离为Jd
D.棱长为0的正四面体可以在此空心“刍童”容器内部任意转动
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A,把侧面高求出来,然后就可以求侧面积,最终可求表面积;对于B,轴截面的等腰梯形
N/C'C求出能够被完整放入该“刍童”内的圆台的最大的高"N=J5,即可求出体积;
对于C,先求该“刍童”的外接球的球心到平面45CD的距离为0,再根据平面/8'氏4的外接圆的圆心
恰为线段氏4的中点,进而可求;对于D,棱长为行的正四面体的外接球直径为由,此棱台可放入的最
大球的直径为血,故可判断.
【详解】对于A,根据题意可得,棱台侧面的高为6,该“刍童”的表面积为S表=4S恻+S上+S下,
=4x|(2+4)x73+2x2+4x4=20+1273,所以正确
对于B,由轴截面的等腰梯形//'C'C可知,AC=442,AC'=242,其高MN=6,
如图所示,能够被完整放入该“刍童”内的圆台的最大的体积为
AB
2222
F=17r/?(^+r+7?-r)=|jrxV2(2+l+2xl)=^17I,
所以不正确
对于C,•••棱台48CD-侧棱相等,,易知其外接球球心在线段跖V所在直线上,设外接球球心
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为。,
如图当球心在线段7W延长线上时,0。'=0。(外接球的半径),由此可得(江')2+恻2=。河2+/。2,
即(尤丁+(加+阴=0/+(20,
解得加=亚,0。=
该“刍童”的外接球的球心到平面48CD的距离也即。M的距离为J5,
同理,设平面/3'氏4的外接圆的圆心为G,瓦尸分别是43',48的中点,
由A可知,郎=£,贝UGE-+BE-=GF2+37^,即(GE+可+12=GF2+22,
解得B=0,所以平面氏4的外接圆的圆心恰为线段加的中点,故该“刍童”的外接球的球心到平面
ABBA的距禺为0G=\JOA2—AG2=JIU)—22=y[6,所以正确―
对于D,若正四面体在此容器内部可以任意转动,则正四面体的外接球可以放进容器,
如图,过点。作底面48c的垂线,垂足为点E,设正四面体的外接球的球心为厂,半径为厂,
根据题意,可得点为底面45C的中心,底面三角形45。的48边上的高为逅,
2
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76?25,所以FE-+CE2=CF-,
则CE三号=与,DE7CD2-CE'3
J3
^,FE2+CE2=CF2,,解得
所以棱长为行的正四面体的外接球直径为省,
由轴截面的等腰梯形//C'C可知,其高为血,可知此棱台可放入的最大球的直径为0,小于正四面体
的外接球直径,
故不可以在此空心棱台容器内部任意转动,所以不正确.
故选:AC
第n卷(非选择题共92分)
三、填空题:(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在答题卡的相应位置)
12.某学校师生共有3000人,现用分层抽样方法抽取一个容量为225的样本,已知样本中教师人数为15人,
则该校学生人数为
【答案】2800
【解析】
【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到答案.
【详解】样本中教师人数为15人,学生人数为225-15=210,
该校学生人数为任义3000=2800.
225
故答案为:2800.
13.在直三棱柱48c-44G中,ACIBC,AC=BC=AAX=2,动点P在棱耳G上,则点P到平面
ABC的距离为.
【答案】V2
【解析】
【分析】由题意可得耳G〃平面48C,则点尸到平面48C的距离等于点G平面48C的距离,然后利用
七「《Be=—B-4GC可求得答案.
【详解】因为用G〃BC,与£<2平面48C,平面48C,
所以3G〃平面45C,
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因为动点P在棱BG上,所以点尸到平面A.BC的距离等于点G平面4BC的距离,
设点G平面48C的距离为“,
因为441,平面ABC,BCu平面45C,所以
因为/C15C,AA^AC=A,Z4,ZCu平面ZCC/i,
所以1平面ZCG4,
因为4。<=平面4agi4,所以Be,4。,
因为ZC=8C=Z4=2,所以&C=52?+22=2正所「“=-x2x2=2,
所以S“BC=-x2V2x2=2V2,
△Zl|DL2
因为4-4点二^B-AXCXC,所以5sz=3s△4GeBC,
所以;x2应d=;x2x2,得d=6,
所以点尸到平面4BC的距离等于V2.
故答案为;V2
14.已知西,西,04^,词是平面内两两互不相等的向量,满足|西-就|=1,且画-西卜2
(其中z.=l,2;;=3,4),则不;.娘=.
【答案】—##7.5
2
【解析】
【分析】由题意可知4444是边长为2的菱形,由44=1,44=2可得44=々,根据向量的数
量积定义即可求解.
【详解】由已知|而|=|京|=|系卜国画=2,
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如图示可知:4444是边长为2的菱形,且44=1,44=2,
44=2
所以3/444=/=乎,
V1515
所以44rx----=——
42
【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是根据已知条件结合向量的线性运算得到4444是边长为2的菱
形,然后再结合向量数量积的定义求解即可.
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.已知复数马=/w-3i,z2=1+2i(weR).
(1)若Z]+Z2是纯虚数,求z/2;
(2)若立在复平面内对应的点在第三象限,求加的取值范围.
Z2
【答案】(1)z/2=5-5i
(2)——<m<6
2
【解析】
【分析】(1)根据21+Z2是纯虚数可求由复数的乘法运算即可求解;
Z,Z]
(2)根据复数的除法运算先求,,再根据,在复平面内对应的点在第三象限求解即可.
【小问1详解】
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因为+z2=(m+l)+5i,4+Z2是纯虚数,
所以加二一1,
所以Z/2=(T—3i)(l+2i)=5—5i;
【小问2详解】
3m-3i(m-3i)(l-2i)_(m—6)+i(—2m-3)
因为Tl+2i-(l+2i)(l-2i)5
m-6<0
所以《
-2m-3<0
3
所以——<m<6.
2
16.如图,在四棱锥P-/BCD中,底面/BCD为矩形,A4PD是边长为4的正三角形,E为棱尸。的中
点,平面PCD.
(1)求证:平面尸40_1_平面48cZ);
(2)若异面直线PC和48所成角的正切值为2,求二面角P-BC-。的大小.
【答案】(1)证明见解析;
(2)
3
【解析】
【分析】(1)由已知可得4DLCD,由线面垂直可得/ELCD,进而可证CD_L平面,可证结论;
(2)由已知可得DC=2,取40的中点连接取5C的中点N,连接跖V,PN,由已知可得
NP7W为二面角P—BC—。的平面角,求解即可.
【小问1详解】
由于底面45CD为矩形,所以LCD,
又有ZE,平面PCD,CDu平面PCD,所以ZE,。,
因为4Dc/E=Z,所以CD_L平面P4D,
因为CDu平面/BCD,所以平面尸40,平面45CD;
【小问2详解】
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由于ABUCD,即NPCD为异面直线PC和AB所成角所成的角.
因为异面直线PC和AB所成角的正切值为2,
由于CD,平面P4D,所以
所以在RSPBC中,PD=4,所以DC=2,
由于是边长为4的正三角形,取40的中点连接W,
所以「加,AD,PM=2也,
因为平面040,平面48CO,平面尸40c平面48cz)=40,PMu平面尸40,
所以PM,平面48CD,BCu平面48CD,PM1BC.
取5C的中点N,连接PN,MNIIDC,MNIBC,
又PMcMN=M,PM,MNu平面PMN,所以BC1平面产"V,
又PNu平面PMN,所以7WJ_5C,
所以NPTW为二面角P—BC—。的平面角,
在RtAMNP中,MP=2也,MN=2,所以
TT
所以/尸2W为二面角P—BC—£>的平面角一.
3
17.已知AZ8C三个内角4瓦。的对应边分别为a,"c,2ccosC=acosB+bcosA.
(1)求C;
(2)若ZC=2,的面积为王,。为48上一点,CD平分N4CB,求CD.
2
7T
【答案】(1)J;
(2)述,
5
【解析】
【分析】(1)法一:利用正弦定理化边为角,利用内角关系转化即得;法二:利用余弦定理,化角为边,
化简即得;
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(2)法一:利用三角形面积公式求得BC,由正弦定理证明三角形角平分线定理,最后将函用基向量
声,刀表示,利用向量数量积的运算律求出|西|;法二:同法一求出8C,利用等面积直接求出CZ).
【小问1详解】
法一:由2ccosC=acos5+6cosZ和正弦定理可得:
2sinCcosC=sinAcos5+sin5cosA,
因sin4cos5+sinBcosA=sin(Z+5)=sin(兀一C)=sinC
代入得,sinC(2cosC-1)=0
因为。£(0,兀),sinC>0,所以cosC=—
2
即Y
b2+c2-a2
QCOS5+6COS/=Q
法二:由余弦定理可得2ac2bc
即2ccosC=c,所以cosC=」
2
TT
因为Ce(0,7i),所以C=—.
3
【小问2详解】
法一:如图,由AC=2,ZACB=-,
23
可得SAB=-^|J2BCQsin-空,解得BC=3,
232
因为CZ>平分NNC5,
ADAC
在△ZCD中根据正弦定理得:.兀-sinNADC
sin—
6
BD_BCBC
在△BCD中根据正弦定理得:,n-sinZBDC-sinZADC
sm—
6
第14页/共19页
所以台AC2
5C3
所以而=9+力=击+|•益=C4+|(C5-G4)=|G4+|CS
----29—-212—*—-4—*2=2x4+&2x3c°sL巴"吗
所以CD=—CA+—CACB+—CB
252525252532525
法二:如图,由594=型,AC=2,ZACB=-,
23
可得S=」仓()2BCGsin-巫,解得BC=3,
"EC232
由S“BC=S-CD+S-BCD,,且C。平分4CB,
可得,(AC+BC)CD'sin-=递
262
整理得:2a)=里解得,CD=—.
425
18.为了调查某校高一地理学科学生的学习情况,用分层抽样从该校高一年级学生中抽取一个容量为100的
样本进行质量监测,男生40个,女生60个.将监测后40个男生的成绩(满分为100分)分为6个区间:[40,50),
[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],绘制得到如图所示的频率分布直方图.
频率/组距
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
°405060708090100成绩/分
(1)根据以上样本数据,估计该校高一年段地理学科男生成绩的平均数;
(2)若从男生成绩样本数据[40,50)和[90,100]内随机抽取两个样本,求这两个样本来自同一区间的概率;
(3)已知样本数据中男生成绩的方差为194,样本数据中女生成绩的平均数和方差分别为76和120,以此
估计该校高一年段地理学科成绩的总体平均数和方差.
【答案】(1)71(2)—
15
(3)74,155.6
第15页/共19页
【解析】
【分析】(1)根据平均数的定义结合频率分布直方图求解即可;
(2)利用列举法求解即可;
(3)先根据题意求出总样本的平均数,再利用方差公式求解方差.
【小问1详解】
根据频率分布直方图有,男生成绩样本数据的平均数
x=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71,
所以男生成绩样本数据的平均数为71.
【小问2详解】
在区间[40,50)和[90,100]内的男生成绩样本数据分别有4个和2个,
分别用和加,〃表示,则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间。包含的样本点
有加),(小〃)
(d,加(瓦c),(瓦(c,,
个数为〃(。)=15,
记事件/=''这两个样本来自同一区间”,
则事件A包含的样本点有(Z?,c),(Z?,t/),(c,tZ),(m,n)
个数为〃(Z)=7,
n(A)_7
所以P(Z)=〃(Q)-T?
【小问3详解】
设男生成绩样本数据为番,巧,…,x40,其平均数为嚏=71,方差为4=194;
女生成绩样本数据为%,%,…,乂0,其平均数为歹=76,
方差为s;=120;总样本的平均数为亍,方差为『
由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系,
-40-60_40”,60”
得2二---x+---y=---x71+---x76=74.
100100100100
22
$2=看{40[s;+(X-F)]+60[s;+(JF-D]}
第16页/共19页
=击{40口94+(71—74月+60口20+(76—74月}
=155.6.
所以总样本的平均数和方差分别为74和155.6.
19.数学家阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数
以女〉0且左W1)的点的轨迹是圆心在两定点所在直线上的圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在棱长为
6的正方体45CD—中,点M是的中点,点尸是正方体表面DCC'。'上一动点(包括边界),
且两直线NP,儿。与平面。CC'D'所成的角相等.
(1)证明:点尸的轨迹是一阿波罗尼斯圆的一段弧,并画出大致图象(不要求写出画法);
(2)记点尸的轨迹所在的阿波罗尼斯圆的圆心为。,求万万.而的取值范围;
(3)当线段尸最短时,在线段上是否存在点N,使得。///平面4W,若有,请求出平面Z九W
截正方体/BCD—的截面周长,若无,说明理由.
【答案】(1)证明见解析,图象见解析;
(2)Z/POPe[-24,-16];
(3)存在,-+5V5+^^.
22
【解析】
【分析】(1)由题意可得四="邑
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