高考数学计算题型专练：二项式的计算（解析版）

高考数学计算题型精练(新高考通用版)

二项式定理的相关计算

1.已知-方J展开式的二项式系数之和为128,则〃=.

【解答】根据展开式的二项式系数之和为2"，所以2。=128,解得〃=7,故答案为：7.

2.若(办-了『的展开式中//的系数为T48,则。=.

【解答】二项式(办一丫展开式的通项为小=C；(oxfr(-<

所以(以一力8的展开式中含//的项为C；(办3)(_力5=一56。3彳375,

所以(办-力8的展开式中V/的系数为-56/=_448,所以。=2.故答案为：2

3.卜-十］的展开式中x的系数为(用数字表示).

r

【解答】卜一卡J的通项为C；o(-l)储j/'=C；。(-1)’」吟了e{0,1,2,…,10}，

令10=lnr=6,所以展开式中尤的系数为C；°(-l)6=210,

故答案为：210

4.(尤-了丫5+了)的展开式中一/的系数是____.

【解答】二项式(x-炉中，7；,+1=(-1/c8^y,

当X+V中取X时，这一项为(-l)'C；产所以r=2,(-1>优=28,

当X+V中取>时，这一项为所以r=l,(-1)1C^=-8,

所以展开式中―/的系数为-8+28=20.故答案为：20.

5.若(l+2x2)(Gx+L1的展开式中所有项的系数和为192,则展开式中/的系数为

【解答】令X=1,得3(&+1)6=192,解得。=1,进而可得(x+J)6的展开式为&|=,

令r=1,

得心=爆尤4=6x=令r=2,得"=C>2=15X2,

故/的系数为1x6+2x15=36.故答案为：36

6.的展开式中，广2项的系数为.

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【解答】由二项式展开式通项为&=c;(3x)F7y=(-1丫38-，仁「万，

令8-了=-2,贝什=6,则4=32(?"-2=252”,故『项的系数为252.故答案为：252

7.已知(1一%)(1+%)3=旬+%、+〃2%2+//+%/，贝!J囚+%+。3=.

【解答】依题意(1-%)(1+%)3=%+%%+。2x2+。3x3+。4/，令％=0，得%=1，

令X=l,得％+4+。2+。3+。4=。.因为=—XXC“3,可以得出为=-C；=-1,

/+%+电+。3+。4=1+%+。2+〃3—1=0，%%%=。.：0.

8.已知二项式「+x+W)的常数项为-59,则。=.

【解答】由题意可知11+》+蓑［=i+a+自12,则其通项为

“%+自/=0』,2,…,5,

的通项为1+1=C.T</©：/-0左=0,1,2,…,r，令r-3k=Q,；.r=3k,

当后=0时，r=0；当左=1时，r=3；当左22时，r>6,不合题意,

由二项式(1+x+q)的常数项为-59,可得C：C；/+C；CM=-59,

BP30a=-60,解得a=-2,故答案为：-2

9.在(3/+1)卜-：］的展开式中x的系数为

+卜一)的展开式中x的项为

3x2cy+覆/］-3=-240x+40x=-200%,所以展开式中x的系数为-200.故答案

为：-200.

10.(V+x)，的展开式中丁的系数为

【解答】M+xf展开式的通项为(=412广(,=&无用(r=0,1,2,--,5),

令10--9,解得厂=1,所以展开式中/的系数为C；=5.故答案为：5.

11.己知常数机>0,卜+：］的二项展开式中d项的系数是60,则m的值为

【解答】由已知+则其展开式的通项为C"6-，［?［=C:“X63,

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又其二项展开式中f项的系数是60,则令6-2厂=2,即r=2,C>2=15m2=60,

又加〉0,所以加=2,故答案为：2.

12.若（x-。）（1+2切5的展开式中％3的系数为60,则实数。=.

【解答】,**（x-«）（l+2x）5的展开式中含d的项为（2x/（2x）3=（40-80。）％3,

由已知x3的系数为40-80。=60,故答案为：-L

13.（3x+y）（x-2y）s的展开式中//的系数是.（用数字作答）

【解答】（3x+.y）（x-2垃=3》1-24+丁仅-2溶，而（》-24的通项为C"5r（_2打，

r=0,1,2,3,4,5,

故展开式中x3y3的系数是3xC；x（-2）3+C；x（-2）2=-200，故答案为：-200.

14.在（2x-l）6□-£|的展开式中，/的系数为.（结果填数字）

【解答】设（2x-1）6的展开式通项为=a（2x）6T（_iy=（-1）2飞"6-，，

当6-r=3时,r=3,d的系数为（_1）323,=-160；当6f=5时，7=1,/的系数为

（-1）I25C^=T92；

所以的系数为lx（-160）+（-l）x（-192）=32.故答案为:32

15.（2-«『展开式中含d项的系数为.

【解答】（2-4『展开式的通项公式为小=c；27]-^）'=（-1）'CN-j，

令1=3,则厂=6,所以含丁项为％=C；2/=14X3,所以（2-4『展开式中含项的系数

为14.

故答案为：14.

16.（力。843+工）4展开式的常数项为.（用最简分数表示）

X

【解答】（Xbg43+g蜓）4展开式通项公式

X

"C：（xlog43严陛知=（1叫3产•（厩2）5\eN,r<4,

X

113

令4-2厂=0,解得r=2,则与=（51吗3）2.（降32）2仁=丁6=5，

所以（xlog43+3虻y展开式的常数项是"故答案为：!

x22

17.（2+办）5（0W0）的展开式中含x的项与含工2的项系数相等，则。=.

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【解答】由(2+狗5的展开式的通项为=G2-.(*)，=25-“q,

令尸=1,可得%=24."C〉X=80QX；令r=2,可得%=23・〃2《.％2=8042/,

因为展开式中含X的项与含f的项系数相等，可得/=〃，又因为4W0,所以4=1.故答案

为：1.

18.已知(1+2%『=%+%x+%A2+生9+。4丁，贝!J。0+。2+。4的值等于.

【解答】令％=1，贝|%+%+。2+。3+。4=3"=81；令％=-1,贝［］。0-%+。2-。3+。4=1，上

述两式相力口得2(Q()+出+%)=81+1,故％+。2+。4=41;故答案为：41.

19.已知(2%-1)(%+1)5=40+%%+42%2+。3x3+。4/+。5*5+。6%6，贝U

a2+a3+a4+a5=.(用数字作答)

23456

【解答】因为(2%-1)(1+1)5=为-\-axx+a2x+tz3x+tz4x+a5x+a6x,

令x=0,得％=-1；令X=1,得%+Q］+%+。3+〃4+/+。6=2,=32；

又(2x-l)(x+l)5=2%(x+1:一1+1j,二项式(x+l)s的通项公式为

贝!J%=2xC：=2,4=2xl+(—l)xC；=—3,所以电+%+%+%=32_2-(_3)_(_1)=34.故

答案为：34

20.1l+'(l+x)5展开式中d项的系数为.

【解答】因为(1+x)5的二项展开式为=GX广，X，=CK4=0,1,2,3,4,5,

所以项为1x7；+=x7；=C>3+2Ck=i2%3,即展开式中项的系数为12.故答案为：12.

X

21.已知Q>0,若(％+。)9=/+%(X+1)+。2(%+1)2+1+。9(%+1)9，且。5=126,贝I」Q=.

［解答］因为J(%+a),=4+1(X+1)+%(%+l)?+L+为(％+I)''

又(X+。)9=［(x+1)+。—1］9,展开式通项为7；+1=C；(x+1)”(a-iy,

。5=126对应(x+l)5的系数，故得至IJ9—〃=5,解得r=4,其系数为c；("1)4=126=。=0

或Q=2.

又。>0,故实数。的值为2.故答案为：2.

22.若(d+l)［；-：］的展开式中各项系数之和为：，则展开式中Y的系数为.

的展开式中各项系数之和为，，令x=l,得2x1；-11

【解答】因为+

32

所以"=6.

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因为、一专)展开式的通顶公式为-=晨出6'(-1)1《,

令6-三3/=3,得厂=2;令6号3r=0,得”4,所以展开式中d的系数为

75

故答案为：yf

10

23.卜-'J的展开式中含二项的系数为.

【解答】解：卜-j=j展开式的通项为&|=仁/-，1：=]=C；(-2)"等，

令5-：厂=-1,得r=4,所以展开式中常数项为C；(-2)4=80.故答案为：80

24.(x-l)4(x-2)的展开式中，含/的项的系数是.

【解答】由题意可知(x-I)4中x3的系数为*厅=-4,/的系数为*1)2=6,

故(x-l)4(x-2)的展开式中，含d的项的系数是1x6+(-2)x(-4)=14,故答案为：14

25.(2x+』)4展开式的常数项是.(用数字作答)

【解答】(2x+展开式的通项公式是=C；(2x)e(与=24-rC：x4-2\reN,r<4,

XX

由4-2厂=0,得,・=2,所以(2尤+1)4展开式的常数项为4=2?C；=4x6=24.故答案为：24

X

26.若(x+ay)6展开式中//的系数为一160,则。=.

6rr6rr

【解答】(x+砂『的通项为：Tr+l=C6x-\ayy=C6ax-y,令r=3,贝！|C：/=-i60,解得:

a=-2.

故答案为：-2.

27.已知(2x+：]的展开式中各项系数的和为243,则这个展开式中储项的系数是

【解答】在(2X+£|中令x=l得展开式中各项系数的和为3"=243,求出“=5.

552r

2x+J|的展开式的通项=C>(2x)5f.(B=2-'--C'5-x-,令5-2r=3,得

433

r=l,.-.7；+1=2-C；-X=80X.故答案为：80.

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28.在(3x-l)6的展开式中，含V的项的系数为.

【解答】在(3x-以展开式中,第k+1项为小=戊(3*严(-1)"=燥36-鼠_「产/,

0<A:<6,A:GN,

令k=4,得含有尤2的项的系数为C>32.(T)4=135；故答案为：135.

29.二项式(1+3x)(1-2x)5的展开式中的项的系数为.

【解答】(l-2x)5展开式的通项为(-2xy=(-2『C；f,笈=0,1,2,3,4,5,

所以当左=4时，(=(一=80/,当左=3时，［=(一2)3C/=一80尤3,

所以二项式(l+3x)(l-2x)5的展开式中含X4项的系数为80xl+(-80)x3=-160.故答案为:

-160.

30.在的展开式中，JT6的系数为

【解答】因为的展开式的通项公式为给10<r<9,rGN*),

9-3r

<r<9,reN*j,所以由=-6,得到厂=7,故犷6的系数为

2

(一1)76=一36.故答案为：-36.

7

31.—Fxj|2x-的展开式中常数项为

X

【解答】2尤-的展开式中通项为

.7-%

%=C")=C*27-"(-1)x2，斤=0,1,2,…,7,

所以要使+］展开式中出现常数项，需7-1左=1或T,当7-1左=1时，1；

当7=T时，左=个(舍去)，所以常数项为C；23(-1)4XT=280,故答案为：280.

32.在二项式+多］的展开式中，V项的二项式系数为

【解答】因为&1=仁卜2厂仔］=C>2"j,r=0,1,2,6.

令12-3r=3,得r=3,所以犬项的二项式系数为C：=20.故答案为：20

33.-J；)'的展开式中的系数为.(用数字作答)

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【解答】由题意得|5+；卜27），=（卜2-»7-H,

因为（一一J；）'的展开式的通项为乙=C；（X2尸（一力=（-l）rC；/-2了，

令厂=2,7^=（-1）2C>10/=21x'y,令厂=3,7；=（-1）3C>y=-35%y,

所以|^+3）（1-3x）4的展开式中x$/的系数为21+（-35N3=-84,故答案为：_84_

34.9正+宁］的展开式中x的系数为.

6rr3r

【解答】（36+为的展开式的通项公式为心=仁94广［三|=C'63-2x-

令3—=1,得厂=2,所以展开式中x的系数为C"34X22=4860.故答案为：4860.

35.Q-x3J的二项展开式中的常数项为

【解答】二项式展开式的通项为

令4—4=0,解得r=l,所以7；=C；x。（-4=-4,所以展开式中常数项为-4.故答案为：-4

（1V

36.已知二项式炉一0尤7的展开式中d的系数为-18,则该二项展开式中的常数项为

QQ

4--—=3,解得r=l,.•.-鸡=-9。=-18,解得。=2,4--—=0,解得r=3,

2222

•••该二项展开式中的常数项为（-2丫仁=-672.故答案为：-672.

37.-的展开式中的常数项为.

420-y=0,解得厂=8,.•.常数项为k=1、（一球=45.故答案为：45.

6

38.已知x+?的展开式中常数项为20,则实数加的值为

r62r3

【解答】展开式的通项为三=C6mx-令6—2尸=0解得r=3,C^m=20.

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：.m=l.故答案为：1

39.的展开式中的常数项为

【解答】的展开式的通项公式为=（-2）'‘qx~•婷=（一2广7产”

令8—2r=0,r=4,令8-2r=-2,r的展开式中的常数项为

1X(-2)4.C；-(-2)5-C；=2912.故答案为：2912

40.二项式1+2］的展开式中，常数项为（用数值表示）.

【解答】由二项式定理可得

［x+2］=C%4（2xT）°+C*3住7）'+C%2（2x-'j+C%i"T）+C：x。—）,

显然其常数项为第三项即C%2（2xT）2=24,故答案为：24

41.在彳J的展开式中，常数项为.（结果用数字表示）

r

【解答】«+彳展开式通项为：7；,+1=q0（Vr）=2q0x~,

10—5r2

令上j=0,解得：r=2,.-.7；=2xC?0=4x45=180,即常数项为180.故答案为：180.

42.在卜-：［的展开式中，d项的系数是.

6r

【解答】卜-1展开式的通项公式为=C6（-2）铲3，,

令12-3厂=3,得r=3,所以含x3项的系数为C式-2y=20x（_8）=-160,故答案为：-160.

43.展开式中的常数项为

【解答】6=0,1,2,…,8),

令i=°‘得所以常数项为+7.故答案为：7.

44.二项式1+口-1）的常数项为.

【解答】［+£［的展开式的通项公式为7；M=C"5-（£|'=c；/2",

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而(x+口(x-1)=J],令5—2r+l=0,得厂=3；令5-2r=0,得厂=]

(舍).

所以1+的展开式中的常数项为C；=10.故答案为：10

45.若在(近-的展开式中，广2的系数为.(用数字作答)

【解答】(狐的展开式通项为

二《(一1((左=0,1,2广，$,

4