高考数学分类专项训练之指数函数与对数函数

指数函数与对数函数

目录

明晰学考要求...................................................................................1

基础知识梳理...................................................................................1

考点精讲讲练...................................................................................5

考点一：指数...................................................................................5

考点二：指数函数的概念........................................................................7

考点三：指数函数的图象和性质.................................................................11

考点四：对数..................................................................................17

考点五：对数函数的概念.......................................................................19

考点六：对数函数的图象和性质.................................................................21

考点七：不同函数增长差异.....................................................................27

考点八：函数的零点与方程的解.................................................................30

考点九：函数模型的应用.......................................................................34

实战能力训练..................................................................................38

明晰学考要求

1、了解指数塞的拓展过程，掌握指数塞的运算性质；

2、了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；

3、能用描点法画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；

4、理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数;

5、了解对数函数的概念；

6、能用描点法画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；；

7、指导对数函数y=log：与指数函数＞互为反函数(。＞0且awl)

基础知识梳理

1、根式的概念及性质

(1)概念：式子而叫做根式，其中〃叫做根指数，。叫做被开方数.

(2)性质:

①(而丫=a(He7V*Mzz＞l)；

②当九为奇数时，当”为偶数时，必7=|。|=

、[-a,a<0

2、分数指数塞

①正数的正分数指数塞的意义是^^二行工〉。，皿〃^^^,且〃>1)；

②正数的负分数指数塞的意义是a==〒=(a>O,根,〃eN*,且〃>1)；

N0m

③0的正分数指数事等于0；0的负分数指数塞没有意义.

3、指数募的运算性质

①aras=ar+s(a>0,r,seR)；

②(")'=ar\a>0,r,5eR)；

③(ab)，=a'br{a>0,b>0,reR).

4、指数函数及其性质

(1)指数函数的概念

函数/(x)=a、(a>0,且awl)叫做指数函数，其中指数》是自变量，函数的定义域是R.

(2)指数函数/(%)=优的图象和性质

底数a>l0<tz<l

图象

定义域为R,值域为(0,+s)

图象过定点(。,1)

当x>0时，恒有

性质当%>0时,恒有/(无)>1；

0</(x)<l；

当了<0时，恒有。</(x)<l

当x<0时，恒有/(X)>1

在定义域R上为增函数在定义域R上为减函数

指数函数/(x)=屐(a>0,且aw1)的图象和性质与a的取值有关,应分a>1

注意

与0<。<1来研究

5、对数的概念

(1)对数：一般地，如果优=N(a>。,且awl)，那么数》叫做以。为底N的对数，记作x=log〃N,

其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

(2)牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数IgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的

对数InN.

(3)对数式与指数式的互化：a，=Nox=10gtzN.

6、对数的性质、运算性质与换底公式

(1)对数的性质

根据对数的概念，知对数log。N(a〉0,且aw1)具有以下性质：

①负数和零没有对数，即N>0；

②1的对数等于0,即log"=0；

③底数的对数等于1,即log〃a=1；

④对数恒等式a.'=N(N>0).

(2)对数的运算性质

如果。>0,且awl,〃>0,N>0,那么：

①log.(M•N)=log也+log*■

M

②10go—=log/Tog〃N；

③log“M"=nlogaM(neR).

(3)对数的换底公式

对数的换底公式：log。b=°(口>0,且。w1；c>0,且cw1;6>0).

logca

换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成

什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

换底公式的变形及推广：

①logbn=—logab(a>。且aR>0)；

am

②log/=--—(a>0且awl,b>0且6丰1).

一

7、对数函数及其性质

(1)对数函数的定义

形如y=log；(a>0,且awl)的函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+g).

(2)对数函数的图象与性质

a>l0<a<l

对于一般函数y=/(x),xe£>,我们把使/(x)=0成立的实数x叫做函数y=/(尤),xe。的零点.注

意函数的零点不是点，是一个数.

9、函数的零点与方程的根之间的联系

函数V=的零点就是方程/(%)=0的实数根，也就是函数y=/(x)的图象与x轴的交点的横坐标

即方程/(%)=0有实数根o函数y=f(x)的图象与x轴有交点。函数y=f(x)有零点.

10、零点存在性定理

如果函数y=/(x)在区间团,句上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，函数

y=/(x)在区间(。,刀内有零点，即存在ce(a,6),使得/(c)=O,这个c也就是方程/(x)=0的根.

注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.

11、常见函数模型

(1)指数函数模型/(x)=3'+6(。>0且awl,左W0)

(2)对数函数模型/(x)=-og：+8(a>0且awl,k/0)

12、指数、对数、塞函数模型性质比较

函数

y=优(〃>1)y=logax(a>l)y=x〃(〃>0)

性质

在(0,+8)上的

单调递增单调递增单调递增

增减性

介于指数函数与

增长速度先慢后快，指数爆炸先快后慢，增长平缓对数函数之间，相

对平稳

随X的增大，图象与y轴接近随X的增大，图象与X轴接近随〃值变化而各有

图象的变化

平行平行不同

值的比较存在一个毛,当X〉/时，有log"x<x"（优

考点精讲讲练考点精讲精练03

考点一：指数

【典型例题】

例题1.（2022天津）已知2m=3,2"=5,则2"""的值为（）

5

A.-B.2C.8D.15

3

【答案】D

【知识点】指数塞的运算

【分析】根据指数的运算求解即可.

【详解】2"+"=2"x2"=3x5=15.

故选：D

例题2.（多选）（2024浙江）下列各式一定成立的是（）

A.而少=次B.2-1=1

C.（a2j=\a\D.仃=M〃eN*）

【答案】ABC

【知识点】根式的化简求值、指数塞的运算、分数指数塞与根式的互化

【分析】利用根式运算法则及根式与分数指数骞互化，选出正确答案.

_______41_

【详解】对于A,0（_2）4=2五=2号=次，故A正确；

对于B,2T=；,故B正确；

对于C,（6）；=同，故C正确；

对于D,当〃=2,“=-1时，Qf=l,故D错误.

故选：ABC.

1z-x04

例题3.(2023山西)(0.064户一一(+[(-2)7一⑹6=.

【答案】㊂23

16

【知识点】指数暴的化简、求值

【分析】根据指数幕的性质进行计算.

【详解】JM^=(0.43p-l+(-2)-4-(24p5=0.4-1-l+-

v7v716821616

故答案为：㊂23

16

【即时演练】

73

1.已知(7>0,b>0,化简：选=

【答案】a3b

【知识点】分数指数幕与根式的互化、指数塞的化简、求值

【分析】把根式化成分数指数式，再利用指数式的运算法则进行化简.

7373

【详解】因为喏=喏="3爪

“ba2b2

故答案为：a3b

2.若代数式衣方+万工有意义，则五-2工+1+弧-2)4=.

【答案】1

【知识点】根式的化简求值

【分析】由二次根式有意义得到x的取值范围，化简所求代数值，由x的取值范围去掉绝对值符号即可得到

解.

【详解】由题意可知：]：1<%<2

[2-x>0

*e•Jx2-2冗+1+#(%-2)4=J"-1。+.(尤-2)4=|x-l|+|x-2|=x-l+2-x=l

故答案为：1

3.计算：

_i______________

⑴;*83+(号)+(-6)°+J(2一如)；

⑵点力行•行・海（。＞0，＞＞0）.

【答案】⑴2+君

6

⑵加

【知识点】指数幕的化简、求值

【分析】（1）根据指数运算的知识求得正确答案.

（2）根据根式、指数运算的知识求得正确答案.

1

【详解】⑴人+层［"6）。+#_灼2

="2+曰+1+e-2

=-+-+1+75-2=2+75.

33

(8_6\2I—7—

(2)拒为行.迎.亚

”.6xf.C43

5

=aI2).b5I2人〃5，b5

_43436

=a.•胫•点・后=*•

考点二：指数函数的概念

【典型例题】

例题1.（2024安徽）若函数y=（〃-5°+7）优+4-2。是指数函数，则有（）

A.。=2B.a=3

C.〃=2或a=3D.a＞2,且aw3

【答案】A

【知识点】根据函数是指数函数求参数

【分析】根据指数函数定义求参.

【详解】因为＞=（。2-5。+7",+4-24是指数函数，

所以a?—5a+7=La?-5a+6=0,（a-2）（。—3）=0,且4-2Q=0

所以a=2.

故选：A.

例题2.(2023新疆)设函数/("=优—(左—1)广(a>0且awl),满足"0)=0.

⑴求女的值；

⑵若/(1)<0,求使不等式/(/+fx)+/(4—x)<0对任意实数x恒成立的f的取值范围.

【答案】⑴左=2

(2)—3</<5

【知识点】已知函数值求自变量或参数、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式

【分析】(1)根据"0)=0求得a.

(2)根据函数的奇偶性、单调性、一元二次不等式恒成立等知识求得f的取值范围.

【详解】(1)；〃0)=0,...1—(左一1)=0,...k=2.

(2)由(1)得：f(x)=ax—a(〃>0且awl),

xx

F(x)的定义域为R,f[-x)=a-a=-f(x)9

・•・〃力是奇函数.

•••/(1)<0,,J=£izJ.=(a+l)("l)<0,...0<a<l

aaa

“X)在R上是减函数.

不等式/(/+rx)+/(4—x)<0等价于/(f+目<〃x-4).

.x2+tx>x-4,即.一+«一1■+4>0恒成立.

A=(/-l)2-16=？-2r-15<0,解得-3<r<5.

,X1

例题3.(2022江苏)已知定义在R上的奇函数/(x)满足：xNO时，/(x)=-^.

⑴求的表达式；

⑵若关于x的不等式，(26+3)+/。-依2)>0恒成立，求〃的取值范围.

【答案】⑴/'5)=叁

2+1

(2)(<0]

【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、指数函数的判定与求值、由函数奇

偶性解不等式

【分析】(1)根据函数的奇偶性求得当x<0时的解析式，即可得到结果；

(2)根据定义证明函数/(X)在R上单调递增，然后再结合f(x)是定义在R上的奇函数，化简不等式，求

解即可得到结果.

1

【详解】（1）设x<0,贝！J—%>0,因为l之0时，f（x）=-------，

2"+1

2T-11-2X

所以

1+2X

又因为〃%）是定义在R上的奇函数,

I2%-1

即/")=_/(T=

2X+1

-1

所以当x<0时，/（©=『

2+1

综上，“X）的表达式为

2+1

2X-1?

（2）由（1）可知，/（冗）=^^=1———,

2、+12X+1

设在R上任取两个自变量七,无2,令占<尤2

则〃网）-"％）=[1-亮]-[「告）

222（2--2^）

一2也+12&+1一（2*+1）（2为+1）

因为石<%，则2』-2如<0,所以/（%）-/（々）<0=/（再）</仁）

所以函数/'（元）在R上单调递增.

即f（2ax+3'）+f（l-ax2^>0^>/（2ar+3）>-/（l-ar2^,

由是定义在R上的奇函数，可得-/（1-加）=/（加-1）

即/•（2依+3）>/（改2—1）,由函数y（x）在R上单调递增，

可得2依+3>G？_]=以2-2办-4<0恒成立，

当〃=0时，即TvO,满足；

»,[a<0乙，

当awO时，即LA2nf解得-4vav。

[A=4a+16tz<0

综上，，的取值范围为（T,0]

【即时演练】

[X4尤

1.已知函数〃x）=彳*（a>0且"1）是奇函数，贝!）。=（)

B.3C.2A/3D.4

【答案】C

【知识点】指数幕的运算、由奇偶性求参数

【分析】利用奇函数定义，可得，(-1)=-/(I),进而利用奇函数定义验证求解即可.

【详解】因为函数/(X)是奇函数，定义域为(-.0)d(0,+力)，

所以〃-1)=一八1)，

4T3+477l

BP----—二------，即有〃二——，解得a=26，

-aa12a

此时〃x)=

x-l2v3I

3,+4*―

则〃-)=k+4一,="MW)=_3+4..

')T.(2⑹FF(2可x.(2可

满足/(-X)=-f(x),

所以a=2\/3.

故选：C.

2.已知指数函数〃"=(/-2°-2)优，则/(3)的值为.

【答案】27

【知识点】求函数值、根据函数是指数函数求参数

【分析】根据指数函数定义求得。=3,进而代入求解即可.

【详解】因为“对=(/一2。一2"，为指数式，贝!|6一2“一2=1,解得a=3或a=-l,

又因为a>0且awl,可得a=3,即/(x)=3",

所以"3)=33=27.

故答案为：27.

3.已知函数/(尤)=匿^为奇函数.

⑴求。的值；

(2)判断并证明/(%)=春的单调性；

⑶若存在实数f,使得/。2-2。+/(2/2一发)>0成立，求上的取值范围.

【答案】⑴1

(2)函数/(x)在R上单调递减，证明见解析

⑶£，+-

【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、根据函数是指数函数求参数、

由奇偶性求参数

【分析】（1）根据“X）定义域为R且为奇函数，所以"0）=0,即可求解.

（2）利用函数单调性的定义法即可证明求解.

（3）由⑵中结果及奇函数性质可得7•。2-2。＞/卜-2产），从而可得3『-2…左＜0,结合二次函数性

质即可求解.

【详解】（1）由函数/（x）=t"为奇函数，其定义域为R,所以/（。）=0,

即〃0）=m=0,解得。=1，此时〃x）=E",

满足”—）=£?=*=-〃x）,即〃x）为奇函数，

故”的值为1.

（2）在R上单调递减，证明如下：

1_x7

由（1）知=e

/1+e1+e

_222（e巧一e为）

V//eR，且玉则/（占）一“无2）=用『用豆=（］+eq）（］+e,，

因为王〈尤2，所以e'R-e』〉。，l+e%,＞0,l+e*＞0,

所以即函数〃元）在R上单调递减.

（3）由/（产一2（+/（2尸一左）＞0,则/（产-2f）＞V（2/Y）,

又因为“X）为奇函数，所以/（r_2。＞_/（2』_左）",_2尸），

又由（2）知函数/（X）在R上单调递减，

所以r-2/＜"2产，因为存在实数/,使得3m＜0成立,

所以△=4+12左＞0,解得人＞—Q.

所以人的取值范围为

考点三：指数函数的图象和性质

【典型例题】

例题1.（2024北京）在区间［a,5］上，〃x）=2'的最大值是其最小值的4倍，则实数。=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【知识点】利用函数单调性求最值或值域

【分析】根据条件，利用/（x）=2，的单调性，得到32=4x2",即可求解.

【详解】/（x）=2,区间,,5］上单调递增,又“a）=2。,*5）=25=32,

所以32=4x2",即2"=8=23,解得。=3,

故选：C.

例题2.（2024云南）函数、=州的最小值为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【知识点】求已知指数型函数的最值

【分析】根据题意结合指数函数单调性分析求解.

【详解】因为国20,当且仅当x=0时，等号成立，

且y=2*在R上单调递增,可得y=/22°=l,

所以函数y=2凶的最小值为1.

故选：B.

例题3.（2024浙江）已知定义域为R的函数〃尤）=0若对任意玉<0,%>。，均有〃%）>/伍）

恒成立，则下列情形可能成立的是（）

A.n>m>0B.n>0>mC.0<n<mD.m<n<0

【答案】A

【知识点】判断指数函数的单调性、比较指数塞的大小

【分析】对ACD,根据函数的单调性判断，对B举例说明不正确.

【详解】对A：若心〃>0,所以0<?<1,所以=为单调递减的指数函数，因此对任意办<0,

爸>0，均有/&）>〃％）恒成立，故A正确；

对B：若〃>0>机，-<0,函数“X）无意义，故B错误;

n

对C：若0<”加，所以?>1，所以为单调递增的指数函数，所以对任意不<。，3>0,均

有/（芯）<〃*2）恒成立，故C错误;

对D：若祖<"0,所以?>1，所以=为单调递增的指数函数，所以对任意册<0,%>0,均

有恒成立，故D错误;

故选:A

例题4.(2023海南)已知函数/(同=啜『是奇函数.

⑴求实数。的值；

(2)判断函数/(彳)的单调性，并用函数单调性的定义证明；

⑶若对于任意x>0都有/'优+4)+〃如"。恒成立，求实数用的取值范围

【答案】(1)1;

(2)/(x)在R上单调递增，证明见解析；

(3)H，+CO).

【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数不等式恒成立问题、判断指数函数的单调性、由奇偶性

求参数

【分析】(1)求出函数〃x)的定义域，由，(。)=。求出a,再验证作答.

(2)函数/(》)单调递增，再利用单调增函数的定义推理论证作答.

(3)利用(2)的结论，结合已知脱去法则7一转化为恒成立的不等式作答.

【详解】(1)〃司=喂『的定义域为R,又〃彳)是奇函数，则/(0)=*=0,解得。=1,

此时〃尤)=汜，显然〃一x)=二二=上2=-〃耳，因此“X)为奇函数，符合题意，

2+12~+11+2

所以a=l.

(2)/(%)在R上单调递增,

2X-1?—

/(%)=-------=1----------，任取%£R且再<%2，

2X+12X+1

y(x1)-/(x2)=fi―——vfi――2(2

I"I，l2'+Ul2^+1J(2%'+1)(2^+1)

因为玉<3，则2为<2*,有2f一2四<0,2'，+1>0,29+1>0,于是“动一外三卜。，即"不)</(%),

所以/(X)在R上单调递增.

(3)依题意，/(%2+4)+f(77U)>0<=>/(x2+4)>-f(mx)=f(-mx),

因为/(X)在R上单调递增，因此f+q-mx,而X>0,有fiVx+工，

当x>0时，x+->2.lx--=4,当且仅当x=2时取等号，

X\X

因为任意x>0,/任+4)+/(%”。恒成立，即任意x>0,-W+：恒成立，则一屋4,解得根2-4,

所以加的取值范围是［Y,+4).

例题5.(2020贵州)已知定义在R上的函数/(元)=2'+2.

(1)写出的单调区间；

(2)已知/(x)>〃2产-2侬+1,对所有xeR,feR恒成立，求，的取值范围.

【答案】(1)函数〃尤)在[。,+◎上单调递增，在(-乱。)上单调递减.(2)[-1,0)

【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、判断指数函数的单调性

【分析】(1)利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得出单调区间；

(2)由(1)知，函数/(x)的最小值为2,把不等式转化为机产一2,加-1<0恒成立，结合二次函数的图象

与性质，即可求解.

【详解】(1)函数/(》)在0+8)上单调递增，在(-叫。)上单调递减.

①当OVXi时，

112巧—9X1+巧—1

则/(^)-f(x2)=2为+2苞+=⑵-2*)+---=⑵-2*)•——，

因为。<玉<%,可得2为-2*<0,2'E>2°=1,所以/(%)-

即/(占)</(%),即函数/(X)在[。,+◎上单调递增；

②当X]<%<0时，

112巧_?尤1+%2_1

贝!I/(^)-/(x2)=2^'+—-2^+—=(2$-2*)+——=(2为-2*)•一,

因为0V玉<%，可得2%一2巧<0,2甬+巧<2°=1,所以/(%)-/(尤2)>。，

即/(再)>/(%)，即函数/(%)在(f，。)上单调递减.

综上可得，函数/(%)在。+8)上单调递增，在(-*0)上单调递减.

(2)由(1)知，当％=0,函数取得最小值，最小值为八外.二？，

因为不等式/(%)>皿2-2加+1,对所有％£氏，/eH恒成立，

即2>加/一2根1+1怛成立，即加/一2皿一1<0恒成立，

当根=0时，-1<0恒成立，符合题意；

“fm<0

当加。0时，则满足12,解得-LvmvO,

[A=4m+4m<0

综上可得，实数加取值范围是(-1,。].

【即时演练】

1.已知。=2°/力=2°5,。=0.52,则见瓦。的大小关系为()

A.a<b<cB.b<c<a

C.a<c<bD.c<a<b

【答案】D

【知识点】比较指数嘉的大小

【分析】根据指数函数性质以及中间量“1”即可比较大小.

【详解】根据指数函数性质知即1<。<匕，

又因为0.5?=0.25,贝!|c<a<6.

故选：D.

2.函数〃x）=&的大致图象是（）

【答案】D

【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、具体函数的定义域

【分析】由奇偶性及函数值即可判断.

【详解】由八尤）=/^知：中土1,

=-^="6,偶函数，AC错，

\73-3T3-3国'）

4

/（2）=--<0,B错，

故选：D

3.函数/'（x）=aA2+i（0<a<l）的图象恒过定点尸，则点尸坐标为.

【答案】（2,2）

【知识点】指数型函数图象过定点问题

【分析】根据X-2=0,即可求解x=2,代入即可得纵坐标.

【详解】令x—2=0,则尤=2,故/（2）=。°+1=2,因此P（2,2）,

故答案为：（2,2）

4.已知定义域为R的函数/（》）=上一-1是奇函数.

2+a2

⑴求实数。的值；

（2）判断函数/（x）的单调性，并用定义加以证明；

⑶若对任意的xe[L2],不等式一如）+/（尤2+4）＞。成立，求实数的取值范围.

【答案】⑴。=1;

⑵在定义域内单调递增，证明见解析；

（3）m＜4＞/2■

【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、判断指数函数的单调性、由奇

偶性求参数

【分析】（1）利用奇函数性质求出。，再利用定义验证即得.

（2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得.

（3）利用奇函数性质及单调性质脱去法则。分离参数，借助基本不等式求解即得.

【详解】（1）定义在R上的函数/（尤）为奇函数，得外））=」匚-!=0,解得。=1,

a+12

此时k)=5T则A-MU—=------1-\—=-------1—=—f(X)

122X+122^+12

即函数/（X）是奇函数，所以。=1.

2'+1-11^_1_1

(2)由(1)知f(x)=

2'+1--2~-2*+1—5一一-2*+1

函数在定义域内单调递增，证明如下:

设玉＞々，则“百）一/（%）=亍匕一2国一2热

（2巧+]）（2须+1），

由项〉马，得2均＞2为＞0,贝！I/&）＞/（/），所以函数在R上单调递增.

（3）依题意，对任意的％目1,2],/（x2-mx）＞-/（x2+4）＜^＞/（x2-mx）＞f（-x2-4）

4「r.4I4r-

贝!1%2一痛＞一九2一4,即用＜2x+1在％目1,2]上恒成立，而2%+—22,2]一二4女，

当且仅当％=0时取等号，因此根＜4后，

所以实数机的取值范围是加＜40.

zv_3*+i

5.已知函数f（x）=3—是定义在R上的奇函数（。＞0）＞0）.

⑴求了（九）的解析式；

（2）求当工£[0』时，函数g。）=/（%）•（3、+1）+9"-1的值域.

3(1-3X)

【答案】⑴/（%）=

1+3”

【知识点】求指数型复合函数的值域、由奇偶性求参数

【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出。，分作答.

（2）由（1）的结论，求出函数g（x）的解析式，结合二次函数求出值域..

【详解】（1）由函数:是R上的奇函数，则有/（0）=二=。，解得。=3,即/（无）=?!,

y+bb+iy+b

3—3213X+1-33-3x+1

VXGR,/(r)=

yx+bb-3x+ly+b

即DXER,Z?.3"+l=3"+6,解得）=1,经验证得a=3,Z?=l时，/（九）是奇函数,

所以

1+3

(2)由(1)知,^(%)=/(%)•(3X+1)+9X-1=3-3X+1+9X-1=(3X)2-3x3"+2=(3X-

3i

当x«O,l］时，k3*43,因此当歹=5时，g(x)^n=--,当x=l时，g(x)max=2,

所以所求值域为［-。2］.

4

考点四：对数

【典型例题】

例题1.（2024云南）已知。>0,6>0.若。6=1,贝!Jlga+lg6=（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【知识点】对数的运算

【分析】利用对数运算法则进行计算.

【详解】lga+lg6=lg"6=lgl=。.

故选：A

例题2.（2024福建）若ln%=6,lny=3,则一等于（）

y

11a

A.-rB.—rC.e72D.e3

ee

【答案】D

【知识点】指数式与对数式的互化、指数幕的运算

【分析】将对数式化为指数式，再根据指数基的运算法则计算可得.

【详解】因为lnx=6,lny=3,

6

所以x=e6,y=e3,所以二r=,e=e3.

ye-

故选：D

例题3.(2024湖北)已知log32'=l,则2*+4'=.

【答案】12

【知识点】指数幕的运算、指数式与对数式的互化

【分析】根据指数与对数的运算法则计算.

【详解】由1%2*=1得2工=3,则4、=(2)=9,

所以2*+4工=3+9=12,

故答案为：12.

例题4.(2021江苏)计算log264+lg0+lgV^=

13

【答案】y

【知识点】对数的运算

【分析】借助对数运算法则计算即可得.

6

【详解】log264+lgy/2+lgy/5=log22+1(lg2+lg5)

「「

=6+—lgl0=6+—113.

13

故答案为：y.

【即时演练】

_______3

1.计算：logs125+W(-5?2=()

A.8B.3+A/5C.-2D.3-A/5

【答案】A

【知识点】根式的化简求值、指数塞的运算、对数的运算

【分析】将根式化为分数指数募，结合对数运算法则进行计算

32

32

【详解】logs125+口(一5)2；=log55+^=3+5=8.

故选：A

2

21g2183

2.计算：273+log85.logl2+10-=.

5

【答案】10

【知识点】指数塞的运算、对数的运算

【分析】根据对数、指数运算求得正确答案.

2

21g2lg3

【详解】27§+log85.logl2+10-

5

2

=03）3+bg85.bg5T2+10妒23

2lg3-

=3-log85-log52+10

4

=9-log232+-

14

=9——+-=10.

33

故答案为：10

3.计算：31og28+21og3l=.

【答案】9

【知识点】对数的运算

【分析】利用对数的运算性质计算即可.

3

【详解】由题意可得：31og28+21og3l=31og22+2x0=3x3+2x0=9.

故答案为：9.

4.计算：l°+eln2-0.5-2+lg25+21g2=.

【答案】1

【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算、指数塞的运算

【分析】结合指数、对数运算求得正确答案.

ln22

【详解】l°+e-0.5-+lg25+21g2=l+2-Q^+Ig25+lg4

=3-4+lg（25x4）=-l+lgl02=l.

故答案为：1

考点五：对数函数的概念

【典型例题】

例题1.（2024北京）函数/（x）=ln（x+6）的定义域为（）

A.(-6,+co)B.(6,+oo)C.(-00,-6)D.(-00,6)

【答案】A

【知识点】求对数型复合函数的定义域

【分析】由x+6>。即可求解.

【详解】由解析式可知，x+6>0,

及x>-6,

所以定义域为（-6,田），

故选：A

例题2.（多选）（2024浙江）若函数〃x）=log.（x—l）+b（a>0,"l）,则下列选项正确的是（）

A.定义域为（L”）B.值域为R

C.图象过定点（2力）D.在定义域上单调递增

【答案】ABC

【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域、对数型函数图象过定点问题、对数型

复合函数的单调性

【分析】根据对数函数的性质逐一判断即可.

【详解】由题意，x-l>0,贝

所以函数的定义域为（1,+8）,故A正确；

根据对数函数的值域可得函数/（x）的值域为R,故B正确；

令x-l=l,贝！］x=2,f（x）=b,

所以函数的图象过定点（2,6）,故C正确；

当0<。<1时，函数/（尤）在定义域上单调递减，故D错误.

故选:ABC.

例题3.（2023云南）函数/'（幻=产亚石石的定义域是（用区间表示）

【答案】

【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域

【分析】结合塞函数与对数函数性质计算即可得.

【详解】由题意得2—log3（2x+l）Z0,即0<2尤+"9,解得-;<x44,

即定义域为：［-p4.

故答案为」-别

【即时演练】

1.若函数〃句=坨(后-阳+2)的定义域为R,则实数7"取值范围是()

A.[0,8)B.(8,+oo)C.(0,8)D.(-co,0)u(8,+co)

【答案】A

【知识点】求对数型复合函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题

【分析】分析可知，nix?-nzx+2>0在R上恒成立，分根=。、机两种情况讨论，在根=0时，直接验证

fm>0

即可；在mwo时，可得出A八，综合可解得实数机的取值范围.

[A<0

【详解】由题意，函数〃X)=lg(如2T"+2)的定义域为R,

等价于mx2—mx+2>0在R上恒成立，

若根=。，贝!|如2一7nx+2=2>0在R上恒成立，满足条件；

,fm>0

若加H0,贝叫A2oc，解得0<m<8.

[A=nr-8"2co

综上，实数加的取值范围是[0,8),

故选：A.

2.若>=/(x)(无©R)是奇函数，当x>。时，/(x)=x2-liu+l,/(0)+/(-l)=.

【答案】-2

【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用

【分析】根据给定条件，结合奇函数求出函数值即可.

2

【详解】由y=/(x)(xeR)是奇函数，得/(0)=0,当x>0时，/(x)=x-lttT+l,则/(1)=2,

所以/(0)+/(-1)=0-/(1)=-2.

故答案为：-2

3.函数/(x)=ln(2+x-/)的定义域为.

【答案】(一1,2)

【知识点】求对数型复合函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式

【分析】利用对数函数的真数大于0,解不等式可得结果.

【详解】易知真数2+x-尤2>0,即/_彳一2<0,解得一1<》<2.

即函数〃x)=ln(2+x-巧的定义域为

故答案为：(-1,2)

考点六：对数函数的图象和性质

【典型例题】

例题1.（2024北京）在下列函数中，在区间（0,+8）上单调递减的是（）

A."x）=3"B.〃x）=log2尤C./（%）=x2D./（*）=1。8产

【答案】D

【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性

【分析】由指数函数、对数函数以及幕函数的单调性逐项判断即可得.

【详解】对A：/（x）=3'在R上单调递增，故A错误；

对B：/（x）=log2&在（0,+e）上单调递增，故B错误；

对C：〃力=尤2在（3,。）上单调递减，在（0,+司上单调递增，故C错误；

对D：〃尤）T