二次函数中矩形存在性综合应用（专项训练）（原卷版）

专题11二次函数中矩形存在性综合应用(专项训练)

1.已知二次函数图象的顶点坐标为Z(1,4),且与x轴交于点8(-1,0).

(1)求二次函数的表达式；

(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点尸(m,0)旋转180°,

此时点2、8的对应点分别为点C、D.

①连结48、BC、CD、DA,当四边形4BCQ为矩形时，求机的值；

②在①的条件下，若点/是直线x=机上一点，原二次函数图象上是否存在

一点。，使得以点8、C、0为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求

出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图1,抛物线y=ax2+x+c(口老。)与％轴交于幺(-2,0),8(6,0)两

点，与了轴交于点C,点尸是第一象限内抛物线上的一个动点，过点尸作尸。，

x轴，垂足为。，尸。交直线8c于点E,设点尸的横坐标为掰.

(1)求抛物线的表达式；

(2)设线段PE的长度为〃，请用含有机的代数式表示加

(3)如图2,过点尸作母UCE,垂足为R当CF=跖时，请求出机的值

(4)如图3,连接CP,当四边形。CPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存

在点。，使原点。关于直线C0的对称点O恰好落在该矩形对角线所在的直

线上，请直接写出满足条件的点。的坐标.

3.如图，在平面直角坐标系中，经过点Z(4,0)的直线48与y轴交于点8

(0,4).经过原点。的抛物线了=-/+乐+。交直线45于点Z,C,抛物线

的顶点为。.

(1)求抛物线y=-x-+bx+c的表达式；

(2)M是线段48上一点，N是抛物线上一点，当轴且"乂=2时，

求点〃的坐标；

(3)尸是抛物线上一动点，0是平面直角坐标系内一点.是否存在以点Z,

C,P,0为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点。的坐标若不存在,

请说明理由.

4.【生活情境】

为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长2。=4根，宽

48=1机的长方形水池48CO进行加长改造（如图①，改造后的水池48NM

仍为长方形，以下简称水池1）.同时，再建造一个周长为12根的矩形水池

EFGH（如图②，以下简称水池2）.

--------------------\H

A,------------------------------?----------卅水池2

水池1

图①图②

【建立模型】

如果设水池Z5C。的边幺。加长长度。河为x（机）（x>0）,加长后水池1

的总面积为为Cm2）,则乃关于x的函数解析式为：乃=x+4（x>0）；设水

池2的边的长为x（机）（0<x<6）,面积为丝（加2）,则卜2关于x的函

数解析式为：刃=-/+6x（0<x<6）,上述两个函数在同一平面直角坐标系

中的图象如图③.

【问题解决】

（1）若水池2的面积随E尸长度的增加而减小，则EE长度的取值范围是

（可省略单位），水池2面积的最大值是1疹；

（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是,此时的

x(m)值是；

(3)当水池1的面积大于水池2的面积时，x(机)的取值范围是；

(4)在lVx<4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；

(5)假设水池48co的边的长度为b(机)，其他条件不变(这个加长改

造后的新水池简称水池3),则水池3的总面积为(机2)关于x(m)(x>0)

的函数解析式为：y3=x+b(x>0).若水池3与水池2的面积相等时，x(机)

有唯一值，求b的值.

5.如图，抛物线y=aN+2x+c的对称轴是直线x=l,与x轴交于点Z,B(3,

0),与y轴交于点C,连接NC.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)已知点。是第一象限内抛物线上的一个动点，过点。作。轴，垂

足为点〃，。河交直线5c于点N,是否存在这样的点N,使得以Z,C,N为

顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说

明理由；

(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点R使以点

B、C、E、尸为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点尸的坐标若不

存在，请说明理由.

(备用图)

6.如图，在平面直角坐标系x0v中，已知抛物线y=a/+x+c经过幺(-2,

0),B(0,4)两点，直线x=3与x轴交于点C.

(1)求a,c的值；

(2)经过点。的直线分别与线段48,直线x=3交于点。，E,且△8。。与

△OCE的面积相等，求直线的解析式；

(3)尸是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否

分别存在点凡G,使瓦F,G,尸为顶点的四边形是以AF为一边的矩形？

若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-■IP+QL.X+W.(机＞0)与％轴交

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于Z(-1,0),8(m,0)两点，与y轴交于点C,连接BC.

(1)若。。=2cM,求抛物线对应的函数表达式；

(2)在(1)的条件下，点尸位于直线8c上方的抛物线上，当△P5C面积

最大时，求点尸的坐标；

(3)设直线与抛物线交于8,G两点，问是否存在点E(在抛物线

上)，点尸(在抛物线的对称轴上)，使得以比G,E,尸为顶点的四边形成

为矩形？若存在，求出点E,尸的坐标；若不存在，说明理由.

8.综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c(aWO)与x轴交于点2、

B,与y轴交于点C,连接5C,OA=1,对称轴为直线x=2,点。为此抛物

线的顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上C、。两点之间的距离是；

(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和CE,求△BCE面积的

最大值；

(4)点尸在抛物线对称轴上，平面内存在点。,使以点8、C、P、0为顶点

的四边形为矩形，请直接写出点。的坐标.

备用图

10.在平面直角坐标系中，。为原点，△048是等腰直角三角形，/OBA=

90°,BO=BA,顶点Z(4,0),点8在第一象限，矩形。CDE的顶点£(-

0),点C在y轴的正半轴上，点。在第二象限，射线DC经过点反

(I)如图①，求点8的坐标；

(II)将矩形。CQE沿x轴向右平移，得到矩形OCD',点。，C,

D,£的对应点分别为。'，C',。.设。。=t,矩形。,CD'

E'与△048重叠部分的面积为S.

①如图②，当点£'在x轴正半轴上，且矩形OCD'E'与△048重叠

部分为四边形时，D'E'与相交于点后试用含有/的式子表示S,并直

接写出f的取值范围;

②当SW/W旦时，求S的取值范围(直接写出结果即

22

图①图②

11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+fcc+3(aWO)与x轴交于点幺、

B,与y轴交于点C,连接5C,OA=1,对称轴为直线x=2,点。为此抛物

线的顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上C、。两点之间的距离是；

(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和CE,求△3CE面积的

最大值；

(4)点尸在抛物线对称轴上，平面内存在点。,使以点5、C、尸、0为顶点

的四边形为矩形，请直接写出点。的坐标.

12.综合与探究

如图，抛物线y得x?+bx+c与X轴交于点N(7，0)和点8(4,0),与y

轴交于点C,连接BC.

(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；

(2)点尸是抛物线对称轴上一点，点。为平面内一点，当以点8、C、尸、Q

为顶点的四边形是以8c为边的矩形时，请直接写出点尸的坐标；

(3)点。是第四象限内抛物线上一动点，当N5CD=2N48C时，求点。的

13.已知抛物线y=-x2+fcc+c与x轴交于点幺(3,0)和点8(-1,0),与y

轴交于点C,点。在抛物线上运动(不与点4B,C重合).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,当点。在第一象限抛物线上运动时，过点。作。轴，垂

足为点尸，直线。尸与直线ZC交于点E,若DE=EA,求点。的坐标；

(3)如图2,直线8。交直线ZC于点〃，点G在坐标平面内，在抛物线上

是否存在点。，使以点Z,D,H,G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直

14.抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点.与j轴交于点C,点D为抛物

线的顶点.

(1)求Z,B,C,D的坐标;

(2)点尸为抛物线上的动点，当△PZC是直角三角形时，求点尸的坐标；

(3)点M在y轴上，点0为平面内任意一点，当以Z,D,M,0为顶点的

四边形是矩形时，直接写出点0的坐标.

图1备用图

15.如图1,将矩形048。置于平面直角坐标系中，点幺的坐标为（-4,0）,

点C的坐标为（0,m）（机＞0）,点。（-1,m）在边5c上，将△28。

沿折叠压平，使点5落在坐标平面内，设点5的对应点为点E.

（1）如图2,当根=3时，抛物线过点幺、E、C,求抛物线解析式；

（2）如图3,随着根的变化，点E正好落在y轴上，求NR4。的余切值；

（3）若点£横坐标坐标为1,抛物线y=ax2+2ax+10QWO且。为常数）的

顶点落在△/£＞£的内部，求a的取值范围.

16.如图，在平面直角坐标系中，四边形48CD是矩形，48在x轴上，点Z位

于点8左侧，点E,尸分别在边CD,AD±.,BFLEF,EC=EF,AB=9,

OX

备用图

(1)求证：ABEgABEF；

（2）若点/坐标为（1,0）,抛物线〉=。/+区经过8,。两点，求抛物线

的解析式;

（3）若点Z坐标为（机，0）（机＞0）,点G为平面内一点，以点。，B,

F,G为顶点的四边形是菱形时，求点Z的坐标.

17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=Lc2+bx+c与坐标轴交于N(0,-

,2

2),B(4,0)两点，直线8C：y=-2x+8交夕轴于点C.点。为直线48

下方抛物线上一动点，过点。作x轴的垂线，垂足为G,QG分别交直线

BC,4B于点、E,F.

(1)求b和c的值；

(2)当GE=工时，连接AD,求△8。尸的面积；

2

(3)8是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标.

18.阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x=a

与x=-a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”.例如:了=N,在

实数范围内任取x=a时，y=a2-,当》=-a时，y=(-a)2=a2,所以y=

V是“对称函数”.

(1)函数了=2恸+1对称函数(填“是”或“不是").当x20时，j=

2|x|+l的图象如图1所示，请在图1