二项分布专项练习-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年度高三一轮复习39--二项分布专项练习

一、单选题

1.(2024・山东济南・二模)已知随机变量X〜则尸(X=2)=()

B-1

A.2cD.

4-:8

2.(2024高三・全国・专题练习)已知随机变量X〜8(4,p),其中0<p<l,若P(X<3)=7,

16

则尸(X=3)=()

A.-B.—C.—D.-

216164

3

3.(2024高三•全国•专题练习)已知小明射箭命中靶心的概率为丁且每次射击互不影响,

则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是()

A369144216

62525625625

4.(2024・山西吕梁•三模)如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点。出发，每次向

左移动的概率为:，向右移动的概率为:.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移

44

动后，该质点位于X的位置，则P(X>0)=()

-4-3-2-10123456x

人50「17〃53-17

A.B.-----C.D.—

24351251281

5.(24-25高三上•湖北•开学考试)小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的

率为。(0<。<1),他掷了上次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多

少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使尸(X=6)最大的N值估

计N的取值并计算E(X).(若有多个N使尸(X=6)最大，则取其中的最小N值).下列说法

正确的是()

A.E（X）＞6B.E（X）＜6

C.E（X）=6D.E(X)与6的大小无法确定

6.(2024.青海海西•模拟预测)小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2”(〃eN*)局，且

每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为g如果某人获胜的局数多于另一人则此人赢

得比赛.记小王赢得比赛的概率为尸5）,则下列结论错误的是（）

A.P（l）=1B.尸（2）=尸⑴

C.P（M）<|D.尸⑺随着〃的增大而增大

7.（2023•山东泰安・模拟预测）某人在〃次射击中击中目标的次数为X,X〜B（n,p）,其中

〃eN*,0<p<l,击中奇数次为事件A,则（）

A.若〃=10,p=0.8,则P（X=k）取最大值时％=9

B.当p=g时，D（X）取得最小值

C.当。时，P（A）随着〃的增大而增大

D.当（〈pel时，尸（A）随着〃的增大而减小

8.（2024.江苏苏州•模拟预测）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相

互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻

璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，

最后落入底部的格子中.记格子从左到右的编号分别为。/，2,…,10,用X表示小球最后落

入格子的号码，若尸（x=笈）wp（x=%）,则亳=（）

C.6D.7

二、多选题

9.（2024.福建泉州.模拟预测）某人在〃次射击中击中目标的次数为X,X~3（〃,p）,其中

〃eN*,0<p<l,设击中偶数次为事件A,贝U（）

A.当p=g时，O（X）取得最大值B.当p=g时，D（X）取得最小值

C.当^<0<1,P（4）随”的增大而减小D.当。<p<；,P（A）随〃的增大而减小

10.（2024•江苏徐州•模拟预测）投掷一枚骰子，向上点数共有1-6六种可能，每一种情况的

发生是等可能的，则下列说法正确的是（）

A.事件A"点数为1或2”和事件8“点数为偶数”是相互独立事件；

B.每一局投两次，记较大点数为该局得分，则每局得分的数学期望为4；

C.事件U点数为1或2或3”和事件3“点数为偶数”是相互独立事件；

D.连续投掷40次，记出现6点的次数X,则随机变量X的分布列中，X=6时概率最

大.

11.（24-25高三上・贵州贵阳•阶段练习）芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技

术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会

被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某

芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这

款芯片的某项质量指标4服从正态分布N（5.40,Q052）,现从中随机抽取〃个，这M个芯片

中恰有机个的质量指标4位于区间（5.35,5.55）,则下列说法正确的是（）（参考数据：

P（//-cr<^<xz-cr）®0.6826,P（//-3cr<^<//+3cr）a0.9974）

A.P（B）>P（B|A）

B.P（A|B）>P（A|B）

C.尸（5.35<5.55）^0.84

D.P（，/=45）取得最大值时，〃的估计值为54

三、填空题

12.（2024・重庆渝中•模拟预测）已知每门大炮击中目标的概率都是0.6,现有14门大炮同时

对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标次.

13.（24-25高三上•四川眉山•阶段练习）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究

随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此

的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将

随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑

的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后

砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚

下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终

落到4号位置的概率是.

14.（2024.河北.模拟预测）在一次抽奖活动中，抽奖箱里有编号为1到M"wN*,"25）的〃个

相同小球.每次抽奖从箱中随机抽取一个球，记录编号后放回.连续抽奖5次，设抽到编号为

左V〃）的小球的次数为X,已知X服从二项分布45,：］若（。+玄）”展开式中的V系

数是X=3的概率的10倍，则a』犷的值为（结果用含〃的式子表示）

四、解答题

15.（2024.陕西商洛.一模）甲、乙两人进行羽毛球比赛、双方约定采用五局三胜制（有一方

2

先胜三局即赢得比赛，比赛结束）,根据双方以往的比赛情况可知每局比赛甲获胜的概率是§,

乙获胜的概率是:.假设每局比赛结果互不影响.

⑴求比赛进行四局且甲获胜的概率：

（2）比赛结束时、甲、乙共进行了X局比赛，求X的分布列和期望.

16.（2024•海南•模拟预测）甲、乙两位跑步爱好者坚持每天晨跑，上周的7天中，他们各有

5天晨跑路程超过1。km.

（1）从上周任选3天，设这3天中甲晨跑路程超过10km的天数为X,求X的分布列和数学期

望.

（2）用上周7天甲、乙晨跑路程的频率分布估计他们各自每天晨跑路程的概率分布，且他们

每天晨跑的路程互不影响.设“下个月的某3天中，甲晨跑路程超过10km的天数比乙晨跑路

程超过10km的天数恰好多2”为事件求尸（“）.

参考数据：76=117649.

17.（2024・甘肃白银•一模）某导弹试验基地对新研制的AB两种导弹进行试验，A导弹每次

击中空中目标、地面目标的概率分别为：3彳2，5导弹每次击中空中目标、地面目标的概率分别

（1）若一枚A导弹击中一个空中目标，且一枚8导弹击中一个地面目标的概率为Pi，一枚A导

弹击中一个地面目标，且一枚8导弹击中一个空中目标的概率为P2，比较&P2的大小；

（2）现有两枚A导弹，一枚B导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射

击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目

标的个数的分布列和期望.

18.（2024・广东广州•模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了1000

名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.

［频率

组距

0.15---------------------

。

。

S

6

0.

1618时间（小时）

（1）求a的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点

值作代表）

（2）为进一步了解这1000名高中学生户外运动的时间分配，在（14,16］,（16,18］两组内的学生

中，采用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机抽取3人进行访谈，记在（14,16］内

的人数为X,求X的分布列和期望；

（3）以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取8名学生，用“1优）”表示这8名学生

中恰有左名学生户外运动时间在（8,10］内的概率，当勺住）最大时，求上的值.

19.（24-25高三上•上海•期中）2024年某瓷器公司计划向市场推出两种高档中国红瓷杯A和

B,已知A和8烧制成功率分别为80%和90%,烧制成功一个A,盈利30元，否则亏损10

元；烧制成功一个B,盈利80元，否则亏损20元.

(1)设X为烧制一个A和一个B所得的利润之和，求随机变量X的分布和数学期望;

(2)求烧制4个A所得的利润不少于80元的概率;

(3)公司将用户对中国红瓷器的喜欢程度分为“非常满意”(得分不低于85分)和“满意”(得

分低于85分)两类，通过调查完成下表.

[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

年龄低于45岁61442317

年龄不低于45岁4647358

根据调查数据完成下列2x2列联表，并依据显著性水平a=005的独立性检验，判断居民对

瓷器的喜欢程度是否与年龄有关联?

非常满意满意合计

年龄低于45岁

年龄不低于45岁

合计

附：/=++Hd,「a,a与人的若干对应数

值见下表:

a0.250.050.005

k1.3233.8417.879

参考答案:

1.B

【分析】根据二项分布直接求解即可.

【详解】因为随机变量X~B[4,£|,

63

所以P（X=2）=C；

168

故选：B

2.D

【分析】由二项分布的概率公式可得P（X43）=1-P（X=4）=1-/=，，可求P,进而可

求P（X=3）.

【详解】由二项分布的知识得P（X43）=1-P（X=4）=l-/=j|,

得/=3，又。<"1,所以P=!，

162

£

所以尸（X=3）=C：

4

故选：D.

3.D

【分析】利用二项分布的概率即可得解.

32

【详解】由已知命中的概率为《，不命中的概率为二，射击4次，命中两次,

22

故概率P=C

故选：D.

4.C

【分析】根据题意，由条件可得X的可能取值为L3,5,且结合二项分布的概

率计算公式代入计算，即可求解.

【详解】由题意可知，当X>0时，X的可能取值为1,3,5,且*~《5,小，

所以P（X>0）=尸（X=5）+P（X=3）+P（X=1）

故选：C

5.B

【分析】先求得尸（X=6）的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案.

【详解】X服从二项分布贝UP（X=6）=Cjp“i-p）N-6,

CQ60_°广6d(]_0N—7

P（X=6）最大即为满足<

CQ6"p)W“c3p6(i_p)N-5

解得9一IWN49,

Pp

又NeN+，故色为整数时，结合题设要求N=9-l,E（X）=[--1|^<6；

PPyP）

。不为整数时N为小于E（X）=Np<6,故E（X）<6,

故选：B

【点睛】要解决本题，首先要根据已知条件，判断出X满足二项分布，从而可利用二项分

布的知识来求概率和期望.求解含有组合数的最值计算问题，可以考虑利用商比较法来进行.

6.B

【分析】小王至少赢〃+1局，小王赢得比赛的概率为尸⑺=（G，+C片+…+c；：）x!，进

而逐项判断即可.

【详解】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢九+1局，

因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布，

由二项分布的概率公式可得赢〃+1局的概率为《=c祟X（；）用（1-1）"=C黑X±,

赢〃+2局的概率为£=c%x（1r2（i-1）-1=x』,

赢2〃局的概率为pn+l=Cl：X（9=C：X.，

小王赢的概率为

有P（〃）=（G：|++…+c»?=（2C工+2c片+...+2喧）X击

111「八

C+C++C1+C1+CX22，，CX）

=（2n2„---^S+---2"）^T=（-2n）^T=--^7r

有P⑴=；,P（2）=1-|1=A,尸（2）工2尸（1）,尸⑺〈J，可知选项A,C正确，选项B

错误;

由尸(〃+1卜尸(〃)=耗_黑

(2几+2)!_(2n)!_4(2H+1)(2H+2)

又由4G“一

((n+1)!)2(n!)2(n+1)2

可得尸(〃+l)＞尸(")，可知D选项正确.

故选：B

【点睛】关键点点睛：由题设得到尸(〃)=(C工+C片+…+砥：)义万］,利用二项式各项系数

和的性质判断可得结论.

7.C

【分析】对于A,根据X〜以10,0.8)直接写出「”=左)，然后根据尸”=左)取最大值列式

计算即可判断；对于B,根据X~B5，p),直接写出O(X)即可判断；对于CD,由题意把

P(A)表示出来，然后利用单调性分析即可.

【详解】对于A,在10次射击中击中目标的次数X〜矶10,0.8),

当X=左时对应的概率尸(X=左)=Ctx0.廉xO.210-"化=0,1,2,…,10),

P(X=k)>P(X=k+l)

因为P(X=左)取最大值，所以＜

P(X=k)>P(X=k-iy

1MM9

CfoxO.8^xO.2>C^X0.8X0.2^

C：。x0.8*x0.2g>C针xO.8"】x0.2ii

4(11-：及左

因为％eN且。VA：V1O,所以左=8,即左=8时概率P(X=8)最大，故A不正确;

对于B,D(X)=np(l-p)=n，当P=；时，0(X)取得最大值，故B不正

确；

k

对于C、D,P(X=A:)=C>X(1-py~(k=0,1,2,•••,n)

pA113355

•■•-()=C>Jox(l-j9)"+C>j9x(l-j9p+C>/?x(l-p)"+...,

4

1-P(A)=C°xp°x(l-Py+C：x/*°_py-+C>/x(l-p)"+..•,

.“4）-P）+，］H（1-0-，了」-。-2p）〃.

V722

1l-(l-2nV

当0<p<；时，0<1-2。<1,'2为正项且单调递增的数列;

所以P(A)随着〃的增大而增大，故C正确；

当!<p<l时，一1<1一2。<。，｛。-20"｝为正负交替的摆动数列，

所以P(A)不会随着〃的增大而减小，故D不正确；

故选：C.

8.B

【分析】由题意，X服从二项分布，乂~2(10,31代入公式可得结果.

【详解】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为5，

每一层均要乘以二，共做10次选择，

2

故X服从二项分布，X~8(10,£|,

又E(X)=10xg=5,

令尸(X=%)最大，

[尸”=扁）*”=务一1）

[P（X=A°）NP（X=^+I）'

即V,

然，，§产。

911

解得又因为。<发410次eZ,所以%=5,

所以尸（X=笈）WP（X=5）«=O,1,2,3”..,1O,

P（X=k）WP（X=k°）,且左=5.

故选：B.

9.AD

【分析】对于AB,直接由二项分布的方差公式即可求解；对于CD,可以根据二项式定理

得出P(A)="dp)”,进一步通过p的范围即可判断P(A)的单调性.

［详解］对于AB：D(X)=wp(l-/?)=«—+；,(«eN*,O<p<l),

当p=；时，O(X)取得最大值，故A正确，B错误；

对于CD：•.•P(X=左)=仁*夕隈(1一2尸件=0,1,2L.川，

02244

.■.P(A)=C>Jpx(l-jp)^+Cjxjpx(l-jpr-+C>Jpx(l-jpr-+...,

l-P(A)=C；x/x(l_p)M+C：xp3x(l_p)T+Cxp5x(l_p)"-5+3,

,尸⑷=［。一「)+月”+［(1-0-川”=l+"2p)",

一(六22

当g<p<1时，-1<1-2P<O,{(1-2p)"}为正负交替的摆动数列,

所以P(A)不会随着〃的增大而减小，故C错误；

1+(12p)

当。<。<；时，0<1-2。<ij-3为正项且单调递减的数列，

所以P")随着〃的增大而减小，故D正确.

故选：AD.

10.AD

【分析】根据独立事件的概念判断AC的真假；列出得分的分布列，求期望，判断B的真

假；列出X的分布列，借助数列的单调性分析概率的最大值.

【详解】对A：因为尸(A)=g,P(B)=1,P(AB)=1,由P(AS)=尸(A)•尸(3),所以事

件4,3相互独立，故A正确；

对B：设每局的得分为V,则y的值可能为：1,2,3,4,5,6

)1115

J.p(y=l)=lxl=—,p(y=2=-xlx3—,p(y=3)=-x—x2+—x—=——,

'766361'6612\'636636

所以石¥=卜二+2乂2+3乂2+4乂4+5'9+6><2=粤H4,故B错误;

3612363643636

对C：因为尸（c）=g,P（B）=1,P（BC）=1,由P（3C）HP（3）•尸（C）,所以事件B,C不

独立，故C错误；

由题意X'B,o[],所以P(X=i)=C；0・

对D：

由尸(X=i-l厂一6'由P(X=i+l厂-6-

所以i=6时，P（X=i）最大,即X=6时概率最大.故D正确.

故选：AD

11.BC

【分析】A选项，由条件概率的定义进行判断；B选项，在A选项基础上，推出

P（AB）＞P（A）P（B）,结合尸（A3）+尸（虑）=尸（A）,得到尸（A3）［l-尸（3）］＞尸（3）尸（4）,

简单变形即可得到B正确；C选项，利用正态分布的对称性和3b原则得到答案；D选项，

0.84）,P（m45）=C^0.8445x0.16M-45,a/（x）=C?0.8445x0.16i5,作商法得

到其单调性，求出/（53）＞/（52）,/（53）＞/（54）,得到答案.

【详解】A选项，由条件概率的定义可知，P（B|A）＞P（B）,A错误;

对于B因为尸（3|A）＞尸（3）,所以尸（A）尸（3|A）＞尸（A）尸（3）,

,、P（AB）

其中尸（切㈤=尢/'故尸（AB）＞尸⑷尸⑻,

又尸（AB）+P（丽）=尸⑷尸（B|A）+P⑷尸（同A）=P（A）,

于是尸（AB）＞P（B）.［P（AB）+P（A£）］,

即P（AB）-P（AB）P⑻＞P（B）P（A^）,

即尸—尸（3）］＞尸（8）尸（A豆）,而P（3）e（0,l）,

P（AB）P（AB）P（AB）P（AB）‘、（二

所以即"故P⑷2）＞尸（4⑶，B正确;

C选项，指标J服从正态分布N（5.40,0.052）,故〃=5.40,b=0.05,

则//—b=5.35,〃+3b=5.55,

因为P^/Li-cy<^<0.6826,//+3cr)«0.9974,

所以P(〃-b<JW〃+3o•卜0.6826x)+0.9974x)=0.84,C正确；

D选项，m-B(M,0.84),P(/n=45)=0.8445x0.16M-45,

设/(X)=C?0.8445X0.16A45,

人〃x+1)C£O.8445xO16i4_0]6-I7

<f(x)C^50.8445X0.16X-45-x-44'

解得x<詈。52.6,故〃53)>〃52),

K=C”84)(M6：6，<1,

/(x-1)C^0.8445x0.16l46x-45

解得x>券=53+。，即/(53)>〃54),

所以P(m=45)取得最大值时，M的估计值为53,D错误.

故选：BC

【点睛】结论点睛：条件概率的性质：设P(A)>0,

(1)P(Q|A)=1;

(2)如果氏C是两个互斥事件,则尸(BuC|A)=P(3网+尸("勾；

(3)设8和刀为对立事件，则尸(可勾=1一尸(B|A)；

12.8或9

【分析】根据题意，击中目标的次数X:5(14,0.6),设P(X=A)最大，列式运算得解.

【详解】设击中目标的次数为X,由题可知，击中目标的次数X:3(14,0.6),

则尸(X=左)=3-0.6仙0.414-\0<^<14,yteZ,

\p(x=k)>p(x=k-i)C：4・0.6上・0.严>C].0.61。严

令’

P(X=k)>P(X=k+l)^C:0.6^-0.4心>C『0.6i。产’

0.6x(14—左+1)>0.4左

化简得解得8WZW9,又keZ,

0.4x仕+1)20.6(14-%)，

所以最有可能击中目标8或9次.

故答案为：8或9.

2

【分析】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为：，向右下落的

概率为g,由二项分布的性质计算概率即可.

2

【详解】因为向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为1,向右下

落的概率为g,

则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，

此时概率为：咤川；哈

故答案为：上.

ol

600(1)

I*n6(^-2)

【分析】分别使用二项分布的性质和二项式定理得到尸(X=3)=C；[£|[l-£|Z(a+Zzx)"

展开式中的炉系数是C：,然后利用条件即可得到结果.

【详解】由于X~q5,£j,故P(X=3)=C；[£|[1_£|2.

再根据二项式定理，(0+法)"展开式中的系数是C：•优一3/.

所以根据条件有，得即、

100(]100d

'一]600(n-l)

an-3b3=⑺I2⑺

£c：n(n-l)(n-2)

几6(几—2)

6

600(1)

故答案为:

n6(n—2)

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对不同类型知识的混合运用.

15.(1)—

27

(2)分布列见解析；期望为，107

【分析】(1)根据比赛规则可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜满足题

意，计算可得结果;

(2)求得X的所有可能取值分别是3,4,5对应的概率，可得分布列及期望值.

【详解】(1)由题意可知前三局中，甲获胜两局，乙获胜一局，第四局甲获胜,

2|2128

则所求概率尸=C；xx—x—二——

I3327

(2)由题意可知X的所有可能取值分别是3,4,5.

3

P(X=3)=图+

P(X=4Yx["x|+C；gI竺,

।327

P(X=5)=C：xg|x8

275

「

+5x8—_10_7

'3'2727-27

16.(1)分布列见解析，y

⑵忌

【分析】(I)确定x的可能取值，再由尸(X=左)=C2即可求解;

(2)由题意确定y,Z均服从二项分布即可求解.

【详解】(1)(1)由题意知X的所有可能取值为1,2,3,

且P(x=%)=^^,左=1,2,3.

所以X的分布列为

(2)设下个月的某3天中，甲晨跑路程超过I。m的天数为V,乙晨跑路程超过10km的天

数为Z,

则乙Z均服从二项分布8(3,；］

则p(〃)=p(y=3,z=i)+p(y=2,z=o)=p(y=3)p(z=i)+p(y=2)p(z=o)

8700

+C117649

17.(1)A＞Pi

9

(2)安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚5导弹射击一个地面目标，分布列见解析，

【分析】(1)根据条件，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解；

(2)设导弹击中目标的个数为X,根据题意*~813,：］,利用相互独立重复事件公式，

即可求出分步列，再利用期望公式，即可求解.

【详解】(1)由题意得Pi=：3x［3=A9，21=1所以P1＞小.

(2)因为［3〉：1，2：＜3=，所以安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚3导弹射击一个地

4234

面目标.

设导弹击中目标的个数为X,则x~8„

「(x=o)=〔T*

P（X=1）=C'

P（X=2）=C|xh-13

X

X的分布列为

X0123

192727

P

64646464

QQ

所以E（X）=3x^="

18.（l）a=0.1,平均时间为9.16小时

⑵分布列见解析，期望E（X）=?

（3）左=2

【分析】（1）根据频率和为1,可得。，再根据平均数公式直接计算平均数即可；

（2）分别计算时间在（14,16］,（16,18］的频数，结合分层抽样可得两组分别抽取人，根据超

几何分布的概率公式分别计算概率，可得分布列与期望；

（3）根据频率分布直方图可知运动时间在（8,10］内的频率，根据二项分布的概率公式可得

1（左），根据最值可列不等式，解不等式即可.

【详解】（1）由已知2（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+0+