高考数学热点问题专练：函数零点的性质问题

第11炼函数零点的性质

一、基础知识：

1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转

化，且这三者各具特点：

(1)函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数

的单调性确定是否存在零点

(2)方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为

两个可分析的函数，为作图做好铺垫

(3)图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。

三者转化：函数/(%)的零点n方程%)=0的根方程g(x)=/z(x)的根n

函数g(x)与的交点

2、此类问题的处理步骤：

(1)作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题,

并作出函数图像

(2)确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围

(3)观察交点的特点(比如对称性等)并选择合适的方法处理表达式的值，

3、常见处理方法：

(1)代换法：将相等的函数值设为t,从而用。可表示出事,々,…，将关于X],…的表达

式转化为关于，的一元表达式，进而可求出范围或最值

(2)利用对称性解决对称点求和：如果看,4关于x=a轴对称，则%+%=2。；同理，

若石,马关于(a,0)中心对称，则也有斗+%=2a。将对称的点归为一组，在求和时可与

对称轴(或对称中心)找到联系

二、典型例题：

例1：已知函数〃为)=怛4若0<a<Z>,且=则a+2b的取值范围是

()

A.(2后,+00)B.F2V2,+00jC.(3,+00)D.[3,+8)

思路：先做出了(%)的图像，通过图像可知，如果/(a)=/S),则0<a<l<b,设

f(a)=f(b)=t,即<

Iga=-t

可得：lgQ<0,lgZ?>0,从而<

lgb=t

所以a+2b——F2ct,而d>

d

2ez+—e(3,+oo)

e

答案：C

小炼有话说：(1)此类问题如果/(%)图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点

(2)本题有两个关键点，一个是引入辅助变量乙从而用方表示出〃力，达到消元效果，但

是要注意，是有范围的(通过数形结合丁=/需与y=/(x)有两交点)；一个是通过图像判

断出a,b的范围，从而去掉绝对值。

/(c)=log2015—=/(^)(0,1),所以0<log2015gc<2015〃,从而

7171

(a+Z?)+c=»+c£(27,2016万)

答案：(2肛2016万)

77

小炼有话说：本题抓住。力关于%=—对称是关键，从而可由对称求得〃+5=万，使得所

求式子只需考虑。的范围即可

logl(x+l),xe[0,l)

例3：定义在尺上的奇函数了(%),当时，/(%)=<2，则关于X

l-|x-3|,xe[1,4-co)

的函数F(x)=/(x)-a(O<a<l)的所有零点之和为()

A.20-1B.l-2flC.2-a-lD.1-2r

思路：/(%)为奇函数，所以考虑先做出正半轴的图

像，再利用对称作出负半轴图像，当龙>0时，函数

图象由两部分构成，分别作出各部分图像。尸(%)的

零点，即为方程/(》)一a=0的根，即〃龙)图像与

直线y=a的交点。观察图像可得有5个交点：x1?x2

关于x=-3对称，%+/=—6,x3<0且满足方程

a

/(%)n_/(x3)=_。n=_。即logi(―演+1)，解得：x3-l-2,

2

14，15关于x=3轴对称，/.x4+x5=6

再+%2+&+%4+%5=1-2"

答案：B

例4：已知左<1,函数〃司=|2「1|—左的零点分别为王,々(王<马)，函数

g(x)=|2-V-1|~一的零点分别为七户4(%3<%4)，则(*4一项)十(X2—%1)的最小值为

乙K十J.

()

A.1B.log23C.log26D.3

思路：从解析式中发现玉,％2可看做V=12"-1|

与y=k的交点，13，14可看做V=|2'—与y=――-的

交点，且不<0<x2,x3<0<x4,从而再,冗2，工3，九4均可由k

进行表示，所以(%—%3)+(%2—再)可转化为关于左的函

数，再求最小值即可

解：由图像可得：Xj<0<x2,x3<0<x4

1-2西=—^

1—2内=左2k+1

2狗_1=k2--1=—

2左+1

/.玉=log2(l-^),x2=log2(l+k)

x3=logjl———k+1g21+高3k+1

=log2=log2

32(2k+l2k+12k+l

34+1左+13Z+1二.一3+匕

(%4-X)+(X-X1)=log

322+log2=log2

左+11-k

.,-3+^e[3,+oo)

kG

..・(%4-x3)+(x2

答案：B

例5:已知函数/（X）=|log3（x—11有两个不同的零点X1,%,则（）

A.<1B.X]•%2=占+%2C.X；-x2>X；+x2D.x；-x2<X；+x2

X

思路：可将零点化为方程|k>g3（X-1+1的根，进而转化为g（x）=，og3（x-l）与

/z(x)=I+1的交点，作出图像可得

1<玉<2<元2,进而可将“Og3(X—l)|=1J

I+1中

的绝对值去掉得

西

I+1①

-log3(%!-1)=

1],观察选项涉及再・％2,尤1+%2，故将②一①可得：

、》2

log(x-l)=+1②

32I

X

1幅[(々-1)(七-1)]=，而y=I|为减函数，且%2>再，从而

log3[(X2一1)(再一1)]<0=>(%2—1)<1=>玉％2+%2)<0即

XxX2<Xj+x2

答案：D

,f|Inx|,(0<x<e3)

例6:已知函数/(%)=(，存在当<%2<%3，/(匹)=/(犬2)=/(%3)，

[e5+3-x,(x>e3)

则的最大值为_________

x2

思路：先作出了(%)的图像，观察可得：0<玉<1<%2</<%3,所求/GJ可先减少变

12

量个数，利用/(x3)=/(x2)可得：

①2=正)=空，从而只需求出y=皿在

%%X2X

(Ie?)的最小值即可：y=1-?x,所以函数丁=止

XJC

在(l,e)单增，在(e,/)单减。从而笫稣=^^=，

答案：」

e

|x2+2,xe[0,l)

例7:已知定义在R上的函数/(%)满足:/(X)=12-^,xe[-l,0)且

2v+5

/(x+2)=/(%),g(x)=—^,则方程/(x)=g(x)在区间[—5』上的所有实根之

x+2

和为()

A.—5B.-6C.-7D.—8

思路：先做图观察实根的特点，在［—1,1)中，通过作图可

发现/(x)在(一1,1)关于(0,2)中心对称，由

/(%+2)=/(无)可得了(月是周期为2的周期函数，则

在下一个周期(一3,—1)中，/(%)关于(—2,2)中心对称，

以此类推。从而做出了(%)的图像(此处要注意区间端点

值在何处取到)，再看g(x)图像，g(x)=2%+5=2~|—i一,可视为将丁=，的图像向

左平移2个单位后再向上平移2个单位，所以对称中心移至(-2,2),刚好与/(%)对称中

心重合，如图所示：可得共有3个交点项<%2<%3，其中％2=一3，%与X3关于(一2,2)中

心对称，所以有％]+%3=—4o所以玉+%2+%3=—7

答案：C

/、_/—2x+3,xV0/、

例8：函数/(%)=(，直线丁二根与函数/(%)的图像相交于四个不同

|2-lnx\,x>Q

的点，从小到大，交点横坐标依次记为。，仇c,d,有以下四个结论

456

①相£[3,4)②abedG[09^)③a+b+c+dGe+--2,^+-^--2j

④若关于x的方程/(x)+%=相恰有三个不同实根，则根的取值唯一

则其中正确的结论是()

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

思路：本题涉及到加的取值，及4个交点的性质，所以先

作出了(%)的图像，从而从图上确定存在4个交点时，m的

范围是[3,4),所以①正确。从图像上可看出〃力在同一曲

线，c,d在同一曲线上，所以②③在处理时将〃，〜放在一

组，c,d放在一组。

②涉及到根的乘积，一方面为方程—V—2%+3=机的两根，所以由韦达定理，可得

ab=m-3,而c,d为方程|2—lnx|-m的两根，且0<c</<d,从而

2—lnc=lnd—2,即lncd=4ncd=/,所以有abed=（加一3）/£[O,/）,②正确

③由②中的过程可得：a+b=-2f2—lnc=lnd—2=m，所以。==/+机，从

而a+b+c+d=—2+/"+/+"=—2+/1.+二],而力式3,4）,eme[e3,e4）设

/（加）=-2+/（6"+J],则/（切）为增函数，所以/（加）£e5+--2,e6+^--2

③正确

④可将问题转化为y=/(%)与y=—九+加的交点个数问题，通过作图可得加的值不唯一

综上所述：①②③正确

答案：A

flog(x+1),-1<X<1

例9：已知函数/(%)={/、(。>0,(2w1)，若再W%2，且

/(2—%)+〃—1,1<x<3

/(石)=/(%2)，则玉+%2的值()

A.恒小于2B.恒大于2C.恒等于2D.与。相关

思路：观察到当一1V%<1时，/(%)为单调函数，且1VX<3时，/(%)的图像相当于作

XG(-1,1)时关于％=1对称的图像再进行上下平移，所以也为单调函数。由此可得

/(%1)=/(%2)时，国,％必在两段上。设王<九2，可得一1<玉<1<%<3，考虑使用

代换法设/(再)=/(%2)=%，从而将%1，%2均用〃，.表示，再判断X+%2与2的大小即可。

解：设/(再)=/(%2)=~不妨设一1<九1<1<犬2<3，则一1<2-九2<1

.」ogq(%+1)=再=d-1

log”(3—〃—1=t=>%=3—a*"

.,.%]+%2=2+储—a'+i"

若0<avl,则丁=优为减函数，且1+储>储+1一"，王+犬2>2

若则丁=优为增函数，且，>，+1-。=>。’>储+1一“，再+%2>2

，芯+x2的值恒大于2

答案：B

3

4-8x--,l<x<2,

2

例10：定义函数/(1)=<，则函数g(x)=^(x)—6在区间[1,2〃]()

3),x>2.

内的所有零点的和为()

33

A.nB.2nC.-(2W-1)D.-(2n-l)

思路：从=可得：函数八％)是以(2"T,2")区间为

一段，其图像为将前一段图像在水平方向上拉伸为原来的2倍，

同时竖直方向上缩为原来的;,从而先作出xe[1,2]时的图像，

再依以上规律作出[2,4],[4,8],[2"i,2"]的图像，g(尤)的零

点无法直接求出，所以将g(x)=O转化为/(%)=—,即

y=/(X)与力(％)=9的交点。通过作图可得，其交点刚好位于每一段中的极大值点位置,

X

〃

可归纳出(2"T,2")中极大值点为居=--+-2=-3-2",所以所有零点之和为

答案：D

小炼有话说：(1)本题考查了合理将x轴划分成一个个区间，其入手点在于f(5)的出现，

体现了横坐标之间2倍的关系，从而所划分的区间长度成等比数列。

(2)本题有一个易错点，即在作图的过程中，没有发现/z(x)=9恰好与相交在极大

值点处，这一点需要通过计算得到：当x=q时，/f|j=4=Af|l/(3)=2=/2(3),

从而归纳出规律。所以处理图像交点问题时，如果在某些细节很难通过作图直接确定，要通

过函数值的计算来确定两图像的位置

三、近年模拟题题目精选

1

XH----,X€

2

1、(2016四川高三第一次联考)已知函数〃X)=<若存在石,々，当

2x-1,xe

0〈西<12<2时，/(x,)=/(x2),则//(%2)_/(工2)的取值范围为()

92-3&、2-3后_P

B.

16'—4一,26]

2、(2016,苏州高三调研)已知函数/(%)=忖11乂-丘(％20,左£7?)有且只有三个零点,

设此三个零点中的最大值为与,则X。

(1+片卜in2%0

3、已知函数/（£）=左+2*,£（%）=1+111羽71（%）=%-6一1的零点分别为占，％2，电，则

Xj,X2,x3的大小关系是.

4、已知函数，（x）=U-l°g3的零点为毛，有U〈a〈b〈c使得

/（a）/（Z?）/（c）<0,则下列结论不可能成立的是（）

A.x0<aB.x0>bC.x0>cD.x0<c

,、|x+l|,x<0

5、已知〃x)=<1.,若方程/(x)=a有四个不同的解罚</</<》4,则

|log2x|,x>0

（玉+%2）~1------1---的取值范围是（）

A.B.°4C.*D.[0,1)

|log2x|,0<x<2

6、已知函数/(%)=<7C、，若存在实数再，'2,'3,'4'满足

sinx,2<x<10

仁―2）（Z—2）的取值范围

玉<%<尤3<%4,且/(%)=/(%)=/(%3)=/(2)，则

玉12

是（）

A.(4,16)B.(0,12)c.(9,21)D.(15,25)

习题答案：

I、答案：C

J2-111

解析：如图可知：------<xl<—,—<x2<1

222

二%，（马）=aT）/（々）=（再t）〃再）=（再—1）13+g

2

解析：/(x)=|sinx|-Ax=0|sinx|=kx,即y=|sinx|与y=Ax恰有三个公共点,通

3兀

过数形结合可得：横坐标最大值与为直线与曲线在相切的切点。设改点人（%,％）,

=smx

yoo

丁=$由%的导数为)/=(：05%，所以L%垩瓦，代入到所求表达式

=—=cosx0cosx0

sinx0

cosx0

可得::

(1+Xo)sin2x~~77