高考数学压轴题专项训练：数列（解答题压轴题）含答案及解析

专题18数列（解答题压轴题）

目录

①数列求通项，求和.................................................1

②数列中的恒成立（能成立）问题......................................5

③数列与函数.......................................................8

④数列与概率......................................................11

①数列求通项，求和

1.（2023•江苏徐州•校考模拟预测）已知数列｛%｝的前，项和为S“，且—=4+1,%=2.

n

⑴求数列｛风｝的通项公式；

（2）集合A=｛q,g,…将集合A的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为T,，求方.

2.（2023•云南昭通・校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列｛4｝的首项4=1,其前〃项和为"，从①

%=2厄-1；②$2=4耳，5„+1+S„_,=2（S„+l）（«>2）;③。“=向+宿（〃22）中任选一个条件作为已

知，并解答下列问题.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵设2=不丁，设数列｛〃｝的前“项和，，求证：4<7；<1,

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.

3.(2023•海南海口•海南华侨中学校考一模)已知各项均为正数的数列｛%｝满足2其=%+1,其中S“是数

列｛。“｝的前〃项和.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)若对任意“eN+，且当“22时，总有士+不\+J+…+不」＜2恒成立，求实数几的取值范围.

4.(2023・湖南郴州•安仁县第一中学校联考模拟预测)已知数列｛%｝的前〃项和为

S“,9=1,a2=2,(2n+3)S„+1=(/i+2)S„+(»+l)Sn+2(〃eN*).

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵已知数列卜g2T卜勺前〃项和为0g=阑(取整函数国表示不超过x的整数，如［2』=2),求数列

｛%｝的前100项的和Moo.

5.(2023•湖南郴州•统考模拟预测)已知正项等比数列｛凡｝的前〃项和为S,，且满足卬=1,%%%=64,数

列｛〃,｝满足乙=1，4+1％+；63+…+工2=2+1-l(〃eN*).

⑴求数列｛4｝,也｝的通项公式；

(2)设1=a”+(7)"(2"+1),求数列｛5｝的前2”项和心.

是偶数，

6.（2023•湖南长沙•长郡中学校联考模拟预测）已知数列｛4｝满足q=3,且“用

-L"是奇数.

⑴设4=%“+%,「求数列也｝的通项公式;

⑵设数列｛。“｝的前n项和为S“，求使得不等式S“>2023成立的n的最小值.

7.（2023•山西运城・山西省运城中学校校考二模）已知数列｛%｝满足3+彳+*+*+…+黑=罕.

（1）求数列｛。“｝的通项公式；

⑵记数列一^的前“项和为s“，证明：5„<i

IJ2

8.（2023•福建三明•统考三模）已知数列｛。“｝满足4=2,2a„+1+aA+1-2a„=0（neN*）.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设2=（-0,（4〃2：I）J,帆｝的前〃项和为S“，证明：-1<S2„<-1.

9.（2023・湖北武汉•统考模拟预测）已知S,是数列｛”“｝的前〃项和，2Sn=nan,«2=3,

⑴求数列｛〃“｝的通项公式；

⑵若。=|16-«„|,求数例J也｝的前〃项和发.

,、44g

10.（2023•福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列｛%｝的首项4=三，〃eN*.

⑴设4=善J,求数列｛2｝的通项公式；

[~an

（2）在外与4+1（其中左WN*）之间插入2/个3,使它们和原数列的项构成一个新的数列｛g｝.记s“为数列｛%｝

的前〃项和，求$36.

11.（2023•山东泰安•统考模拟预测）已知数列｛%｝是递增的等差数列，圾｝是公比为2的等比数列，也｝的

前〃项和为S“，且。2，。6吗4成等比数列，邑="-1,4也，生成等差数列.

⑴求｛%｝,｛〃｝的通项公式;

（2）若%=%也，4=（-1＞（3〃+8）的前〃项和J证明：一萼"一枭

2460

an-c,l+l

xa+12

12.（2023•河北•统考模拟预测）已知数列｛（%｝的前几项和为S“，且」］=一.

3〃n

（1）证明：数列｛%｝是等差数列；

⑵若为+1,%+1，。5成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列也,｝的前〃项和7“.（注：如果选择

多个条件分别解答，按第一个解答计分）

①二二;③3晨.

②数列中的恒成立（能成立）问题

1.（2023•吉林,长春吉大附中实验学校校考模拟预测）图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每

一列从上到下成等比数列，且公比均为实数49,1>0,%3=5,%2=-6，。：2=%,5.

（1）设勿=册”，求数列也｝的通项公式;

⑵设S“=.+%+…是否存在实数X,使。如”恒成立，若存在，求出力的所有值，若不存在,

请说明理由.

2.（2023・河北•统考模拟预测）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，点（",S“）在曲线无2-2无+y=0上.

（1）证明：数列｛%｝为等差数列；

⑵若6〃，数列｛2｝的前〃项和T,满足加（-2V7；对一切正整数〃恒成立，求实数机的值.

+,

3.（2023・云南•校联考模拟预测）已知数列｛4｝的前“项和为S",4=1,S„+1=25„+2",„fN*.

⑴求数列｛《,｝的通项公式;

⑵设2=*,｛〃｝的前〃项和为4,若对任意的正整数不等式7“>七"恒成立,求实数"的取值

范围.

4.（2023・浙江•二模）记管为正数列｛%｝的前〃项和，已知｛、-4｝是等差数列.

a.

⑴求六

。100

⑵求最小的正整数机，使得存在数列｛%｝,与-%>2.

5.（2023・上海徐汇•统考一模）对于数列｛尤“｝,｛%｝,其中%eZ,对任意正整数〃都有氏,则

称数列｛%｝为数列代｝的"接近数列".已知也｝为数列｛叫的“接近数列"，且,B'=》.

1=1Z=1

⑴若%=〃+；（〃是正整数），求仇，b2,b3,“的值；

（2）若4=3+［-2］向（〃是正整数），是否存在左（左是正整数），使得为＜瓦，如果存在，请求出上的

2I10）

最小值，如果不存在，请说明理由；

⑶若｛%｝为无穷等差数列，公差为d,求证：数列也｝为等差数列的充要条件是deZ.

6.（2023・四川雅安•统考模拟预测）给出以下条件：①出，/+2,q+4成等比数列；@S2,《，邑+4

成等比数列；③,是［与5的等差中项.从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.

〃5

已知单调递增的等差数列｛%｝的前〃项和为S”，且q=2,.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列抄“｝的前”项和为若〃eN*,

2（＜+2"+2-4）＞85“-26%,求实数X的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

③数列与函数

1.(2023•上海杨浦•复旦附中校考模拟预测)设y=/(尤)是定义域为R的函数，如果对任意的4、

尤2W尤2),b(%)—f(无2)|<|占一马|均成立，则称>=/(x)是“平缓函数

⑴若工(无)=上,力(无)=sin.r,试判断y=/(x)和y=力⑴是否为“平缓函数”?并说明理由;(参考公式：

X+1

%>0时，sinxvx恒成立)

⑵若函数y=/(x)是“平缓函数〃，且y=/(x)是以1为周期的周期函数，证明:对任意的毛、9£R，均

有/㈤-

⑶设y=g(x)为定义在R上函数，且存在正常数A>1使得函数y=Ag(x)为“平缓函数现定义数列

｛招｝满足:菁=。,％=g(九)("=2,3,4,...),试证明:对任意的正整数n,g(xn)<坐等.

2.(2023春•上海黄浦•高三上海市大同中学校考阶段练习)设函数〃x)=ln(x+l),g(x)=-^-.

①记X]=g⑴，xn+l=g(xn),neN,n>l.证明：数列为等差数列；

(2)设〃zeZ.若对任意尤>0均有/(%)>7咫(彳)-1成立，求机的最大值；

⑶是否存在正整数I使得对任意〃eN,n>t,都有(左)成立?若存在，求/的最小可能值;

k=\

若不存在，说明理由.

3.(2023春•上海闵行,高二上海市七宝中学校考期中)已知/(x)=lnx+』，g(x)=/(x)-x.

X

⑴求函数y=/(x)的单调区间；

(2)容易证明/。)>1对任意的彳〉1都成立，若点〃的坐标为(Li),p、Q为函数y=〃x)图像上横坐标均大

于1的不同两点，试证明：ZPMQ<30°；

/、

⑶数列｛%｝满足4e(0,l),an+1=f(an),证明：g4呼旦<0.

\an+2~an+37

4.(2023春•吉林通化•高二梅河口市第五中学校考阶段练习)已知函数/(x)=emMwR.

⑴令g(x)=誓,讨论g(x)的单调性；

2

£(+...+

(2)证明:I1I<-f=^——,MeN*.

4+I2nA^(e-l)

⑶若。=1,对于任意的机,“eR,不等式干工+”(In")"(m)+220恒成立，求实数6的取值范围.

5.(2023・全国•高三专题练习)若函数y=/(x)是其定义域内的区间/上的严格增函数，而y=的是/上

X

的严格减函数，则称y=/(x)是/上的"弱增函数".若数列｛?｝是严格增数列，而，?;是严格减数列，则称

｛q｝是"弱增数列

⑴判断函数y=lnx是否为(e,+8)上的"弱增函数"，并说明理由(其中e是自然对数的底数)；

⑵已知函数y=/(x)与函数〉=-2/一八-8的图像关于坐标原点对称，若y=/(x)是在〃，句上的"弱增函数",

求”-加的最大值；

⑶已知等差数列｛““｝是首项为4的“弱增数列"，且公差d是偶数.记｛4“｝的前〃项和为s“，设，=号萨(〃

是正整数，常数22-2),若存在正整数％和机，使得4且£=图，求2所有可能的值.

6.(2023•上海杨浦•统考一模)已知函数力(x)=x"+x+a,其中“为正整数，且为常数.

(1)求函数y=%(x)的单调增区间；

⑵若对于任意〃，函数＞=力(耳，在GJ内均存在唯一零点，求。的取值范围；

⑶设X,是函数y=A(x)大于0的零点，其构成数列代｝.问：是否存在实数a使得｛%｝中的部分项：%,

%，%(其中，＜/时，％•＜%)构成一个无穷等比数列｛。"｝若存在；求出。；若不存在请说明

理由.

7.(2023・全国•高三专题练习)已知等差数列｛。,｝公差为d(dH。)，前〃项和为力.

⑴若。=7,$3=12,求｛%｝的通项公式；

(2)若4=1,%、%、%成等比数列，且存在正整数p、qgq),使得"与％均为整数，求的值;

QP

QX_1(2022、(2022、

⑶若〃X)=:，证明对任意的等差数列｛%｝,不等式£>・£y(q)20恒成立.

2+1\Z=1)Vi=lJ

④数列与概率

1.(2023•湖南•校联考模拟预测)一部电视连续剧共有“+15210)集，某同学看了第一集后，被该电视剧

的剧情所吸引，制定了如下的观看计划：从看完第一集后的第一天算起，把余下的“集电视剧随机分配在2-

天内；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集.已知这部电视剧最精彩的部分在第〃集，设

该同学观看第一集后的第X天观看该集.

(1)求X的分布列；

(2)证明：最有可能在第(2〃-2)天观看最精彩的第〃集.

2.（2023春•河北唐山•高二校考期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办.在

决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.

GFIFWAWORLDRCUP

（i）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将

也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有;的可能性扑不

到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；

⑵好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，

等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停

地传下去，假设传出的球都能接住.记第w次传球之前球在甲脚下的概率为P",易知"=1，幺=。.

①试证明：，必一:，为等比数歹U;

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn,比较0。与qio的大小.

3.（2023・全国•高三专题练习）小明进行射击练习，他第一次射击中靶的概率为0.7,从第二次射击开始,

若前一次中靶，则该次射击中靶的概率为09否则中靶概率为0.7.

⑴求小明射击3次恰有2次中靶的概率；

⑵①分别求小明第2次，第3次中靶的概率.

②求小明第〃次中靶的概率.

4.（2023•全国•高三专题练习）学校篮球队30名同学按照1,2,30号站成一列做传球投篮练习，篮球

7

首先由1号传出，训练规则要求：第机（1（〃江28,机eN）号同学得到球后传给m+1号同学的概率为。，传

给加+2号同学的概率为:，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，

已知29号同学投篮命中的概率为:，30号同学投篮命中的概率为?，设传球传到第〃（2W〃<30,"cN）号

的概率为尸

⑴求巴的值；

（2）证明:｛之「£｝（2<〃W28）是等比数列；

⑶比较29号和30号投篮命中的概率大小.

5.（2023•全国•高三专题练习）某校为了解该校学生"停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级

100位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：

⑵根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩X近似地服从正态分布N（〃，4）,经计算，（1）中

样本的标准差s的近似值为10,用样本平均数最作为〃的近似值，用样本标准差s作为。的估计值，现任抽

取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率；（若随机变量X~N（〃，4）,则

P（"-+0.6827,P（/z—2b<X<JLL+2b）«0.9545,P（/z—3cr<X<//+3b）«0.9973）

⑶该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，

特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中"

玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列

方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次

跳1格或跳2格，概率均为依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15

格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第”（IV"W14）格的概率为匕，试证明

｛5+1-2｝是等比数列，并求4（获胜的概率）的值.

6.(2023•全国•高三专题练习)2022年4月23日是第27个“世界读书日”，某校组织“读书使青春展翅，知

识让生命飞翔”主题知识竞赛，规定参赛同学每答对一题得2分，答错得1分，不限制答题次数.已知小明能

正确回答每题的概率都为且每次回答问题是相互独立的，记小明得〃分的概率为P(〃)，〃eN*.

⑴求p(2),p⑶的值;

(2)求p(〃).

7.(2023春•浙江宁波,高二校联考期末)某商场拟在周年店庆进行促销活动，对一次性消费超过200元的

顾客，特别推出"玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点

数不超过4点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到200

元礼券，若累计得分为10分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行9轮游戏.

(1)当进行完3轮游戏时，总分为X,求X的分布列和数学期望；

(2)若累计得分为i的概率为口«=1,2,…,9),初始分数为0分，记为=1

(i)证明：数列｛口-加｝«=1,2,…,9)是等比数列;

(ii)求活动参与者得到纪念品的概率.

8.（2023・全国•高三专题练习）某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了100个相同的箱子，

其中第=2,…,100）个箱子中有左个数学题，100-左个物理题.每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱

子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题

目全部答对获得一个奖品.

⑴已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为"，答

对每一个物理题的概率为q.

①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；

②已知。+4=1,学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时。、q的值.

⑵若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率.

专题18数列(解答题压轴题)

目录

①数列求通项，求和.................................................1

②数列中的恒成立(能成立)问题......................................5

③数列与函数.......................................................8

④数列与概率......................................................11

①数列求通项，求和

1.(2023•江苏徐州•校考模拟预测)已知数列｛%｝的前几项和为且一=a“+l,«=2.

n2

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)集合4=｛%的，…，％｝，将集合A的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为7,,求

【答案】⑴4="

n+l

(2)Tn=2-n-2

【详解】(1)当”=1时，24=4+1,则4=1,且％=2；

当时，“一〃两式相减得〃

"222Sn=nan+n,2s=(“-1)%+-1,2a“=—(—+1,

.(n-2)an—(n-l)an_1=-l(«>2),

,当时，-^5--^=--—^=-7即一^~7=~^

几一1九一2(n—l)(n—2)n—1n—2n—1n—1n—2n—2

则上———=^-1=1,/.a=n.

n-1n-\3-2〃n

综上，a”="对任意〃eN*都成立.

(2)A=｛q,%…,％｝=｛1,2,3,…㈤,集合A的非空子集有2"-1个,

其中最小元素为1的集合中，含1个元素的集合有1个，含2个元素的集合有CL个，

含3个元素的集合有C3个，......,含〃个元素的集合有个，

所以最小元素为1的子集个数为C"+CT+C"+…+C,；=2"T个，

同理，最小元素为2的子集个数为C二+CL+C工+■•■+=2"-2个，

……，最小元素为〃的子集个数为1个，

1

Tn=lx2^+2x2"^+---+(n-l)x2+nxl,

1,1

2

-Tn=lx2"-+---+(n-2)x2+(w-l)xl+?ix-,

J-T=2--1+r-2+---+2+l--=i^--=2n-l--,则7；=2"i-〃一2.

221-222

2.(2023,云南昭通•校联考模拟预测)已知各项均为正数的数列｛4｝的首项4=1,其前〃项和为S“，从①

%=2四-1；②S?=4E，Sn+1+S„_1=2(S„+l)(«>2);③a,=£+£7(〃22)中任选一个条件作为已

知，并解答下列问题.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(JQ

⑵设么=三个，设数列也｝的前〃项和4,求证：白雪<1.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).

【答案】⑴条件选择见解析，«„=2«-1

(2)证明见解析.

【详解】(1)选择①：因为。“=2后-1,则4s,=a；+2a.+l,4S,T=a3+2ai+l(〃22),

两式相减得4a“=a；+2(a“-。修)(〃22),即(aa-a,——2)=。(〃32),

而V〃eN*,«„>0,则％-a,_i=2(〃22),因此数列｛%｝是以q=1为首项，2为公差的等差数列，

所以。“=1+2(〃-1)=2〃-1.

选择②：因为S向+5一=20+1)(〃22),则S“「S”=S,「Si+25"),

于是当"22时，an+l=an+2,即=2,由$2=45],得的+^^甸，

即有4-q=2q=2,因此V〃eN*,"“+「4=2,即数列｛4｝是以q=1为首项，2为公差的等差数列，

所以%=1+2(〃-1)=2〃-1.

选择③：因为a“=S“-S,T(〃N2),又见=后+卮(”22),

则s,_Sj=S+卮，即(岗+用)(向—历)=疯+用，

显然后+匹=%>。(心2)，于是后-后=1,即｛#；｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

从而6'="，即S"=>2,因此a”=S“—S._]=2"—1("22)，而4=1满足上式,

所以g=2"-1.

(2)由(1)知，an=2n-l,S"="('+"")=",

2

2

因此"Sn-S„+lSn-Sn+1SnSn+ln("+1)2'

IT7777I11111.1

则7；=4+d+&+-+2=1-域+级方+-一+/-即产=1-西泮

显然数列%%）单调递减，于是。＜—贝亭1-合-

3

所以H47；＜L

3.（2023•海南海口•海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列｛%｝满足2#；=4+1,其中S“是数

列｛%｝的前w项和.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

1111

（2）若对任意〃eN+，且当w22时，总有工+丁匚+丁7+…+不;＜2恒成立，求实数2的取值范围.

43］»—1»3—13“—1

【答案】（1）。“=2〃-1

（2）［1,+8）.

【详解】（1）2s=%+1,二S"［平）

当〃=1时，解得％=L

当“22时，％=5“一5“_=（铝：一|^^］,

即（%十%一1）（%-1-2）=。,

••・4―。〃-1.2=0,

」•数列｛?｝是以1为首项，2为公差的等差数列，

/.an=2n-l.

（2）因为4=2〃-1,所以+所

,1111If11｝

二当“22时，而=门=5f（〃+1）=5［二一；^,

A>I,

实数4的取值范围为[1,内).

4.(2023・湖南郴州•安仁县第一中学校联考模拟预测)已知数列｛4｝的前〃项和为

=1,02=2,(2/i.+3)S„+1=(7i+2)S„+(;z+l)S„+2(;zeN*).

⑴求数列｛《｝的通项公式；

⑵已知数列卜gZ子^的前〃项和为&%=y](取整函数国表示不超过x的整数，如[2』=2),求数列

｛c“｝的前100项的和陷狈.

【答案】⑴4="

(2)486

【详解】⑴•.•(2〃+3)鼠=(〃+2电+(〃+1)“，

••・5+1)(“-s.)=(〃+2g+T),

即(〃+1)%+2=5+2).吐=竺|,

%〃+1

aH&Aa”n

「•当"23时，1=1r,又一二2适合上式，所以当〃>2时，=7,

an_xn-1axan_xn-1

aa.a_a,nn—\n-23,

所以当2时，—•—•—0••…—=-r・―-•--・•…不x2xl二〃，

an_xan_2an_3qn-1n-2n—32

当〃=1时，q=l,符合上式，

(2)=n,log=log(«+1)-log«,

2。〃2一2一

Tn=(log22-log2l)+(log23—log22)+.・,+(log2(n+l)-log2n)=log2(n+l),

c

则n=[Z,]=[log2(n+l)],.-.必oo=[log22]+[log23]+---+[logzlOl],

•••[log22]=[log23]=l,[log24]=[log25]=

[log26]=[log27]=2,...,[log264]=…=[log2101]=6,

25

/.M100=2X1+2X2H----I-2X5+38X6=486.

5.(2023•湖南郴州•统考模拟预测)已知正项等比数列｛%｝的前w项和为S“，且满足4=1,%%%=64,数

列｛〃｝满足仿=1,4+92+,3+…=2+iT(〃eN*).

⑴求数列｛4｝,｛或｝的通项公式；

(2)设g=an+(T)"(22+1),求数列｛%｝的前2〃项和T2rl.

【答案】(1以=2"\bn=n.

⑵&=22"+2”-1.

【详解】（1）设数列｛q｝的公比为4，由已知得4>0,

因为％。3a4=64,所以靖=64,得生=4,

又q=1.所以4=2,

所以a“=%q"T=2"T,

对于数列也｝,因为4+"+"+…+%,=%T①

23n

当〃=1时，bx=b2-l,则d=2,

当〃>2时，1②，

23n—1

1〃+1

由①一②得一勿=么+i-2，即工—=下，

又%=2,也适合上式，故T=S（〃eN*）

v7

abnn

2

--1=n,又瓦=1,

所以2=”;

(2)由(1)可得：an=T-\bn=n,

则cn=an+(-1)"(2,+1)=2i+(-1)"(2〃+1),

则数列｛%｝的前2〃项和为：

22n-1

T2n=2°+(-1)-(2+1)+21+(-1)-(2x2+1)+…+2+(-1产•(2•2〃+1),

所以：

=(20+21+22+---+22,,~1)+[(-l)-(2+l)+(-l)2-(2x2+l)+---+(-l)2,,-(2-2n+l)]

+[-(2+l)+(2x2+l)]+---+[-(2-(2ra-l)+l)+(2-2«+l)]

=22n-l+2n=22n+2.n-l.

2a”,"是偶数，

6.（2023•湖南长沙•长郡中学校联考模拟预测）已知数列｛a,,｝满足4=3,且aM

an-1,〃是奇数

⑴设我=%+*，求数列｛2｝的通项公式；

（2）设数列｛4｝的前n项和为S”,求使得不等式篦>2023成立的„的最小值.

【答案】（1）2=2"+3

(2)20

2a”,及为偶数,

【详解】（1）因为q+1

a“T,”是奇数,

aaa+

所以2n=。2”-1—1，2n+l~2a,<22n+2="2"+1一1，所以2n-l=1.

b-1

又因为%=%”+。2”-1，所以6"=%+4"+1=2%+1，所以出"=」^—•

1

因为bn+i=%.+2+«2„+1，所以2+1=«2„+1-+%.+1=2%,+1一1，

又因为%+1=2%,所以年包=4%“-1,所以。”,='一，所以制—=因_,

即%=26,-3,

所以%-3=2伍,一3）,

b-3

又因为伪一3=勾+%-3=%=。［一1=2#0,所以与一3W。，所以:.=2,

b„-3

所以数列也-3｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以2一3=2X2"T=2",即"=2"+3.

（2）由（1）可知。2"-1+的“=2"+3，所以邑，=2（；―；）+3“=2向+3“_2,

所以邑"+2=2"+2+3〃+1,

又因为a2n=T，所以为“-1+4"=22,1-1=2"+3,

即的M=2"T+2,所以%向=2"+2,

所以邑用=邑，+a2n+1=2向+3〃-2+2"+2=3•2"+3〃,

因为星"+1—邑"=a2n+l=2H+2>0,

S2n+2-S2n+1=2"+2+3"+1-（3.2"+3"）=2"+1>°，

所以｛S"｝（"eN*）是一个增数列，

11

因为S19=3x29+3x9=1563,520=2+3x10-2=2076>2023,

所以满足题意的n的最小值是20.

7.（2023•山西运城•山西省运城中学校校考二模）已知数列｛%｝满足3+/+墨+*+…+黑=字.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵记数列」一|的前，项和为S",证明：s“<3.

【答案】⑴氏=-2"+1

（2）证明见解析

【详解】⑴解：由题意，数列｛%｝满足3+2+墨+*+…+*=节2，

当月=1时，可得3+?=尊二=|,解得4=-1；

当〃22时,可得3+>号+要+.•.+『=符,

两式相减得会"-等=2〃+3］〃一2二等,所以％―,

当〃=1时，适合上式，

所以数列｛g｝的通项公式为4=-2几+1.

71

(2)解：令2=------,由〃〃=—2〃+1,

一•%

71111/11、

■qT彳舁b=------=----------------=-------------=-(-------------)

〃an-an+i(一2〃+1)(-2〃-1)(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l

所以S.」(i-!+1」+l」+...+」.....—)=-(i-——)=--——,

2335572n-l2n+l22〃+124〃+2

因为〃eN*,可得~->0,所以S“<：.

4〃+22

8.(2023•福建三明•统考三模)已知数列｛〃〃｝满足q=2,2tzn+1+anan+i-2an=O(HeN).

⑴求数列｛g｝的通项公式；

(2)设2=(T)"(4〃2：］)a,｛々｝的前几项和为S“，证明：一上'?"二*

2

【答案】⑴4=一

n

⑵证明见解析

【详解】(1)因为q=2,2%+a“q,+i-2q,=0仅€1\*),所以0尸0,

22

所以一+1-----=°.

an%+1

111

所以-------=彳,

aa

n+ln2

所以［上］为等差数列，首项为'=；,公差

422

11/1/n1H

所以一=—+(«T)d=5+(wT"=J，

ana\乙乙乙

2

所以

n

b=(-i¥'____§____=(_1Y'____§____=(_1V______—_____

(2)证明:因为“<-(4"T%I'(4R_I)2I)(2n-l)(2n+l),

所以或=（-i）U+1

\2n—l2n+l

1_111

所以，S2〃=++…+-----1-----=-1+-----neN*

1314574〃-14〃+14n+lv

因为。----—(nGN*j,所以+----<,

4附+15''4/7+15

4

即-上邑--手

9.(2023•湖北武汉•统考模拟预测)已知S"是数列｛4｝的前几项和，2S„=nan,的=3.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

(2)若年=|16-«„|,求数列低｝的前力项和£.

【答案】⑴4=35-1)

—3〃2+35〃,

---------,n<6

2

⑵北=

3/-35”+204

,n>6

2

【详解】(1)由2S〃=%,贝IJ2S,讨=(〃+1)%,

两式相减得：2〃〃+i=("+-y，

整理得：(n-l>n+1=nan,

n

即“22时，—

n-1

n-1n-2

所以“22时，%=3"-冬"•••••—•«2

an-\an-2n-2n-3

又〃=1时，2%=q,得〃i=0,也满足上式.

故4=3(〃一1).

(2)由(1)可知:々=|16-%|=|19-3川.

记Q=19-3九，设数列｛。｝的前〃项和T；.

〃(16+19-3n)-3n2+35n

当〃<6时，T=

n22

当〃>6时，Tn=Cl+Ci+....+。6-GC,

'-北)=2"'-窘=102-—3几2+35〃3〃2—35〃+204

22

—3/+35〃

,n<6

2

综上：Tn=\

3n2-35^+204

,n>6

2

10.(2023•福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测)已知数列｛%｝的首项4=|,a„也

+1,〃wN*.

3。“+1

⑴设a='，求数列｛2｝的通项公式；

(2)在瓦与仄+1(其中左eN*)之间插入2k个3,使它们和原数列的项构成一个新的数列｛5｝.记S”为数列｛1｝

的前”项和，求S36.

【答案】(1也=4"(〃eN*)

(2电6=1457

4a4

【详解】(1)因为4+1=^—77>4=£*0，

3a+15

131

所以“。，取倒得二二卡福,

所以二一4,+i

即即%=物,

4+1也41-。向

因为仇=4*0,所以也｝是仇=4,4=4的等比数歹人

所以d=4"(〃eN*).

(2)在々也之间有2个3,久也之间有2。个3,仇也之间有23个3,“，&之间有24个3,

合计2+2z+23+2,=30个3,

5

54xfl-4')

所以$36=24+31x3=—----^+93=1364+93=1457.

；=11-4

11.(2023•山东泰安・统考模拟预测)已知数列｛%｝是递增的等差数列，也｝是公比为2的等比数列，也｝的

前”项和为s“，且出，a6M14成等比数列，S3=^4-1