高考数学分类专项训练之平面向量和复数

高考数学分类专项精讲精练

平面向量和复数

目录

明晰学考要求...................................................................................1

基础知识梳理...................................................................................2

点精讲讲练.....................................................................................7

考点一：平面向量的概念........................................................................7

考点二：平面向量的运算.......................................................................10

考点三：平面向量基本定理......................................................................13

考点四：平面向量坐标运算......................................................................18

考点五：平面向量数量积.......................................................................20

考点六：余弦定理.............................................................................25

考点七：正弦定理.............................................................................30

考点八：余弦定理、正弦定理综合应用...........................................................33

考点九：复数的概念及四则运算.................................................................38

实战能力训练..................................................................................41

明晰学考要求

1、理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；

2、理解平面向量的几何表示和基本要素；

3、掌握平面向量加、减运算规则，理解其几何意义；

4,了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；

5、理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积

6、了解平面向量投影的概念和意义；

7、会用数量积判断两个向量的垂直关系；

8、理解平面向量基本定理及其意义；

9、掌握平面向量的正交分解及坐标表示；

10、会用坐标表示平面向量加、减运算，数乘运算；

11、能用坐标表示平面向量的数量积，并求两个向量的夹角；

12、能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件；

13、掌握余弦定理、正弦定理，并能解决简单的实际问题；

14、理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；

15、掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加法、减法运算的几何意义。

基础知识梳理基础知识梳理02

1、向量的有关概念

（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度（或模）

向量表示方法：向量题或£；模|A8|或|a|.

（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作0.

（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用工表示.

特别的：非零向量日的单位向量是

1«1

（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，£与否共线可记为2=彳石；

特别的：0与任一向量平行或共线.

（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作£=加

（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作％。

2、向量的线性运算

（1）向量的加法

①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量Z,

我们规定方+0=6+£=£.

②向量加法的三角形法则（首尾相接，首尾连）

已知非零向量在平面内任取一点A,作通=£,阮=B,则向量元叫做Z与B的和，记作Z+B,即

a+b=AB+BC=AC-这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.

③向量加法的平行四边形法则（作平移，共起点，四边形，对角线）

已知两个不共线向量Z，B，作丽=£,砺=B,以。4,08为邻边作口。4CB,则以。为起点的向量成

（OC是。。4cB的对角线）就是向量£与B的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法

则.

①定义：向量Z加上B的相反向量，叫做£与B的差，即Z-5=£+（-5）.

②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）

已知向量在平面内任取一点。，作砺=£,砺=B,则向量£-3=丽.如图所示B

如果把两个向量B的起点放在一起，则可以表示为从向量B的终点指向向量£的/\

b/\a-l

终点的向量.7\

（3）向量的数乘6乙-------

a

向量数乘的定义：

一般地,我们规定实数2与向量Z的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作几£.它的长度与方向规

定如下：

①I花1=1刈£|

②当4＞0时，的方向与Z的方向相同；当几＜0时，4%的方向与£的方向相反；当4=0时，2a=0.

3、共线向量定理

①定义：向量B与非零向量Z共线，则存在唯一一个实数2,b=Aa.

②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意ZH6；特别地，若Z=B=6,实数4仍存

在，但不唯一.

4、向量的夹角

已知两个非零向量Z和B，如图所示，作砺=£，OB=b＞则NA06=e

（0＜。＜»）叫做向量£与3的夹角，记作＜＜7/〉.

1

（2）范围：夹角。的范围是［0,万］.

当。=0时，两向量Z，B共线且同向；

JF

当时，两向量B相互垂直，记作

当。=7Z■时，两向量Z，B共线但反向.

5、数量积的定义：

已知两个非零向量Z与b，我们把数量|£IIBIcos。叫做,；与3的数量积（或内积），记作7B，即

a-b=\a^b\cos0,其中。是£与B的夹角，记作：0=＜a,b＞

规定：零向量与任一向量的数量积为零.记作：6.a=0.

6、平面向量的基本定理

（1）定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量有且只有一对

实数4,4，使a=4q+402.

（2）基底：

不共线的向量,至叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即。不能作为基底；

（2）基底一旦确定，分解方式唯一；

（3）£用基底q,%两种表示，即a=4弓+2,e,=Mei+”02，贝叫1_，进而求参数.

7、平面向量的坐标运算

（1）向量加减：若。=（七,%）石=（九2，%），则a±B=（七±尤2，弘士%）；

（2）数乘向量：若a=（x,y）,贝!J/la=（2x,2y）；

（3）任一向量：设4=（菁,乂）,5=（七,%），则筋=（马一/，％一,）・

8、平面向量共线的坐标表示

若。=（玉,为）石=（%2，%）,则向仍的充要条件为石%-々%=0

9、平面向量数量积的性质及其坐标表示

已知向量。=（七,%）,另=（々,%），。为向量［和B的夹角:

(1)数量积a-b=\a\\b\cos0=+%%

(2)模：|a|=G•a=Jx；+y；.

a-b

（3）夹角:COS0=

\a\\b\

（4）非零向量£的充要条件：a-B=0o/w+%%=。

10、正弦定理

（1）正弦定理的描述

①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.

②符号语言：在AABC中，若角A、B及C所对边的边长分别为。，b及c,则有二三=二二=二三

sinAsinBsinC

（2）正弦定理的推广及常用变形公式

在AABC中，若角4、8及C所对边的边长分别为。，b及c,其外接圆半径为R,则

abc…

①------=--=--=2R

sinAsinBsinC

®asmB=bsmA；bsinC=csmB；asinC=csinA；

(§)sinA:sinB:sinC=<2:Z?:c

与abca+b+ca+ba+cb+c入门

(4)----=-----=-----=-------------------=------------=------------=------------=2R

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinC

⑤〃=2HsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(可实现边到角的转化)

@sinA=—,sinB=—,sinC=—(可实现角到边的转化)

2R2R2R

H、余弦定理

(1)余弦定理的描述

①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两

倍.

②符号语言：在AABC中，内角A5C,所对的边分别是风仇。，贝！I：

a2=b2+c2—2Z?ccosA;

b2=a2+c2-2QCCOSB

c2=a2+b2—2a/?cosC

(2)余弦定理的推论

2bc

cosBf+l"

lac

cosdf、

lab

12、三角形常用面积公式

®S二工乂底乂高；

2

@S=—absinC=—acsmB=—bcsinA；

222

③S=；(a+/;+c)厂(其中，a,4c是三角形ABC的各边长，厂是三角形ABC的内切圆半径)；

④S=》nhr(其中，。，仇。是三角形ABC的各边长，R是三角形ABC的外接圆半径).

47?

13、复数的概念

我们把形如a+方,a力eR的数叫做复数,其中，叫做虚数单位,满足?=-1.全体复数所构成的集合

C={a+bi\a,b^R}叫做复数集.

复数的表示:复数通常用字母z表示,即2=。+4,其中的。与方分别叫做复数z的实部与虚

部.

14、复数相等

在复数集C={a+初1。36周中任取两个数。+次，c+di,(a,d),我们规定

a=c

a+bi=c+di<=><

b=d

15、复数的分类

对于复数a+初(a,beR),当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当。=b=0时，它是实数0；当bwO时,

它叫做虚数；当a=0且6/0时,它叫做纯虚数.这样,复数z=a+初(口/eH)可以分类如下:

「实数(6=0)

复数「八、［纯虚数(a=0)

虚数(/?w0)〈

非纯虚数(awO)

16、复数的几何意义

(1)复数的几何意义一一与点对应

复数的几何意义1：复数z=a+应(eR),一一对应，复平面内的点Z(a,b)

(2)复数的几何意义一一与向量对应

复数的几何意义2：复数z=a+意(a力eA):一一对应,平面向量无=(a,b)

17、复数的模

向量无的模叫做复数z=a+加aSeA)的模，记为|z|或|a+加

公式：|z|=|a+初1=，片+-2，其中a/eH

复数模的几何意义：复数z=a+应在复平面上对应的点Z(a,加到原点的距离；

特别的，5=0时，复数z=a+应是一个实数，它的模就等于I。1(。的绝对值).

18、共朝复数

(1)定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轨复数；虚部不等于0的两

个共轨复数也叫共辑虚数.

(2)表示方法

表示方法：复数z的共朝复数用』表示，即如果z=a+加，则I=a-历.

19、复数的四则运算

(1)复数的加法法则

设4=。+历，Z2=c+di,(a/,c,deR)是任意两个复数，那么它们的和:

Z[+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i

(2)复数的减法法则

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：

(c+力)+(x+yi)=a+4的复数x+9叫做复数a+bi减去复数c+成的差，记作(a+初)一(c+di)

(3)复数的乘法法则

我们规定，复数乘法法则如下：设马=。+6，Z2=c+力是任意两个复数，那么它们的乘积为

2

ztz2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi=(ac-bd)+(ad+bc)i,

即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+[ad+bc)i

(4)复数的除法法则

a+bi_(a+bi)(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)iac++bdbe-ad.

(a+bi)~(c+di)———zz-苍i(c+diwO)

c+di(c+di)(c-di)c2+d2c+dc+d

点精讲讲练考点精讲精练03

考点一：平面向量的概念

【典型例题】

例题1.(2023广西)如图，。是正六边形ABCD历的中心，下列向量中，与血是平行向量的为()

【答案】C

【知识点】平行向量(共线向量)

【分析】根据平行向量的定义判断即可.

【详解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量.

由图可知，声与方向相反，因此是平行向量.

故选：C.

例题2.(2023黑龙江)下列量中是向量的为()

A.频率B.拉力C.体积D.距离

【答案】B

【知识点】平面向量的概念与表示

【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可.

【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向

量.

故选：B

例题3.（2023北京）如图，点。为正六边形ABC0E尸的中心，下列向量中，与示相等的是（）

A.DOB.EOC.FOD.CO

【答案】A

【知识点】相等向量

【分析】根据相等向量的定义即可得答案.

【详解】解：因为相等向量是指长度相等且方向相同的向量,。为正六边形的中心，

所以而与丽模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正确；

前与西只是模相等的向量，故B错误；

而与汉只是模相等的向量，故C错误；

前与次只是模相等的向量，故D错误.

故选：A.

【即时演练】

1.判断下列各命题的真假：①向量4与B平行，则口与B的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等

的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题

的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、判断命题的真假

【分析】根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可得.

【详解】对①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，

故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；

对②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；

对③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题;

对④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题.

故选：B.

2.如图，在圆。中，向量而，0C，正是（)

A.有相同起点的向量B.相反向量

C.模相等的向量D.相等向量

【答案】C

【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、平面向量的概念与表示、向量的模

【分析】根据向量的几何表示，可判断出选项A和C的正误，再利用相反向量及相等向量的概念，结合图

形，即可判断选项B和D的正误.

【详解】对于选项A,因为向量而，前的起点为。，而向量近的起点为A,所以选项A错误,

对于选项B,因为相反向量是方向相反，长度相等的向量,而向量而，OC，方向不同，所以选项B

错误,

对于选项C,向量痂，0C，血的模长均为圆。的半径,所以选项C正确,

对于选项D,因为相等向量是方向相同,长度相等的向量,而向量面，OC>Z万方向不同，所以选项D

错误,

3.（多选）下列说法正确的是（)

A.零向量是没有方向的向量B.零向量的长度为0

C.相等向量的方向相同D.同向的两个向量可以比较大小

【答案】BC

【知识点】零向量与单位向量、相等向量

【分析】利用零向量的定义及相等向量的定义，可判断出选项A、B和C的正误，再由向量的定义知选项D

错误.

【详解】对于选项A,因为零向量的方向是任意的，所以选项A错误，

对于选项B,因为零向量是方向任意，长度为0的向量，所以选项B正确，

对于选项C,因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，所以选项C正确，

对于选项D,向量不能比较大小，向量的模长可以比较大小，所以选项D错误，

故选：BC.

考点二：平面向量的运算

【典型例题】

例题1.（2022河北）已知向量入B满足忖=1,忖=3,归+0=3,贝小，卜（）

A.VHB.V10C.3D.2

【答案】A

【知识点】已知数量积求模、已知模求数量积

【分析】将卜+用1-5|分别进行平方，借助垢石的值联系起它们的关系，从而求解.

【详解】由题知，=邪+2无5+户=9=『+26・5+32,

贝！12az=—1,

|a-&|2=6Z2-2a-^+fe2=12-（-1）+32=11,

贝!!立一目=如.

故选：A

例题2.（2024湖北）如图，平行四边形ABCZ）中，P是边上的一点，则（）

A.DA+DP=PAB.DA+AB+BP=DP

C.AB+BC+CP=PAD.PA+PB=BA

【答案】B

【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则

【分析】根据向量线性运算化简求解即可.

【详解】DA-~DP=PA＞故A错误；DA+AB+BP=DP＞故B正确；

AB+BC+CP=AP，故C错误；PA-PB=BA＞故D错误.

故选：B

例题3.（2024安徽）已知向量％与囚的夹角为《，忖=2,W=l,则向量J与B上的投影向量为（）

A.bB.回C.aD.立Z

2

【答案】B

【知识点】求投影向量、用定义求向量的数量积

【分析】应用投影向量公式结合数量积公式计算即可.

【详解】向量日与5上的投影向量为

a-b£_H%OS|且

WXR

=lalcos—x^i=2x^-x—=

116\b\21

故选:B.

例题4.（2024北京）已知向量落5在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1,

贝!1同=;ab=•

【知识点】向量的模、用定义求向量的数量积

【分析】向量的模长即向量起点至终点的距离，由图可知结果；向量的数量积等于向量的模乘以另一个向

量在这个向量上的投影，由图可知结果.

【详解】由图可知忖=2,

a-S=|a|-|S|cos^a,^,其中［cos为办在之上的投影,

由图可知投影长度为1,且方向与Z相反，

故a•B=卜卜同cos（a,b\=2x（-1）=-2.

故答案为：2；-2.

【即时演练】

1.已知向量£,B满足〉石=7,归-6=|同，则日与5的夹角为（）

171

D.T

【答案】A

【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算

【分析】掌握平面向量的数量积7万=|丽cos6.

【详解】v|S-5|=|S|,

,-.\a-b[=\b[,

-2--.2「2

/.a—2a-br+b=b，

又,:=B，

..2=2沆即口=坪|,

二.a•5=W忖cos0=&忖cose=,

\C”与

・.・0e(0,7i)

故选：A.

2.^(a+2b-3c^—3(a-2b—c^=()

5一

A.--a-4cB.—ci+4b—2c

22

5-3

C.——a+7b+—cD.——a+5b--c

2222

【答案】C

【知识点】平面向量的混合运算、空间向量加减运算的几何表示

【分析】根据向量的加减法即可得到答案.

【详解】^a+2b-3c^-3^a-2b-c^=-^a+7b+-1c.

故选：C.

3.在口ABCD中，AB=2a,AD=3b9贝!|/=()

A.a+bB.a-b

c.2工+3,D.2a-35

【答案】C

【知识点】向量加法的法则

【分析】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则求解即得.

【详解】在oABCD中，AB=2a,AD=3b,则衣=荏+而=2£+3尻

故选：C

4.已知平面向量”，加满足同=3,忖=4且向量石的夹角为小则2M+B在£方向上的投影数量为一

【答案】8

【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律

【分析】利用数量积来计算投影数量即可.

【详解】因为同=3相=4且向量入石的夹角为半

所以（2N+方）3=2万2+5d=2x9+3x4xg=24,

（2a+b\a74

则方+B在Z方向上的投影数量为：1=8,

1同/3

故答案为：8.

考点三：平面向量基本定理

【典型例题】

-1-..

例题1.（2020河北）在VABC中，点P是边BC上一点，^AP=-AB+AAC,则实数之=（）

4

1123

A.—B.—C.-D.一

3234

【答案】D

【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数

【分析】利用向量共线定理设而=〃沅，〃＞。，通过线性运算得而=。-〃）旗+〃/，结合题目条件

得到方程组，解出即可.

【详解】作出如图所示图形：

A

•・•8,p,c三点共线，故可设丽=〃犯，〃>0,

BPC

贝！|Q=通+而=通+〃前=通+〃（蔗-硝=（「〃）南+〃正，

:1

---►1►►1-LL=—3

■.■AP=-AB+AAC,/J'4,解得彳=—.

424

//=X

故选：D.

例题2.（2023湖北）如图，在任意四边形ABC。中，E,尸分别是AO,5c的中点，且/-前=彳炉,

则实数2=（）

【答案】B

【知识点】平面向量基本定理的应用、向量的线性运算的几何应用、向量加法法则的几何应用

【分析】先将荏-3，就分别用而，就，而表示，再结合题意即可得解.

【详解】AB-CD=AD+DC+CB-O）=AD+2DC+CB,

EF=ED+DC+CF=-AD+DC+-CB,

22

所以NS-①=2乔,

又因为通-西=/1丽，

所以2=2.

故选：B.

例题3.（2022浙江）在VABC中，设布=2而，BE=2,EC,CF=AFA,其中aeR.若ADEF和VABC

的重心重合，则几=（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】D

【知识点】平面向量基本定理的应用

[分析】设。为J）EF和VA3C的重心，连接DO延长交EF与N,连接A0延长交BC与M,分别在VMC、

AD所中用向量而、配表示向量加，再根据向量相等可得答案.

【详解】设。为AD砂和VABC的重心，连接。。延长交E尸与N,连接A0延长交3c与

所以N是的中点，M是BC的中点，

所以而=§画?=丁]（荏AC）=-AB+-AC,

—►―►—►2—►1―»1—►1—、1—►

DO=DA+AO=--AB+-AB+-AC=--AB+-AC,

33333

—►2—►

DO=-DN=2,1DF）=g（丽+而+DA+AF）

33,2

__.2__k2__►]

AB+-BC--AB+|1AB+|（AC-AB）+^AC

331+4

1

AC,

1+4

21

可得1=刀+「，解得2=2.

31+Z

故选：D.

2

例题4.（2022安徽）在VA3C中，点。在边上，且丽=2比，若而=20+〃近，则一=.

【答案】2

【知识点】利用平面向量基本定理求参数

【分析】根据题意，结合向量的加减法用行、尼表示出血，求出力与〃即可.

—.2-►

【详解】由丽=2觉，得BD=gBC,

QQ__1__r\

贝。在VABC中，AD=AB+BD=AB+-BC=AB+^[AC-ABj=-AB+-AC,

因布=入近+|1/，故＜],因此/=2.

故答案为：2.

【即时演练】

1.在平行四边形A5CD中，AB=2AE9~BF=2BC9则方=()

-.1—►1—.1—.

A.2A3H—AZ)B.—A.B—AD

222

c.1AB+2ADD.2AB+2AD

【答案】C

【知识点】用基底表示向量

【分析】由平面向量的基本定理求解即可.

故选：c

OQ

2.已知在VABC中，V是线段上异于端点的任意一点.若向量:W=a荏+6元，则4+］的最小值为

ab

()

A.6B.12C.18D.24

【答案】C

【知识点】条件等式求最值、平面向量共线定理的推论、基本不等式"1"的妙用求最值

【分析】根据三点共线的结论可得。+6=1,将工+2化为［2+1］(a+b),展开后利用基本不等式，即可得

ab\ab)

答案.

【详解】由题意M是线段3c上异于端点的任意一点，向量疝1=a通+6恁可得4+6=1,

口n7n店【、128/28\7、c2b8a12b8〃ir.1O

H.a0fb>0,以—i—=—I—|(a+b)=2d------1------F822J----------1-10=18,

abyab)ab\ab

当且仅当生=苧，结合a+6=l,即。=:，b时，等号成立，

ab33

7Q

故士+q的最小值为18.

ab

故选:c

3.在VA2C中，点。是边2C上一点，若而=*南+>高，则2'+"的最小值为()

孙

A.7-2厢B.7+2而C.-2V10D.7

【答案】B

【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求得x+y=i,x>o,y>0.,再利用基本不等式"1”的

妙用求出最小值.

【详解】在VA3C中，点。是边3C上一点，AD=xAB+yAC,则x+y=l,%>0,y>0.

2%+5y=(-+-)(x+y)=7+^+—>7+2fe—=7+2>/10,

xyxyxyyxy

当且仅当2即x=5-9布-2时取等号,

xy33

所以至今的最小值为7+2所.

孙

故选：B

4_.如图，在VABC中，点。是8C的中点，过点。的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M、N,若

_2___,

AB=^AM,AC=AAN,则2=.

【答案】g/lg

【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论

【分析】根据给定条件，利用中点向量公式，结合共线向量定理的推论列式计算即得.

【详解】在VABC中，点。是的中点，则AOu=AB+xAC,

22

9_________1____

y.AB=-AM,AC=AAN>贝!|而>加+,而，

而点M,O,N共线，因此:+g=l,所以4

4

故答案为：—

考点四：平面向量坐标运算

【典型例题】

例题1.(2024福建)已知4=(1,2),5=(办-1),若3,则加的值为()

11

A.-2B.——C.-D.2

22

【答案】D

【知识点】利用向量垂直求参数

【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式求解，即得答案.

【详解】由题意知苕==(九-1),aJ.b)

故Ixnz-2=0,

所以〃?=2,

故选：D

例题2.(2024湖北)已知向量方=(1,0),5=(0,1),则2三+32=()

A.(2,-3)B.(-2,-3)C.(—2,3)D.(2,3)

【答案】D

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示

【分析】运用向量的坐标运算计算即可.

【详解】已知向量商=(1,0),方=(0,1),则22+35=2(1,0)+3(0,1)=(2,3).

故选：D.

例题3.(多选)(2024湖北)已知向量万=(1,1)石,贝(J()

A.a=bB.同=,C.a.LbD.a!lb

【答案】BC

【知识点】由坐标判断向量是否共线、垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模

【分析】根据向量的坐标可判断A；计算向量的模判断B；根据向量垂直以及平行的坐标表示可判断CD.

【详解】由于商=(1,1)3=(1,一1),贝!A错误；

由于同=1+F=应,W={I2+(-1『=拒,B正确，

因为lxl+lx(-l)=o,故乙工石，C正确；

因为1x(-1)-1x1*0,故2B不平行，D错误；

故选：BC

例题4.(2024新疆)已知向量£=(-5,7),另=(-1,3),2=(-2,2).

W^a=mb+nc，求实数机，〃的值；

（2）若（2%+*）_L（X+2）,求实数左的值.

【答案】（1）加=1，"=2

（2）-y

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数、向量垂直的坐标表示

【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示和相等向量的定义得到关于私”的方程组，解之即可得解;

（2）用向量线性运算的坐标表示求得力+日与B+3再利用向量垂直的坐标表示即可得解.

【详解】（1）因为a=（-5,7）,否=（-l,3）,c=（-2,2）,a=mb+nc,

所以(—5,7)=袱—1,3)+n(—2,2)=3m+2n),

—m—2n=—5m=l

所以,解得

3m+2w=7n=2

所以根=L〃=2

(2)因为(2a+左c)_L0+c),贝！|(2a+kc)•(1+c)=0,

又与+左"=（—10,14）+（—2左,2左）=（—10—2左,14+2左），S+c=（-3,5）,

所以一3（—10—2左）+5。4+2左）=0,解得上=一7,

25

故实数上的值为

4

【即时演练】

1.已知向量£=（一1,3）,石=（2,0）,工=（1,3）,若£与"一"平行，则实数X的值为（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】C

【知识点】由向量共线（平行）求参数

【分析】由平面向量共线的坐标表示求解即可.

【详解】因为Z=（T,3）,5=（2,0）,"=（1,3）,所以"一"=”2,0）-（1,3）=（22-1,一3）,

由之与"一"平行，得3（24-1）-（-1）x（-3）=0,解得2=1.

故选：C.

2.已知向量方=（4,—2）,b=（2,x）.若」〃（2"可,贝口=.

【答案】-1

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数

【分析】先求出y-石的坐标，再由商〃（2万一方）根据向量平行的坐标性质后可求出x的值.

【详解】；|=(4,-2),石=(2,x),24一行=(6,T-x),

由刃/(2日-5)得4x(T—x)=-12,解得4x(-4—x)=T2,解得x=-l.

故答案为：-1.

3.已知向量2=(-1,2),b=(m,-4).若a_L(a+初则?n=.

【答案】-3

【知识点】向量垂直的坐标表示

【分析】利用非零向量垂直时数量积为0,计算即可.

【详解】a+b=(m-l,-2).因为£乂£+3),所以一(〃L1)_2X2=0,解得机=一3.

故答案为：-3.

4.已知向量可=(1,0)石=(3,2).

(1)求向量4+3瓦4日一25的坐标；

⑵求&+5向量的模.

【答案】(1)2+3万=(10,6),42-2石=(-2,T)

(2)26

【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模

【分析】(1)根据向量的坐标运算求得正确答案.

(2)先求得£+5,然后求得Z+B的模.

【详解】(1)依题意，向量1=(1,0),5=(3,2),

a+3b=(1,0)+(9,6)=(10,6),

4a-25=(4,0)-(6,4)=(-2,-4).

(2)由于4+石=(4,2),

所以卜+同=萩+22=2下.

考点五：平面向量数量积

【典型例题】

例题1.(2022河北)已知向量1=(3,1)出=(2,T),则展坂=()

A.2B.-2C.10D.-10

【答案】A

【知识点】数量积的坐标表示

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可求解.

【详解】由题意知，a-5=3x2+lx（-4）=2.

故选：A.

例题2.（2024浙江）已知VA3C的边长均为1,点。为边A8的中点，点E为边BC上的动点，则而.通

的取值范围是（）

【答案】B

【知识点】数量积的坐标表示

【分析】以。为坐标原点，建立平面直角坐标系，设区小丽（04/41）,利用坐标法计算数量积，结合f的

取值范围，即可得解.

【详解】如图以。为坐标原点，建立平面直角坐标系，则《-川，呜刀卜巾岑］,0（0,0）,

CE=tCB（0<Z<1）,贝!|CE=/—,——=—t,——t

所以诟.衣=：«+l）e

故选：B

例题3.（2024湖南）如图，已知点4（一2,0）,3（2,0）,点C是y轴上的动点，则荏.正=（）

/\:

AO\

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【知识点】数量积的坐标表示

【分析】根据数量积的坐标表示求解即可.

【详解】设C(0,附,

则通=(4,0),旅=(2,叫，

所以额•衣=(4,0>(2,租)=8.

故选：D

417r

例题4.(2020山东)若向量痴满足同=1,5=(-2,2),万与B的夹角为?，则()

A.-2B.-V2C.72D.2

【答案】A

【知识点】用定义求向量的数量积、向量模的坐标表示

【分析】求出%,再根据数量积定义运算.

【详解】<23=(-2,2),.-.|&|=^(-2)2+22=2A/2,

rr广3Ll

.“6=1x2后xcos—7=r20x--=-2.

4〔2J

故选：A.

例题5.(2024天津)已知向量花=(-1,2),5=(1,-2),c=(2,x).

求x的值；

(2)若沙42a+B),求同的值.

【答案】⑴x=l

(2)|C|=2A/5.

【知识点】由向量共线(平行)求参数、已知向量垂直求参数、数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示

【分析】(1)依题意可得商C=0,根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；

(2)首先求出为+B的坐标，根据向量共线的坐标表示求出X,即可求出3再计算其模.

【详解】(1)因为a=(一1,2),c=(2,x),

由m,可得万•5=—2+2x=0,解得x=l.

(2)依题意2M+B=2(-1,2)+(1,-2)=(-1,2),

若沙/侬+可，则有+2x2,解得x=T,

所以3=(2,Y),同=2君.

【即时演练】

1.已知向量1=(3,4),向量”与向量B的夹角为方，则归-4的最小值为()

【答案】D

【知识点】已知数量积求模、坐标计算向量的模

【分析】把平方转化为数量积运算，结合二次函数知识得最小值.

【详解】设忖=小又问=5,

所以卜=—