分式方程及其应用（过关检测）-2022年中考数学一轮复习（全国解析版）

专题10分式方程及其应用

一、单选题

1.（2021•浙江九年级期末）随着电影《你好，李焕美》的热映，其同名小说的销量也急剧上升.某书店分

别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多5套，且两次进价相同.若设该书店第一次

购进x套，根据题意，下列方程正确的是（)

400_600400600-400600400_600

A.B.------=一C.-------------D.

xx+5x+5xxx-5x-5x

【答案】A

【分析】

根据“进价=购进成本+购进数量”、“用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多5套，且

两次进价相同”建立方程即可.

【详解】

解：设该书店第一次购进x套，则第二次购进（x+5）套,

E一一400600

则可列万程为：——=——T

无x+5

故选：A.

2.（2021•湖北襄阳•）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原

计划生产450台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是

（）

600450600450八600450600450

A.---------------B.---------------C•--------------D.--------------

x+50xx-50xxx+50xx-50

【答案】A

【分析】

分别找到当前和原计划每小时的产量，根据时间相等列方程

【详解】

设原计划平均每天生产x台机器，则现在每小时生产（x+50）台机器;

根据现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，有：

600450

龙+50x

故选A

3.（2021•内蒙古呼伦贝尔•）若关于x的分式方程三+二=2无解，则。的值为（）

x-33-x

A.3B.0C.-1D.0或3

【答案】c

【分析】

直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可.

【详解】

2x+a

解：--+--=2,

x-55-x

去分母得：2-x-a=2(x-3),

解得：》=一，

当胃=3时，方程无解,

解得a=-l.

故选：C.

4.（2021•山东淄博•中考真题）甲、乙两人沿着总长度为10km的，健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍,

甲比乙提前12分钟走完全程.设乙的速度为xkm/h,则下列方程中正确的是（）

A.3—12B.以-3=0.2生-%210生=0.2

C.D.—

x1.2x1.2xx1.2xxx1.2x

【答案】D

【分析】

根据题意可直接进行求解.

【详解】

解：由题意得：----=0.2；

xl.2x

故选D.

1?

5.（2⑼广西百色•）方程1rK的解是（).

A.x=-2B.%=-1C.x=lD.尤=3

【答案】D

【分析】

根据解分式方程的方法求解，即可得到答案.

【详解】

1_2

x3x-3

・•・3x-3=2x

••・x=3

经检验，当x=3时，x与3x-3均不等于0

・•・方程士=丁一;的解是：x=3

x3x-3

故选：D.

23

6.（2021・海南海口•）分式方程—二一的解是（）

xx+2

A.x=6.5B.x=6C.x=5D.x=4

【答案】D

【分析】

先将分式方程化为一元一次方程，求出方程的解再检验即可.

【详解】

2x+4=3%,

解得％=4,

经检验x=4是原方程的解，

・•・原方程的解为％=4,

故选D.

7.（2021•深圳市罗湖区翠园初级中学）关于x的分式方程一=/一有增根，则加的值是（）

x-1x-1

A.-2B.3C.-3D.2

【答案】A

【分析】

首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x-l=0,据此求出x的值，代入整式

方程求出m的值即可.

【详解】

解：去分母，得：x-3=m,

由分式方程有增根，得到x-l=0,即x=l,

把x=l代入整式方程，可得：m=-2.

故选：A.

8.（2021•江苏九年级月考）某厂进行技术创新，现在每天比原来多生产30台机器，并且现在生产500台机

器所需时间与原来生产350台机器所需时间相同设现在每天生产x台机器，根据题意可得方程为（）

500350500350500350500350

A.—B.C.D.

xx-30x-30XXx+30x+30X

【答案】A

【分析】

根据现在生产500台机器所需时间与原计划生产350台机器所需时间相同，所以可得等量关系为：现在生

产500台机器所需时间=原计划生产350台机器所需时间.

【详解】

解：设现在每天生产x台机器，则原计划每天生产。-30）台机器.

350

依题意得：—

Xx-30

故选：A.

9.（2021•广州市第三中学九年级三模）甲、乙两个工程队修路，已知甲队每天比乙队少修路12米，现在甲

队修路400米所用的时间与乙队修路500米所用的时间相等.设甲队每天修路x米，下列方程正确的是（）

400500400_500400500400_500

L-------=-----

x-12xxx-12x+12xxx+12

【答案】D

【分析】

设甲队每天修路x米，则乙队每天修路（x+12）米，利用工作时间=工作总量+工作效率，结合甲队修路400

米所用的时间与乙队修路500米所用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解.

【详解】

解：设甲队每天修路x米，则乙队每天修路（x+12）米,

6g上，口500

依寇思得：-4-0-0

xx+12

故选：D.

21

10.（2021•哈尔滨市第六十九中学校九年级二模）方程:=一3的解为（)

3x-2x+1

A.x=3B.x=4C.x=5D.x=-5

【答案】B

【分析】

观察可得最简公分母为（3x-2）（x+l）,去分母化为整式方程，求解并检验即可.

【详解】

21

解:

3x-2x+1

方程两边同乘以(3X-2)(X+1),去分母得,

2(%+1)=3x-2

解得，尤=4

经检验，1=4是原方程的根，

故选：B.

二、填空题

11.(2021・湖北九年级二模)某童装店有几件不同款式的衣服，每件衣服的原价一样，6月1日儿童节那天,

全场打7折，某宝妈在儿童节那天去购买该款式的衣服时发现：平时花350元购买到的衣服件数比现在少2

件，设原价是x元，则根据题意可列出方程.

.田350350、

【答案】一=---2

x0.7%

【分析】

设原价是x元，则打折后的价格为0.7x元，利用数量=总价+单价，结合平时花350元购买到的衣服件数比

现在少2件，即可得出关于x的分式方程，此题得解.

【详解】

解：设原价是x元，则打折后的价格为0.7x元，

350350。

依题意得:=~2,

X0.7x

350350。

故答案为:=--------2.

X0.7x

X777

12.(2021・西安・陕西师大附中九年级开学考试)若关于x的分式方程-----=2无解，则优的值是

x-11-x

【答案】-1

【分析】

分式方程无解，即有增根，止匕时X=l,解分式方程得X=M+2,令加+2=1得解.

【详解】

xm

解：将产=2变形为:---+----

l-xX—1X—1

x+m.

即:------=2

x-1

方程两边同时乘以X-1得：x+m=2(x-V)

去括号得：x+m=2x-2

!x—2x=—m—2

合并同类项得：-％=-加-2

解得：x=m+2

・・•分式方程无解

x-1=0,即x=1

m+2=1

m=-\

故答案为：-1

13.(2021・四川省宜宾市第二中学校九年级三模)某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采

用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套?

在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为

160400-160

【答案】V+(l+20%)x-8

【分析】

根据题意，分别列出采用新技术前和采用新技术后所用时间，相加等于18即可.

【详解】

根据题意，采用新技术前所用时间为：变天,

x

400-160

采用新技术后所用时间为：(1+20%八天，

所列方程为:詈160+环400网—16厂0区

160400—160

故答案为：丁+g邪=电

57

14.(2021・湖南长沙•明德华兴中学九年级开学考试)分式方程2二一的解是工=

xx—2

【答案】-5

【分析】

方程两边同乘以公因式x(x-2),将分式方程转化为整式方程，解此整式方程，再验根即可.

【详解】

解：方程两边同乘以x(x-2)得，

5(x-2)=7x

5x-10=7x

x=-5

经检验，x=-5是原方程的根，

故答案为：-5.

15.(2021•四川省内江市第六中学九年级三模)从-2,0,1,3这六个数中，随机抽取一个数记

为。，则使关于x的二次函数y=N+(3-a)x-1在1的范围内〉随x的增大而减小，且使关于x的分式

方程2--=二的解为正数的a共有________个.

x-33-x

【答案】2

【分析】

根据关于X的二次函数y=x2+(3-a)X-1在X<-1的范围内y随X的增大而减小，可得抛物线对称轴小

于-1,根据关于x的分式方程2-==二的解为正数，可得x>0,解得。>-3,进而可得a的取值

范围即可得结论.

【详解】

解：：关于X的二次函数y=x2+(3-a)x-1在x<-1的范围内》随x的增大而减小，

••・抛物线对称轴方程

口nQ—3

即三一V-1,

解得,

・•・关于X的分式方程2-T=二的解为正数，

x-33-x

解分式方程，得x=-2a+6,

・••-2q+6>0,

解得aV3,

"Vl,

35

•••从-2,0,1,3这六个数中，随机抽取一个数记为0,

二符合条件的a共有2个，为-2,0.

故答案为2.

三、解答题

16.(2021•吉林省第二实验学校九年级月考)为庆祝中国共产党成立100周年，扬州漆器厂接到制作1800

件漆器纪念贺礼订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%,结果提前15天完

成任务.原来每天制作多少件？

【答案】原来每天制作40件

【分析】

设原来每天制作x件，则实际每天制作（1+50%）x件，然后根据题意列出方程求解即可得到答案.

【详解】

解：设原来每天制作x件，则实际每天制作（1+50%）x件，

18001800

由题意得：——

(l+50%)x

解得x=40,

经检验x=40是原方程的解，

原来每天制作40件，

答：原来每天制作40件.

Y2

17.（2021•北京市第十二中学九年级月考）解方程：---^-=1.

x-2x-4

【答案】x=-1

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【详解】

解：去分母得：x（x+2）-2=x2-4,

去括号得：x2+2x-2=x2-4,

解得：x=-1,

经检验x=-1是分式方程的解.

18.（2021・湖北）解方程：-+-^--4^=0

xx-lX-X

【答案】无解

【分析】

方程的两边同时乘/-X,转化为整式方程，求整式方程的解，最后检验整式方程的解即可.

【详解】

解：两边同时乘以无0-1）得:

3（x-1）+6x-（x+5）=0

化简得x-l=O,解得x=l

检验:将x=l代入得Mx-D=O

所以x=l是原方程的增根，即原方程无解.

19.（2021•陕西西安•交大附中分校九年级模拟预测）解分式方程：<--2.

【答案】无解

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解.

【详解】

解：去分母得：l-x=-l-2x+4,

解得：x=2,

经检验x=2是增根，分式方程无解.

20.（2021•哈尔滨市第四十七中学）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该

款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的1.25倍，且购进的数量比第一次少了30支.

（1）求两次购进的铅笔每支进价分别是多少元；

（2）若商店以第二次进价提高40%作为两次购进铅笔统一售价，按此同一售价销售部分铅笔后，又以八折

销售完其余的铅笔，要使全部销售完后获利不低于592元，求至少销售多少支铅笔后开始打八折？

【答案】（1）4元，5元.（2）200

【分析】

（1）设第一次每支铅笔进价为x元，则第二次每支铅笔进价为L25x元，根据题意可列出分式方程解答；

（2）设销售y支铅笔后开始打八折，求出利润表达式，然后列不等式解答.

【详解】

解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，

根据题意列方程得，--^-=30,

x1.25、

解得x=4,

经检验：尤=4是原分式方程的解.则第二次每支铅笔的进价为4义1.25=5（元），

答：第一次每支铅笔的进价为4元，第二次每支铅笔的进价为5元.

（2）铅笔统一售价为5x（1+40%）=7（元），

设销售y支铅笔后开始打八折，根据题意列不等式为：

7xy+（—+—^--y）x7x0.8-1200>592,

44x1.25

解得这200.

答：至少销售200支铅笔后开始打八折.

21.（2021•湖南九年级期中）在新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了/、8两种不同型号的口罩，已知N型

口罩的单价比2型口罩的单价多1.2元，且用7000元购买/型口罩的数量与用4200元购买2型口罩的数

量相同.

（1）/、2两种型号口罩的单价各是多少元？

（2）根据疫情发展情况，该公司需要增加购买一些口罩，增加购买8型口罩数量是N型口罩数量的2倍，

若总费用不超过3960元，则增加购买A型口罩的数量最多是多少个？

【答案】（1）/型口罩的单价为3元，则8型口罩的单价为1.8元；（2）增加购买/型口罩的数量最多是

600个

【分析】（1）设8型口罩的单价为x元，则4型口罩的单价为（x+1.2）元，，根据用7000元购买A型口罩

的数量与用4200元购买B型口罩的数量相同，可得关于x的分式方程，解方程并检验后即得结果；

（2）设增加购买/型口罩的数量是a个，则购买3型口罩的数量是2a个，根据。个/型口罩的费用与2a

个2型口罩的费用之和不超过3960元可得关于a的不等式，求出不等式的解集后结合实际情况即得结

果.

【详解】

解：（1）设3型口罩的单价为x元，则/型口罩的单价为（x+1.2）元,

70004200

根据题意，得:

x+1.2x

解方程，得：x=1.8.

经检验：x=1.8是原方程的根，且符合题意.

所以x+1.2=3.

答：/型口罩的单价为3元，则8型口罩的单价为1.8元；

（2）设增加购买/型口罩的数量是。个，则购买2型口罩的数量是2a个.

根据题意，得：3a+1.8x2a<3960.

解不等式，得：a<600.

答：增加购买4型口罩的数量最多是600个.

22.（2021•哈尔滨德强学校九年级开学考试）某五金商店准备从一机械厂购进甲、乙两种零件进行销售.若

每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件

的数量相同.

(1)求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？

(2)若该五金商店本次购进乙种零件的数量比购进甲种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总金

额不超过2000元，则五金商店本次从机械厂最多购进甲种零件多少个？

【答案】(1)每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元；(2)五金商店本次从机械厂最多

购进甲种零件53个.

【分析】(1)设每个乙种零件进价为x元，则每个甲种零件进价为。-2)元，根据“用80元购进甲种零件的

数量与用100元购进乙种零件的数量相同”列出方程.

(2)设购进甲种零件了个，则购进乙种零件(3y-5)个.根据“购进两种零件的总金额不超过2000元”列出

不等式，进而求得居53/，由此可得答案.

【详解】

解：(1)设每个乙