高考数学分类专项训练之函数的概念与性质

高考数学分类专项精讲精练

函数的概念与性质

目录

明晰学考要求...................................................................................1

基础知识梳理...................................................................................1

考点精讲讲练...................................................................................4

考点一：函数的概念........................................................................4

考点二：函数的表示........................................................................7

考点三：函数的单调性与最大(小)值.......................................................9

考点四：函数的奇偶性......................................................................12

考点五：塞函数............................................................................16

考点六：函数的应用(一).................................................................18

实战能力训练..................................................................................23

明晰学考要求明晰学考要求01

1、体会集合语言和对应关系刻画函数的概念；

2、了解构成函数要素，能求简单的函数定义域；

3、会根据不同的需求选择恰当的方法表示函数，理解函数图象的作用;

4、了解简单的分段函数，并能简单应用；

5、会用符号语言表达函数的单调性，最大值，最小值；

6,了解奇偶性的概念；

7、了解周期性的概念

基础知识梳理基础知识梳理02

1、函数的概念

设A、5是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合A中的任意一个数%,在集

合3中都有唯一确定的数/(x)和它对应，那么称3为从集合A到集合3的一个函数，记作

y=/(x),xeA.

其中：x叫做自变量，工的取值范围A叫做函数的定义域

与x的值相对应的/(%)值叫做函数值，函数值的集合｛/(%)IxeA)叫做函数的值域.

2、同一(相等)函数

函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

同一(相等)函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等

的依据.

3、函数的表示

函数的三种表示法

解析法(最常用)图象法(解题助手)列表法

就是把变量无，y之间的关系

就是把X,y之间的关系绘制就是将变量x,y的取值列成

用一个关系式y=/(x)来表

成图象，图象上每个点的坐标表格，由表格直接反映出两者

示，通过关系式可以由X的值

就是相应的变量X,y的值.的关系.

求出y的值.

4、函数的单调性

(1)单调性的定义

一般地，设函数/(尤)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量的值七，%；

①当药</时，都有/(%)</(%)，那么就说函数/(同在区间。上是增函数

②当石<々时，都有/(%)>/(%2)，那么就说函数“X)在区间。上是减函数

(2)单调性简图：

若函数y=/(%)在区间。上是增函数或减函数，则称函数y=/(%)在这一区间上具有(严格的)单调性,

区间。叫做函数/(%)的单调区间.

5、函数的最值

(1)设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足

①对于任意的xe/,都有

②存在使得/(%)=/

则M为最大值

(2)设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数加满足

①对于任意的xe/,都有/(力2加；

②存在/e/,使得/(%)="

则m为最小值

6、函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(尤)的定义域内任意一个X,都有

图象关于y轴

偶函数

/(—x)=/(x),那么函数/(%)是偶函数对称

如果对于函数/(九)的定义域内任意一个X,都有图象关于原点

奇函数

/(-X)=-/(%),那么函数/(X)是奇函数对称

7、函数对称性

(1)轴对称：若函数/(x)关于直线x=。对称，则

①f(a+x)=f(a-x)；

②/(x)=/(2a—x)；

@f(-x)^f(2a+x)

(2)点对称：若函数/(%)关于直线(。,0)对称，则

①/(a+x)=-/(a-x)

②/(%)=-/(2a-%)

③/(r)=-/(2a+x)

(2)点对称：若函数/(%)关于直线(。力)对称，则

①于(a+%)=—于(a-x)+2b

②/(%)=-/(2a—%)+28

@f{-x)=-f(2a+x)+2b

8、塞函数定义

一般地，形如/(x)=x°的函数称为塞函数，其中x是自变量，a是常数.

9、五种常见幕函数

y=xy=x2y=x3-1

函数y=炉y=x

V[1

图象V

7T

定义域RRR{x|x>0}{x|xw0}

值域R{yly>0)R{yly>0){y|yw0}

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

性在(-8,0］上

在(—00,0)和

质在R上单单调递减；在在H上单调在［0,+8)上单

单调性(0,+8)上单

调递增(0,+8)上单递增调递增

调递减

调递增

公共点(1,1)

10、常见几类函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型于(x)=kx+b(k,b为常数,左W0)

二次函数模型/(x)=ax2+bx+c,b,。为常数，awO)

XGD\

力(x),x&D,

分段函数模型y(x)=<

力(x),x&Dn

事函数模型/+b(k,b,a为常数，k/0)

考点精讲讲练考点精讲精练号

考点一：函数的概念

【典型例题】

例题1.(2024福建)函数/(x)=^/^万的定义域为()

A.{x|x>l}B.{X|%>-1}C.但无<1}D.{x|xV-l}

【答案】A

【知识点】具体函数的定义域

【分析】求已知函数解析式的函数的定义域，只需让函数解析式有意义即可.

【详解】由题意可得：x-l>0,/.x>l

故选：A

例题2.(2024云南)已知函数/(x)=x,则〃2尤)=()

A.2尤B.xC.2D.1

【答案】A

【知识点】求函数值

【分析】由函数解析式求解.

【详解】因为/(x)=x,所以f(2x)=2x,

故选：A

例题3.(2024浙江)若f(x+y)=/(x)+/(y)+犯，〃1)=1,则，(一20)=()

A.55B.190C.210D.231

【答案】B

【知识点】求函数值

【分析】利用赋值法分析可得f(x-r)-f(x)=-x,即可得结果.

【详解】令x=y=0,则洋解=/(0)+〃0),可得解0)=0；

令x=l,y=-l,贝！)/(0)=/⑴+/(-1)-1=可得〃_1)=0；

令>=T,贝!J/(x—l)=/(x)+/(-D—x=/(x)-x,即=

则2)-〃-1)=1,/(-3)-/(-2)=2,-,/(-20)-/(-19)=19,

―/、(1+19)x19

可得了(-20)-〃-1)=1+2+…+19=^^——士——=190,

所以/■(-20)=190.

故选：B.

【即时演练】

1.下列各组函数中为同一函数的是()

A.〃x)=,g(x)=x-l

B./(x)=x2+l,g⑺=(〃+1)

c./(%)=Jf—i,g(X)=Vx+1-A/X-1

、丫2

D・f(^)=x9=—

【答案】B

【知识点】判断两个函数是否相等

【分析】根据函数的定义域、对应关系、值域等知识来确定正确答案.

【详解】A选项，/(x)=^(x-l)2=jx-l|>O,g(x)eR,所以A选项错误.

B选项,/(%)=x2+i,g⑺=产+1,

两个函数定义域、对应关系、值域相同，所以是同一函数，B选项正确.

C选项，对于〃尤)=//-I,x2-1>0>解得xV-1或尤21,

所以“X)的定义域是(e，T3i,y),

对于g(x)=JxT，解得xNl,

所以g(x)的定义域是[l,+s),所以C选项错误.

D选项，/(%)=*的定义域是口，

2

g(x)=^的定义域是{X|XH0},所以D选项错误.

故选：B

2.函数/(刈:百^。一的定义域为()

3-x

A.[l,+oo)B.[1,3).(3,+oo)C.(1,3)。(3,-boo)D.[3,+oo)

【答案】B

【知识点】具体函数的定义域

【分析】根据函数解析式求定义域即可.

fx-l>0

【详解】由题可得\八，解得转1且xw3.

所以“X)的定义域为[1，3)。(3,小).

故选：B.

3.已知函数/(尤)满足/(x+2)=3x+4,则/(2)=()

A.-2B.1C.4D.7

【答案】C

【知识点】求函数值

【分析】根据给定条件，令x+2=2,即取尤=0代入计算即得.

【详解】函数〃尤)满足〃X+2)=3X+4,当X+2=2,即x=0时，/(2)=3x0+4=4.

故选：C

考点二：函数的表示

【典型例题】

/、—％?+2x+2,xV2,、

例题1.(2024安徽)已知函数〃x)=，则〃3)=()

J2

A.-1B.1C.2D.3

【答案】D

【知识点】求分段函数解析式或求函数的值

【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，代入准确运算，即可求解.

【详解】由函数〃尤)=；；；：I；；:贝!)〃3)=〃3—2)=〃l)=-12+2xl+2=3.

故选：D.

例题2.(2024浙江)已知函数7'(加？》-[司(国表示不超过x的最大整数)，贝!!/&=.

【答案】3

【知识点】函数新定义

【分析】根据定义直接求解即可.

【详解】由题意了ih2xl-[l]=5-2=3,

故答案为：3.

例题3.(2024江苏)已知函数〃x)满足了(一1一力+/(力=-7,且//(x)+1-^--+2=-4,

J+3X

贝！|〃2024)=____.

【答案】-也或202L

2024

【知识点】求函数值、已知f(g(x))求解析式

【分析】"〃尤)+了⑴+3尤J2，通过赋值法，求,出f的值，进而得到“X),再求解即可.

【详解】令，=〃x)+〃x)+3xJ2,则/⑺=-4,

z+2=1(2解得"-1或-;

令x=t,贝！=⑺+3t4f+,

而/(—l—力+〃力=-7,故(一；)=一：.因此f=T.

贝！H=/(小冗%--+2，

即f(x)+3+—-4;—=x+-,f(x)+3-x=-——-4;-=,

/(x)+3x尤/(x)+3%(f(x)+3)

因此/(%)+3—彳=0或%(/(尤)+3)=1

当x(〃x)+3)=l时,,时/(%)=g—3,此时/(2024)=1__3_6071

2024-2024

当/⑺=%-3时，〃2024)=2021.

故答案为：-黑或2。21・

【即时演练】

2X2,(0<X<1)

1.函数〃x)=2,(14x<2)的值域是()

3,(x22)

A.RB.[0,+<»)C.[0,3]D.[0,2]u{3}

【答案】D

【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数的值域或最值

【分析】根据分段函数解析式分段求解，取并集即可.

【详解】当0Vx<l时，0</(X)=2X2<2,

当1WX<2时，〃x)=2,

当2Vx时，/(x)=3,

所以04x时，〃尤）的值域为［0,2］。{3},

故选:D

7

2.若函数=—：的部分图象如图所示，贝|〃1）=（）

axi~DX~I-c

【答案】D

【知识点】求函数值、二次函数的图象分析与判断、函数图象的应用

【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值.

【详解】根据函数图象可知尤=2和x=4不在函数/■（"的定义域内,

因此％=2和％=4是方程办2+次+。=0的两根，因此可得/（%）=〃（彳_2）（工_4），

又易知"3）=1,所以可得〃=-2；

即小）=-口_2；（1），所以〃1）=T

故选：D

l,x<2

3.已知函数〃x）hx-l,24x<3,且/伉）=2,贝（］/=（）

x2-7,x>3

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量

【分析】根据分段函数解析式分段讨论得到方程（不等式）组，解得即可.

l,x<2

【详解】因为/（x）=r-l,24x<3,且/（1）=2,

X1-l,x>3

2＜天＜3

%一1=2取［只一7=2,解得％=3.

故选：C

考点三：函数的单调性与最大（小）值

【典型例题】

例题1.（2023新疆）若函数/（力=/+2（4-1卜在区间（-8,4］上是减函数，则实数”的取值范围是（）

A.a<-3B.a<5C.a>3D.a>-3

【答案】A

【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围

【分析】先分析/（x）的对称轴，然后根据/'（x）在（-双4］上的单调性得到关于a的不等式，由此求解出结

果.

【详解】因为/（X）的对称轴为x=l-a,且在（T,4］上是减函数，

所以1—a24,所以aW—3,

故选：A.

(%+2%<0

例题2.(2024北京)已知〃尤)=2\；则“—1)=________;〃x)的最大值为________.

I—X+，,X之U,

【答案】12

【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的值域或最值

【分析】第一空直接代入即可，第二空分别计算两段的最大值，比较即可求解.

【详解】由解析式可知：=

当x<0,易知〃x)<2,

当尤20,/(X)=-X2+2<2,当x=0时，取最大值2,

所以的最大值为2,

故答案为：1,2

例题3.(2023吉林)已知函数/(尤)=七门«1,+8)).

⑴根据函数单调性的定义证明函数〃x)在区间［L+s)上单调递减；

(2)若/(/)>〃24+3),求实数。的取值范围.

【答案】⑴证明见详解

(2)［1,3)

【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式

(、/\(x9-x-1)

【分析】(1)任取玉>々21，作差-'解+不=；］),分析每一个因式的正负，进而得到

/(^)-/(x2)<0,可判断单调性；

a2>1

(2)根据第一问得到的函数单调性以及函数定义域可列式2〃+3>1,解不等式即可得到答案.

a2<2。+3

【详解】(1)任取为>%21,

玉%;+%一/才一兄2（“2—玉）（玉工2—1）

则-言-看

（4+1）（%；+1）+1）（%；+1）

因为尤1>921,则仁+1）（考+1）>0,x2-x1<0,xix2-1>0,

则于0）-/（x2）<0,故/（X）在［1,+8）上单调递减.

（2）由（1）得，人>）在［L4W）上单调递减,

a2>1a<-1或。>1

所以，2〃+321,解得心-1,

a2<2a+3-l<a<3

所以"a<3,即所求范围是[L3).

【即时演练】

1.已知函数、=/_"成-3在区间[0』上是单调函数，则实数m的取值范围是()

A.[0,2]B.(0,2)C.(-OO,0]U[2,-H»)D.(-<o,0)(2,+co)

【答案】C

【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围

【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式求解即可.

【详解】函数>-mx-3的图象对称轴为％=葭,

由函数y=Y-如-3在区间[0,1]上是单调函数，得5Vo或^21,解得相40或机，2,

所以实数m的取值范围是").

故选：C

2.若=在R上单调递增，则实数。的取值范围为______.

[x+5«,x>1

【答案】

【知识点】根据分段函数的单调性求参数

【分析】根据分段函数单调性结合一次函数、二次函数性质列式求解即可.

3—2a

1<-----31

【详解】由题意可得：2,解得一：三。4。，

1+5«>-1+(3-2G)-472

所以实数”的取值范围为

故答案为：|a|-y<a<—j.

3.已知函数/■(无)=x"

X

(1)证明：函数/(X)在区间(0,+⑹上是增函数；

(2)当xe[2,6],求函数/(x)的值域.

【答案】⑴证明见解析

(2)[-1,5]

【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域

【分析】(1)利用函数的单调性的定义证明即得；

(2)利用已证的函数单调性，即可求得函数在给定区间上的值域.

【详解】(1)任取X，%€(。，+8)，且王<龙2，

由/(%)一/(%)=(髭-9)一(々-9)=(髭-%)-‘a。&)=(尤］一尤2)(1+—)，

玉X2石％2石工2

因0<网<X2，故1+^^>。，Xl-X2<0>故/(不)</(尤2)，

即函数在区间(0,+刈上是增函数；

(2)由(1)已证：函数/(X)在区间(0,+8)上是增函数，故在［2,6］上也是增函数，

则f(2)4/(x)W/(6),gp-l</(x)<5,故函数/(X)的值域为［-1,5］.

考点四：函数的奇偶性

【典型例题】

例题1.(2024安徽)已知函数/(x)=aex+e-，，若y="幻的图象关于原点对称，则实数。=

【答案】-1

【知识点】函数对称性的应用、由奇偶性求参数

【分析】利用奇函数的性质，令/(。)=0,即可得到答案.

【详解】；函数/("=恁'+1的图象关于原点对称，

二八龙)为奇函数，

/(0)=a+l=0,

.a=-l,经验证满足题设.

故答案为：-1

例题2.(2024福建)已知函数/(%)=丁+4%

⑴判断函数〃兀)的奇偶性，并说明理由

(2)当％>0时，/(%)之丘2恒成立，求人的取值范围.

【答案】⑴奇函数，理由见解析

(2)k<4

【知识点】函数奇偶性的定义与判断、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题

【分析】(1)利用函数奇偶性的定义，即可判断；

(2)由题意可得当1>0时，左d+E恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可得答案.

【详解】(1)/(%)=d+4x的定义域为R,且满足/(-%)=(-］丫-4%=—/(%),

故”可为奇函数；

(2)当％>0时，/(x)N区之恒成立，即%3+4%2日2,

4

即左一十―恒成立,

x

又x+±22、xx±=4,当且仅当x=±,即尤=2时取等号,

xVxx

故发44.

例题3.（2024安徽）已知函数/（耳=喜丁卜€［-1,1］）是奇函数，且/⑴=万

（1）求。涉的值;

（2）判断函数在卜1』上的单调性，并加以证明;

⑶若函数满足不等式（-2。，求实数t的取值范围.

【答案】（DU

⑵单调递增，证明见解析

⑶

【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数

【分析】（1）利用/（。）=。和/⑴=;可求得。力，检验可知满足题意;

（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可;

（3）利用单调性及定义域列出不等式即可

I_11

【详解】（1）因为函数“到二r??是定义在上的奇函数，且〃1）=点

b-l

/(0)=-=0

则:I，解得6=1,。=1,

/(1)=^-4

Q+12

所以函数/⑴二六,

检验：f（-x）=~^=-f{x},故函数为奇函数,

所以a=l,6=1；

（2）/（x）在［-1,1］上单调递增.

证明如下：对于任意％,赴且王＜工2,

司」（中2-1）（々-占）

则〃占）-“尤2）=

片+1xf+1+1)，

由-1?石X2?1,得％2—2>0，再入2<1，玉％2—1<°，

又看+1>0,宕+1>0,

所以『6)—〃々)<。，即/(五)<〃%),

故函数/(X)在[-1,1]上单调递增；

(3)不等式“八l)v/(-20,

-1</-1<1

f(x)是增函数，且xe[T,l],所以一lV-2/Vl,解得0Vt<g,

t—1<—2t

所以f的取值范围是

【即时演练】

1.已知/>(X)为定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x2+x+l-a,则a+〃l)=()

A.—2B.—1C.1D.1

【答案】C

【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数

【分析】根据奇函数的性质求出。，再求出/(-1)即可得解.

【详解】因为“X)为定义在R上的奇函数，

所以"0)=1—4=0得4=1,

所以〃-1)=2—=故〃1)=一/(一1)=一1,

则a+〃l)=0,

故选：C.

2.已知函数/'(x)=/2为偶函数，则实数根=_____.

x+"优,尤>0

【答案】3

【知识点】由奇偶性求参数

【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求解即得.

【详解】由函数〃尤)=卜：一孔"':为偶函数，得"一尤)=f(x),

[x+mx,x>0

当%>0时，-x<0,/(x)=/(—%)=(-*)2-3(-%)=必+3%,

22

而当龙>0时，/(x)=x+mx,则根=3,BP/(x)=x+3x9

当％<0时，-x>0,/(%)=/(-％)=(-K丁+3(-%)=/一3%,符合题意，

所以m=3.

故答案为：3

3.已知函数八可是R上的偶函数，当了<0时，f(x)=x2-x.

⑴求函数“X)的解析式，并画出具体函数图象；

(2)若/(2相-1)</(根+1),求实数，"的取值范围.

【答案】⑴/(尤)=[1*图象见解析；

[1-x,x<0

(2)(0,2).

【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、画出具体函数图象、由函数奇偶性解不

等式

【分析】(D根据题意结合偶函数的定义，求出x>0时，函数f(x)的解析式，结合二次函数及偶函数的

性质画出图象即可；

(2)根据函数的图象以及奇偶性分析函数的单调性，结合单调性和对称性可得|2机运算求解

即可.

【详解】⑴当x>0时，则-X<0,

由题意可得：f(-X)=(-^)2-(-X)=x2+x,

因为函数“X)是R上的偶函数，所以f(r)=f(x),

所以〃X)=/(-X)=x2+X，

所以函数/(X)的解析式为“X)=

x—x,xW0

结合二次函数知识易画出“X)图象如图所示：

(2)结合该函数/(元)的图象可知：在(-力,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

又因为函数/（x）是R上的偶函数，且/⑵*-1）<〃加+1）,

所以|2加一,

整理可得：m2—2m<0,解得：0<m<2.

故实数m的取值范围为（0,2）.

考点五：塞函数

【典型例题】

例题1.（2024湖南）已知幕函数y=x”的图象经过点（2,4）,则。=（）

11

A.2B.-2C.-D.——

22

【答案】A

【知识点】求塞函数的解析式

【分析】将点的坐标代入函数解析式即可求得

【详解】将（2,4）代入y=得：4=2%解得：a=2.

故选:A

例题2.（2023江苏）已知事函数“*）=（疗+2加-2卜利在（0,+8）上单调递减，则实数加的值为（）

A.-3B.-1C.3D.1

【答案】A

【知识点】根据函数是易函数求参数值、由塞函数的单调性求参数

【分析】根据塞函数的定义，求得根=-3或m=1,结合幕函数的单调性，即可求解.

【详解】由函数〃。=（布+2%-2卜山为易函数，可得疗+2〃L2=1,

即+2〃z-3=0,解得根=一3或根=1,

当他=-3时，函数〃尤）=二在（0,+。）上单调递减，符合题意；

当相=1时，函数/（力=8在（0,+巧上单调递增，不符合题意.

故选：A.

例题3.（2023宁夏）已知塞函数外"=J的图象过点尸（3,9）,则。=

【答案】2

【知识点】根据函数是嘉函数求参数值

【分析】将点网3,9）代入函数〃x）=x。，即可求解.

【详解】因为基函数〃力=V的图象过点尸（3,9）,

所以〃3）=3。=9,解得a=2.

故答案为：2.

【即时演练】

1.已知募函数/(%)=(疗-3租+3*用的图象关于原点对称，则满足(”+1)">(3-2力”成立的实数。的取值

范围为()

A.(0,2)B.［。,|［C,1|,4］D.(4,+“)

【答案】C

【知识点】根据函数是募函数求参数值、解不含参数的一元二次不等式

【分析】根据塞函数的知识求得加，由此化简不等式3+1)'”>(3-2°广并求得不等式的解，从而求得”的

取值范围.

【详解】因为函数〃司=(3m+3b'用是募函数，贝！］/一3%+3=1,解得机=1或机=2.

当机=1时，f(x)=Y是偶函数，其图象关于丫轴对称，与已知矛盾；

当〃?=2时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得根=2,

不等式(。+l)m>(3-2a)m化为(a+1)2>(3-2a)2,

即(3a-2)(a-4)<0,解得］<a<4,所以实数“的取值范围为(别.

故选：C

2.已知募函数〃x)=(/_3)x#g在(°，+◎上单调递减，则。的值为.

【答案】-2

【知识点】根据函数是募函数求参数值、由募函数的单调性求参数

【分析】先根据幕函数定义确定。的可取值，再根据单调性确定出a的值.

【详解】因为〃x)为募函数，所以〃一3=1,所以。=i2,

当a=2时，/(x)=x2,在(0,+e)上单调递增，不符合；

当a=-2时，〃力=/，在(0,+巧上单调递减，符合；

故答案为：-2.

3.已知事函数〃x)=/图象经过点(4,2),若/(a+l)>〃3-2a),则实数〃的取值范围是；若

0<%<»则"

【答案】<

【知识点】求塞函数的解析式、基本(均值)不等式的应用、根据函数的单调性解不等式

【分析】由条件先求a,根据函数单调性及定义域解不等式求“，根据基本不等式判断“X）+:（电）与

2

/（土产）的大小.

【详解】因为函数〃尤）=丁图象经过点（4,2）,

所以¥=2，

11

所以a=5，故尤）=/，

函数〃x）=£的定义域为［°，”），且函数“X）在［。，田）单调递增，

4+1>3—2〃

所以〃。+1）>〃3-2。）可化为，“+G0,

3—2〃N0

23

所以即。的取值范围是

因为/（%）=户，0<再<%2,

：2

所以玉+W>2“1A

=/(再)+/(%),

2

故答案为：（I^T，<.

考点六：函数的应用（一）

【典型例题】

例题1.（2024浙江）有一支队伍长Lm,以V的速度前行，传令员传令需要从排尾跑到排头，再立即返回

排尾，速度为匕，若传令员回到排尾时，队伍正好前进了2Lm,则t=（）

C1+\/5口3+^5

A.2B.3

12,2

【答案】C

【知识点】分式型函数模型的应用

【分析】计算队伍前进的总时间f,传令兵从排头到排尾的时间4及从排尾到排头的时间根据传令兵往

返总时间与队伍前进时间相等即可求解.

【详解】设总时间为3传令员从排头到排尾所用时间为4,从排尾到排头所用时间为「2，

LL2LLL2L

所以a===所以__"+匕+y=歹'

mv^-vy-v^o,即-^-i=o,

所以匕=口5.

V2

故选：C.

例题2.（2022浙江）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建造可以使用30年

的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元.根据建筑公司的前期研究得到，该建

筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度力（单位：厘米）满足关系：

N仅）=可尢（°-h~1°）•经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元.设

厂伍）为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使打〃）达到最小值的隔热层的厚度力=

厘米.

【答案】y

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】根据题意可得函数"/z）=30N（/7）+9/7=早2+9〃=早2+3（3/?+4）-12,利用基本不等式求解.

【详解】由题意及=可得N（0）=：=10,即加=40,

隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和F（/z）=30N（/z）+肪=募詈+9/7=+3（3〃+4）-12

^^--3(3/7+4)-12=108(万元)，

>2.

当且仅当等2=3（3九+4）,即（厘米）时打〃）达到最小值.

3/i+43

故答案为：y.

例题3.（2023安徽）如图，某小区要在一个直角边长为30m的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园.记

空地为VA3C,花园为矩形。EfG.根据规划需要，花园的顶点厂在三角形的斜边8c上，边DG在三角形

的直角边AC上，顶点G到点C的距离是顶点D到点A的距离的2倍.

⑴设花园的面积为S（单位：„?）,AD的长为x（单位：m）,写出S关于x的函数解析式；

（2）当AD的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积.

【答案】⑴S=2x（30-3x）,（0<x<10）

（2）当AD的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150m'

【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值

【分析】（1）根据矩形面积即可求解，

（2）根据基本不等式即可求解.

【详解】（1）=x，贝！|CG=GN=2x,GD=30-x-2x=30-3x,

所以S=GDGb=2x（30—3x）,（0<x<10）

（2）S=2x（30—3x）-g.3x（30—3x）Wg3x+（；一3x）二.

当且仅当3x=30-3x,即x=5时等号成立，

故当AO的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150m，

【即时演练】

1.近几年来，“盲盒文化"广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，

某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒x年

（x为正整数）所用的各种费用总计为2r+10x万元.

⑴该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？

（2）该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？

【答案】⑴第3年

（2）第7年平均利润最大，为12万元

【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用二次函数模型解决实际问题

【分析】（1）先求得利润的表达式，由此列不等式来求得正确答案.

（2）先求得平均利润的表达式，然后利用基本不等式求得正确答案.

【详解】（1）设利润为V,贝！Jy=50x-（98+2x2+10x）=-2x2+40x-98（xeN*）,

由-2x?+40x-98>0整理得炉-20x+49<0,

解得10—庖<尤<10+后，由于xeN*,

所以xe{尤eN*|34尤417},所以第3年首次盈利.

(2)首先xe{xeN*|3<x<17},

由(1)得平均利润?=+=万元，

49

当且仅当关=一，彳=7万元时等号成立，

x

综上，第7年，平均利润最大，为12万元.

2.辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种

购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x(x>0)斤，每斤的售价降低x元；

第二种方案，顾客买”(尤>0)斤，每斤的售价为"4+21元.已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾

客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为/⑺元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为g(x)元.

⑴分别求函数f(x),g(x)的解析式；

⑵已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且

甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？

【答案】(1)/(》)=一一+24》，xe(0,9]；g(x)=14x+21,XG(0,9].

⑵乙购买了2斤大果榛子

【知识点】利用二次函数模型解决实际问题

【分析】(1)根据题意，写出函数f(x),g(x)的解析式；

(2)先求出/(5)>g(5),确定甲选择方案二购买，花费91元，得到乙花费44元，再分别讨论按照方案

一和方案二乙可以购买的大果榛子斤数，得到答案.

【详解】(1)根据题意，/(力=彳(24-耳=-/+2以，XG(O,9],

g(x)=+=14x+21,xe(0,9].

(2)由⑴，"5)=95,g(5)=91,所以/'(5)>g(5),则甲选择方案二购买，花费91元，

则乙花费135-91=44元，

若乙按照方案一购买，贝11-/+2以=44,解得x=2或22,又xe(0,9],

；.x=2,即乙可以购买2斤大果榛子，

若乙按照方案二购买，贝！J14x+21=44,解得》=言<2,

所以乙应该按照方案一购买，乙购买2